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安徽省“江淮十校”协作体2014届高三上学期第一次联考 数学文试题 Word版含答案


安徽省“江淮十校”第一次联考试题
数学(文科)试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1、已知全集 U ? Z ,集合 A ? ?1,3, 4,5? ,集合 B ? ?2,3, 6? ,则集合 A ? (? B) 的子集数 U 为( A、2 ) B、4 C、8 D、16 )



2、已知命题 p “任意 x ? 0 , ln x ? x ? 1”,则 ?p 为( A、存在 x ? 0 , ln x ? x ? 1 C、任意 x ? 0 , ln x ? x ? 1 3、若 sin( A、 ?

?

1 5? ? ? ) ? ,则 cos( ? ? ) 的值为( 3 3 6
B、

B、存在 x ? 0 , ln x ? x ? 1 D、任意 x ? 0 , ln x ? x ? 1 )

1 3

1 3
?

C、 ?

2 2 3

D、

2 2 3


4、条件“存在实数 ? ,使得 a ? ? b ”是 a 与 b 共线的( A、充分不必要条件 C、充要条件

?

?

?

B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 )

5、下列函数中,既是偶函数,又是在区间 ? 0, ?? ? 上单调递减的函数是( A、 y ? x sin x B、 y ? x
2

C、 y ? ln x

D、 y ? e )

?x

6、已知 a, b ? R 且 a ? b ,则下列不等式中成立的是( A、

a ?1 b

B、 a ? b
2

2

C、 ln ? a ? b ? ? 0 7 、 已 知

D、 2 函

a ?b

?1


f ( x) ? A tan(? x ? ? ) (? ? 0,| ? |?

?
2

),


y ? f ( x) 的部分图像如图,则 f ( ) ? ( 9
A. 1 C. 2 ? 3 B. ?2 ? 3 D. 2 ? 3

?

8、 已知 a, b 均为正实数, 定义 a ? b ? a(a ? b) , x ? 2 1 ? 1 若 03 2 4 0

, x 的值为 则 (



A、 1

B、 2013

C、 2014

D、 ?1 或 2014

9、已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 , g ( x) ? 2sin x ,则 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 图像在区间 [?1,1] 内 交点的个数为( A、 0 ) B、 1 C、 2 D、 3

10、在 ?ABC 中,已知 a, b, c 分别为内角 A , B , C 所对的边, S 为 ?ABC 的面积.若向量

? ? ? ? ? ? C p ? ( S , a ? b ? c), q ? (a ? b ? c,1) 满足 p / / q ,则 tan ? ( 2 1 1 A、 B、 C、 2 D、 4 4 2
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、函数 f ( x) ?



x ? 1 ? lg(2 ? x) 的定义域为____________。

12、若函数 f ( x) ? ?

?? cos ? x, x ? 0, 4 则f (? ) ? ____________。 3 ? f ( x ? 2) ? 1, x ? 0.

13、某超市中秋前 30 天月饼销售总量 f (t ) 与时间 t (0 ? t ? 30,t ? Z ) 的关系大致满足

f (t ) ? t 2 ? 10t ? 12 ,则该超市前 t 天平均售出(如前 10 天的平均售出为 ..
最少为____________。 14 、 如 图 所 示 , 在 平 面 四 边 形 O M P N , 中

f (10) )的月饼 10

?O M P? ? O N P ? 2

?



?MON ?

2? 3



PM ? 3, PN ? 4 ,则 OP ? ____________。
15、关于函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? cos x ,给出下列 命题: ① f ( x) 的最小正周期为 2? ; ② f ( x) 在区间 (0, ③直线 x ? ?

?
8

) 上为增函数;

3? 是函数 f ( x) 图像的一条对称轴; 8

④对任意 x ? R ,恒有 f ( x ?

?

4

) ? f (? x) ? 1 。

其中正确命题的序号是____________。

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

16、(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

3 x 2 ? x ? 2 的定义域为集合 A , 函数 g ( x) ? lg( ? 1) 的定义域为集合 B , x

已知 p : x ? A ? B ; q : x 满足 2 x ? m ? 0 ,且若 p 则 q 为真命题,求实数 m 的取值 范围。

17、(本小题满分 12 分)已知向量 a ? (sin ? , cos ? ) 与 b ? ( 3,1) ,其中 ? ? (0, (Ⅰ)若 a // b ,求 sin ? 和 cos? 的值; (Ⅱ)若 f (? ) ? a ? b ,求 f (? ) 的值域。

?

?

?
2

)

? ?

?

? ?

?

2

18、(本小题满分 13 分) 定义域为 R 的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? (Ⅰ)求 f ( x) 在 [?1,1] 上的解析式; (Ⅱ)若存在 x ? (0,1) ,满足 f ( x) ? m ,求实数 m 的取值范围。

2x ? 1 . 2x ? 1

19、(本小题满分 12 分)已知 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C 。 (I)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 m ? (sin A,1), n ? (?1,1) ,求 m ? n 的最小值。

??

?

?? ?

20、(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? (I)当 a ? ?2 时,求函数 f ( x) 的最值; (Ⅱ)讨论函数 f ( x) 的单调性。

1 2 x ? x ? a ln x (其中 a 为常数)。 2

21、(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? a sin x ? bx 的图像在点 ( 程为 x ? 2 y ? 3 ?

?

?
3

, f ( )) 处的切线方 3 3

?

?0。

(I)求实数 a , b 的值; (Ⅱ)当 0 ? x ?

?

2

时, f ( x) ? (m ? 1) x 恒成立,求实数 m 的取值范围。

安徽省“江淮十校”第一次联考试题
文科数学答案

1、 C 解析: A ? (? B) ? ?1, 4,5? ; U 2、 B 解析:全称命题的否定为特称命题; 3、 A 解析: cos(

5? ? ? ? 1 ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ? ? sin( ? ? ) ? ? ; 6 2 3 3 3 ? ? ? ? ? ? 4、 A 解析:当 a ? 0 , b ? 0 时, a ? ? b 不成立;
5、 D 解析:略 6、 D 解析:略 7、 B 解析:由图像可得 f ( x) ? tan(3x ?

?
4

),

3 4 ? 3 ? 1 ? ?2 ? 3 f ( ) ? tan( ? ) ? 9 3 4 1 ? tan ? tan ? 1 ? 3 ?1 3 4
8、 C 解析:由 x ? 2013 ? 2014 得 x ? 2013x ? 2014 ? 0 ,解得 x ? 2014 或 ?1 ,
2

?

?

?

tan

?

? tan

?

又 x ? 0 , ?1 舍去; 9、 A 解析:记 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2 x ? 1? 2sin x , h?( x) ? 2 ? 2cos x ? 0 , h( x ) 在区 间 [?1,1] 上单调递增, h( x) ? h(?1) ? 2sin1 ? 1 ? 0 , h( x ) 在区间 [?1,1] 上没有零点; 10、 D 解析:由 p / / q 得 S ? (a ? b) ? c ? 2ab ? a ? b ? c 即
2 2 2 2 2

? ?

?

1 1 C sin C ab sin C ? 2ab ? 2ab cos C 即 sin C ? 1 ? cos C , tan ? ? 4; 2 4 2 1 ? cos C
11、 [1, 2) 解析:由 ? 12、

?x ?1 ? 0 ?1? x ? 2 ; ?2 ? x ? 0

3 4 4 2 2? 3 解析: f (? ) ? f (? ? 2) ? 1 ? f ( ) ? 1 ? ? cos ?1 ? ; 2 3 3 3 3 2 f (t ) 12 13、17 解析:记 g (t ) ? ? t ? ? 10 ,函数 g (t ) 在区间 (0, 2 3) 上单调递减,在区间 t t
(2 3,30] 单调递增,考虑到 t ? Z 且 g (3) ? g (4) ? 17 , g (t ) 最小值为17 ;
14、

2 39 ? 解析:由四边形内角和为 2? 知 ?MPN ? ,在 ?MNP 中,由余弦定理可得 3 3
MN ? 13 ,又 O、M、P、N 四点共圆, OP ? 2 R ?

MN sin

?
3

?

2 39 3

15、②③④解析: f ( x) ? sin x cos x ? cos x ?
2

2 ? 1 sin(2 x ? ) ? ,周期为 ? ,①错误; 2 4 2

? ? ? ? 3? 时 ? ( , ) ? [? , ] ,②正确;当 x ? ? 8 8 4 4 2 2 2 ? ? ? 1 2 x ? ? ? ,③正确;由 f ( x) 图像关于点 (? , ) 中心对称知 8 2 4 2
当 x ? (0,

?

) 时 2x ?

?

f ( x ? ) ? f (? x) ? 1 ,④正确 4
16、解:由题意, A ? x x ? x ? 2 ? 0 ? x x ? ?1或x ? 2 ,?????????2 分
2

?

?

? ?

?

? 3 ? B ? ? x ? 1 ? 0 ? ? ? x 0 ? x ? 3? , ? x ?


?????????4

? A ? B ? ? x 2 ? x ? 3?
记 C ? x 2x ? m ? 0 ? ?x x ? ? 又若 p 则 q 为真命题,即 p ? q

?????????6 分

?

?

? ?

m? ? 2?
?????????8 分 ?????????10 分

?A? B ? C m 3 ? ? , m ? ?6 2
实数 m 的取值范围为 m m ? ?6

?

?

?????????12 分 ??????????2 分 ??????????3 分

17、解:(Ⅰ)? a // b ? sin ? ?1 ? 3 cos ? ? 0 求得 tan ? ? 又?? ? (0,

? ?

3

?
2

)

?? ?
cos ? ? 1 2

?
3

??????????5 分

sin ? ?

3 , 2

???????????6 分

2 2 (Ⅱ) f (? ) ? (sin ? ? 3) ? (cos ? ? 1) ? 2 3 sin ? ? 2cos ? ? 5

? 4sin(? ? ) ? 5 6
又?? ? (0,

?

???????????8 分

?
2

) ,? ?

?

? ? 2? ?? , 6 ?6 3

? ? 1 ? , ? sin(? ? ) ? 1 6 ? 2

?????10 分

7 ? f (? ) ? 9
即函数 f (? ) 的值域为 (7,9] ??????????12 分

18、解:(Ⅰ)当 x ? (?1,0) 时, ? x ? (0,1) , 由 f ( x) 为 R 上的奇函数,

得 f (? x) ? ? f ( x) ?

2? x ? 1 1 ? 2 x , ? 2? x ? 1 2 x ? 1
????????4 分



f ( x) ?

2x ? 1 ( x ? (?1, 0)) 2x ? 1

又由奇函数得 f (0) ? 0 .

? f (?1) ? ? f (1), f (?1) ? f (1) , ? f (?1) ? 0, f (1) ? 0

????????7 分

?2x ?1 ? ? f ( x) ? ? 2 x ? 1 x ? (?1,1) . ? 0 x ? ?1 ?
(Ⅱ)? x ? (0,1)

????????8 分

f ( x) ?

2x ? 1 2x ? 1 ? 2 2 , ? ? 1? x x x 2 ?1 2 ?1 2 ?1

????????10 分

? 2 x ? (1, 2) ,?1 ?

2 1 ? (0, ) . 2 ?1 3
x

若存在 x ? (0,1) ,满足 f ( x) ? m ,则 m ? 实数 m 的取值范围为 ( ??, ) 19、解:(I)由正弦定理

1 3
????????13 分

1 3

a c b ? ? ? 2R , sin A sin C sin B
????????2 分

有 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C

代入 (2a ? c) cos B ? b cos C, 得 (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C 。 ?????????4 分 即 2sin A cos B ? sin B cos C ? sin C cos B ? sin( B ? C ) 。

? A ? B ? C ? ? ,? 2sin A cos B ? sin A ? 0 ? A ? ? ,?sin A ? 0 1 ? cos B ? 2

?????????6 分

?????????7 分 ??????????8 分 ??????????10 分

? 0 ? B ? ? ,? B ? 3 ?? ? (Ⅱ) m ? n ? ? sin A ? 1 ,
由B ?

?

2? ??????????11 分 )。 3 3 ?? ? ? 所以,当 A ? 时, m ? n 取得最小值为 0, ??????????12 分 2 20、解:(I) f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,当 a ? ?2 时

?

,得 A ? (0,

f ( x) ?

1 2 2 ( x ? 1)( x ? 2) x ? x ? 2ln x , f ?( x) ? x ? 1 ? ? 2 x x
?????????2 分

由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 2 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 2

f ( x) 在区间 (0, 2) 上单调递减,在区间 (2, ??) 上单调递增, 故当 x ? 2 时, f ( x) 取最小值 f (2) ? ?2ln 2 , f ( x) 无最大值。
?????????4 分

a x2 ? x ? a (Ⅱ) f ?( x) ? x ? 1 ? ? ? x x
当a ?

1 1 ( x ? )2 ? a ? 2 4 x
?????????5 分

1 时, f ?( x) ? 0 恒成立, 4
?????????6 分

f ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增;
当a ?

1 2 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? x ? a ? 0 4
1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a , x2 ? 2 2
?????????7 分

解得 x1 ?

当0 ? a ?

1 时, 0 ? x1 ? x2 4
1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ?x? 2 2

由 f ?( x) ? 0 得

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4 a , ) 上单调递减; f ( x) 在区间 ( 2 2
在区间 (0,

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a )和( , ??) 上单调递增?????????9 分 2 2

当 a ? 0 时, x1 ? 0 ? x2 由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ?

1 ? 1 ? 4a 2

f ( x) 在区间 (0,

1 ? 1 ? 4a ) 上单调递减; 2

在区间 (

1 ? 1 ? 4a , ??) 上单调递增 2

综上,当 a ?

1 时, f ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增; 4

当0 ? a ?

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4 a 1 , ) 上单调递减; 时, f ( x) 在区间 ( 2 2 4
在区间 (0,

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a )和( , ??) 上单调递增 2 2 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ) 上单调递减;在区间 ( , ??) 上 2 2
?????????13 分

当 a ? 0 时, f ( x) 在区间 (0, 单调递增 21、解:(I) f ?( x) ? a cos x ? b

由于直线 x ? 2 y ? 3 ?

?

? 3 ? 1 ? ) ? 0 的斜率为 ? 且过点 ( , 3 2 3 3 2
?????????2 分

a 1 ? ?? ? f (3) ? 2 ?b ? ? 2 ? ? ? f (? ) ? 3 a ? ? b ? 3 ? ? ? 3 2 3 2 3 ? 解得 a ? 1 , b ? ?1
(Ⅱ)由(I)知 f ( x) ? sin x ? x ,当 0 ? x ?

?????????6 分

?
2

时,

f ( x) ? (m ? 1) x 恒成立等价于 m ?

sin x ? , x ? (0, ) x 2 x cos x ? sin x 则 g ?( x) ? , x2 记 h( x) ? x cos x ? sin x , 则 h?( x) ? ? x sin x ? 0
记 g ( x) ?

sin x 恒成立 ????????8 分 x

h( x) 在区间 (0, ) 上单调递减, h( x) ? h(0) ? 0 2
故 g ?( x) ? 0 , g ( x) 在区间 (0,

?

?

? 2 g ( x) ? g ( ) ? , 2 ? 2 所以 m ?
?
实数 m 的取值范围为 ( ??,

2

) 上单调递减,
?????????11 分

2

?

]

?????????13 分 命题人:庐江中学 姚有胜


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