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2016届高考数学(理)名师二轮复习:第一部分 专题二 三角函数、解三角形、平面向量专题跟踪训练10


专题跟踪训练(十) 1.(2015· 德州模拟)已知函数 f(x)= 3cos ωx,g(x)= π? ? sin?ωx-3?(ω>0),且 g(x)的最小正周期为 π. ? ? 6 (1)若 f(α)= 2 ,α∈[-π,π],求 α 的值; (2)求函数 y=f(x)+g(x)的单调递增区间. π? ? [解] (1)因为 g(x)=sin?ωx-3?(ω>0)的最小正周期为 π, ? ? 2π 所以 ω =π,解得 ω=2. 6 6 由 f(α)= 2 ,得 3cos 2α= 2 , 2 即 cos 2α= 2 , π 所以 2α=2kπ±4,k∈Z. 因为 α∈[-π,π], π π 7π? ? 7π 所以 α∈?- 8 ,-8,8, 8 ?. ? ? (2)函数 y=f(x)+g(x) π? ? = 3cos 2x+sin?2x-3? ? ? π π = 3cos 2x+sin 2xcos3-cos 2xsin3 1 3 =2sin 2x+ 2 cos 2x π? ? =sin?2x+3?, ? ? π π π 由 2kπ-2≤2x+3≤2kπ+2,k∈Z, 5π π 解得 kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z. 所以函数 y=f(x)+g(x)的单调递增区间为 5π π? ? ?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z). 12 12? ? 2.(2015· 湖南卷)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,a=btan A,且 B 为钝角. π (1)证明:B-A=2; (2)求 sin A+sin C 的取值范围. sin A a sin A [解] (1)证明:由 a=btan A 及正弦定理,得cos A=b=sin B,所 ?π ? 以 sin B=cos A,即 sin B=sin?2+A?. ? ? ?π ? π 又 B 为钝角,因此2+A∈?2,π?, ? ? π π 故 B=2+A,即 B-A=2. π? π ? (2)由(1)知, C= π-(A+ B)= π-?2A+2? =2 -2A>0,所以 A∈ ? ? π? ? ?0, ?. 4? ? ?π ? 于是 sin A+sin C=sin A+sin?2-2A?=sin A+cos 2A=-2sin2A ? ? 1? 9 ? +sin A+1=-2?sin A-4?2+8. ? ? π 2 因为 0<A<4,所以 0<sin A< 2 , 1? 9 9 ? 2 因此 2 <-2?sin A-4?2+8≤8. ? ? 由此可知 sin A+sin C 的取值范围是? ? 2 9? ,8?. ? 2 ? 3.(2015· 江西南昌调研)函数 f(x)=psin ωx(p>0,ω>0)的最大值 π 为 2,其图象上相邻两条对称轴之间的距离为2. (1)求函数 f(x)的解析式; ?B? 2π (2)在△ABC 中,AC=f? 2 ?,C= 3 ,求△ABC 周长的最大值. ? ? [解] (1)依题意 p=2, ∵函数图象上相邻两条对称轴之间的距离 为半个周期, T π 2π ∵2=2,T=π,∴ω= T =2,f(x)=2sin 2x. ?B? π π (2)AC=f? 2 ?=2sin B,A=3-B,0<B<3, ? ? AB BC AC 又sin C=sin A=sin B=2, ?π ? 3 ∴AB=2sin C=2× 2 = 3,BC=2sin A=2sin?3-B?, ? ? ∴△ABC 的周长 ?π ? l=AB+

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