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【步步高,文档题型强练】(文科)2015届第一轮大练习复习:中档题目强化练——参数方程(典型题+详解)


参数方程

1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上__________的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函数
? ?x=f?t?, ? 并且对于 t 的每一个允许值,由方程组所确定的点 M(x,y)都在____________, ?y=g?t?, ?

那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x,y 的变

数 t 叫做参变数,简称______.相 对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做__________. 2.几种常见曲线的参数方程 (1)直线:经过点 P0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线的参数方程是____________(t 为参数). (2)圆:以 O′(a,b)为圆心,r 为半径的圆的参数方程是____________,其中 α 是参数.
? ?x=rcos α, 当圆心在(0,0)时,方程? ?y=rsin α. ?

(3)椭圆:中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况: x2 y2 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程是____________,其中 φ 是参数. a b x2 y2 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程是____________,其中 φ 是参数. b a
?x=2pt2, ? (4)抛物线:抛物线 y =2px(p>0)的参数方程是? (t 为参数). ?y=2pt. ?
2

? ?x=1+2t, 1.(课本习题改编)若直线的参数方程为? (t 为参数),则直线的斜率为________. ?y=2-3t ? ?x=2cos θ, ? 2.椭圆? (θ 为参数)的离心率为________. ?y=5sin θ ? ?x=4t2, ? 3.已知点 P(3,m)在以点 F 为焦点的抛物线? (t 为参数)上,则|PF|=________. ? ?y=4t ? , ?x=-1+tsin 40° 4.(课本习题改编)直线? (t 为参数)的倾斜角为________. ?y=3+tcos 40° ? ? ?x=3t, 5.已知曲线 C 的参数方程是? (t 为参数).则点 M1(0,1),M2(5,4)在曲线 C 上的是 2 ?y=2t +1 ?

________.

21cnjy.com

题型一 参数方程与普通方程的互化 5 ? ?x=4t2, ?x= 5cos θ, 已知两曲线参数方程分别为? (0≤θ<π)和? (t∈R), 它们的交 ?y=sin θ ?y=t ?

例1

点坐标为________.21· cn· jy· com 思维升华 (1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加 1 cos2θ

减消元等.对于与角 θ 有关的参数方程,经常用到的公式有 sin2θ+cos2θ=1,1+tan2θ= 等.21·世纪*教育网

(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的 x,y 的取值范围,即在消去参数 的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.www-2-1-cnjy-com

?x= 2cos t (2013· 广东)已知曲线 C 的参数方程为? (t 为参数),C 在点(1,1)处的 ?y= 2sin t
切线为 l,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方程为 ________. 题型二 参数方程的应用 例2
? ?x=4cos θ, 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为? (θ 为参数),直线 l 经过 ?y=4sin θ ?

π 点 P(2,2),倾斜角 α= . 3 (1)写出圆的标准方程和直线 l 的参数方程; (2)设 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,求|PA|· |PB|的值.

思维升华 根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义,有如下常用结论: (1)直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为 t1,t2,则弦长 l=|t1-t2|; (2)定点 M0 是弦 M1M2 的中点?t1+t2=0; t1+t2 (3)设弦 M1M2 中点为 M,则点 M 对应的参数值 tM= (由此可求|M2M|及中点坐标). 2

?x= 3+2t, 已知直线 l 的参数方程为? 3 ?y=2+ 2 t

1

(t 为参数),曲线 C 的参数方程为

? ?x=4cos θ, ? (θ 为参数). ?y=4sin θ ?

(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.

题型三 极坐标、参数方程的综合应用 例3 在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲

?x=-3+ 23t, 线 C 的极坐标方程是 ρ=4cos θ,直线 l 的参数方程是? 1 ?y=2t

(t 为参数),M,N

分别为曲线 C、直线 l 上的动点,则|MN|的最小值为________.21 世纪教育网版权所有 思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题, 求解的一般方法是分别化为普通方程和直 角坐标方程后求解.转化后可使问题变得更加直观,它体现了化归思想的具体运用.
?x=acos φ ? (2013· 湖北)在直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C 的参数方程为? (φ 为参数, ?y=bsin φ ?

a>b>0),在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O π 2 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为 ρsin(θ+ )= m(m 4 2 为非零常数)与 ρ=b.若直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆 C 的离心率为 ________.21 教育网

参数的几何意义不明致误

?x=2t, 典例:(10 分)已知直线 l 的参数方程为? 2 3 ?y= 2 + 2 t
π 为 ρ=2cos(θ- ). 【出处:21 教育名师】 4 (1)求直线 l 的倾斜角; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|AB|.

1

(t 为参数),若以直角坐标系 xOy 的

O 点为极点,Ox 方向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标方程

易错分析 不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误. 规范解答

x=tcos 60° , ? ? 解 (1)直线的参数方程可以化为? [2 分] 2 y= +tsin 60° , ? 2 ? 根据直线参数方程的意义,直线 l 经过点(0, 倾斜角为 60° .[4 分] (2)直线 l 的直角坐标方程为 y= 3x+ 2 ,[6 分] 2 2 ), 2

π 2 2 ρ=2cos(θ- )的直角坐标方程为(x- )2+(y- )2=1,[8 分] 4 2 2 所以圆心( 所以|AB|= 2 2 6 , )到直线 l 的距离 d= . 2 2 4 10 .[10 分] 2

? ?x=x0+tcos α, 温馨提醒 对于直线的参数方程? (t 为参数)来说,要注意 t 是参数,而 α 则 ?y=y0+tsin α ?

是直线的倾斜角.
?x=acos φ, ? 与此类似,椭圆参数方程? 的参数 φ 有特别的几何意义,它表示离心角. ?y=bsin φ ?

方法与技巧 1.参数方程化普通方程常用的消参技巧:代入消元、加减消元、平方后加减消元等,经常 1 用到公式:cos2θ+sin2θ=1,1+tan2θ= 2 . cos θ 2.利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便,是我们解决这类问题的 好方法.
?x=x0+tcos α, ? 3.经过点 P(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为? (t 为参数).若 A, ?y=y0+tsin α. ?

B 为直线 l 上两点,其对应的参数分别为 t1,t2,线段 AB 的中点为 M,点 M 所对应的参数 t1+t2 t1+t2? 为 t0,则以下结论在解题中经常用到:①t0= ;②|PM|=|t0|=? 2 ? 2 ?;③|AB|=|t2-t1|; ④|PA|· |PB|=|t1· t2|. 失误与防范

在将曲线的参数方程化为普通方程时,不仅仅要把其中的参数消去,还要注意其中的 x,y 的取值范围.也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.

A 组 专项基础训练

?x=1+3t, 1.若直线的参数方程为? (t 为参数),则直线的倾斜角为________. ?y=2- 3t
?x=3t2+2, ? 2.将参数方程? (0≤t≤5)化为普通方程为________________. 2 ?y=t -1 ? ?x=t, ? 3 . (2013· 湖南 ) 在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l : ? (t 为参数 ) 过椭圆 C : ? ?y=t-a ? ?x=3cos φ, ? (φ 为参数)的右顶点,则常数 a 的值为________. ?y=2sin φ ?

4.(2013· 陕西)如图,以过原点的直线的倾斜角 θ 为参数,则圆 x2+y2-x =0 的参数方程为______________.
?x=cos θ, ? 1 5.已知曲线 C:? (参数 θ∈R)经过点(m, ),则 m=________. 2 ?y=2sin θ ?

6. (2013· 重庆)在直角坐标系 xOy 中, 以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 若
2 ? ?x=t , ? 极坐标方程为 ρcos θ=4 的直线与曲线 (t 为参数)相交于 A,B 两点,则|AB|= 3 ?y=t ?

________.
?x=2pt2, ? 7.(2012· 天津)已知抛物线的参数方程为? (t 为参数),其中 p>0,焦点为 F,准线 ? ?y=2pt

为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂线,垂足为 E.若|EF|=|MF|,点 M 的横坐标是 3,则 p= ________.
?x=2cos θ, ?x=t, ? ? 8.已知曲线 C:? (θ 为参数)和直线 l:? (t 为参数,b 为实数),若曲线 ? ? ?y=2sin θ ?y=t+b

C 上恰有 3 个点到直线 l 的距离等于 1,则 b=________.
? ? ?x=t+1, ?x=asin θ, 9.在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1:? (t 为参数)与曲线 C2:? (θ ?y=1-2t ?y=3cos θ ? ?

为参数,a>0)有一个公共点在 x 轴上,则 a=________.

? ?x=cos θ, π 10.若直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ- )=3 2,圆 C:? (θ 为参数)上的点到直 4 ? ?y=sin θ

线 l 的距离为 d,则 d 的最大值为________. B 组 专项能力提升
?x=8t2 ? 1.已知抛物线 C1 的参数方程为? (t 为参数),圆 C2 的极坐标方程为 ρ=r(r>0),若斜 ? ?y=8t

率为 1 的直线经过抛物线 C1 的焦点,且与圆 C2 相切,则 r=________.
? ? ?x=2+t, ?x=3cos α, 2.直线? (t 为参数)与曲线? (α 为参数)的交点个数为________. ?y=-1-t ?y=3sin α ? ?

?x=t, 3 .在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为 ? (t 为参数 ) 和 ?y= t ?x= 2cos θ, (θ 为参数),则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为________. ? ?y= 2sin θ
4.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线
? ?x=t+1, π θ= 与曲线? 2 4 ?y=?t-1? ?

(t 为参数)相交于 A,B 两点,则线段 AB 的中点的直角坐标为

________.
?x=4-2t, ? x2 5.已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),P 是椭圆 +y2=1 上的任意一点,则 4 ?y=t-2 ?

点 P 到直线 l 的距离的最大值为________.
? ?x=cos α 6.已知圆 C 的参数方程为? ?y=1+sin α ?

(α 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建

立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ=1,则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为 ________________. 7. (2013· 辽宁改编)在直角坐标系 xOy 中, 以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 圆 π? C1,直线 C2 的极坐标方程分别为 ρ=4sin θ,ρcos? ?θ-4?=2 2. (1)C1 与 C2 交点的极坐标为________; x=t +a, ? ? (2)设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点. 已知直线 PQ 的参数方程为? b 3 ? ?y=2t +1 (t∈R 为参数),则 a,b 的值分别为________.
3

答案
基础知识自主学习 要点梳理 1.任意一点 这条曲线上 参数 普通方程
? ?x=x0+tcos α, 2.(1)? ?y=y0+tsin α ? ?x=acos φ, ? (3)? ? ?y=bsin φ ? ?x=a+rcos α, (2)? ?y=b+rsin α ?

?x=bcos φ, ? ? ? ?y=asin φ

夯基释疑 3 1.- 2 2. 21 5 3.4 4.50° 5.M1

题型分类深度剖析 例1

?1,2 5? 5 ? ?

x2 4 解析 将两曲线的参数方程化为普通方程分别为 +y2=1 (0≤y≤1,- 5<x≤ 5)和 y2= 5 5 2 5? x,联立解得交点为?1, .www.21-cn-jy.com 5 ? ? 跟踪训练 1 ρcos θ+ρsin θ-2=0

?x= 2cos t 解析 由? (t 为参数),得曲线 C 的普通方程为 x2+y2=2.则在点(1,1)处的切线 l ?y= 2sin t
的方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0.又 x=ρcos θ,y=ρsin θ,∴l 的极坐标方程为 ρcos θ+ρsin θ-2=0.【来源:21·世纪·教育·网】 例2 解 (1)由圆 C 的参数方程可得其标准方程为 x2+y2=16.因为直线 l 过点 P(2,2),倾

π 斜角 α= , 【来源:21cnj*y.co*m】 3

?x=2+tcos 3, 所以直线 l 的参数方程为? π ?y=2+tsin 3, ?x=2+2t, 即? 3 ?y=2+ 2 t
1 (t 为参数).

π

?x=2+2t, (2)把直线 l 的参数方程? 3 ?y=2+ 2 t
1 3 代入圆 C:x2+y2=16 中,得(2+ t)2+(2+ t)2=16, 2 2 t2+2( 3+1)t-8=0,设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2,则 t1t2=-8,即|PA|· |PB|=8. 跟踪训练 2 解 (1)x2+y2=16.

1

?x= 3+2t, (2)将? 3 ?y=2+ 2 t

1

代入 x2+y2=16,

并整理得 t2+3 3t-9=0.设 A、B 对应的参数为 t1、t2,则 t1+t2=-3 3,t1t2=-9. |AB|=|t1-t2|= ?t1+t2?2-4t1t2=3 7. 例3 1 2

解析 化极坐标方程 ρ=4cos θ 为直角坐标方程 x2+y2-4x=0, 所以曲线 C 是以(2,0)为圆心, 2 为半径的圆.2-1-c-n-j-y

?x=-3+ 23t, 化参数方程? 1 ?y=2t
= |2+3|

(t 为参数)为普通方程 x- 3y+3=0.圆心到直线 l 的距离 d

5 5 1 = ,此时,直线与圆相离,所以|MN|的最小值为 -2= . 2 2 2 1+3 6 3

跟踪训练 3

x2 y2 解析 椭圆 C 的标准方程为 2+ 2=1,直线 l 的标准方程为 x+y=m,圆 O 的方程为 x2+ a b y2=b2, |m| ? ? 2=b 由题意知? ,∴a2-b2=2b2,a2=3b2, ? ? a2-b2=|m| ∴e= c2 = a2 3b2-b2 = 3b2 2 6 = . 3 3

练出高分 A组 1.150°

y-2 - 3t 3 解析 由直线的参数方程知,斜率 k= = =- =tan θ,θ 为直线的倾斜角,所 3t 3 x-1 以该直线的倾斜角为 150° . 2.x-3y-5=0,x∈[2,77] 解析 化为普通方程为 x=3(y+1)+2,即 x-3y-5=0,由于 x=3t2+2∈[2,77],故曲线为 线段. 【版权所有:21 教育】 3.3 解析 椭圆 C 的右顶点坐标为(3,0),若直线 l 过(3,0),则 0=3-a,∴a=3.
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?x=2+2cos 2θ, 4.? 1 ?y=2sin 2θ

1 1

0≤θ<π

1?2 2 ?1?2 解析 由题意得圆的标准方程为? ?x-2? +y =?2? ,设圆与 x 轴的另一交点为 Q,则 Q(1,0), 设点 P 的坐标为(x,y),则 OP=OQcos θ=cos θ.

?x=OPcos θ=cos θ=2+2cos 2θ, ∴? 1 sin θ= sin 2θ ?y=OPsin θ=cos θ· 2
2

1 1

0≤θ<π.

5.±

15 4

?x=cos θ, ? y2 1 解析 将曲线 C:? (参数 θ∈R)化为普通方程为 x2+ =1,将点(m, )代入该椭 4 2 ?y=2sin θ ?

1 4 15 15 圆方程,得 m2+ =1,即 m2= ,所以 m=± . 4 16 4 6.16 解析
2 ? ?x=t , 将极坐标方程 ρcos θ=4 化为直角坐标方程得 x=4,将 x=4 代入? 得 t=± 2, 3 ?y=t ?

从而 y=± 8. 所以 A(4,8),B(4,-8).所以|AB|=|8-(-8)|=16. 7.2 解析 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是 y2=2px,

? p ? ?p ? 所以 y2 M=6p,所以 E -2,± 6p ,F 2,0 , ? ? ? ?
p 所以 +3= p2+6p, 2 所以 p2+4p-12=0,解得 p=2(负值舍去).

8.± 2 解析 将曲线 C 和直线 l 的参数方程分别化为普通方程为 x2+y2=4 和 y=x+b,依题意, 若要使圆上有 3 个点到直线 l 的距离为 1,只要满足圆心到直线的距离为 1 即可,得到 1,解得 b=± 2.21*cnjy*com 9. 3 2 |b| = 2

解析 将曲线 C1 与 C2 的方程化为普通方程求解.
?x=t+1, ? ∵? 消去参数 t 得 2x+y-3=0. ?y=1-2t, ? ?x=asin θ, ? x2 y2 又? 消去参数 θ 得 2+ =1. a 9 ? ?y=3cos θ,

3 方程 2x+y-3=0 中,令 y=0 得 x= , 2 3 ? x y 9 3 将? ?2,0?代入a2+ 9 =1,得4a2=1.又 a>0,∴a=2. 10.3 2+1 π 解析 ρcos(θ- )=3 2,∴ρcos θ+ρsin θ=6, 4 ∴直线 l 的直角坐标方程为 x+y=6. 由圆 C 的参数方程知圆 C 的圆心为 C(0,0),半径 r=1. 圆心 C(0,0)到直线 l 的距离为 B组 1. 2 解析 抛物线 C1 的普通方程为 y2=8x,其焦点坐标是(2,0),过该点且斜率为 1 的直线方程 是 y=x-2,即 x-y-2=0.圆 ρ=r 的圆心是极点、半径为 r,直线 x-y-2=0 与该圆相切, |0-0-2| 则 r= = 2.2· 1· c· n· j· y 2 2.2 解析 将参数方程化为普通方程求解.
?x=2+t, ? 将? 消去参数 t 得直线 x+y-1=0; ? ?y=-1-t ? ?x=3cos α, 将? 消去参数 α 得圆 x2+y2=9. ?y=3sin α ?
2 2

6 =3 2.∴dmin=3 2+1. 2

又圆心(0,0)到直线 x+y-1=0 的距离 d=

2 <3. 2

因此直线与圆相交,故直线与曲线有 2 个交点. 3.(1,1) 解析 化参数方程为普通方程然后解方程组求解. C1 的普通方程为 y2=x(x≥0,y≥0), C2 的普通方程为 x2+y2=2.
?y2=x,x≥0,y≥0, ?x=1, ? ? 由? 2 2 得? ? ? ?x +y =2 ?y=1.

∴C1 与 C2 的交点坐标为(1,1). 5 5? 4.? ?2,2? π 解析 化射线的极坐标方程为普通方程,代入曲线方程求 t 值.射线 θ= 的普通方程为 y= 4
? ?x=t+1, x(x≥0),代入? 得 t2-3t=0,解得 t=0 或 t=3.21 教育名师原创作品 2 ?y=?t-1? , ?

当 t=0 时,x=1,y=1,即 A(1,1); 当 t=3 时,x=4,y=4,即 B(4,4). 5 5? 所以 AB 的中点坐标为? ?2,2?. 5. 2 10 5

? ?x=4-2t, 解析 由于直线 l 的参数方程为? (t 为参数), ?y=t-2 ?

故直线 l 的普通方程为 x+2y=0. x2 因为 P 为椭圆 +y2=1 上的任意一点, 4 故可设 P(2cos θ,sin θ),其中 θ∈R. |2cos θ+2sin θ| 因此点 P 到直线 l 的距离是 d= 12+22

? π?? 2 2? ?sin?θ+4?? = . 5
π 2 10 所以当 θ=kπ+ ,k∈Z 时,d 取得最大值 . 4 5 6.(-1,1)和(1,1) 解析 ∵y=ρsin θ,∴直线 l 的直角坐标方程为 y=1.
? ?x=cos α, 由? 得 x2+(y-1)2=1. ?y=1+sin α ?

? ? ? ?y=1, ?x=-1, ?x=1, ? ? 由? 2 得 或 2 ?x +?y-1? =1 ?y=1 ? ? ? ?y=1.

∴直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为(-1,1)和(1,1). π? ? π? 7.(1)? ?4,2?,?2 2,4? (2)-1,2

解析 (1)圆 C1 的直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4, 直线 C2 的直角坐标方程为 x+y-4=0.
?x2+?y-2?2=4, ?x1=0, ? ? 解? 得? ? ? ?x+y-4=0, ?y1=4, ?x2=2, ? ? ? ?y2=2.

π? ? π? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标为? ?4,2?,?2 2,4?, 注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)由(1)可得,P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3). 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0,

?2=1, b ab 由参数方程可得 y= x- +1,所以? 2 2 ab ?- 2 +1=2,
解得 a=-1,b=2.

b


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