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4.3.1空间直角坐标系1


4.3 空间直角坐标系

问题提出

对于直线上的点,我们可以通 过数轴来确定点的位置;对于平面 上的点,我们可以通过平面直角坐 标系来确定点的位置;对于空间中 的点,我们也希望建立适当的坐标 系来确定点的位置. 因此,如何在 空间中建立坐标系,就成为我们需 要研究的课题.

知识探究(一):空间直角坐标系

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思考1:数轴上的点M的坐标用一个实 数x表示,它是一维坐标;平面上的 点M的坐标用一对有序实数(x,y) 表示,它是二维坐标.设想:对于空 间中的点的坐标,需要几个实数表 示? (x,y) y
O x x O x

思考2:平面直角坐标系由两条互相 垂直的数轴组成,设想:空间直角 坐标系由几条数轴组成?其相对位 置关系如何? 三条交于一点且两 两互相垂直的数轴

思考3:在空间中,取三条交于一点 且两两互相垂直的数轴:x轴、y轴、 z轴,组成空间直角坐标系Oxyz,在 平面上如何画空间直角坐标系?


z

∠xOy=135° ∠yOz=90°
x

O

y

思考4:在空间直角坐标系中,对三条数 轴的方向作如下约定:伸出右手,拇指 指向为x轴正方向,食指指向为y轴正方 向,中指指向为z轴正方向,并称这样 的坐标系为右手直角坐标系.那么下列 空间直角坐标系中哪些是右手直角坐标 z 系?
O

y

x

z y O x x

z y O

(1)
z x y O y

(2)
O
z

x

(3)

(4)

思考5:在空间直角坐标系Oxyz中, 其中点O叫做坐标原点,x轴、y轴、 z轴叫做坐标轴,通过每两个坐标轴 的平面叫做坐标平面,并分别称为 xOy平面、yOz平面、xOz平面.这三 个坐标平面的位置关系如何?
z

O

y

x

思考6:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,以点D为坐标原点建立空间右手 直角坐标系,那么x轴、y轴、z轴 应如何选取? z
D1 A1 D A B B1

C1
C

y

x

思考7:在空间直角坐标系Oxyz中, 三个坐标平面将空间分成几个部分?
z

y x

空间直角坐标系的划分 Ⅲ

z

zx 面
Ⅱ Ⅰ Ⅵ


yz 面

?
O

xy 面


y

x


空间直角坐标系共有八个象限

知识探究(二)空间直角坐标系中点的坐标

思考1:在平面直角坐标系中,点M的 横坐标、纵坐标的含义如何?
y (x,y) |x| |y| O x

思考2:在空间直角坐标系中,设点M为空 间的一个定点,过点M分别作垂直于x轴、 y轴、z轴的平面,垂足为A、B、C. 设点 A、B、C在x轴、y轴、z轴上的坐标分别 为x、y、z,那么点M的位置与有序实数 组(x,y,z)是一个什么对应关系?
z z M x x A O y x O M z C z

y

B

y x

O

M y

? 空间的点 ?? ? 有序数组 ( x , y , z )

1? ?1

z
R

M ( x, y, z )

o

Q

y

x

P

思考3:上述有序实数组(x,y,z) 称为点M的空间坐标,其中x、y、z 分别叫做点M的横坐标、纵坐标、 竖坐标,这三个坐标的值一定是正 数吗? z
C

M
O A

z y

x

B

y

x

思考4:x轴、y轴、z轴上的点的坐标 有何特点?xOy平面、yOz平面、xOz 平面上的点的坐标有何特点?
z

x轴上的点:(x,0,0)
O

y

x

xOy平面上的点:(x,y,0)

思考4:x轴、y轴、z轴上的点的坐标有何特点? xOy平面、yOz平面、xOz平面上的点的坐标有 何特点? 坐标轴上的点 z
x轴上的点:(x,0,0) y轴上的点:(0,y,0) z轴上的点:(0,0,z)
D' C' A' O C y x A B B'

坐标平面内的点
xOy平面上的点:(x,y,0) yOz平面上的点:(0,y,z) xOz平面上的点:(x,0,z)

思考5:设点M的坐标为(a,b,c) 过点M分别作xOy平面、yOz平面、 xOz平面的垂线,那么三个垂足的坐 标分别如何?
z

B(0,b,c)
B M y A

C(a,0,c)
C O

x

A(a,b,0)

思考6:设点M的坐标为(x,y,z) 那么点M关于x轴、y轴、z轴及原点 对称的点的坐标分别是什么?
M(x,y,z)
z

O

y

x

N(x,-y,-z)

思考6:设点M的坐标为(x,y,z)那么 点M关于x轴、y轴、z轴及原点对称的点 关于谁对称 的坐标分别是什么?
谁不变

? ? ? ?

一般的P(x , y , z) 关于: ( x, ? y, ? z ) (1)x轴对称的点P1为__________; (? x, y, ? z ) (2)y轴对称的点P2为__________; (? x, ? y, z ) (3)z轴对称的点P3为__________; (4)与点M关于原点对称的点 (-x,-y,-z)

练习:在空间直角坐标系中描出下列各点, 并说明这些点的位置。
A(0,1,1) B(0,0,2) C(0,2,0) D(1,0,3) E(2,2,0) F(1,0,0) z 解:

D ? 2? B
1 F? O 1 2 x

3

?
1

A C ? 2 y

?E

思考7:设点A(x1,y1,z1),点 B(x2,y2,z2),则线段AB的中点 M的坐标如何?

x 1 + x 2 y1 + y 2 z 1 + z 2 M( , , ) 2 2 2

理论迁移 例1 如图,在长方体OABC-D′A′B′C′中, |OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,写出长方体各顶 点的坐标.
z
(0,0, 2) 2 D'
A' B ' (3, 4, 2)
4

C'

y

o
3

C (0, 4,0)
B (3, 4,0)

A (3, 0, 0) x

例2:结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞示 意图(可看成是八个棱长为1/2的小正方体堆积成的正 方体),其中红色点代表钠原子,黑点代表氯原子,如 图:建立空间直角坐标系 O ? xyz 后, 试写出全部钠原子所在位置的坐标。
z

y

x

解: 把图中的钠原子分成下,中,上三层来 写它们所在位置的坐标. 下层五个钠原子所在位置的坐标分别是

(0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0), ( 1 , 1 ,0);
中层这四个钠原子所在位置的坐标分别是 z ( 1 ,0, 1 ), (1, 1 , 1 ), ( 1 ,1, 1 ), (0, 1 , 1 ); 2 2 2 2 2 2 2 2 上层这五个钠原子所 在位置的坐标分别是 ( 0,0,1), (1,0,1), (1,1,1),
2 2

( 0,1,1), ( 1 , 1 ,1);
2 2
x

y

知识探究(三):与坐标原点的距离公式

思考1:在空间直角坐标系中,坐标 轴上的点A(x,0,0),B(0,y, 0),C(0,0,z),与坐标原点O 的距离分别是什么?
z

|OA|=|x|

B

|OB|=|y|
|OC|=|z|

O
A

y

C

x

思考2:在空间直角坐标系中,坐标 平面上的点A(x,y,0),B(0,y, z),C(x,0,z),与坐标原点O 的距离分别是什么?
z B

| OA |=

x +y

2

2

C

O

y

x
2 2

A

| OB |=

y + z , | OC |=

x +z

2

2

思考3:在空间直角坐标系中,设点 P(x,y,z)在xOy平面上的射影为 M,则点M的坐标是什么?|PM|,|OM| 的值分别是什么?
M(x,y,0)
z O P y x M

|PM|=|z|

| OM |=

x +y

2

2

思考4:基于上述分析,你能得到点 P(x,y,z)与坐标原点O的距离公 式吗?
z O x

P
y M

| OP |=

x +y +z

2

2

2

思考5:在空间直角坐标系中,方程 x2+y2+z2=r2(r>0为常数)表示什么 图形是什么?
z

P
O y

x

知识探究(四):空间两点间的距离公式

在空间中,设点P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2)在xOy平面上的射影 P 分别为M、N. z
2

O x

P1 N M y

思考1:点M、N之间的距离如何?

| MN |=

(x 1 - x 2 ) + (y1 - y 2 )

2

2

思考2:若直线P1P2垂直于xOy平面, 则点P1、P2之间的距离如何?
z O x P2 P1 y

|P1P2|=|z1-z2|

思考3:若直线P1P2平行于xOy平面, 则点P1、P2之间的距离如何?
z P1 O y N x M P2

| P1P2 |= | MN |=

(x 1 - x 2 ) + (y 1 - y 2 )

2

2

思考4:若直线P1P2 是xOy平面的一条 斜线,则点P1、P2的距离如何计算?
z
P1 O y x P2

A
N

M

思考5:在上述图形背景下,点P1(x1,y1, z1)与P2(x2,y2,z2)之间的距离是 2 2 2 它对任意两点P1、P2+ (y1 - y 2 ) + (z 1 - z 2 ) | P1P2 |= (x 1 - x 2 ) 都成立吗?

理论迁移

例1 在空间中,已知点A(1, 0,-1), B (4, 3, -1),求A、B两点之间的 距离.
AB ? 3 2

例2 已知两点 A(-4, 1, 7)和B(3, 5, -2),点P在z轴上,若|PA|=|PB|, 求点P的坐标. ,14
P(0,0, ) 9

课后练习:

z
解:
A?
D? P

C?
B?

O

C
B

y

x

A

解:

z
D?

C?
B?

A?

Q
O C
B y

x

A

例3 如图,点P、Q分别在棱长 为1的正方体的对角线AB和棱CD上运 动,求P、Q两点间的距离的最小值, 并指出此时P、Q两点的位置.
z
p( 1 1 1 1 , , ),Q(0,1 ), Q ? , P 2 2 2 2 2 2

A P O M N B

D Q C y

x


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