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【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2课件:2-1-1


名师一号 ·高中同步学习方略 ·新课标A版 ·数学 ·选修2-2

第二章

推理与证明

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第二章

推理与证明

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§2.1 合情

推理与演绎推理

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推理与证明

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2.1.1 合情推理

课前预习目标

课堂互动探究

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§2.1

2.1.1

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课前预习目标
梳理知识 夯实基础

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§2.1

2.1.1

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自学导引 了解合情推理的含义,能利用归纳和类比进行简单的推 理.

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§2.1

2.1.1

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课前热身 1. 归纳推理. 由某类事物的部分对象具有的某些特征,推出该类事物的 全部对象都具有这种特征的推理,称为________.概括为由 ________到________的推理. 2. 类比推理. 由两类对象具有某些________和其中一类对象的某些 ________,推出另一类对象也具有________的推理称为类比推 理,其特征是由________到特殊的推理.
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§2.1

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3. 合情推理. 根据已有的________,经过观察、分析、________、 ________,再进行________、________,然后提出猜想的推 理,统称为合情推理.

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§2.1

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自 1.归纳推理

特殊 一般 特殊

我 2.类似特征 已知特征 这些特征 校 对 3.事实 比较 联想 归纳 类比

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§2.1

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名师讲解 1. 归纳推理 (1) 归纳推理的分类 ①完全归纳推理:由某类事物的全部对象推出结论,显然 该结论一定正确. ②不完全归纳推理:由某类事物的部分对象推出结论,该 结论不一定正确.

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§2.1

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(2) 归纳推理的一般步骤 第一步:观察、分析所有特殊情况的共性,如图形中的 点、线的个数、位置关系,数列中项的变化规律,一系列式子 的运算特点等. 第二步:把第一步观察到的共性进行推广,形成一般化的 结论. 如数列的通项公式,式子的运算结果等等.

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§2.1

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2. 类比推理 (1) 特点 ①类比推理是由特殊到特殊的推理. ②类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠. ③类比推理以旧的知识作基础,推出新的结果,具有发现 功能.

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§2.1

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(2) 类比推理的一般步骤 第一步:找出两类事物之间的相似性或一般性; 第二步:用一类事物的性质推测出另一类事物的性质,得 出一个明确的结论.

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§2.1

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3. 合情推理 (1) 合情推理过程可用下图表示为:

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§2.1

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(2) 特点 由合情推理的过程知,合情推理的结论往往超越前提所包 容的范围,带有猜想的成份,所以推理所得的结论未必正确, 但是合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供证明的思路和 方向的作用.

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§2.1

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课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通

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典例剖析



归纳推理的应用

2an 【例1】 在数列{an}中,a1=1,an+1= (n∈N*),试 2+an 猜想这个数列的通项公式. 【分析】 利用已知的递推关系,求出a1,a2,a3,a4的

值,归纳其结果,写出猜想.

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§2.1

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2an 【解】 在数列{an}中,a1=1,an+1= (n∈N*), 2+an 2a1 2 即a2= = , 2+a1 3 2 2×3 2a2 1 2 a3= = 2=2=4, 2+a2 2+3 2 2×4 2a3 2 a4= = = , 2 5 2+a3 2+4

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§2.1

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?? 2 由此可以猜想an= . n+1

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规律技巧

归纳猜想数列通项公式的步骤:

(1)通过已知条件求出数列的前几项;(2)观察数列的前几 项寻求项与数值的规律,猜测出数列的通项公式.

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§2.1

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类比推理的应用

【例2】

类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空

间中四面体性质的猜想. 【分析】 考虑到直角三角形的两条边互相垂直,我们可

以选取有3个面两两垂直的四面体,作为直角三角形的类比对 象.

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§2.1

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【解】 如图①所示,在Rt△ABC中,∠C=90° .设a, b,c分别表示3条边的长度,由勾股定理,得c2=a2+b2.

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类似地,在四面体PDEF中,∠PDF=∠PDE=∠EDF= 90° .设S1,S2,S3和S分别表示△PDF,△PDE,△EDF和△ PEF的面积(图②),相应于图①中直角三角形的两条直角边a, b和1条斜边c,图②中的四面体有3个“直角面”S1,S2,S3和1 个“斜面”S.于是,类比勾股定理的结构,我们猜想S2=S
2 S2 2+S3成立. 2 1



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§2.1

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§2.1

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合情推理的应用

【例3】

设f(n)=n2+n+41(n∈N*),计算f(1),f(2),

f(3),?,f(10)的值,同时作出归纳推理,并判断是否对所有n ∈N*都成立. 【分析】 的共同特征. 求出f(1),f(2),f(3),?,f(10)的值后寻找它们

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§2.1

2.1.1

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【解】 f(1)=12+1+41=43, f(2)=22+2+41=47, f(3)=32+3+41=53, f(4)=42+4+41=61, f(5)=52+5+41=71, f(6)=62+6+41=83, f(7)=72+7+41=97, f(8)=82+8+41=113,

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§2.1

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f(9)=92+9+41=131, f(10)=102+10+41=151. 从中知f(1),f(2),f(3),?,f(10)的值都为质数,所以归 纳得出猜想:f(n)=n2+n+41的值为质数. 因为f(40)=402+40+41=41×41为合数, 所以猜想f(n)=n2+n+41的值为质数是错误的.

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§2.1

2.1.1

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误区警示

由几个个别情况的共同性质归纳出的结论不一

定正确,只是如果归纳的个别情况越多,那么推广的一般性命 题就越可靠.本例题中,虽然有10种个别情况都是正确的?实际 上有无数个情况正确?,也不能保证所归纳的猜想正确.

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§2.1

2.1.1

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随堂训练 1.下列关于归纳推理的说法中错误的是( )

A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有偶然性,不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能

答案

A

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§2.1

2.1.1

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2.由数列1,10,100,1000,?猜测该数列的第n项可能是 ( ) A.10n C.10n+1 B.10n-1 D.11n

答案

B

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§2.1

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3.已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2,且n∈N),a1= a,a2=b,记Sn=a1+a2+?+an,则下列选项中正确的是 ( ) A.a100=-a,S100=2b-a B.a100=-b,S100=2b-a C.a100=-b,S100=b-a D.a100=-a,S100=b-a

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§2.1

2.1.1

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解析

a1=a,a2=b,a3=a2-a1=b-a,

a4=a3-a2=-a,a5=a4-a3=-b, a6=a5-a4=a-b,a7=a6-a5=a, ?, 同理S1=a1=a,S2=a1+a2=a+b, S3=S2+a3=2b, S4=S3+a4=2b-a, S5=S4+a5=b-a,

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§2.1

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S6=S5+a6=0,S7=S6+a7=a. ?, 通过观察可知,an与Sn都是以6为周期,重复变化,因 此,可推得a100=a4=-a,S100=S4=2b-a.

答案

A

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§2.1

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4.通过计算可得下列等式: 22-12=2×1+1, 32-22=2×2+1, 42-32=2×3+1, ?? (n+1)2-n2=2n+1, 将以上各等式两边分别相加得 (n+1)2-12=2(1+2+?+n)+n,

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§2.1

2.1.1

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n?n+1? 即1+2+3+?+n= 2 . 类比上述求法,请你写出12+22+32+?+n2的结果.

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§2.1

2.1.1

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∵23-13=3×12+3×1+1,

33-23=3×22+3×2+1, 43-33=3×32+3×3+1, ?? (n+1)3-n3=3×n2+3n+1. 将以上各等式两边分别相加得 (n+1)3-13=3(12+22+?+n2)+3(1+2+?+n)+n, 1 3 1 3 ∴1 +2 +3 +?+n = [(n+1) -1-n- n(n+1)]= n(n 3 2 6
2 2 2 2

+1)(2n+1).
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§2.1

2.1.1

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5.观察下列等式 13+23=9, 13+23+33=36, 13+23+33+43=100, 13+23+33+43+53=225, ?? 想一想,等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关 系?猜一猜有什么规律,并把这些规律用等式表示出来.

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§2.1

2.1.1

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解 13+23=(1+2)2, 13+23+33=(1+2+3)2, 13+23+33+43=(1+2+3+4)2, 13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2, ?? 由此可以猜想的结论是 13+23+33+?+n3=(1+2+3+?+n)2(n=1,2,3,?).

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§2.1

2.1.1


【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2第三章测试

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【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练6

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