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高一数学直线的两点式方程


3.2.2 直线的两点式方程
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围; (2)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。 2.过程与方法 让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论,并通过新旧知识的比较、分析、 应用获得新知识的特点. 3.情态与价值观 (1)认识事物之间的普通联系与相互转化; (2)培养学生用联系的观点看问题。 (二)教学重点、难点: 1.重点:直线方程两点式。 2.难点:两点式推导过程的理解。 (三)教学设想 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 教师引导学生:根据已有的知 识,要求直线方程,应知道什么条 件?能不能把问题转化已经解决的 问题?在此基础上,学生根据已知两 点的坐标,先判断是否存在斜率,然 遵循由 1. 利用点斜式解答如下问 后求出直线的斜率,从而可求出直线 浅及深, 由特 题: 方程: 殊到一般的 (1)已知直线 l 经过两点 3 (1)y – 2 = (x–1) 提出问题 认知规律。 使 2 P1 (1,2),P2 (3,5),求直线 l 引入课题 学生在已有 y2 ? y1 的方程. ( x ? x ) ( 2 ) y – y = 1 得出概念 的知识基础 1 x2 ? x1 (2)已知两点 P1 (x1,x2), 上获得新结 P2 (x1,x2)其中(x1≠x2,y1≠y2). 教师指出:当 y1≠y2 时,方程可 论, 达到温故 求通过这两点的直线方程. 写成 知新的目的。
y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) y2 ? y1 x2 ? x1

由于这个直线方程由两点确定, 所以我们把它叫直线的两点式方程, 简称两点式(two-point form). 使学生 懂得两点式 教师引导学生通过画图、观察和 的适用范围 2.若点 P1 (x1,x2),P2 (x2,分析,发现 x1 = x2 时,直线与 x 轴垂 和当已知的 概念深入 y2)中有 x1 = x2,或 y1 = y2,此时 直,所以直线方程为:x = x1;当 y1 = 两点不满足 这两点的直线方程是什么? y2 时, 直线与 y 轴垂直, 直线方程为: 两点式的条 y = y1. 件时它的方 程形式.

教师引导学生分析题目中所给 3、例 3 的条件有什么特点?可以用多少方 已知直线 l 与 x 轴的交点为 法来求直线 l 的方程?那种方法更为 A(a,0), 与 y 轴的交点为 B (0,b), x y 简捷?然后求出直线方程: ? ? 1 a b 其中 a≠0,b≠0. 求直线 l 的方程.

使学生 学会用两点 式求直线方 程; 理解截距 式源于两点 教师指出:a, b 的几何意义和截 式, 是两点式 距方程的概念. 的特殊情形. 教师给出中点坐标公式,学生根 据自己的理解,选择适当方法求出边 BC 所在的直线方程和该边上中线所 在直线方程.在此基础上, 学生交流各 自的作法,并进行比较. 例 4 解析:

4、例 4 已知三角形的三个顶点 A(–5,0 ),B (3, –3),C (0,2),求 BC 边所在直线的方程,以及该边 上中线所在直线的方程.

如图,过 B(3,–3),C(0,2)的两 点式方程为 应用举例 让学生 整理得 5x + 3y – 6 = 0. 学会根据题 这就是 BC 所在直线的方程. 目中所给的 BC 边上的中线是顶点 A 与 BC 边 条件, 选择恰 中点 M 所连线段, 由中点坐标公式可 当 的 直 线 方 得点 M 的坐标为 程解决问题. (
3 ? 0 ?3 ? 2 ), , 2 2

y ?2 x?0 ? ?3 ? 2 3 ? 0

3 1 即( , ? ). 2 2 3 1 过 A(–5,0),M( , ? )的直线的 2 2 方程为
y?0 x?5 ? , 1 3 ? ?0 ?5 2 2

1 13 5 整理得 x ? y ? ? 0 , 2 2 2 即 x + 13y + 5 = 0. 这就是 BC 边上中线所在直线方

程. 5、课堂练习 学生独立完成,教师检查、反馈.

第 102 页第 1、2、3 题 教师提出: (1)到目前为止,我 们所学过的直线方程的表达形式有 多少种?它们之间有什么关系? (2)要求一条直线的方程,必 须知道多少个条件? 增强学 生对直线方 种四种形式 (点斜式、 斜 截式、两点 式、截距式) 互相之间的 联系的理解. 巩固深 化, 培养学生 的独立解决 问题的能力.

归纳总结

6、小结

课后作业

布置作业 见习案 3.2 的第二课时.

学生课后完成

备选例题
例1 求经过点 A (–3,4),且在坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的方程.
x y 【解析】当直线 l 在坐标轴上截距都不为零时,设其方程为 ? ? 1. a ?a

将 A(–3,4)代入上式,有

?3 4 ? ?1, a ?a

解得 a = –7.

∴所求直线方程为 x – y + 7 = 0. 当直线 l 在坐标轴上的截距都为零时, 设其方程为 y = kx.将 A(–3, 4)代入方程得 4 = –3k, 即k= ?
4 . 3

4 ∴所求直线的方程为 y ? ? x, 即 4x + 3y = 0.故所求直线 l 的方程为 x – y + 7 = 0 或 4x + 3

3y = 0. 【评析】此题运用了直线方程的截距式,在用截距时,必须注意适用条件:a、b 存在 且都不为零,否则容易漏解. 例 2 如图,某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李,如果超过规定, 则需要购买行李票, 行李票费 y (元) 与行李重量 x (kg)的关系用直线 AB 的方程表示, 试求: (1)直线 AB 的方程; (2)旅客最多可免费携带多少行李? 【解析】 (1)由图知,A (60,6),B (80,10)代入 两点式可得 AB 方程为 x – 5y – 30 =0 (2)由题意令 y = 0,得 x = 30 即旅客最多可免 费携带 30kg 行李.


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