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【高考调研】2015高中数学(人教A版)选修2-3:第一章 计数原理+单元测试题


第一章
一、选择题

综合测试题

1.设东、西、南、北四面通往山顶的路各有 2、3、3、4 条路, 只从一面上山,而从任意一面下山的走法最多,应( A.从东边上山 C.从南边上山 B.从西边上山 D.从北边上山 )

2.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这 些函数为“同族函数”, 那么函数解析式为 y=x2, 值域为{1,4}的“同 族函数”共有( )

A.7 个 B.8 个 C.9 个 D.10 个 3.5 名学生相约第二天去春游,本着自愿的原则,规定任何人可以 “去”或“不去”,则第二天可能出现的不同情况的种数为(
2 A.C5 B.25C.52 D.A2 5

)

4.6 个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐 4 人,则不同的乘车方 法数为( )

A.40 B.50 C.60 D.70 5.在航天员进行的一项太空实验中,先后要实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第一步或最后一步,程序 B 和 C 实施时必须相邻,请问 实验顺序的编排方法共有( A.24 种 B.48 种 C.96 种 D.144 种 6.有甲、乙、丙三项任务,甲需 2 人承担,乙、丙各需 1 人承担, 从 10 人中选派 4 人承担这三项任务,不同的选法有( A.2 520 B.2 025 C.1 260 D.5 040 ) )

7.有 5 列火车停在某车站并行的 5 条轨道上,若快车 A 不能停 在第 3 道上,货车 B 不能停在第 1 道上,则 5 列火车的停车方法共有 ( ) A.78 种 B.72 种 C.120 种 D.96 种 8.已知(1+x)n=a0+a1x+a2x2+?+anxn,若 a0+a1+a2+?+an =16,则自然数 n 等于( )

A.6 B.5 C.4 D.3 9.6 个人排队,其中甲、乙、丙 3 人两两不相邻的排法有( A.30 种 B.144 种 C.5 种 D.4 种 a? ? 10.已知?x-x?8 展开式中常数项为 1 120,其中实数 a 是常数,则展
? ?

)

开式中各项系数的和是(

)

A.28 B.38 C.1 或 38 D.1 或 28 11.有 A、B、C、D、E、F 共 6 个集装箱,准备用甲、乙、丙三辆卡 车运送,每台卡车一次运两个,若卡车甲不能运 A 箱,卡车乙不能运 B 箱,此外无其他任何限制;要把这 6 个集装箱分配给这 3 台卡车运 送,则不同的分配方案的种数为( A.168 B.84 C.56 D.42 12. 从 2 名女教师和 5 名男教师中选出三位教师参加 2014 年高考某考 场的监考工作.要求一女教师在室内流动监考,另外两位教师固定在 室内监考,问不同的安排方案种数为( A.30 B.180 C.630 D.1 080 13.已知(x+2)n 的展开式中共有 5 项,则 n=________,展开式中的 常数项为________.(用数字作答) 14.5 个人排成一排,要求甲、乙两人之间至少有一人,则不同的排 法有____种. ) )

15.已知(x+1)6(ax-1)2 的展开式中含 x3 项的系数是 20,则 a 的值等 于________. 16.用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的四位 数共有________个.(用数字作答) 17.某书店有 11 种杂志,2 元 1 本的 8 种,1 元 1 本的 3 种,小张用 10 元钱买杂志(每种至多买一本,10 元钱刚好用完),求不同的买法有 多少种(用数字作答). 18.4 个相同的红球和 6 个相同的白球放入袋中,现从袋中取出 4 个 球;若取出的红球个数不少于白球个数,则有多少种不同的取法? 9(12 分)从 1 到 6 的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数 字的四位数.试问:(1)能组成多少个不同的四位数? (2)四位数中,两个偶数排在一起的有几个? (3)两个偶数不相邻的四位数有几个?(所有结果均用数值表示) 20 已知(1+2 x)n 的展开式中,某一项的系数恰好是它的前一项系数 5 的 2 倍, 而且是它的后一项系数的6, 试求展开式中二项式系数最大的 项. 21 某单位有三个科室,为实现减负增效,每科室抽调 2 人,去参加再 就业培训, 培训后这 6 人中有 2 人返回原单位, 但不回到原科室工作, 且每科室至多安排 1 人,问共有多少种不同的安排方法. 22.10 件不同厂生产的同类产品: (1)在商品评选会上,有 2 件商品不能参加评选,要选出 4 件商品,并 排定选出的 4 件商品的名次,有多少种不同的选法? (2)若要选 6 件商品放在不同的位置上陈列,且必须将获金质奖章的两 件商品放上,有多少种不同的布置方法?

1,D2,由题意,问题的关键在于确定函数定义域的个数:第一步,先确定函数值 1 的原象:因为 y=x2, 当 y=1 时,x=1 或 x=-1,为此有三种情况:即{1},{-1},{1,-1};第二步,确定函数值 4 的原象, 因为 y=4 时,x=2 或 x=-2,为此也有三种情况:{2},{-2},{2,-2}.由分步计数原理,得到:3×3 =9 个.选 C.3,B,4B 5C 当 A 出现在第一步时,再排 A,B,C 以外的三个程序,有 A3 3种,A 与 A,B,C 以外的三个程序生
1 2 成 4 个可以排列程序 B、C 的空档,此时共有 A3 3A4A2种排法;当 A 出现在最后一步时的排法与此相同,故 1 2 2 共有 2A3 3A4A2=96 种编排方法.6A 先从 10 人中选出 2 人承担甲任务有 C10种选法,再从剩下的 8 人中选出 2 2 2 人分别承担乙、丙任务,有 A2 8种选法,由分步乘法计数原理共有 C10A8=2 520 种不同的选法.故选 A.7

不考虑不能停靠的车道,5 辆车共有 5!=120 种停法.A 停在 3 道上的停法:4!=24(种);B 种停在 1 道 上的停法:4!=24(种);A、B 分别停在 3 道、1 道上的停法:3!=6(种). 故符合题意的停法:120-24-24+6=78(种).故选 A. 令 x=1,得 2n=16,则 n=4.故选 C. 分两步完成:第一步,其余 3 人排列有 A3 3种排法;第二步,从 4 个可插空档中任选 3 个给甲、乙、丙 3 人
3 3 站有 A3 4种插法.由分步乘法计数原理可知,一共有 A3A4=144 种.B r 8 10,CTr+1=(-a)rC8 x
-2r

4 ,令 8-2r=0?r=4.∴T5=C4 2.当 a=2 时,和为 1;当 a=- 8(- a) =1 120,∴a= ±

2 时,和为 38.
2 2 2 11,D 分两类:①甲运 B 箱,有 C1 C2 C2 C3· C 2. 4· 4· 2种;②甲不运 B 箱,有 C4· 2 2 2 ∴不同的分配方案共有 C1 C2 C2 C3· C2=42 种.故选 D. 4· 4· 2+C4·

,A 分两类进行:第一类,在两名女教师中选出一名,从 5 名男教师中选出两名,且该女教师只能在室
2 1 内流动监考,有 C1 C2 C5种选法,且再从选中的两名女 2· 5种选法;第二类,选两名女教师和一名男教师有 C2· 1 2 教师中选一名作为室内流动监考人员,即有 C2 C1 C1 C5+C2 C1 C1 2· 5· 2共 10 种选法,∴共有 C2· 2· 5· 2=30 种,故选 A

13.4

4 16 ∵展开式共有 5 项,∴n=4,常数项为 C4 42 =16.

14. 甲、乙两人之间至少有一人,就是甲、乙两人不相邻,则有 A3 A2 3· 4=72(种).15.

0或5

16,14 因

为四位数的每个数位上都有两种可能性,其中四个数字全是 2 或 3 的情况不合题意,所以适合题意的四位 数有 24-2=14 个. 17.解析 分两类:第一类,买 5 本 2 元的有 C58 种;第二类,买 4 本 2 元的和 2 本 1 元的有 C48×C23

种.故共有 C58+C48×C23=266 种不同的买法种数. 18.解析 依题意知,取出有 4 个球中至少有 2 个红球,可分三类:①取出的全是红球有 C4 4种方法;②

1 2 2 取出的 4 个球中有 3 个红球的取法有 C3 4C6;③取出的 4 个球中有 2 个红球的取法有 C4C6种,由分类计数原 3 1 理,共有 C4 C6+C2 C2 4+ C4· 4· 6=115(种).

19.解析

2 4 (1)四位数共有 C2 3C3A4=216 个.

2 3 2 (2)上述四位数中,偶数排在一起的有 C2 3C3A3A2=108 个. 2 2 2 (3)两个偶数不相邻的四位数有 C2 3C3A2A3=108 个.

20.解析
k k

5 由题意知展开式中第 k+1 项系数是第 k 项系数的 2 倍,是第 k+2 项系数的 , 6
k- 1
+1

?Cn2 =2Cn ∴? k k 5 k ?Cn2 =6Cn

· 2k 1,


· 2k 1,


解得 n=7.

∴展开式中二项式系数最大两项是:

3 3 4 4 2 T4=C3 7(2 x) = 280x 与 T5=C7(2 x) =560x . 2 21. 6 人中有 2 人返回原单位,可分两类:

1 (1)2 人来自同科室:C1 3C2=6 种; 1 1 2 1 1 (2)2 人来自不同科室:C2 3= 3C2C2,然后 2 人分别回到科室,但不回原科室有 3 种方法,故有 C3C2C2·

36 种. 由分类计数原理共有 6+36=42 种方法 22.解析 (1)10 件商品,除去不能参加评选的 2 件商品,剩下 8 件,从中选出 4 件进行排列,有 A4 8=1

680(或 C4 A4 8· 4)(种 ). (2)分步完成.先将获金质奖章的两件商品布置在 6 个位置中的两个位置上,有 A2 6种方法,再从剩下的
2 4 8 件商品中选出 4 件,布置在剩下的 4 个位置上,有 A4 A8=50 400(或 C4 A6 8种方法,共有 A6· 8· 6)(种 ).


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