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(高考数学复习讲练10)平面向量的概念及运算(教师)


佛山学大教育技术有限公司
Foshan Xueda Education Technology Ltd

个性化教学辅导教案
学科:数学 姓名 任课教师:叶雷 年级 授课时间:2011 年 高三 性别 男 月 日(星期 ) : ~ : 阳丰泽 教学课题 平面向量的概念及运算

教学 目标

(1)平面向量的实际背景及基本概念; (2)向量的线性运算: ①掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义;②掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以 及两个向量共线的含义;③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 (3)平面向量的基本定理及坐标表示: ①了解平面向量的基本定理及其意义;②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示; ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算;④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

重点 难点 课前检查

作业完成情况:优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________





平面向量的概念及运算

知识点一:向量的概念 1.向量
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既有大小又有方向的量。 向量一般用 a , b , c ……来表示, 或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,
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如: A B 几何表示法 A B ,a ;坐标表示法 a ? x i ? y j ? ( x , y ) 。向量的大小即向量的模(长度),记作| A B |
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即向量的大小,记作| a |。 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。 2.零向量
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长度为 0 的向量,记为 0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行 零向量 a = 0 ? | a |=0。由
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于 0 的方向是任意的,且规定 0 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非 零向量”这个条件。(注意与 0 的区别) 3.单位向量 模为 1 个单位长度的向量,向量 a 0 为单位向量 ? | a 0 |=1。
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4.平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上,方向相同或相反的向量,称为 平行向量,记作 a ∥ b 。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故 平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线 向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。 5.相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合,记为 a ? b 。大小相等,方向相
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同? ( x 1 , y 1 ) ? ( x 2 , y 2 ) ? ?

? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2



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知识点二:向量的运算 1.向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法。 设 A B ? a , B C ? b ,则 a + b = A B ? B C = A C 。规定:(1) 0 ? a ? a ? 0 ? a ; 向量加法满足交换律与结合律:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” (1) 用平行四边形法则时, 两个已知向量是要共始点的, 和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线, 而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这 些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则。 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加: A B ? B C ? C D ? ? ? P Q ? Q R ? A R , 但这时必须“首 尾相连”。 2.向量的减法 ? ? (1)相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量。 记作 ? a ,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有:(i) ? ( ? a ) = a ; (ii) a +( ? a )=( ? a )+ a = 0 ;(iii)若 a 、 b 是互为相反向量,则 a = ? b , b = ? a , a + b = 0 。 (2)向量减法:向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差, 记作: a ? b ? a ? ( ? b ) 求两个向量差的运算,叫做向量的减法。
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(3)作图法: a ? b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量( a 、 b 有共同起点)。 3.实数与向量的积 ? ? (1)实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λ a ,它的长度与方向规定如下: (Ⅰ) ? a ? ? ? a ;
? (Ⅱ) ? ? 0 时, a 的方向与 a 的方向相同; ? ? 0 时, a 的方向与 a 的方向相反; ? ? 0 时, a ? 0 , 当 λ 当 λ 当
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方向是任意的。 (2)数乘向量满足交换律、结合律与分配律。 (3)两个向量共线定理:向量 b 与非零向量 a 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b = ? a 。 (4)平面向量的基本定理:如果 e 1 , e 2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a ,有
a 且只有一对实数 ? 1 , ? 2 使: ? ? 1 e 1 ? ? 2 e 2 其中不共线的向量 e 1 , e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 ? ? ?
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4.平面向量的坐标表示 1.平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 作为基底 由平面
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向量的基本定理知,该平面内的任一向量 a 可表示成 a ? x i ? yj ,由于 a 与数对(x,y)是一一对应的,因此把 (x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a =(x,y),其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做在 y 轴上的坐标。
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规定:(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量; (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关系。 2.平面向量的坐标运算: ①若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ? ; ②若 A ? x 1 , y 1 ?, B ? x 2 , y 2 ? ,则 A B ? ? x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ? ; ③若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y); ④若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? ,则 a / / b ? x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0 ; a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 . 题型 1:平面向量的概念 【例 1】(1)给出下列命题: ①若| a |=| b |,则 a = b ; ②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 A B ? D C 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件; ③若 a = b , b = c ,则 a = c ; ④ a = b 的充要条件是| a |=| b |且 a // b ; ⑤ 若 a // b , b // c ,则 a // c ;其中正确的序号是
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a a (2)设 a 0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量,则 a =| a |· 0 ;②若 a 与 a0 平行,则 a =| a |· 0 ;

(3)若 a 与 a 0 平行且| a |=1,则 a = a 0 。上述命题中,假命题个数是(

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A.0 B.1 C.2 D.3 点评:(1)本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多,因而容易遗忘。为此,复习时一方面要构建 良好的知识结构,另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。 (2)向量的概念较多,且容易混淆,故在学习中要分清,理解各概念的实质,注意区分共线向量、平行向量、 同向向量等概念。 题型 2:平面向量的运算法则 【例 2】 (1) 如图所示, 已知正六边形 ABCDEF, 是它的中心, B A = a ,B C = b , O 若 试用 a ,b 将向量 O E ,
??? ? ???? ???? B F , B D , F D 表示出来。
A F

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(2)如图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是(
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B

a O b C D E

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A. AB = DC
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B. AD + AB = AC
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C. AB - AD = BD

D. AD + CB = 0

(3)如图 1 所示,D 是△ ABC 的边 AB 上的中点,则向量 CD ? ( A. ? BC ?
1 2 BA



B. ? BC ?

1 2

BA

3

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C. BC ?

1 2

BA

D. BC ?

1 2

BA

点评:其实在以 A,B,C,D,E,F 及 O 七点中,任两点为起点和终点,均可用 a , b 表示,且可用规定 其中任两个向量为 a , b ,另外任取两点为起点和终点,也可用 a , b 表示。 【例 3】设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点,试化简: ① A B ? B C ? C D ,② D B ? A C ? B D ,③ ? O A ? O C ? O B ? C O 。
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【例 4】设 x 为未知向量, a 、 b 为已知向量,解方程 2 x ?(5 a +3 x ?4 b )+

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1 2

? ? a ?3 b =0

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点评:平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则,求解时兼顾到向量的性质。 题型 3:平面向量的坐标及运算 【例 5】已知 ? ABC 中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,1),BC 边上的高为 AD,求 A D 。
????

【例 6】已知点 A ( 4 , 0 ), B ( 4 , 4 ), C ( 2 , 6 ) ,试用向量方法求直线 AC 和 OB ( O 为坐标原点)交点 P 的坐标。

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题型 4:平面向量的性质 【例 7】平面内给定三个向量 a ? ? 3, 2 ? , b ? ? ? 1, 2 ? , c ? ? 4,1 ? ,回答下列问题: (1)求满足 a ? m b ? n c 的实数 m,n; (2)若 ? a ? kc ? // 2 b ? a ,求实数 k; (3)若 d 满足 d ? c // a ? b ,且 d ? c ?
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? 5 ,求 d 。

【例 8】已知 a ? (1, 0 ), b ? ( 2 ,1). (1)求 | a ? 3 b | ;(2)当 k 为何实数时, k a ? b 与 a ? 3 b 平行, 平行时它们是同向还是反向?
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点评:上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现,重点掌握平面向量的共线的判定以及 平面向量模的计算方法。 题型 5:共线向量定理及平面向量基本定理 【例 9】 平面直角坐标系中, 为坐标原点, O 已知两点 A (3, ,(-1, , 1) B 3) 若点 C 满足 OC ? ? OA ? ? OB , 其中 α、β∈R,且 α+β=1,则点 C 的轨迹方程为( ) A.3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-2)2=5 C.2x-y=0 D.x+2y-5=0 点评:熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算;两个向量平行的坐标表示; 运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将数与形有机的结合。 【 例 10 】 ( 1 ) 已 知 ︱ OA ︱ =1 , ︱ OB ︱ =
OC =m OA +n OB (m、n∈R),则 3 , OA ? OB =0, 点 C 在 ∠AOB 内 , 且 ∠AOC=30° 设 ,

m n

等于(


3 3
M O 图 A

A.

1 3

B.3

C.

D. 3

B

(2)如图,OM∥AB,点 P 由射线 OM、线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区 域内(不含边界).且 OP
? x OA ? y OB

,则实数对(x,y)可以是(



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A. (

1 4

,

3 4

)

B.

(?

2 3

,

2 3

)

C.

(?

1 4

,

3 4

)

D.

(?

1 5

,

7 5

)

题型 6:平面向量综合问题 【例 11】已知向量 u ? ( x , y ) 与 v ? ( y , 2 y ? x ) 的对应关系用 v ? f ( u ) 表示。 (1)证明:对于任意向量 a , b 及常数 m,n 恒有 f ( m a ? nb ) ? m f ( a ) ? nf ( b ) 成立; (2)设 a ? (1,1), b ? (1, 0 ) ,求向量 f ( a ) 及 f ( b ) 的坐标; (3)求使 f ( c ) ? ( p , q ) ,(p,q 为常数)的向量 c 的坐标
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【例 12】求证:起点相同的三个非零向量 a , b ,3 a -2 b 的终点在同一条直线上。

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点评:(1)利用向量平行证明三点共线,需分两步完成:① 证明向量平行;② 说明两个向量有公共点; (2)用向量平行证明两线段平行也需分两步完成:①证明向量平行;②说明两向量无公共点。

课后反思:
听课及知识掌握情况反馈_________________________________________________________. 课堂检测 课后巩固 签字 老师 测试题(累计不超过 20 分钟)_______道;成绩_______; 教学需:加快□;保持□;放慢□;增加内容□ 作业_____题; 巩固复习____________________ ; 预习布置_____________________ 教学组长签字: 老师最欣赏的地方: 学习管理师:

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课后 赏识 评价

老师想知道的事情: 老师的建议:

(教案)《平面向量的概念及运算》参考答案
【例 1】解析:(1)①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同;
②正确;∵ A B ? D C ,∴ | A B |? | D C | 且 A B // D C , 又 A,B,C,D 是不共线的四点,∴ 四边形 ABCD 为平行四边形;反之,若四边形 ABCD 为 平行四边形,则, A B // D C 且 | A B |? | D C | ,因此, A B ? D C 。 ③正确;∵ a = b ,∴ a , b 的长度相等且方向相同;又 b = c ,∴ b , c 的长度相等且方向 相同,∴ a , c 的长度相等且方向相同,故 a = c 。 ④不正确; a // b 且方向相反时, 当 即使| a |=| b |, 也不能得到 a = b , a |=| b |且 a // b 不是 a = b 故| 的充要条件,而是必要不充分条件; ⑤不正确;考虑 b = 0 这种特殊情况;综上所述,正确命题的序号是②③。 (2)向量是既有大小又有方向的量, a 与| a | a 0 模相同,但方向不一定相同,故(1)是假命 题;若 a 与 a 0 平行,则 a 与 a 0 方向有两种情况:一是同向二是反向,反向时 a =-| a | a 0 ,故(2)、 (3)也是假命题。综上所述,答案选 D。
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【例 2】(1)解析:根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则,用向量 a , b 来
表示其他向量,只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。 因为六边形 ABCDEF 是正六边形, 所以它的中心 O 及顶点 A, C 四点构成平行四边形 ABCO, B, 所以 B A ? B C ? B A ? A O ? B O , B O = a + b , O E = B O = a + b , 由 于 A , B , O , F 四 点 也 构 成 平 行 四 边 形 ABOF , 所 以 B F = B O +
???? ???? ??? ? ? ? ???? ???? ???? ???? ? ???? ? ? O F = B O + B A = a + b + a =2 a + b ,同样在平行四边形 BCDO 中, B D = B C ? C D = B C ? B O =
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(2)C. (3) CD ? CB ? BD ? ? BC ?
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1 2

BA ,故选 A。
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【例 3】解析:①原式= ( A B ? B C ) ? C D ? A C ? C D ? A D ;
②原式= ( D B ? B D ) ? A C ? 0 ? A C ? A C ; ③原式= ( O B ? O A ) ? ( ? O C ? C O ) ? A B ? ( O C ? C O ) ? A B ? 0 ? A B 。
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【例 4】 解析: 原方程可化为: x ? 3 x ) + (?5 a + (2 【例
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? ? ? ? 9 ? 1 ? a ) + (4 b ?3 b ) = 0, x = ? a+ b 。 ∴ 2 2 ???? ???? ??? ? 5】解析:设 D(x,y),则 A D ? ? x ? 2, y ? 1 ? , B D ? ? x ? 3, y ? 2 ? , B C ? ? ? b , ? 3 ? ,
? ? ?

∵ A D ? B C , B D ? B C ,? ?

??? ???? ?

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? ? 6 ? x ? 2 ? ? 3? y ? 1? ? 0

【例

? ? 3? x ? 3 ? ? 6 ? y ? 2 ? ? 0 ?y ? 1 ??? ? ??? ? 6】解析:设 P ( x , y ) ,则 O P ? ( x , y ), A P ? ( x ? 4, y )

,得 ?

?x ? 1

,所以 A D ? ? ? 1, 2 ? 。

????

因为 P 是 A C 与 O B 的交点,所以 P 在直线 A C 上,也在直线 O B 上。
??? ? ??? ??? ? ? ????
????
?6( x ? 4) ? 2 y ? 0 ?4 x ? 4 y ? 0

即得 O P // O B , A P // A C ,由点 A ( 4 , 0 ), B ( 4 , 4 ), C ( 2 , 6 ) 得, A C ? ( ? 2, 6), O B ? (4, 4) 。 得方程组 ? ,解之得 ?
?x ? 3 ?y ? 3

??? ?

。故直线 A C 与 O B 的交点 P 的坐标为 (3, 3) 。

5 ? ?m ? 9 ?? m ? 4n ? 3 【例 7】解析:(1)由题意得 ?3 , 2 ? ? m ? ? 1, 2 ? ? n ? 4 ,1 ? ,所以 ? ,得 ? 。 8 ? 2m ? n ? 2 ?n ? 9 ? ? ? ? ? 16 (2) a ? kc ? ? 3 ? 4 k , 2 ? k ? , 2 b ? a ? ? ? 5, 2 ? ,? 2 ? ?3 ? 4 k ? ? ? ? 5 ?? 2 ? k ? ? 0 ,? k ? ? ; 13 ? ? ? ? (3) d ? c ? ? x ? 4, y ? 1 ? , a ? b ? ? 2, 4 ?
? 4 ? x ? 4 ? ? 2 ? y ? 1? ? 0 ? ? x ? 4 ? ? ? y ? 1? ? 5
2 2

?y ? 3 ? ? ? ? ? ? 2 2 【例 8】 解析: 因为 a ? (1, 0 ), b ? ( 2 ,1). 所以 a ? 3 b ? (7 , 3) , | a ? 3 b |? 7 ? 3 ? 5 8 (1) 则 ? ? ? ? (2) k a ? b ? ( k ? 2, ? 1) , a ? 3 b ? (7 , 3) , ? ? 1 ? ? 因为 k a ? b 与 a ? 3 b 平行,所以 3( k ? 2 ) ? 7 ? 0 即得 k ? ? 。 3 ? ? ? ? ? 7 ? ? ? 此时 k a ? b ? ( k ? 2, ? 1) ? ( ? , ? 1) ,a ? 3 b ? (7 , 3) ,则 a ? 3 b ? ? 3( k a ? b ) ,即此时向量 3 ? ? ? ? a ? 3 b 与 k a ? b 方向相反。 ???? ??? ? ??? ? 【例 9】解法一:设 C ? x , y ? ,则 O C ? ? x , y ? , O A ? ? 3,1 ? , O B ? ? ? 1, 3 ? 。

由题意得 ?

,得 ?

? x ? 3 ? y ? ?1

或?

?x ? 5



由 O C ? ? O A ? ? O B 得 ? x , y ? ? ?3? , ? ? ? ? ? ? ,3 ? ? ? ?3? ? ? , ? ? 3 ? ? ,
? x ? 3? ? ? ? x ? 4? ? 1 ? 于是 ? y ? ? ? 3 ? ,先消去 ? ,由 ? ? 1 ? ? 得 ? 。再消去 ? 得 x ? 2 y ? 5 ? 0 ,所 ? y ? 3 ? 2? ? ? ? ? ?1 ?

????

??? ?

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以选取 D。 解法二:由平面向量共线定理,当 O C ? ? O A ? ? O B , ? ? ? ? 1 时,A、B、C 共线。 因此,点 C 的轨迹为直线 AB,由两点式直线方程得 x ? 2 y ? 5 ? 0 即选 D。
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【例 10】解析:(1)B;(2)C。

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【例 11】解析:(1)设 a ? ( a 1 , a 2 ), b ? ( b1 , b 2 ) ,则 m a ? nb ? ( m a1 ? nb1 , m a 2 ? nb 2 ) ,
故 f ( m a ? n b ) ? ( m a 2 ? n b 2 , 2 m a 2 ? 2 n b 2 ? m a1 ? n b1 ) ? m ( a 2 , 2 a 2 ? a 1 ) ? n ( b 2 , 2 b 2 ? b1 ) , ∴ f ( m a ? nb ) ? m f ( a ) ? nf ( b ) 。 (2)由已知得 f ( a ) =(1,1), f ( b ) =(0,-1) (3)设 c =(x,y),则 f ( c ) ? ( y , 2 y ? x ) ? ( p , q ) ,∴y=p,x=2p-q,即 c =(2P-q,p)。
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【例 12】证明:设起点为 O, O A = a , O B = b , O C =3 a -2 b ,
则 A C ? O C ? O A =2( a - b ), A B ? O B ? O A = b - a , A C ? ? 2 A B , ∵ A C , A B 共线且有公共点 A,因此,A,B,C 三点共线,即向量 a , b ,3 a -2 b 的终点在 同一直线上.
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2014高考数学新编:第25讲 平面向量的概念及运算

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高考数学一轮复习10 讲:平面向量的基本性质与运算一、复习目标(1)理解平面向量的几何及坐标表示的实际意义,会进行向量的代数几何运算。 (2)掌握向量共线与垂直...

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