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一次函数解析式、图像性质


个性化教学辅导教案
教师姓名 学科 课称名称 数学 学生姓名 年级 上课时间 教材版本 一次函数解析式、图像性质 浙教版

通过讲解, 有的放矢的帮助学生熟练掌握用待定系数法求一次函数的解析式、
教学目标

根据一次函数的图象解相应的问题。 待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图象、一次函数的应用 计算题中一次函数的应用解法、一次函数性质

教学重点 教学难点

知识点回顾
一次函数、正比例函数 、象限
1.函数: 一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量 x 和 y,并且对于 x 的每一个确定的值,y 都有惟一确定的值与其对应,那么我们就说 x 是自变 课 堂 教 学 过 程 量,y 是 x 的函数。 注意: ①函数是相对自变量而言的,如对于两个变量 x,y,y 是 x 的函数,而不能简 单的说出 y 是函数。 ②判断一个关系式是否为函数关系:一看是否在一个变化过程中,二看是否 只有两个变量,三看对于一个变量没取到一个确定的值时,另一个变量是否 有唯一的值与其对应。 ③函数不是数,它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系,函数本质就 是变量间的对应关系 ④ “ y 有唯一值与 x 对应”是指在自变量的取值范围内, x 每取一个确定值,
y 都唯一的值与之相对应,否则 y 不是 x 的函数.

⑤判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式,还要满足上述确定的对应 关系.x 取不同的值,y 的取值可以相同. 例如:函数 y ? ( x ? 3) 中,x ? 2 时,y ? 1 ;
2

x ? 4 时, y ? 1

2.一次函数:形如 y=kx+b (k≠0, k, b 为常数)的函数。 注意:(1)k≠0,否则自变量 x 的最高次项的系数不为 1; (2)当 b=0 时,y=kx,y 叫 x 的正比例函数。 3.正比例 正比例函数的定义:一般地,形如 y=kx(k 是常数,k≠0)的函数叫做正比例 函数,其中 k 叫做比例系数. 注意: ①注意 k 是常数,k≠0 的条件,当 k=0 时,无论 x 为何值,y 的值都为 0,所 以它不是正比例函数。 ②自变量 x 的指数只能为 1 新知识概要 函数图象的概念:一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对 应诃子分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就 是这个函数的图象。 注意:函数解析式与函数图象的关系 (1)满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上; (2)函数图象上点的坐标满足函数解析式. 图象:一次函数的图象是一条直线, (1)两个常有的特殊点:与 y 轴交于(0,b);与 x 轴交于(- ,0)

(2)由图象可以知道,直线 y=kx+b 与直线 y=kx 平行,例如直线:y=2x+3 与直线 y=2x-5 都与直线 y=2x 平行。 3、性质: (1)图象的位置:

(2)增减性:对于一次函数 y=kx+b(k,b 为常数,且 k≠0),当 k﹥0 时, y 随 x 的增大而增大; 同步练习 1.下列函数中,y 随 x 的增大而增大的是( A. y=–3x C. y= x– 4 B. y= –0.5x+1 D. y= –2x-7 C ) 当 k﹤0 时,y 随 x 的增大而减小。

2. 一次函数 y=(a+1)x+5 中,y 的值随 x 的值增大而减小,则 a 满足__ ______ .(a< –1) 3. 对于函数 y=5x+6,y 的值随 x 的值减小而______(减小) 4. 已知 A(-1, y1), B(3, y2), C(-5, y3)是一次函数 y=-2x+b 图象上的三点,

用“<”连接 y1, y2, y3 为_________ .

求一次函数解析式的方法
求函数解析式的方法主要有三种 (1)由已知函数推导或推证 (2)由实际问题列出二元方程,再转化为函数解析式,此类题一般在没有 写出函数解析式前无法(或不易)判断两个变量之间具有什么样的函数关系。 (3)用待定系数法求函数解析式。 “待定系数法”的基本思想就是方程思想,就是把具有某种确定形式的 数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程(组)来解决,题目的已 知恒等式中含有几个等待确定的系数,一般就需列出几个含有待定系数的方 程,本单元构造方程一般有下列几种情况: ①利用一次函数的定义

构造方程组。 ②利用一次函数 y=kx+b 中常数项 b 恰为函数图象与 y 轴交点的纵坐标, 即由 b 来定点;直线 y=kx+b 平行于 y=kx,即由 k 来定方向 。 ③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。 ④利用题目已知条件直接构造方程 。

中考规律盘点与预测 通过对近几年各地的中考试题的研究发现,对关于一次函数往往与反比 例函数结合起来出现在选择题中,与三角形结合出现在计算题中。

典型分析
例 1:已知一次函数 断 =(3) =(n-2)x+ -n-3 的图象与 y 轴交点的纵坐标为-1,判 是什么函数, 写出两个函数的解析式, 并指出两个函数在直

角坐标系中的位置及增减性。

解:依题意,得

解得 n=-1, ∴ =-3x-1, =(3)x, 是正比例函数; 随 x 的增大而减小; 随 x 的增大而增大。

=-3x-1 的图象经过第二、三、四象限, =(3)x 的图象经过第一、三象限,

点评:由于一次函数的解析式含有待定系数 n,故求解析式的关键是构造关 于 n 的方程,此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与 y 轴交点纵坐 标”来构造方程。 例 2:直线 y=kx+b 与直线 y=5-4x 平行,且与直线 y=-3(x-6)相交,交点在 y 轴上,求此直线解析式。 分析:直线 y=kx+b 的位置由系数 k、b 来决定:由 k 来定方向,由 b 来定与

y 轴的交点,若两直线平行,则解析式的一次项系数 k 相等。例 y=2x,y=2x+3 的图象平行。 解:∵y=kx+b 与 y=5-4x 平行, ∴k=-4, ∵y=kx+b 与 y=-3(x-6)=-3x+18 相交于 y 轴, ∴b=18, ∴y=-4x+18。 点评:一次函数 y=kx+b 图象的位置由系数 k、b 来决定:由 k 来定方向,由 b 来定点,即函数图象平行于直线 y=kx,经过(0, b)点,反之亦成立,即由 函数图象方向定 k,由与 y 轴交点定 b。 例 3:直线与 x 轴交于点 A(-4,0),与 y 轴交于点 B,若点 B 到 x 轴的距 离为 2,求直线的解析式。 解:∵点 B 到 x 轴的距离为 2, ∴点 B 的坐标为(0,±2), 设直线的解析式为 y=kx±2, ∵直线过点 A(-4,0), ∴0=-4k±2, 解得:k=± , ∴直线 AB 的解析式为 y= x+2 或 y=- x-2. 点评:此例看起来很简单,但实际上隐含了很多推理过程,而这些推理是求 一次函数解析式必备的。 (1)图象是直线的函数是一次函数;

(2)直线与 y 轴交于 B 点,则点 B(0, (3)点 B 到 x 轴距离为 2,则| |=2;

);

(4)点 B 的纵坐标等于直线解析式的常数项,即 b= (5)已知直线与 y 轴交点的纵坐标 下面只需待定 k 即可。 ,可设 y=kx+

; ,

例 4(难):已知一次函数的图象,交 x 轴于 A(-6,0),交正比例函数的 图象于点 B,且点 B 在第三象限,它的横坐标为-2,△AOB 的面积为 6 平方单 位,求正比例函数和一次函数的解析式。 分析:自画草图如下: 解:设正比例函数 y=kx, 一次函数 y=ax+b, ∵点 B 在第三象限,横坐标为-2, 设 B(-2, ∵ ∴ AO·| ∴ =-2, ),其中 <0,

=6, |=6,

把点 B(-2,-2)代入正比例函数 y=kx,得 k=1 把点 A(-6,0)、B(-2,-2)代入 y=ax+b, 得

解得:

∴y=x, y=- x-3 即所求。 点评:(1)此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构 式,注意两个函数中的系数要用不同字母表示; (2)此例需要把条件(面积)转化为点 B 的坐标。这个转化实质含有两 步: 一是利用面积公式 AO· BD=6 (过点 B 作 BD⊥AO 于 D) 计算出线段长 BD=2, 再利用| |=BD 及点 B 在第三象限计算出 =-2。若去掉第三象限的条件,

想一想点 B 的位置有几种可能,结果会有什么变化?(答:有两种可能,点 B 可能在第二象限(-2,2),结果增加一组 y=-x, y= (x+3).

课堂练习

课后作业

本节课教学计划完成情况: 照常完成□ 提前完成□ 延后完成□

_____________________________ ________________________________ ________________________________

课 后 评 价

学生的接受程度: 完全能接受□ 部分能接受□ 不能接受□ 学生的课堂表现:很积极□ 比较积极□ 一般□ 不积极□

学生上次作业完成情况:数量____% 完成质量____分

存在问题 ______________________________

评 价

教务主任 审批

学管审批

惠博教育个性化教学辅导课后作业八年级数学
一、填空 1、已知一个正比例函数的图象经过点( -2 ,4 ) ,则这个正比例函数的表达式 是 。 。 。

2、已知一次函数 y=kx+5 的图象经过点(-1,2) ,则 k=

3、已知 y 与 x 成正比例,且当 x=1 时,y=2,则当 x=3 时,y=____ 4、点 P(a,b)在第二象限,则直线 y=ax+b 不经过第 象限。

5、已知一次函数 y=kx-k+4 的图象与 y 轴的交点坐标是(0,-2),那么这个一次 函数的表达式是______________。 6、已知点 A(____ 。
1 ,a), B(3,b)在函数 y=-3x+4 的象上,则 a 与 b 的大小关系是 2

7、写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式(写出一个即 可) 。 (2)图象经过点(1,-3) 。

(1)y 随着 x 的增大而减小, 二、选择题 8、下列函数(1)y=π x 数的有( (A)4 个 ) (B)3 个

(2)y=2x-1

(3)y=

1 x

(4)y=2-1-3x

中,是一次函
y 1 O 2 x

(C)2 个

(D)1 个 ) (D) (1,1) )

9、下面哪个点不在函数 y ? ?2 x ? 3 的图像上( (A) (-5,13) (B) (0.5,2) (C) (3,0)

10、直线 y=kx+b 在坐标系中的位置如图,则( 13 题图)
1 k ? ? , b ? ?1 (A) 2 1 k ? ? ,b ? 1 (B) 2

(第

1 k ? , b ? ?1 (C) 2

1 k ? ,b ?1 (D) 2

11、下列一次函数中,随着增大而减小而的是 ( (A) y ? 3x (B) y ? 3x ? 2

) (D) y ? ?3x ? 2

(C) y ? 3 ? 2 x

11、已知一次函数 y=kx+b 的图象如图所示,则 k,b 的符号是( (A) k>0,b>0 (B) k>0,b<0

)

(C) k<0,b>0

(D) k<0,b<0

12、 函数 y=(m+1)x-(4m-3)的图象在第一、 二、 四象限, 那么 m 的取值范围是( (A) m ?
3 4

)

(B) ?1 ? m ?

3 4

(C) m ? ?1

(D) m ? ?1

三、计算题 13、已知函数 y=(2m+1)x+m -3 (1)若函数图象经过原点,求 m 的值 (2)若这个函数是一次函数,且 y 随着 x 的增大而减小,求 m 的取值范围。

14、如图是某市出租车单程收费 y (元)与行驶路程 x (千米)之间的函数关系图 象,根据图象回答下列问题: (1)当行使路程为 8 千米时,收费应为 (2)从图象上你能获得哪些信息?(请写出 2 条) ① 元;

② (3)求出收费 y (元)与行使路程 x (千米) (x≥3)之间的函数 关系式。


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