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2016-2017学年高中数学第3章导数应用2.1实际问题中导数的意义课后演练提升北师大版选修2-2讲义


2016-2017 学年高中数学 第 3 章 导数应用 2.1 实际问题中导数的 意义课后演练提升 北师大版选修 2-2
一、选择题 1.一根金属棒的质量 y(单位:kg)是长度 x(单位:m)的函数,y=f(x)=3 x,则从 4 m 到 9 m 这一段金属棒的平均线密度是( A. C. 2 kg/m 5 3 kg/m 4 9-4 ) B. D. 3 kg/m 5 1 kg/m 2

解析: 平均线密度= 答案: B

f?9?-f?4? 3

= kg/m. 5

2. 某汽车启动阶段的路程函数为 S(t)=2t -5t , 则 t=2 秒时, 汽车的加速度是( A.14 C.10 解析: V(t)=S′(t)=6t -10t, ∴a(t)=V′(t)=12t-10. 当 t=2 秒时,a(2)=14, 即 t=2 时,汽车的加速度为 14. 答案: A
2

3

2

)

B.4 D.6

3.从时间 t=0 开始的 t s 内,通过某导体的电量(单位:C)可由公式 q=2t +3t 表示, 则第 5 s 时的电流强度为( A.27 C/s C.25 C/s ) B.20 C/s D.23 C/s

2

解析: 某种导体的电量 q 在 5 s 时的瞬时变化率就是第 5 s 时的电流强度. ∵q′=4t+3, ∴当 t=5 时,电流强度为 4×5+3=23(C/s). 答案: D 4.一个球的半径以 0.1 cm/s 的速率增加,那么当半径 r=10 cm 时,此球的表面积增 加的速率为(
2

) B.4π cm /s D.16π cm /s
2 2

A.2π cm /s C.8π cm /s 解析: ∵r=0.1t, ∴Δ r=0.1 Δ t,
2

1

又 Δ s=4π (10+0.1 Δ t) -4π ·10 =8π Δ t+0.04π (Δ t) Δs ∴球的表面积增加的平均变化率为 v = =8π +0.04π Δ t Δt 当 Δ t→0 时, v →8π ∴此球的表面积增加的速率为 8π cm /s. 答案: C 二、填空题
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2

2

2

5. 已知成本 c 与产量 q 的函数关系式为 c(q)=4q +q-6, 则当产量 q=10 时的边际成 本为_________. 解析: c′(q)=8q+1,c′(10)=8×10+1=81, 故 q=10 时的边际成本为 81. 答案: 81 6.某商品价格 P(单位:元)与时间 t(单位:年)有函数关系式 P(t)=(1+10%) ,那么 在第 8 个年头此商品价格的变化速度是_______. 解析: ∵P′(t)=1.1 ln 1.1, ∴P′(8)=1.1 ln 1.1(元/年). 答案: 1.1 ln 1.1 元/年 三、解答题 7.修建面积为 x m 的草坪需要成本 y 元,且 y 是 x 的函数:
2 8 8

2

t

t

y=f(x)=10x2+x.
(1)求当 x 从 50 变到 60 时,成本 y 关于修建面积 x 的平均变化率,并解释它的实际意 义; (2)求 f′(50),并解释它的实际意义. 解析: (1)当 x 从 50 变到 60 时,成本关于草坪面积 x 的平均变化率为

f?60?-f?50? ?36 000+60?-?25 000+50?
60-50 = 10
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=1 101(元/m )
2

2

它表示在草坪面积从 50 m 增加到 60 m 的过程中,草坪面积每增加 1 m ,成本平均增 加 1 101 元. (2)f′(x)=20x+1, ∴f′(50)=1 001(元/m ).
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f′(50)表示当草坪面积为 50 m2 时,每增加 1 m2,成本要增加 1 001 元.
8. 设生产某种产品的总成本函数 c(万元)与产量 q(万件)之间的函数关系为 c=c(q)= 100+4q-0.2q +0.01q .求生产水平为 q=10 万件时的平均成本和边际成本, 并从降低成本 角度看继续提高产量是否合算?
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2

解析: 当 q=10 时,总成本 c(10)=100+4×10-0.2×10 +0.01×10 =100+40- 20+10=130(万元). 平均成本 130÷10=13(元/件), 边际成本 c′(q)=4-0.4q+0.03q , ∴c′(10)=4-0.4×10+0.03×10 =4-4+3=3(元/件). 因此在生产水平为 10 万元时每增产一个产品,总成本增加 3 元,比当前的平均成本 13 元低,从降低成本角度看,应继续提高产量.
2 2

2

3

9.当室内的有毒细菌开始增加时,就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候,细菌数量还 会继续增加, 随着时间的增加, 它的增加幅度逐渐变小, 到一定时间, 细菌数量开始减少. 如 果使用杀菌剂 t 小时后的细菌数量为 b(t)=10 +10 t-10 t . (1)求从第 5 小时到第 10 小时细菌的平均变化率; (2)求细菌在 t=5 与 t=10 时的瞬时变化率; (3)细菌在哪段时间增加,在哪段时间减少?为什么? 解析: (1)从第 5 小时到第 10 小时细菌的平均变化率为
5 4 3 2

b?10?-b?5? 105+104×10-103×102-?105+104×5-103×52?
10-5
4 3



5
2 2 4 3



10 ×5-10 ×?10 -5 ? 10 ×5-10 ×75 = 5 5
3

=-5×10 . (2)∵b′(t)=-2×10 t+10
3 4

∴细菌在 t=5 和 t=10 时的瞬时变化率分别为

b′(5)=0,b′(10)=-104.
(3)令 b′(t)>0 得 0<t<5, 当 b(t)=0 时由 b(t)=10 +10 t-10 t =0 得
5 4 3 2

t1=5+5 5≈16, t2=5-5 5<0(舍去),
∵细菌数量不可能小于 0, ∴0<t<16 由 b′(t)<0 得 5<t<16. 所以当 0<t<5 时细菌增加, 当 5<t<16 时细菌减少.

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