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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 例谈反证法在解题中的应用拓展资料素材 北师大版选修1-2


例谈反证法在解题中的应用
反证法是一种间接证法.它是数学学习中一种很重要的证题方法.反证法证题的步骤大致分为三步: (1)反设:作出与求证的结论相反的假设; (2)归谬:由反设出发,导出矛盾结果; (3)作出结论:证明了反设不能成立,从而证明了所求证的结论成立. 其中,导出矛盾是关键,通常有以下几种途径:与已知矛盾,与公理、定理矛盾,与假设矛盾,自相矛盾等.


一、证明“至多”或“至少”问题 例1 已知函数 f ( x) 对其定义域内的任意两个实数 a,b ,当 a ? b 时,都有 f (a ) ? f (b) .求证:至多有一个实 数 x 使得 f ( x) ? 0 . 证明:假设存在两个不等实数 x1,x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 . (?) 不妨设 x1 ? x2 ,由条件可知 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,与 (?) 式矛盾. 故至多有一个实数 x 使得 f ( x) ? 0 .

二、证明“不可能”问题 例 2 给定实数 a,a ? 0 ,且 a ? 1 ,设函数 y ? 同的点的直线不平行于 x 轴. 证明:假设函数图象上存在两点 M1,M 2 ,使得直线 M1M 2 平行于 x 轴. 设 M1 ( x1,y1 ),M 2 ( x2,y2 ) 且 x1 ? x2 .由 kM1M 2 ? 0 ,
x2 ? 1 x1 ? 1 ? y2 ? y1 ax2 ? 1 ax1 ? 1 a ?1 得 ? ? ?0, x2 ? x1 x2 ? x1 (ax2 ? 1)(ax1 ? 1)

x ?1 1 ( x ? R,且x ? ) ,求证:经过这个函数图象上任意两个不 ax ? 1 a

解得 a ? 1 .与已知 a ? 1 矛盾. 故经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于 x 轴.

例 3 双曲线 xy ? 1 的两支为 C1,C2 ,正三角形 PQR 的三顶点位于此双曲线上.求证: P,Q,R 不可能在双曲 线的同一支上.
( x2,y2 ), ( x3,y3 ) ,不 证明:假设正三角形的三顶点 P,Q,R 位于双曲线同一支如 C1 上,其坐标分别为 ( x1,y1 ),

妨设 0 ? x1 ? x2 ? x3 ,则一定有 y1 ? y2 ? y3 ? 0 . 于是 PQ2 ? QR 2 ? PR 2
? [( x1 ? x2 )2 ? ( x2 ? x3 )2 ? ( x1 ? x3 )2 ] ? [( y1 ? y2 )2 ? ( y2 ? y3 )2 ? ( y1 ? y3 )2 ]
1

2x (2 ? x1 ) x (2?

x3 ?)

2y2( ?

y1

)y ?2( . y? ) 3

0

因此, PQ2 ? QR2 ? PR2 .这说明 △PQR 是钝角三角形,与 △PQR 为正三角形矛盾.故 P,Q,R 不可能在双 曲线的同一支上.

三、证明“存在性”或“唯一性”问题

1 , 0) . 例 4 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图象过点 ( ?1 问是否存在常数 a,b,c , 使不等式 x ≤ f ( x) ≤ (1 ? x2 ) 2
对一切实数 x 都成立?若存在,求出 a,b,c 的值;若不存在,说明理由. 解:假设存在符合条件的 a,b,c .
∵ f ( x) 的图象过 ( ?1 , 0) , ∴ f (? 1?) ,即 0 a?b?c ? 0 .

1 又∵ x ≤ f ( x) ≤ (1 ? x2 ) 对一切实数都成立, 2 1 令 x ? 1 ,则 1≤ a ? b ? c ≤ (1 ? 12 ) ? 1 . 2
∴ a ? b ? c ? 1 ,∴ b ?

1 1 ,a?c ? . 2 2

∴ f ( x) ? ax 2 ?

1 ?1 ? ? ? ? a? . 2 ?2 ?

? f ( x ) ≥ x, ?ax ? 2 x ? ? 2 ? a ? ≥ 0,① ? ? ? ? 由? 得? 1 2 1? 2 1 ? f ( x ) ≤ (1 ? x ), ?? ? 2 ? a ? ? x ? x ? a ≤ 0.②
2

?

1

?1

?

? ??

2?

2

据题意,对于任意实数 x , ① 与 ② 都成立.
?a ? 0, ?a ? 0, ? 对于 ① ,若 a ? 0 ,则 x ≤ 1 ,不合题意;若 a ? 0 ,欲使 ① 的解集为 R ,则需 ? 即 ?1 ?1 ? ?? ≤ 0, ? 4 ? 4a ? 2 ? a ? ≤ 0. ? ? ?

解得 a ?

1 . 4 1 1 ,再考虑 ② ,把 a ? 代入 ② ,得 x 2 ? 2 x ? 1≥ 0 ,其解集为 R . 4 4

对于 a ?

1 1 所以,存在满足条件的 a,b,c ,其中 a ? c ? ,b ? . 4 2

2


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