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高中数学备课精选 3.2《均值不等式》教案 新人教B版必修5


【中学数学教案】

3.2 均值不等式 教案
教学目标: 推导并掌握 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理. 利用均值 定理求极值. 了解均值不等式在 证明不等式中的简单应用 教学重点: 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重 要定理 利用均值定理求极值 教学过程 一、复习: 1、复习 不等式的性质定理及其推论 1:a>b ? b <a 2:a>b,b>c ? a> c(或 c<b,b<a ? c<a)(传递性) 3:a>b ? a+c>b+c(或 a<b ? a+c<b+c) (1):a+b>c ? a>c-b(移项法则) (2):a>b,c>d ? a+c>b+d 4、若 a>b,且 c>0,那么 ac>bc;若 a>b,且 c<0,那么 ac<bc. (1)、若 a>b>0,且 c>d>0,则 ac>bd (2 )、若 a>b>0,则 a >b (n∈ N ? ,且 n>1) (3)、若 a>b>0,则 n a ? n b (n∈ N ? ,且 n>1)
-1n n

2、定理变式: 如果 a,b∈R,那么 a +b ≥2ab(当且仅当 a=b 时,等号成立) 3、均值定理:如果 a,b 是正数,那么

2

2

a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 2

证明:∵ ( a ) 2 ? ( b ) 2 ? 2 ab,

? a ? b ? 2 ab , 即

a?b ? ab 2 a?b ? ab 显然,当且仅当 a ? b时, 2 a?b 为a, b 的算术平均数,称 ab为a, b 的几何平均数,因而,此定 说明:ⅰ)我们称 2
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理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ⅱ) a
2

? b 2 ? 2ab和
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a?b 2

? ab 成立的条件是不同的:前者只要求 a,b 都是实数,

而后者要求 a,b 都是正数 ⅲ) “当且仅当”的含义是等价 3.均值定理的几何意义是“半径不小于半弦” 以长为 a+b 的线段为直径作圆,在直径 AB 上取点 C,使 AC=a,CB=b 过点 C 作垂直于直径
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AB 的弦 DD′,那么 CD 2 ? CA ? CB , 即 CD ? ab
这个圆的半径为

a?b a?b ? ab ,其中当且仅当点 C 与圆 ,显然,它不小于 CD,即 2 2
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心重合;即 a=b 时,等号成立 应用例题:

例 1、已知 a、b、c∈R,求证: 不等式的左边是根式,而右边是整式,应设法通过适当的放缩变换将左边各根 式的被开 方式转化为完 全平方式,再利用不等式的性质证得原命题。

例 2、若 a, b, c ? R ,则

?

a2 b2 c2 ? ? ? a?b?c b c a


本题若用"求差法" 证明,计算量较大, 难以获得 成功,注意到 a , b , c∈R ,从 结论 的特点出发,均值不等式,问题是不难获证的。

-2-

例 3、已知 a, b, c 为两两不 相等的实数,求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca 证明: ∵ a 2 ? b 2 ? 2ab

b2 ? c2 ? 2bc

c 2 ? a 2 ? 2ca

以上三式相加: 2(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 2ab ? 2bc ? 2ca ∴ a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca 例 4、已知 a,b,c,d 都是正数,求证: (ab ? cd )(ac ? bd) ? 4abcd 分析:此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系,从而正确运用,同时 加强对均值不等式定理的条件的认识 证明:∵a,b,c,d 都是正数,∴ab>0,cd>0,ac >0,bd>0
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ab ? cd ? ab ? cd ? 0, 2 (ab ? cd )(ac ? bd ) ? abcd . 4

ac ? bd ? ac ? bd ? 0. 2

由不等式的性质定理 4 的推论 1,得

?

即 (ab ? cd )(ac ? bd) ? 4abcd 归纳小结 定理:如果 a,b 是正数,那么

a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 2

2、利用均值定理求最值应注意: “正”“定”“等” 灵活的配凑是解题的关键。 , , ,

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