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(典型题)2014高考数学二轮复习


函数、基本初等函数的图象与性质
1.高考对函数的三要素,函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主,难度中等偏下.2.函数图象和性 质是历年高考的重要内容,也是热点内容,对图象的考查主要有两个方面:一是识图,二是用图,即利用 函数的图象,通过数形结合的思想解决问题;对函数性质的考查,则主要是将单调性、奇偶性、周期性等 综合一起考查,既有具体函数也有抽象函数.常以选择题的形

式出现在最后一题,且常与新定义问题相结 合,难度较大.

1. 函数的概念及其表示 两个函数只有当它们的三要素完全相同时才表示同一函数,定义域和对应关系相同的两个函数是同一 函数. 2. 函数的性质 (1)单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质.利用定义证明函数的单调性时, 规范步骤为取值、 作差、判断符号、下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则. (2)奇偶性:奇偶性是函数在定义域上的整体性质.偶函数的图象关于 y 轴对称,在关于坐标原点对称 的定义域区间上具有相反的单调性;奇函数的图象关于坐标原点对称,在关于坐标原点对称的定义域 区间上具有相同的单调性. (3)周期性:周期性是函数在定义域上的整体性质.若函数满足 f(a+x)=f(x)(a 不等于 0),则其一个 周期 T=|a|. 3. 指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质 (1)指数函数 y=a (a>0,a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,a≠1)的图象和性质,分 0<a<1,a>1 两种情 况,着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质. (2)幂函数 y=x 的图象和性质,分幂指数 α >0,α <0 两种情况. 4. 熟记对数式的五个运算公式
α

x

M logbN n loga(MN)=logaM+logaN; loga =loga M-logaN; logaM =nlogaM; alogaN=N; logaN= (a>0 且 a≠1, N logba b>0 且 b≠1,M>0,N>0).
提醒:logaM-logaN≠loga(M-N), logaM+logaN≠loga(M+N). 5. 与周期函数有关的结论 (1)若 f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则 f(x)是周期函数,其中一个周期是 T=|a-b|. (2)若 f(x+a)=-f(x),则 f(x)是周期函数,其中一个周期是 T=2a. (3)若 f(x+a)= 1 1 或 f(x+a)=- ,则 f(x)是周期函数,其中一个周期是 T=2a. f?x? f?x?
1

提醒:若 f(x+a)=f(-x+b)(a≠b),则函数 f(x)关于直线 x=

a+b
2

对称.

考点一 函数及其表示 例 1 (1)若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)= A.[0,1] C.[0,1)∪(1,4] B.[0,1) D.(0,1) 1 ,则 f(f( ))等于 9 C.-4 1 D.- 4 ( )

f?2x? 的定义域是 ln x

(

)

? ?log3x,x>0 (2)已知函数 f(x)=? x ?2 ,x≤0 ?

A.4

1 B. 4

注意(1)求函数定义域的类型和相应方法 ①若已知函数的解析式,则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,只需构建并解 不等式(组)即可,函数 f(g(x))的定义域应由不等式 a≤g(x)≤b 解出. ②实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外,还应使实际问题有意义. (2)求函数值时应注意 形如 f(g(x))的函数求值时,应遵循先内后外的原则;而对于分段函数的求值(解不等式)问题,必须依 据条件准确地找出利用哪一段求解.
?2 ,x≥4, ? (1)若函数 f(x)=? ?f?x+3?,x<4, ?
x

则 f(log23)等于 D.24
2 2

(

)

A.3

B.4

C.16

(2)已知函数 f(x)=2+log3x(1≤x≤9),则函数 y=[f(x)] +f(x )的最大值为 A.33 B.22 C.13 D.6

(

)

考点二 函数的性质
?1,x为有理数, ? 例 2 (1)(2012·福建)设函数 D(x)=? ?0,x为无理数, ?

则下列结论错误的是

(

)

A.D(x)的值域为{0,1} C.D(x)不是周期函数

B.D(x)是偶函数 D.D(x)不是单调函数

? 1? 2 (2)设奇函数 y=f(x) (x∈R),满足对任意 t∈R 都有 f(t)=f(1-t),且 x∈?0, ?时,f(x)=-x , ? 2? ? 3? 则 f(3)+f?- ?的值等于________. ? 2?
注意:函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性,在解题中根据问题 的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系,推证函数的性质,根据函数的性质解决问题.

2

(1)(2013·天津)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数 a 满 1 足 f(log2a)+f(log a)≤2f(1),则 a 的取值范围是 2 A.[1,2] ( )

? 1? B.?0, ? ? 2?

?1 ? C.? ,2? ?2 ?

D.(0,2]
x

(2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=e +a,若 f(x)在 R 上是单调函数,则实数

a 的最小值是________.
考点三 函数的图象 例 3 (1)(2013·北京)函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=e 关于 y 轴对称,则
x

f(x)等于
A.e
x+1

( B.e
x-1

)
-x-1

C.e

-x+1

D.e

(2)形如 y=

b
|x|-a

(a>0,b>0)的函数,因其图象类似于汉字中的“囧”字,故我们把它称为“囧函

数”.若当 a=1,b=1 时的“囧函数”与函数 y=lg|x|图象的交点个数为 n,则 n=________. 注意(1)作图:常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换.尤其 注意 y=f(x)与 y=f(-x)、y=-f(x)、y=-f(-x)、y=f(|x|)、y=|f(x)|及 y=af(x)+b 的相互 关系. (2)识图:从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象 的对应关系. (3)用图:图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常 与图象数形结合研究. (1)函数 y=xln(-x)与 y=xln x 的图象关于 A.直线 y=x 对称 C.y 轴对称 B.x 轴对称 D.原点对称 ( )

log2|x| (2)函数 y= 的大致图象是

x

(

)

?-x +2x,x≤0, ? (3)(2013·课标全国Ⅰ)已知函数 f(x) = ? ?ln?x+1?,x>0. ?

2

若 |f(x)|≥ax ,则 a 的取值范围是

(

) B.(-∞,1] D.[-2,0]

A.(-∞,0] C.[-2,1]

考点四 基本初等函数的图象及性质

3

log2x,x>0, ? ? 例 4 (1)若函数 f(x)=? 1 log ?-x?,x<0, ? ? 2 A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞)

若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是

(

)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) ( )

?1? (2)已知 a=5log23.4,b=5log43.6,c=? ?log30.3,则有 ?5?
A.a>b>c C.a>c>b B.b>a>c D.c>a>b

注意(1)指数函数、对数函数、幂函数是中学阶段所学的基本初等函数,是高考的必考内容之一,重点 考查图象、性质及其应用,同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力. (2)比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法:一是根据同类函数的单调性进行比较; 二是采用中间值 0 或 1 等进行比较;三是将对数式转化为指数式,或将指数式转化为对数式,通过转 化进行比较. (1)已知 f(x)=a ,g(x)=logax(a>0 且 a≠1),若 f(3)·g(3)<0,则 f(x)与 g(x)在同一坐标系内的图 象可能是 ( )
x

?1?-0.8 1.2 (2)(2012·天津)已知 a=2 ,b=? ? ,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为 ( ?2?
A.c<b<a C.b<a<c B.c<a<b D.b<c<a

)

1. 判断函数单调性的常用方法 (1)能画出图象的一般用数形结合法去观察. (2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数,常转化为基本初等函数单调性的判断问题. (3)对于解析式较复杂的一般用导数法. (4)对于抽象函数一般用定义法. 2. 函数奇偶性的应用 函数 的奇偶性反映了函数图象的对称性,是函数的整体特性. 利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分 (一半)区间上,是简化问题 的一种途径.尤其注意偶函数 f(x)的性质:f(|x|)=f(x). 3. 函数图象的对称性 (1)若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(a-x), 即 f(x)=f(2a-x), 则 f(x)的图象关于直线 x=a 对称. 提
4

醒:函数 y=f(a+x)与 y=f(a-x)的图象对称轴为 x=0,并非直线 x=a. (2)若 f(x)满足 f(a+x)=f(b-x),则函数 f(x)的图象关于直线 x=

a+b
2

对称.

(3)若函数 y=f(x)满足 f(x)=2b-f(2a-x),则该函数图象关于点(a,b)成中心对称. 4. 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体,要深刻理解它们之间的 相互关系,能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题,高考对“三 个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中,并且大都出现在解答题中. 5. 指数函数、对数函数的图象和性质受底数 a 的影响,解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题 时,首先要看底数 a 的范围. 比较两个对数的大 小或解对数不等式或解对数方程时,一般是构造同底的对数函数,若底数不同,可 运用换底公式化为同底的对数,三数比较大小时,注意与 0 比较或与 1 比较. 6. 解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用.

1. 已知函数 f(x)=e

|ln x|

? 1? -?x- ?,则函数 y=f(x+1)的大致图象为 ?
x?

(

) )

2. 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足: 对任意的 x1, x2∈(-∞, 0)(x1≠x2), 有 A.f(0.3 )<f(2 )<f(log25) B.f(log25)<f(2 )<f(0.3 ) C.f(log25)<f(0.3 )<f(2 ) D.f(0.3 )<f(log25)<f(2 )
2 0.3 2 0.3 0.3 2 2 0.3

f?x2?-f?x1? >0.则有 ( x2-x1

3. 已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,那么在区间[-1,3]内关于 x 的方程 y=

kx+k+1(k∈R,k≠-1)的根的个数为
A.不可能有 3 个 C.最少有 1 个,最多有 3 个 B.最少有 1 个,最多有 4 个 D.最少有 2 个,最多有 4 个

(

)

函数 g(x)=kx+k+1=k(x+1)+1 恒过定点(-1,1), (推荐时间:40 分钟) 一、选择题 1. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为 A.y=cos 2x,x∈R B.y=log2|x|,x∈R 且 x≠0 e -e C.y= ,x∈R 2
x
-x

(

)

5

D.y=x +1,x∈R

3

? ? 1 ?? 2. 已知函数 y=f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=lg x,则 f?f? ??的值等于 ? ?100??
A. 1 lg 2 1 B.- lg 2 C.lg 2 D.-lg 2

(

)

? ?log2x,x≥1, 3. 已知函数 f(x)=? ?x+c,x<1, ?

则“c=-1”是“函数 f(x)在 R 上递增”的 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(

)

A.充分不必要条件 C.充要条件

4. (2013·课标全国Ⅱ)设 a=log36,b=log510,c=log714,则 A.c>b>a C.a>c>b
2

(

)

B.b>c>a D.a>b>c )

5. 若函数 f(x)=x +|x-a|+b 在区间(-∞,0]上为减函数,则实数 a 的取值范围是( A.a≥0 B.a≤0 C.a≥1 D.a≤1

6. 设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(1-m)<f(m),则实数 m 的取值范围是 ( )

1 A.[-1, ) 2 1 B.(-∞,-1]∪( ,+∞) 2 1 C.(-1, ) 2 7. (2013·四川)函数 y= 的图象大致是 x 3 -1

x3

(

)

?1? ,x≤0, ? ? ?2-? ?3? 8. 已知直线 y=mx 与函数 f(x)=? 1 ? ?2x +1,x>0
x
2

的图象恰好有 3 个不同的公共点,则实数 m 的

取值范围是 A.( 3,4) C.( 2,5) 二、填空题 B.( 2,+∞) D.( 3,2 2)

(

)

9. 设函数 f(x)=x(e +ae )(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________. 10.(2012·安徽)若函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则 a=________. 11.已知函数 f(x)=asin x+bx +5,且 f(1)=3,则 f(-1)=________.
6
3

x

-x

?x -2x?x≥0?, ? 12.已知奇函数 f(x)=? 2 ?ax +bx?x<0?, ?

2

给出下列结论:

①f(f(1))=1; ②函数 y=f(x)有三个零点; ③f(x)的递增区间是[1,+∞); ④直线 x=1 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴; ⑤函数 y=f(x+1)+2 图象的对称中心是点(1,2). 其中,正确结论的序号是________.(写出所有正确结论的序号). 13.给出下列四个函数: ①y =2 ;②y=log2x;③y=x ;④y= x. 当 0<x1<x2<1 时,使 f?
x
2

?x1+x2?>f?x1?+f?x2?恒成立的函数的序号是________. ? 2 ? 2 ?

14.已知定义在 R 上的偶函数满足:f(x+4)=f(x)+f(2),且当 x∈[0,2]时,y=f(x)单调递减,给出以 下四个命题: ①f(2)=0; ②x=-4 为函数 y=f(x)图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[8,10]上单调递增; ④若方程 f(x)=m 在[-6,-2]上的两根为 x1,x2,则 x1+x2=-8. 则所有正确命题的序号为________.

7


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