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141.2正弦函数的图像和性质(第二课时)1


主讲人: 薛



一、复习:y=sinx、y=cosx的图象
y
1

y ? cos x , x ? R y ? sin x , x ? R
0

? 3?

? 5? 2

? 2?

? 3? 2

??

?? 2

?
2

?

-1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

1、定义域 2、值 域 3、周期性 4、画图方法

x?R

y ? [ - 1, 1 ]
最小正周期T = 2? 五点作图法

二、 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

sin(-x)= - sinx (x?R)

y=sinx (x?R) 是奇函数 定义域关于原点对称

cos(-x)= cosx (x?R)
y
1 -4? -3? -2? -?

y=cosx (x?R) 是偶函数

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

x
sinx

?

?
2



0 0



? 2



? 0



3? 2

-1

1

-1

y
1
?

?
2

?
O -1

3? 2

? 2

x

? ? 3? ? ? 2 , 2 ? 上是减函数。 ? ?

? ? ?? 正弦函数在区间 ?? , ? 上是增函数,在区间 ? 2 2?

正弦函数的单调性
y=sinx (x?R)
y
1 -3?
? 5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

增区间为

?? ?? ? ? +2k?, [ 22 , 2 2

+2k?],k?Z, 其值从-1增至1 ] +2k?],k?Z 其值从 1减至-1 ]

减区间为 [[

3? ? ?? 3 2+2k?,2 , 2 2

当且仅当x ?

?

2 ? 当且仅当x ? ? ? 2k? , k ? Z时,函数取最小值:-1 2

? 2k? , k ? Z时,函数取最大值: 1

余弦函数的单调性
-3?
5? 2

y
1

y=cosx (x?R)
?
2

?

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

x
cosx

-? -1



?

?
2

… 1

0



? 2



? -1

0

0 其值从-1增至1 其值从 1减至-1

增区间为 [ ?? +2k?, 2k?],k?Z 减区间为 [2k?, 2k? + ?], k?Z , 当且仅当

x ? 2k? , ? Z 时取得最大值1, k

当且仅当 x ? ( 2k ? 1)? , ? Z 时取得最小值-1. k


单 调 性


增区间

y=sinx
[?
? ? +2k?, +2k?],k?Z 2 2

y=cosx
[ ?? +2k?, 2k?],k?Z

减区间

[

? 2

3? +2k?, 2

+2k?],k?Z

[2k?, 2k? + ?], k?Z
当x=2kπ +π (k∈Z)时 ymin=-1 当x= 2kπ ymax=1 (k∈Z)时

?

最 大 (小)值

当x=2kπ + 2 (k∈Z)时 ymax=1

3? 当x=2kπ + 2 (k∈Z)时 ymin=-1

对称轴:
y

f ( x ) ? sin x

1-

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

o
-1 -

2?

4?
-

6?
-

-

-

x

函数值取得最值时,得

对称轴: x ?

?
2

? k? ,( k ? Z )

对称中心:
y

f ( x) ? sin x
?
2?

? 6?
-

? 4?
-

?

? 2?
-

?

?

o

?

1-

-1 -

?
-

?

4?
-

6?
-

-

x

函数图像与横轴相交时,得

对称中心: ? ,0),(k ? Z) (k

正弦、余弦函数的对称性
性 质
对 称 轴 对 称 中 心

y=sinx
? x ? ? k? ,(k ? Z ) 2

y=cosx

函数值取得最值时,得

x ? k? , ? Z k
(k? ? ? ,), k ? Z 0 2

函数图像与横轴相交时,得

(k? ,0),(k ? Z)

三、例题讲解
例1.教材P38 例3
(1) (2)

y ? cos x ? 1, x ? R
y ? ?3 sin 2 x, x ? R

x ? 练习:求函数 y ? ?2 sin( ? ) ? 3, x ? ?? 2? , ? ? 2 4
的最大值,并求此时

x 的值。

例2:教材P39 例4 ? ? (1) sin( ? ) 与 sin( ? ) ; 18 10

(2) cos(? 23? ) 与 cos(? 17 ? ) ; 5 4
43 21 练习: cos ? 与 sin( ? ? ) . 9 5

例3:教材P39 例5
练习:已知函数

(1)在

x ? ?? 2? ,2? ? 上的单调递增区间。

x y ? sin( ? ), x ? R 3 2

?

(2) 对称轴方程和对称中心坐标。

? 例4 y = -| sin(x+ )|的单调区间。 4 ? 解: 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下: 4
y 1

y=|sinu|
? 2

?2?

?

3? 2

??

?

? 2

O -1

?

3? 2

2?

u

即: 增区间为 u ? [k? ? , k? ], k ? Z 2 减区间为 u ? [k? , k? ? ? ], k ? Z
?

?

y=sinu y=- |sinu|

2 3? ? x ? [k? ? , k? ? ], k ? Z y为增函数 4 4 ? ? x ? [k? ? , k? ? ], k ? Z y为减函数 4 4

小结:正弦、余弦函数的图像和性质
正弦函数 y=sinx 余弦函数 y=cosx

定义域 值域

R [-1,1] ? 当x=2kπ + 2 (k∈Z)时ymax=1 3? 当x=2kπ + 2 (k∈Z)时ymin=-1 最小正周期2π
]( k ? Z )是增函数 2 ? 3? 在[2k? ? ,2k? ? ]( k ? Z )是减函数 2 2 2 在[2k? ?

R [-1,1] 当x= 2kπ (k∈Z)时ymax=1 当x=2kπ +π (k∈Z)时ymin=-1 最小正周期2π 偶函数
在[2k? ? ? ,2k? ](k ? Z )是增函数 在[2k? ,2k? ? ? ](k ? Z )是减函数

周期性
奇偶性 单调性

?

奇函数
,2k? ?

?

求函数的单调区间:1. 直接利用相关函数性质 2. 复合函数的单调性 3. 利用图象寻找单调区间

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
y=sinx (x?R) 图象关于原点对称
y 谢 谢! 再 见!
1 -3?
? 5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

y=sinx


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