北京市2016届高三数学一轮复习 专题突破训练 三角函数 理

北京市 2016 届高三数学理一轮复习专题突破训练 三 角
一、选择、填空题 1、（2015 年北京高考）在 ?ABC 中， a ? 4, b ? 5, c ? 6 则

函

数

sin 2 A ? sin C

．

2、（2014 年北京高考）设函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) ， A ? 0, ? ? 0 ，若 f ( x) 在区间 [ 单调性，且 f ?

? ?

, ] 上具有 6 2

?? ? ? 2? ? ?? ? ?? f? ? ? ? f ? ? ，则 f ( x) 的最小正周期为________. ?2? ? 3 ? ?6?

3、（朝阳区2015届高三一模）在△ABC 中，若 A＝ ，cosB=

?

3

6 ,BC = 6，则 AC = 3

A．4 2

B． 4

C．2 3

D．

4 3 3

4、（东城区 2015 届高三二模） sin(?

23? )? 6
（B） ?

（A） ?

3 2

1 2

（C）

1 2

（D）

3 2

5、（丰台区 2015 届高三一模）将函数 y ? cos( x ?

1 2

?
6

) 图象向左平移

? 个长度单位，再把所得图 3

象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是 (A) y ? cos( x + (C) y ? cos x

?
6

)

1 x 4 1 ? (D) y ? cos( x ? ) 4 3
(B) y ? cos

6、（海淀区 2015 届高三二模）已知函数 f ( x) ? cos(2 x ? ? ) （ ? 为常数）为奇函数，那么 cos ? ? （ （A） ? ）

2 2

（B） 0

（ C）

2 2

（D） 1

7、（西城区2015届高三一模）在△ABC 中，角 A, B, C所对的边分别为a , b , c ,若

1

则a =

.

8、（朝阳区 2015 届高三上学期期中）如图，某地一天中 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数

y ? A sin??x ? ? ? ? b （其中 ? ? 0 ，

? ? ? ? ? ）， 2

则估计中午 12 时的温度近似为（ A. 30 ℃ B. 27 ℃

） C.25 ℃ D.24 ℃

9、 （海淀区 2015 届高三上学期期中） 要得到函数 y ? sin(2 x ? 图象（ ）

π ) 的图象， 只需将函数 y ? sin 2 x 的 3

? ? 个单位 （B）向左平移 个单位 3 6 ? ? （C）向右平移 个单位 （D）向右平移 个单位 3 6
（A）向左平移 10、（朝阳区 2015 届高三上学期期末）设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) 的图象为 C ，下面结论中正确的 是 A．函数 f ( x) 的最小正周期是 ?? B．图象 C 关于点 ( ,0) 对称 C．图象 C 可由函数 g ( x) ? sin 2 x 的图象向右平移 D．函数 f ( x) 在区间 (?

? 3

? 6

? 个单位得到 3

? ? , ) 上是增函数 ?? 2
π ，则 A 等于 3

11、（大兴区 2015 届高三上学期期末）在 ?ABC 中， a ? 2 ， b ? 3 ， B ? （A） （C）
π 6
3π 4

（B） （D）

π 4

π 3π 或 4 4 12、 （西城区 2015 届高三上学期期末） 在锐角 ? ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c. 若 a ? 2b ，

sin B ?

3 ，则（ 4

）

2

（A） A ?

? 3

（B） A ?

? 6

（C） sin A ?

3 3

（D） sin A ?

2 3
；

13、 （东城区2015届高三上学期期末）在△ ABC 中，a ? 3 ，b ? 13 ， B ? 60? ，则 c ? △ ABC 的面积为_______ 14、（通州区 2015 高三 4 月模拟考试（一））将函数 f ? x ? ? cos ? x ? 不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，所得图象的一条对称轴方程可能是 A． x ?

? ?

??

? 的图象上各点的纵坐标 3?
2? 3

?
3

B． x ? ?

?
6

C． x ? ?

?
3

D． x ? ?

15、（延庆县 2015 届高三 3 月模拟）设 a ? sin393? , 则 a,

b ? cos55? , c ? tan50? ，

b , c 的大小关系为（
D． a ? c ? b

）

A. a ? b ? c C． b ? a ? c

B． c ? b ? a

二、解答题

x x x 1、（2015 年北京高考）已知函数 f ( x) ? 2 sin cos ? 2 sin ． 2 2 2
(Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期； (Ⅱ) 求 f ( x) 在区间 ?? ? ,0? 上的最小值．

2

3

2 、 （ 2014 年 北 京 高 考 ） 如 图 ， 在 ?ABC 中 ， ?B ?

?
3

, AB ? 8 ， 点 D 在 BC 边 上 ， 且

CD ? 2, c o s?A D C ?
（1）求 sin ?BAD

1 7

（2）求 BD, AC 的长

3、（2013 年北京高考）在△ABC 中，a＝3， b ? 2 6 ，∠B＝2∠A， (1)求 cos A 的值； (2)求 c 的值．

4、（朝阳区2015届高三一模）已知函数 f (x) = cos x +

2

3 sin x cos x，x∈R．

（1）求 f (x)的最小正周期和单调递减区间； （2）设 x = m（m∈R ）是函数 y = f (x)图象的对称轴，求sin 4m的值．

sin 2 x ? 2sin 2 x 5、（东城区 2015 届高三二模）已知函数 f ( x) ? ． sin x
（Ⅰ）求 f ( x ) 的定义域及其最大值； （Ⅱ）求 f ( x ) 在 (0, ?? 上的单调递增区间．

6、（房山区 2015 届高三一模）已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? （Ⅰ）求 f ( x ) 的单调递增区间；

?
6

) ? 2 cos 2 x ? 1( x ? R ) .

（Ⅱ）在△ ABC 中，三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，已知 f ? A ? ? 圆的半径为 3 ，求 a 的值.

1 ，且△ ABC 外接 2

4

7、 （丰台区 2015 届高三一模）已知函数 f ( x) ? cos 2 周期为 ? ．

?x
2

? 3 sin

?x
2

cos

?x 1
2 ? 2

(? ? 0) 的最小正

（Ⅰ）求 ? 的值及函数 f ( x ) 的最大值和最小值； （Ⅱ）求函数 f ( x ) 的单调递增区间．

8、（海淀区 2015 届高三二模）在 ?ABC 中， c ? 5 ， b ? 2 6 ， a ? （Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）求证： ? B ? 2? A .

3 6 cos A . 2

9、 （石景山区 2015 届高三一模）在平面直角坐标系 xOy 中，设锐角 ? 的始边与 x 轴的非负半轴重 合，终边与单位圆交于点 P( x1 , y1 ) ，将射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转 点 Q( x2 , y2 ) . 记 f (? ) ? y1 ? y2 . (Ⅰ)求函数 f (? ) 的值域； (Ⅱ)设 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ， 若 f (C) ? 2 ，且 a ?
Q P O α x y

? 后与单位圆交于 2

2 ， c ? 1 ，求 b .

10、（西城区2015届高三一模）设函数

（Ⅰ）当

， 时，求函数 f (x)的值域；

（Ⅱ）已知函数 y = f (x)的图象与直线 y =1有交点，求相邻两个交点间的最短距离．

5

11、（西城区 2015 届高三上学期期末）已知函数 f ( x) ? 2 3 sin 象如图所示. （Ⅰ）求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间；

x x x cos ? cos , x∈R 的部分图 4 4 2

（Ⅱ） 设点 B 是图象上的最高点，点 A 是图象与 x 轴的交点，求 tan ?BAO 的值.

y
B O A

x

12、（北京四中 2015 届高三上学期期中）已知函数 f ( x) ? 2( 3 cos x ? sin x)sin x , x ? R . （Ⅰ）求函数 f ( x) 的最小正周期与单调增区间； （Ⅱ）求函数 f ( x) 在 ? 0,

? ?? 上的最大值与最小值. ? 4? ?

13、（朝阳区 2015 届高三上学期期中）已知函数 f ( x) ? 3sin x ? a cos x （ x ? R ）的图象经过 点 ( ,1) . （Ⅰ）求函数 f ( x ) 的解析式； （Ⅱ）求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递减区间.

? 3

14、 （东城区示范校 2015 届高三上学期综合能力测试） 在△ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a, b, c ， 满足 c ? 1 ， 且 cos B sin C ? ?a ? sin B?cos? A ? B? ? 0 。 （I）求 C 的大小； （II）求 a ? b 的最大值，并求取得最大值时角 A，B 的值。
2 2

15、 （通州区 2015 高三 4 月模拟考试（一））在 ?ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，
6

已知 c ? 5 ， B ? （Ⅰ）求 b 的值；

2? 15 3 ， ?ABC 的面积是 . 3 4

（Ⅱ）求 cos 2 A 的值．

参考答案 一、选择、填空题 1、1 解析： cos A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 25 ? 36 ? 16 3 ? ? 2bc 2? 5? 6 4 sin 2 A 2 sin A cos A a 3 2 ? 2 cos A ? 2 ? ? ? 1 sin C sin C c 4 3
?π π? ?π ?π? ?π? 由 f ? x ? 在区间 ? ? ? 上具有单调性，且 f ? ? ? ? f ? ? 知， f ? x ? 有对称中心 ? ? ?6 2? ?3 ?2? ?6? 1?π 2 ? 7 ?π? ?2 ? 由 f ? ? ? f ? π ? 知 f ? x ? 有对称轴 x ? ? ? π ? ? π ，记 T 为最小正周期， 2 ? 2 3 ? 12 ?2? ?3 ? ? 0? ， ?

2、 π

1 π π 2π 7 π T 则 T ≥ ? ? T ≥ ，从而 π ? ? ? T ? π . 2 2 6 3 12 3 4

3、答案：B 【解析】：

4、C 7、答案：

5、C

6、B

7

8、B 14、D

9、B 15、A

10、B

11、B

12、A

13、4, 3 3

二、解答题 1、解析：

x x x 2 ? 1 ? cos x ? f ( x) ? 2 sin cos ? 2 sin ? sin x ? 2 ? ? 2 2 2 2 2 ? ? ? 2 2 2 ?? 2 ? sin x ? cos x ? ? sin ? x ? ? ? 2 2 2 4? 2 ?

2

(Ⅰ) T ?

2?

?

最小正周期为 2? ? 2? ? f ( x）

(Ⅱ)

x ? ?? ? ,0?, x ?

?

? 3 ?? ? ?? ? , ?, 4 ? 4 4?

?? ? 2? ? sin ? x ? ? ? ?? 1, ? 4? ? 2 ? ? ?? 2 ? 2 ? ? ? f ( x) ? sin ? x ? ? ? ? ?? 1 ? ,0 ? 4? 2 ? 2 ? ?
故 f ? x ? 最小值为 ? 1 ?

2 2
4 3 7

2、⑴ sin ?ADC ? 1 ? cos 2 ?ADC ?

sin ?BAD ? sin ? ?ADC ? ?B ? ? sin ?ADC ? cos ?B ? sin ?B ? cos ?ADC ? 4 3 1 1 3 3 3 ? ? ? ? 7 2 7 2 14

⑵ △ABD 中 AB AD BD 8 AD BD .即 ? ? ? ? sin ?ADB sin B sin ?BAD 4 3 3 3 3 7 2 14 解得 BD ? 3 , AD ? 7 在 △ ACD 中， AC 2 ? AD2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC ? cos ?ADC 1 ? 7 2 ? 22 ? 2 ? 7 ? 2 ? ? 49 7 所以 AC ? 7 3、解：(1)因为 a＝3， b ? 2 6 ，∠B＝2∠A，

8

3 2 6 . ? sin A sin 2 A 2sinAcosA 2 6 6 所以 .故 cos A＝ . ? sinA 3 3 6 (2)由(1)知，cos A＝ ， 3 3 2 所以 sin A＝ 1 ? cos A ? . 3
所以在△ABC 中，由正弦定理得 又因为∠B＝2∠A，

1 . 3 2 2 2 所以 sin B＝ 1 ? cos B ? . 3
所以 cos B＝2cos A－1＝
2

在△ABC 中，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝ 所以 c＝ 4、

5 3 . 9

a sin C ＝5. sin A

5、解：（Ⅰ）由 sin x ? 0 ，得 x ? k ?? k ? Z ? ． 所以 f ( x ) 的定义域为 {x ? R | x ? k ?? k ? Z} ． …………………2 分

sin 2 x ? 2sin 2 x 因为 f ( x) ? ， sin x
? 2 cos x ? 2sin x

9

? ? 2 2 cos( x ? ) ， 4
所以 f ( x ) 的最大值为 2 2 ．

…………………6 分 …………………7 分

（Ⅱ）函数 y ? cos x 的单调递增区间为 [2k ? ? ?? 2k ? ? ??? （ k ? Z ） 由 2k ? ? ? ? x ?

? ? 2k ? ? ?? ， x ? k ?? k ? Z ? ，且 x ? (0, ?? ， 4 3? , ?? ． 4
2

所以 f ( x ) 在 (0, ?? 上的单调递增区间为 [

……13 分

? 3 1 6、解：（Ⅰ）∵ f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 2 cos2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x
6 2

………………2 分 ………………3 分

?

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x = sin(2 x ? ) 2 2 6

由?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? (k ? Z)得， ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? (k ? Z) 5 分
………………7 分

∴ f ( x) 的单调递增区间是 [? （Ⅱ）∵ f ( A) ? sin(2 A ? 于是 2 A ? ∴ A?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ](k ? Z)

?
6

)?

1 ? ? ? ， 0 ? A ? ? ， ? 2 A ? ? 2? ? 2 6 6 6

?
6

?

5? 6
………………10 分

?
3

∵ ?ABC 外接圆的半径为 3 由正弦定理

a ? 2 R ，得 sin A

a ? 2 R sin A ? 2 3 ?
7、解：（Ⅰ） f ( x) ? cos
2

3 ? 3， 2

………………13 分

?x
2

? 3 sin

?x
2

cos

?x 1
2 ? 2

?

1 ? cos ?x 3 1 ? sin ?x ? 2 2 2 3 1 ? sin ?x ? cos ?x ? sin(?x ? ) ． 2 2 6
2?

?

因为 T ?

?

? ? ， ? ? 0 ，所以 ? ? 2 ．

因为 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

)， x? R ，

10

所以 ? 1 ? sin( 2 x ?

?
6

) ? 1．
……………………8 分

所以函数 f ( x ) 的最大值为 1，最小值为-1． （Ⅱ）令 2k? ?

(k ? Z ) ， 2 6 2 2? ? 得 2k? ? ? 2 x ? 2k? ? (k ? Z ) ， 3 3
所以 k? ?

?

? 2x ?

?

? 2k? ?

?

?

3

? x ? k? ?

?

6

(k ? Z ) ．

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 [k? ? 8、解：（Ⅰ）因为 a ?

?
3

， k? ?

?
6

] (k ? Z ) ．……………………13 分

3 6 cos A ， 2
………………3 分

所以 a ?

3 6 b2 ? c 2 ? a 2 ? . 2 2bc

因为 c ? 5 ， b ? 2 6 ， 所以 3a ? 40a ? 49 ? 3 ? 0 .
2

解得： a ? 3 ，或 a ? ?

49 （舍）. 3

………………6 分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得： cos A ?
2

2 6 . ?3 ? 3 3 6
1 . 3
………………9 分

所以 cos 2 A ? 2 cos A ? 1 ?

因为 a ? 3 ， c ? 5 ， b ? 2 6 ， 所以 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? . 2ac 3

………………11 分 ………………12 分

所以 cos 2 A ? cos B . 因为 c ? b ? a ， 所以 A ? (0, ) . 因为 B ? (0, ?) ， 所以 ? B ? 2? A .

? 3

………………13 分

另解：因为 A ? (0, ?) ，
11

所以 sin A ? 1 ? cos A ?
2

3 . 3

由正弦定理得：

2 6 3 ? . sin B 3 3

所以 sin B ?

2 2 . 3 3 6 2 2 ? ? ? sin B . 3 3 3
? 2
………………12 分

所以 sin 2 A ? 2 ? 因为 c ? b ? a ，

? 3 所以 ? B ? 2? A .

所以 A ? (0, ) ， B ? (0, ) . ………………13 分

9、 （Ⅰ）由题意，得 y1 ? sin ? , y2 ? sin(? ?

?
2

) ? cos ? ，

………………3 分

所以 f (? ) ? sin ? ? cos ? ?

2 sin(? ? ) ， 4

?

………………5 分

因为 ? ? (0,

?
2

) ，所以 ? ?

?

? 3? ? ( , ) ，故 f (? ) ? (1, 2] . 4 4 4

………7 分

（Ⅱ）因为 f (C ) ?

2 sin( ? C ) ? 2 ， 4

?

C ? (0, ) ，所以 C ? ， 4 2
在 ?ABC 中，由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos C ，
2 2 2

?

?

………………9 分

即1 ? 2 ? b ? 2 2 ?
2

2 b ，解得 b ? 1 . 2

……………13 分

10、

12

11、（Ⅰ）解：因为 f ( x) ? 2 3 sin

x x x cos ? cos 4 4 2 x x ? 3 sin ? cos 2 2 x π = 2 sin( ? ) ， 2 6

……………… 2 分 ……………… 4 分

所以 T ?

2π ? 4π . 1 2
……………… 6 分

故函数 f ( x) 的最小正周期为 4 π .

π x π π ≤ ? ≤ 2kπ ? ， 2 2 6 2 4π 2π 解得 4kπ ? ， ≤ x ≤ 4kπ+ 3 3 4π 2π 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 [4kπ ? , 4kπ+ ], (k ? Z) . 3 3
由题意，得 2kπ ? （Ⅱ）解：如图过点 B 作线段 BC 垂直于 x 轴于点 C . 由题意，得 AC ?

……………… 9 分

y
B O C A

3T ? 3π ， BC ? 2 ， 4

x
13

所以 tan ?BAO ?

BC 2 . ? AC 3π
………… 13 分

12、解： f ( x) ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? 2( （Ⅰ） f ( x) 的最小正周期为 T ? 令?

3 1 π sin 2 x ? cos 2 x) ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 . 2 2 6

?
2

? ?2k? ? 2 x ?

?
6

2π ? π. 2

?

?

2

? 2k? , k ? Z ，解得 ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? ，

, k? ? ], k ? Z . 3 6 ? ? ? 2? 1 ? （Ⅱ）因为 0 ? x ? ，所以 ? 2 x ? ? ，所以 ? sin(2 x ? ) ? 1 ， 4 6 6 3 2 6
于是 1 ? 2sin(2 x ?

所以函数 f ( x) 的单调增区间为 [k? ?

?

?

?

6

) ? 2 ，所以 0 ? f ( x) ? 1 .

当且仅当 x ? 0 时 f ( x) 取最小值 f ( x)min ? f (0) ? 0 当且仅当 2 x ?

?
6

?

?
2

，即 x ?

?
6

时最大值 f ( x) max ? f ( ) ? 1 .

?

? 13、解：（Ⅰ）由函数 f ( x ) 的图象经过点 ( ,1) ， 3 ? ? 则 3 sin ? a cos ? 1 . 3 3 解得 a ? 1 .
因此 f ( x) ? 3sin x ? cos x . （Ⅱ） f ( x) ? 3sin x ? cos x

6

……………………….5 分

? 2(

3 1 sin x ? cos x) 2 2

? ? 2sin( x ? ) . 6
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ? 2 ? .

? ? ?? ? x ? ? 2k ? ? ，k ?Z . 2 6 2 ?? ?? ? x ? 2k ? ? 可得 2k ?+ ， k ?Z . 3 3 ?? ?? , 2k ? ? 因此函数 f ( x ) 的单调递减区间为[ 2k ?+ ]， k ? Z .……………13 分 3 3
由 2 k ?+ 14、解：（I）由 cos B sin C ? ?a ? sin B?cos? A ? B? ? 0 ，

14

可得 cos B sin C ? ?a ? sin B?cosC ? 0 ， 即 sin A ? a cos C ，又 c ? 1 ，所以 c sin A ? a cos C ， 由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C ，（4 分） 因为 0 ? A ? ? ，所以 sin A ? 0，从而 sin C ? cos C ，即 C ?
2 2 2

?
4

。（6 分）

（II）由余弦定理 a ? b ? 2ab cosC ? c ，得 a ? b ? 2ab ? 1 ，
2 2

又 ab ?

? 2? 2 a2 ? b2 ??a ? b 2 ? ? 1，于是 a 2 ? b 2 ? 2 ? 2 ，（11 分） ，所以 ?1 ? ? ? 2 2 ? ?
3 ? 时， a 2 ? b 2 取到最大值 2 ? 2 。（13 分） 8
2? 15 3 ，c ? 5，B ? ， 3 4

当A? B?

15、解：（Ⅰ）因为 ?ABC 的面积是

所以

1 15 3 1 3 15 3 ac sin B ? . 即 a ?5? ? . 2 4 2 2 4
…………………… 4 分
2 2 2

所以 a ? 3. 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ， 得 b ? 25 ? 9 ? 2 ? 5 ? 3 ? cos
2

2? ? 49. 3
…………………… 7 分

所以 b ? 7. （Ⅱ）由正弦定理

a b ? . sin A sin B
…………………… 10 分
2

所以 sin A ?

3 3 3 3 ? ? . 7 2 14
2

?3 3? 71 所以 cos 2 A ? 1 ? 2sin A ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 14 ? 98 . ? ?

…………………… 13 分

15