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益阳市箴言中学高二文科数学月考试题


益阳市箴言中学高二文科数学月考试题 试题卷
一、选择题(每题 5 分共计 50 分,请把正确的答案填在后面的答题框中)
1. 已知复数 z ? 1 ? i (i为虚数单位) ,那么复数 z 的虚部为 A. ( )

?i

B. i

C. 1

D. ? 1 ( ).


2.点 P 的直角坐标为 (1,- 3),则点 P 的极坐标为 π A.?2, ? 3? ? 4π B.?2, ? 3 ? ? π C.?2,- ? 3? ?

4π D.?2,- ? 3 ? ? ).

π 3.在极坐标系中,点 ?2, ?到圆 ? ? 2 cos? 的圆心的距离为( 3? ? π2 A.2 B. 4+ 9 4.已知 x、y 的取值如下表所示: x y 0 2.2 C. π2 1+ 9 3 4.8 4 6.7 D. 3

1 4.3

^ ^ ^ 若从散点图分析,y 与 x 线性相关,且y=0.95x+a,则a的值等于 ( A.2.6 B.6.3
2

)

C.2

D.4.5

5. 用反证法证明“方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 至多有两个解”的假设中,正确的是( ) A. 至多有一个解 C. 至少有三个解 B. 有且只有两个解 D. 至少有两个解

6.极坐标方程 ? ? cos? 与 ? cos? ?

1 的图形是 2

(

).

O

7. 某人进行了如下的“三段论”推理: 若一个函数满足:f ' ( x0 ) ? 0 , 则 x ? x0 是函数 f ( x) 的极值点, 因为函数 f ( x) ? x 在 x ? 0
3

处的导数值 f ' (0) ? 0 ,所以, x ? 0 是函数 f ( x) ? x 的极值点。你认为以上推理是(
3



A. 大前提错误

B. 小前提错误

C. 推理形式错误

D. 结论正确

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8.在样本数据的回归分析中,相关指数 R2 的值越大,则残差平方和 A.越小 C.可能大也可能小 9.定义运算: ? A.3-i B.越大 D.以上都不对

?(y
i ?1

n

i

?i )2 ( ?y

)

?a b?= ad ? bc ,则符合条件?1 -1?=4+2i 的复数 z 为 ( ? ? ? ?c d ? ?z zi ?
B.1+3i D.-1-3i (

)

C.3+i π 10.在极坐标系中,曲线 ρ=4sin?θ - ?关于 3? ? π A.直线 θ= 对称 3 π C.点?2, ?中心对称 3? ?

).

5π B.直线 θ= 对称 6 D.极点中心对称

二、填空题(每空 5 分共计 25 分)
11. 若复数 z ? 2t 2 ? 3t ? 2 ? (t 2 ? 4)i(t ? R) 为纯虚数,则 t 的值为 。

12.若曲线的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? ? 4 cos? ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半 轴建立直角坐标系, 则该曲线的直角坐标方程的标准形式为____ 13. 执行如右图所示的程序框图,如果输入
a ? 1, b ? 2, 则输出的a的值为

____.

.

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 14.直线 ? (t 为参数) ? y ? ?3 3 ? 3 t ? 2 ? 2 2 和圆 x ? y ? 16 交于 A,B 两点, 则 AB 的中点坐标为 。

15. 已知点 A( x, lg x1 ), B( x2 , lg x2 ) 是函数 f ( x) ? lg x 的图象上任意不同两点,依据 图象可知,线段 AB 总是位于 A,B 两点之间函数图象的下方,因此有结论 lg x1 ? lg x2 x ?x 运用类比推理方法可知, 若点 M ( x1 ,2 x1 ), N ( x2 ,2 x2 ) , ? lg( 1 2 ) 成立; 2 2 是函数 g ( x) ? 2 x 的图象上的不同两点,则类似地有不等式 成立 。

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三、解答题: (本大题共 6 个小题,总分 75 分)
π 16. (本题满分 12 分)已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 α= 3 . (1)写出直线 l 的参数方程;
? x ? 2 cos? (2)设 l 与圆 C: ? (θ 为参数)相交于点 A、B,求点 P 到 A、B 两 ? y ? 2 sin ?
点的距离之积 | PA | ? | PB | .

17. (本题满分 12 分)
)i ,当 m 取何实数时, 设复数 z ? lg | m ? 2 | ?(m 2 ? 3m ? 2

(1) z 是实数; (2) z 对应的点位于复平面的第二象限。 18. (本题满分 12 分) 为了调查大学生对吸烟是否影响学习的看法,询问了大学一、二年级的 200 个大学生,询问的结果记录如下:其中大学一年级 110 名学生中有 45 人认为不会影响学习,有 65 人认为会影响学习,大学二年级 90 名学生中有 55 人认为不会影响学习,有 35 人认为会影响学习; (1) 根据以上数据绘制一个 2 ? 2 的列联表; (2) 据此回答,能否有 99%的把握断定大学生因年级不同对吸烟问题所持态 度也不同? 附表:
p( K 2 ? k 0 )

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.789

0.001 10.828

k0

19. (本题满分 12 分) ?x=1+tcos α, ?x=cos θ, 已知直线 C1:? (t 为参数),圆 C2:? (θ 为参数). ?y=tsin α ?y=sin θ π (1) 当 α=3时,求 C1 与 C2 的交点坐标; (2) 过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点.当 α 变化时, 求 P 点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.
第 3 页 共 6 页

20. (本题满分 13 分)
?x ? 1 ? t 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为: ? (t 为参数) ,曲线 C 的参数 ?y ? 3 ? t
? x ? 3 cos? 方程为 ? (α 为参数). ? y ? sin ?

(1) 已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极 π? ? 点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为?4, ?,判断点 P 与直线 2? ? l 的位置关系; (2) 设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离 d 的最小值以及取到 最小值时所对应的点 Q 的坐标.

21. (本题满分 14 分) 已知点 A(?3,1) 是椭圆
x2 y2 ? ? 1 内的一点,点 M 为椭圆上的任意一点(除 36 4

短轴端点外) ,O 为原点。过此点 A 作直线 l 与椭圆相交于 C、D 两点,且 A 点 恰好为弦 CD 的中点。再把点 M 与短轴两端点 B1、B2 连接起来并延长,分别交 x 轴于 P、Q 两点。 (1)求弦 CD 的长度; (2) 求证:| OP | ? | OQ | 为定值.

y C B1 A O D B2 M P Q x

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益阳市箴言中学高二文科数学月考试题 参考答案
一、选择题
DCDAC BAACB

二、填空题(每空 5 分共计 25 分)

1 2 2 11. ? 12. ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 2

13. 9 .

2 x1 ? 2 x2 14.(3, - 3) 15. ?2 2

x1 ? x2 2

三、解答题: (本大题共 6 个小题,总分 75 分)
π ? ?x=1+tcos 3 , (1)直线 l 的参数方程为? π y = 1 + t sin ? ? 3, 1 ? ?x=1+2t 即? . 3 ? ?y=1+ 2 t

16.解

?x=2cos θ , (2)圆 C:? 的普通方程为 x2+y2=4. ?y=2sin θ 1 x=1+2t, ? ? 把直线? 3 ? ?y=1+ 2 t 1 ?2 ? 3 ?2 ? 得?1+2t? +?1+ t? =4, ? ? 2 ? ?

代入 x2+y2=4,

t2+( 3+1)t-2=0, t1t2=-2. 即点 P 到 A、B 两点的距离之积为 2. (6 分)

?| m ? 2 |? 0 ? m ? 1, 17. 解: (1) z 是纯虚数当且仅当 ? 2 ?m ? 3m ? 2 ? 0
?lg | m ? 2 |? 0 ? 2 ? m ? 3 (7 分) (2)由 ? 2 ?m ? 3m ? 2 ? 0

当 2 ? m ? 3 时, z 对应的点位于复平面的第二象限。 (12 分) 18.解: (1)2*2 列联表为: 有影响 大一 45 大二 55 合计 100 2 由 K 统计量的数学公式得: 无影响 65 35 100 合计 110 90 200

第 5 页 共 6 页

200 (45 ? 35 ? 55 ? 65) 2 800 ? ? 8.08 >6.635 100 ? 100 ? 110 ? 90 99 ∴有 99%的把握说:大学生因年级不同对吸烟问题所持态度也不同. π 19.解 (1)当 α=3时,C1 的普通方程为 y= 3(x-1), k?

?y= 3?x-1?, C2 的普通方程为 x2+y2=1.联立方程组? 2 2 ?x +y =1, ?1 3? 解得 C1 与 C2 的交点坐标为(1,0),? ,- ?. 2? ?2 (2)C1 的普通方程为 xsin α-ycos α-sin α=0.A 点坐标为(sin2 α,-cos αsin α), 1 2 ? ?x=2sin α, 故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为:? 1 y =- ? ? 2sin αcos α 1 ? 1? P 点轨迹的普通方程为?x-4?2+y2=16. ? ? 1 ?1 ? 故 P 点轨迹是圆心为?4,0?,半径为4的圆. ? ? π? ? 20.解 (1)把极坐标系下的点 P?4, ?化为直角坐标,得 P(0,4).因为点 P 2? ? 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ,所以点 P 在直线 l 上. (2)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos? , sin ? ) ,从而点
| 3 cos? ? sin ? ? 4 | 12 ? 12 | 4 ? 2 sin(? ? 2

(α 为参数),

?
3

Q 到直线 l 的距离为: d ?

?

)|

? 2

所以 d 的最小值为 2 . 此时 sin(? ?

?
3

) ? 1, 从而可以取? ?

?
6

.

3 ? x ? 3 cos? ? ? 3 1 ? 2 于是有: ? .所以点 Q 的坐标为:Q ( , ) . 2 2 ? y ? sin ? ? 1 ? 2 ?

21. 解:(1)|CD|= 2 10

(2) | OP || OQ |? 36

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