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高中数学选修1-1(文)第三章


第三章
知识体系总览 平均变化率 导数概念 瞬时变化率

导数及其应用

导 数

导数的几何意义

几个初等函数的导数

导数的运算法则 函数的单调性

导数在研究函数中的应用 函数的极值和最值 生活中的优化问题 3.1 导数的概念 知识梳理 1.平

均速度:物理学中,运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度,即一段时间或一段位移内的速度; 若物体的运动方程为 s ? f (t ), 则物体从 t 到 t ? ?t 这段时间内的平均速度 v(t , ?t ) ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1 般的,函数 f (x) 在区间 [ x1 , x2 ] 上的平均变化率为 。
间内的平均速度来代替的,是对物体速度的一种粗略的估算。当平均速度 v(t , ?t ) ?

f (t ? ?t ) ? f (t ) ;一 ?t

2. 瞬时速度:是某一时刻或位置物体的速度,方向与物体运动方向相同。我们测量的瞬时速度是用很短时

?t 无限趋近于 0 时,平均速度 v(t , ?t ) ?
v=

?s f (t ? ?t ) ? f (t ) = (?t ? 0) 。求瞬时速度的步骤为: ?t ?t (1)设物体的运动方程为 s ? f (t ) ; (2)先求时间改变量 ?t 和位置改变量 ?s ? f (t ? ?t ) ? f (t ); ?s f (t ? ?t ) ? f (t ) (3)再求平均速度 v(t , ?t ) ? ? ?t ?t ?s f (t ? ?t ) ? f (t ) (4)后求瞬时速度:瞬时速度 v= = (?t ? 0) . ?t ?t 3. 求函数 y ? f (x) 的导数的一般方法: (1)求函数的改变量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) . ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) (2)求平均变化率 . ? ?x ?x ?y / (3)取极限,得导数 y = f ?( x) ? (?x ? 0) . ?x / 4. y ? f (x) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切线方程为 y ? f ( x0 ) ? f ( x0 )( x ? x0 ) ;
3.1.1 问题探索 求自由落体的瞬时速度
第 1 页 共 39 页

f (t ? ?t ) ? f (t ) 的极限称为在时刻 t 的瞬时速度 v(t ) ,记作 ?t

f (t ? ?t ) ? f (t ) 中的 ?t

典例剖析 题型一 平均速度 例 1. 已知自由落体运动的位移 s(m)与时间 t(s)的关系为 s= 秒….各段内平均速度( g ? 9.8 ) 。 题型二 瞬时速度

1 2 计算 3.001 秒 、3.0001 gt , t 从 3 秒到 3.1 秒 、 2

例 2.以初速度为 vo (vo ? 0) 做竖直上抛运动的物体,t 秒时的高度为 s(t ) ? vo t ? 处的瞬时速度。 所以物体在时刻 m 处的瞬时速度 v o ? gm 。

1 2 gt , 求物体在时刻 t=m 2

评析:求瞬时速度,也就转化为求极限,瞬时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的, 只要知道了物体的运动方程,代入公式就可以求出瞬时速度了. 备选题 例 3:设函数 f ( x) ? x ? 1 ,求:
2

(1)当自变量 x 由 1 变到 1.1 时,自变量的增量 ?x ; (2)当自变量 x 由 1 变到 1.1 时,函数的增量 ?y ; (3)当自变量 x 由 1 变到 1.1 时,函数的平均变化率; 练习 1. 在求平均变化率中,自变量的增量 ?x ( ) A. ?x ? 0 B. ?x ? 0 C. ?x ? 0 D. ?x ? 0 2. 一质点的运动方程是,则在一段时间 ?1,1 ? ?t ? 内相应得平均速度为: ( A. 3?t ? 6 B. ? 3?t ? 6 C. 3?t ? 6



D. ? 3?t ? 6 ?x 3、在曲线 y=x2+1 的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+Δ x,2+Δ y),则 为( ?y A.Δ x+



1 1 1 +2 B.Δ x- -2 C.Δ x+2 D.2+Δ x- ?x ?x ?x 2 4.一物体位移 s 和时间 t 的关系是 s=2t-3 t ,则物体的初速度是 2 5. 一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末的瞬时速度 课外作业: 一.选择题 3 1、若质点 M 按规律 s ? t 运动,则 t ? 3 秒时的瞬时速度为( ) A. 2 B. 9 C. 27 D. 81 2 2、任一做直线运动的物体,其位移 s 与时间 t 的关系是 s ? 3t ? t ,则物体的初速度是( ) A 0 B 3 C -2 D 3 ? 2t 3、设函数 y ? f ?x ? ,当自变量 x 由 x 0 改变到 x 0 ? ?x 时,函数的改变量 ?y 为( )
A

f ?x0 ? ?x ?

B

f ?x0 ? ? ?x
2

C

f ?x0 ? ? ?x

D

f ?x0 ? ?x ? ? f ?x0 ?

4、物体的运动方程是 s ? ? 4t ? 16t ,在某一时刻的速度为零,则相应时刻为( A. t ? 1 B. t ? 2 C. t ? 3 D. t ? 4
2

)

5、一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在 1 秒末的瞬时速度 是( ) A.3 米/秒 6、在曲线 y ? B.2 米/秒 C.1 米/秒 D.4 米/秒 )

?y 3 3 2 3 ? ? 为( x 的图象上取一点(1, )及附近一点 ?1 ? ?x, ? ?y ? ,则 2 2 2 ?x ? ? 3 1 3 1 3 3 1 A B C D ?x ? 3 ? ?x ? 3 ? ?x ? 3 ?x ? 3 ? 2 ?x 2 ?x 2 2 ?x 7. .物体的运动规律是 s ? s(t ) ,物体在 ?t , t ? ?t ?时间内的平均速度是( )
第 2 页 共 39 页

8.将边长为 8 的正方形的边长增加 ? a,则面积的增量 ? S 为 A.16 ? a B.64 二.填空题:
2

?s s( ?t ) ? ?t ?t s (t ) C. v ? t
A. v ?

B. v ?

s(t ? ?t ) ? s(t ) ?t

D.当 ?t ? 0 时, v ?
2

s(t ? ?t ) ? s(t ) ?0 ?t
( )

C. a +8
2

D.16 ? a+ ? a

2

9、已知一物体的运动方程是 s ? 6t ? 5t ? 7 ,则其在 t ? ________时刻的速度为 7。 2 10. 物体运动方程 y= x +3x,则物体在时间段 ?2,4?上的平均速度为______ 11、当球半径 r 变化时,体积 V 关于 r 的瞬时变化率是______ 3.1.2 问题探索 求作抛物线的切线 题型一 平均变化率 例 1:在曲线 y ? x 2 ? 1 的图象上取一点(1 ,2)及邻近一点(1+Δ x ,2+Δ y)求 Δ x 题型二 抛物线的切线 例 2. 求抛物线 y=f(x)=2 x -x 在(1,1)点处的切线斜率 备选题
2
Δy

( ( 例 3:曲线 y ? x ? 1 在点 P x 0 , y0) 的切线斜率为 2, 求点 P x 0 , y0) 的坐标.
2

点评:直线与抛物线相切,一般的解题方法是将直线方程代入抛物线方程消元,,利用 ? ? 0 求解. 2 1. 抛物线 f(x)=x -3x+1 在点(1,-1)处的切线方程为( ) 2.若抛物线 y= x +1 的一条切线与直线 y=2x-1 平行,则切点坐标为( A. (1,1) B (1,2) C (2,5) D (3,10) 3 过点M(-1,0)作抛物线 y ? x ? x ? 1 的切线,则切线方程为( (A)3x+y+3=0 或 x ? y ? 1 ? 0 (B) 3x ? y ? 3 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 (C) x ? y ? 1 ? 0 (D) 3x ? y ? 3 ? 0
2

2

) )

4. 已知曲线 y ? 2 x ? x 上有两点 A(2,0) ,B(-2,-8) ,则割线 AB 的斜率 k AB 为
2

5.已知曲线 y ? 2 x ? 1 在点 M 处的瞬时变化率为-4,则点 M 的坐标是为___ 课外作业: 一.选择题 1、 若曲线 y ? f ( x)在点P(a, f (a))处的切线方程为:x ? y ? 1 ? 0, 那么在点P处的切线 斜率 ( ) A.大于 0 B. 小于 0 C.等于 0 D.符号不定
2

2、已知曲线 y ? 2ax ? 1 过点 ( a ,3) ,则该曲线在该点处的切线方程为(
2

) D. y ? ?4 x ? 7 )

A. y ? ?4 x ? 1
2

B y ? 4x ? 1 .

C. y ? 4 x ? 11

3、若曲线 y=- x +4x 的一条切线 l 与直线 2x-y-5=0 平行,则 l 的方程为( A.2x-y-4=0 B.2x+y=0 C.2x-y+1=0 D.2x+y-5=0
2

4、若曲线 f(x)= x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( ) A.4x-y-4=0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 D. x ? 4 y ? 3 ? 0 5、已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y= x +a 相切,则 a=(
2

) D.

A.4
2

B.-

3 4

C.-

1 4

1 2

6、曲线 f(x)= x ? 6 x 在点(1,-5)处的切线斜率为( ) A.k=3 B.k=-3 C.k=-4 D.k=4 2 7、函数 y= a x +1 的图象与直线 y=x 相切,则 a = ( A.

) D.1

1 8

B.

1 4

C.

1 2

第 3 页 共 39 页

8、过点(-1,0)作抛物线 y ? x ? x ? 1 的切线,则其中一条切线为( ) (A) 2 x ? y ? 2 ? 0 (B) 3x ? y ? 3 ? 0 (C) x ? y ? 1 ? 0 (D) x ? y ? 1 ? 0 二.填空题:
2

9、设曲线 y ? ax 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ?
2

10、曲线 y= x -3 的一条切线 l 的倾斜角为
2

2

? ,则切点坐标为______ 3
? ?? ? 4?

11、设 P 为曲线 C: y ? x ? 2 x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 ? 0, ? ,则点 P 横坐标的取值范围为 三解答题: 12. 求抛物线 y=f(x)=2 x 2 -x 在(1,1)点处的切线斜率.

( ( 13、曲线 y ? x ? 1 在点 P x 0 , y0) 的切线斜率为 2, 求点 P x 0 , y0) 的坐标.
2

14、已知抛物线 y=f(x)= x +3 与直线 y=2x+2,求它们交点处的切线方程。 3.1.3 导数概念和几何意义 题型一 导数求法 例 1.求函数 f(x)= ? x ? x 在 x ? ?1 附近的平均变化率,并求出在该点处的导数; 题型二 导数概念和几何意义 2 2 例 2(1)求曲线 y=f(x)=x +1 的过点 P(1,0)的切线方程.(2)求函数 y=3x 在 x=2 点处的导数.(3)求 2 函数 y=3x 的导数. 练习
2

2

1、已知曲线 y ?

x2 1 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 4 2




A.1 B.2 C.3 D.4 2、函数 y=f(x)在 x= x 0 处的导数 f ?( x0 ) 的几何意义是( A.在 x= x 0 处的函数值;

B.在点( x 0 ,f( x 0 ))处的切线与 x 轴所夹锐角的正切值。 C.曲线 y=f(x)在点( x 0 ,f( x 0 ))处的切线的斜率, D.点( x 0 ,f( x 0 )与原点连线的斜率 3、若曲线 y ? 2 x ? x 在点 P 处的切线的斜率是-1,则 P 点的坐标为( B ) A(1,1) B(1,1)或(-1,-1) C(2,-4) D(-2,4)或(2,-4)
3

4、若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为
4

5、函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 5 的图像在 x ? 1 处的切线在 x 轴上的截距为_______________ 课外作业: 一.选择题,
3

1、 f ( x) ? ax ? 3x ? 2 ,若 f (?1) ? 4 ,则 a 的值等于(
3 2

'


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19 16 13 10 B C D 3 3 3 3 3 2、曲线 y ? 4 x ? x 在点 ? ?1, ?3 ? 处的切线方程是( ) (A) y ? 7 x ? 4 (B) y ? 7 x ? 2 (C) y ? x ? 4 ?(1) ? 2 ,则 a 的值( 3、设 f ( x) ? ax ? 4 ,若 f )
A
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(D) y ? x ? 2 -3
'

A

2
2

B . -2

C

3

D

4、若函数 f ( x) ? x ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ( x) 的图象是(



第 4 页 共 39 页

5、函数 f(x)=(x+1) 2-x+1)的导数是( (x A.x2-x+1 B.(x+1) (2x-1) 6、曲线 y=

) C.3x2

D.3x2+17.

1 在点(1,1)处切线的倾斜角 ? =( ) x 3? ? ? ? A B C D 4 4 3 4 3 7、曲线 y ? x ? 3x 上切线平行于 x 轴的点的坐标是( )
A (-1,2) B (1,-2) C (1,2) D (-1,2)或(1,-2)

x 8、曲线 y ? 在点 (1, ?1) 处的切线方程为( ) x?2 ( A) y ? x ? 2 ( B ) y? ? 3x ? 2 (C ) y ? 2 x 3 ?
二.填空题: 9、曲线 y ? 2x 在点(1,2)处的瞬时变化率为
2

( D ) y? ? 2 x ? 1

10、已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y ? ax 相切,则 a=_____
2

11、过点 P(1,0)作曲线 y=- x 切线 l ,则 l 的方程为___ 三.解答题: 12. 已知 f ( x) ? x ,求曲线 y ? f (x) 在 x ? 2 处的切线斜率.
3

3

13、设 f ( x) ? x +1,求 f ( x) , f (?1) , f (2) 2 2 14、 (1)求曲线 y=f(x)=x +1 的过点 P(1,0)的切线方程.(2)求函数 y=3x 在 x=2 点处的导数.(3)求函 2 数 y=3x 的导数. 3.2 导数的计算 ; 2.基本初等函数的求导公式:
2 ' ' '

C '? 0 ; (kx ? b) ' ? k (k,b 为常数)
(a x ) ' ? a x ln a(a ? 0, 且a ? 0)

( x a )' ? ax a ?1 ;
(e x ) ' ? e x (ln x) ' ?

1 x

1 1 (log a x) ' ? log a e ? (a ? 0, 且a ? 0) x x ln a
(sin x)' ? cos x ;
3.导数的运算法则

( l nx)? ?
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1 x

(cos x)' ? ? sin x

x3 ? 3x 2 ?x ? 3x(?x) 2 ? (?x)3 ? x3 ? 3x 2 ? 3x?x ? (?x) 2 ?x ?y 所以 y? ? lim ? lim (3x 2 ? 3x?x ? (?x) 2 ) ? 3x 2 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?
评析:严格按照求导数的步骤求解,就不会处错。
第 5 页 共 39 页

题型二 求函数的导数值 例 2 函数 y ? f ( x) ?

2 ,求 f ?(2) 的值。 x

分析:先求导数,再求导数值。

2 2 ? ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x x 解:因为 ? ? ?x ?x ?x 2[ x ? ( x ? ?x)] 2 ? ?? 2 x( x ? ?x)?x x ? x ? ?x ?y 2 2 所以 y? ? (?x ? 0) ? (? 2 )(?x ? 0) ? ? 2 ?x x ? x ? ?x x 1 ? f ?(2) ? ? 2 ?y f (2 ? ?x) ? f (2) 评析:也可以由 f ?(2) ? (?x ? 0) ? (?x ? 0) 求得。 ?x ?x
备选题 例 3:证明:过抛物线 y=a(x-x1)(x-x2) ? (a≠0,x1<x2)上两点 A(x1,0) 、B(x2,0)的切线,与 x 轴所成的锐角相等. 解:y′=2ax-a(x1+x2) , 即 kA=a(x1-x2) ,即 kB=a(x2-x1). 设两条切线与 x 轴所成的锐角为 ? 、β ,则 tan ? =|kA|=|a(x1-x2)|, tanβ =|kB|=|a(x2-x1)|,故 tan ? =tanβ . 又 ? 、β 是锐角,则 ? =β . 评析:利用与 x 轴所成的锐角和倾斜角之间的关系,只要求出切线的斜率进行比较即可. 点击双基 1.质点运动方程是 S= t 。则质点在 t=2 时的瞬时速度为( A.6 B。12. C.8 D.9 解: s =3 t ,t=2 时 s =12. 瞬时速度为 12,故选 B 2.求曲线 f(x)= x 在点 P(-2,4)处的切线方程为。 A.y=4x-4, B.y=4x+4 C.y=-4x+4 解: f (x)=2x,斜率 k= f (-2)=-4,故选 D 3.下列各式中不正确的是 ( A.y=8,则 y =0, 解:由 ( x ) =n x 4.曲线 y=
n ' ' ' '

3



'

2

'

2

( ) D.y=-4x-4

) C.y=

B.y=3x, ,则 y =3
n ?1

'

1 1 ' ,则 y = 2 . x x

D.y= x ,则 y =3 x

3

'

2

,若 y=

1 1 ' ,则 y =- 2 ,故选 C x x

1 1 在点(2, )处的切线斜率 k=____ 2 x 2 1 1 1 2 ' ' 解:y= 2 , y =- 3 ;当 x=2 时 y =- 。所以切线斜率 k=x x 4 4 2 5.抛物线 y= x 上到直线 x+2y+4=0 距离最短的点的坐标_______。
解:当切线平行于直线 x+2y+4=0 时,切点为所求, 令 y =2x='

1 1 1 1 ,得 x=-- ,所以距离最短的点的坐标(- , ) 2 4 4 16

课外作业 一.选择题, 1.曲线 x -y=0 在点(-2,-8)处切线方程是
3





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A .y=12x-16 By=6x-16 C y=12x+16 ' 2 解: y =3 x ,切线斜率 k=12, 故选 C 2 曲线 f(x)= x 点(4,2)处切线方程是 ( A.x-4y+4=0 B x+4y+4=0 C。 4x-y+4=0. 解: f (x)=
'

D y=6x+8

) D 4x+y+4=0

1 2 x
2

,切线斜率 k=

1 ,处切线方程是 x-4y+4=0,故选 A 4

1 1 , )处的倾斜角为 ( ) 2 4 ? 5? ? A.1 B. C. ? D. 4 4 4 1 2 解: ( x )? ? 2 x ? k ? 2 ? ? 1 ,故选 B 2
3. 曲线 y ? x 在点( 4. 已知 f ( x) ? x ,则 f ?(3) 的值为 A.3 B.9 C.27
3

( D. ? 27



解:? f ?( x) ? 3x ? f ?(3) ? 27 ,故选 C
2

5.曲线 f(x)= x 在点 P(2,4)处的切线与 X 轴以及 直线 X=3 所围成的三角形的面积为( ) A 6 B 8 C 10 D12 ' 解: f (x)=2x, 切线斜率 k=4, 切线方程是 4x-y-4=0.则如图 M(3,8) ,N(3,0) ,H(1,0) ?所围成的三角形的面积为 8,故选 B
3

2

M

0H

N

x

6.曲线 x -y=0 在点 P 处切线方程是 3x-y-2=0,则 P 点坐标是( ) A (1,1) B (-1,-1) C (1,1)(-1,-1) D (2,8) , 解: y =3 x =3,得 x=1,或 x=-1,? x=-1.y=-5 舍去,故选 A 7.曲线 xy=1 在点(1,1)处的切线与直线 y=x 的夹角为( A
'

2



? 2

B
'

解: y = ?

? 1 ,切线斜率 k=-1,?切线与直线 y=x 的夹角为 ,故选 A 2 x 2
y
2 2 3

? 4

C

? 6

D 0

8.若右图是 y=f(x)的导数图像则 f(x)的解析式可能是 ( ) A y= x
3 2

B y=- x
'

C y= x

D y=- x

0

x

解; y=- x 时, y =-2x 符合 y=f(x)的导数图像,故选 B 二.填空题 9. 已知 y ?

x ,则在 x ? 5 处的导数
1 2 x ? f ?(5) ? 1 2 5 ? 5 10



解:? f ?( x) ?
3

10.如果曲线 x -y=0 的切线与直线 y=6x+3 平行,则切线方程是___ 解: y =3 x =6,得 x= 2 或 x=- 2 ?切点( 2 ,2 2 )或(- 2 ,-2 2 )
'

2

切线方程是 y=6x ? 4 2 11.抛物线 y= x 上的点到直线 y=x-2 的最短距离为_______ 解:当切线与直线 y=x-2 平行时,切点到直线 y=x-2 的距离为所求最短距离。
2

7 2 1 1 y ' =2x=1,切点( , ) ,则切点到直线 y=x-2 的距离为 。 8 2 4
三.解答题
第 7 页 共 39 页

12. 求 f(x)= x 3 在点 P(1,1)处的导数及切线方程。 解:? f (x)=3 x ,? f (1)=3, 所以切线斜率 k=3,则切线方程为 y-1=3(x-1),
'

2

'

? 3 13.如果曲线 x -y=0 的切线的倾斜角为 ,求切点坐标。 4 ? ' 3 2 解:y= x ,则 y =3 x ,?切线的倾斜角为 ,?切线斜率 k=1, 4 3 3 3 3 3 2 3 x =1,则 x= ? . 当 x= 时 y= , 当 x= 时 y= . 3 3 9 3 9
所以切点坐标分别为(
2

即 y=3x-2

3 3 3 3 , )和(,.) 3 9 3 9
2

14.求曲线 xy=1 和 y= x 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积。

1 1 ' 的导数 y =- 2 ,?切线斜率 k=-1,切线 x x ' 2 方程是 L1 :y= -x+2.. ?函数 y= x 的导数 y =2x, ?切线斜率 k=2, 切线方程是 L2 : y=2x-1.,. 1 ,B( ,0) L1 , L2 与 X 轴交点分别是 A(2,0) 2 1 1 3 ?所求三角形面积为 S= ? (2- ) ? 1= 2 2 4
解:?曲线 xy=1 和 y= x 在它们交点为 P(1,1) ?函数 y= , 思悟小结 几个幂函数的求导公式:

⑴ (C )? ? 0 (C 为常数) ⑶ ( x 2 )? ? 2 x 1 1 ⑸ ( )? ? ? 2 x x
3.2.2 一些初等函数的导数表 典例剖析: 题型一 函数导数的求法 例 1 例 1. 求下列函数导数: (1) y ? x
?5

⑵ ⑷ ⑹

? (x ) ? 1 3 ( x )? ? 3 x 2 1 ( x )? ? 2 x

( 2) y ? 4
x

x a a ?1

分 析 : 1 ) ( 3 ) 为 幂 函 数 , 利 用 公 式 ( x )' ? ax ( 、

(a ? 0) 计 算 ; ( 2 ) 为 指 数 函 数 , 利 用

(a ) ' ? a ln a(a ? 0, 且a ? 0) 计算。 ?5 ?6 解: (1) ( x )? ? ?5 x ;
x

x x ( 2) (4 )? ? 4 ln 4 ;

点评:注意 y ? a 的导数与 y ? x 的导数的区别 题型二 函数导数的简单应用
x a

例 2 ①求函数 y ? e 在 x ? e 处的切线的方程;
x

②过原点作曲线 y=ex 的切线,求切线的方程. 分析:先利用公式求出导数确定切线斜率,再利用点斜式确定切线方程。 解答: ①因为切点为 (e, e ),? (e )? ? e ? k ? e ,
e x x e

由点斜式得 y ? e ? e ? x ? e ? ,
e e

即 y ? e x?e
e

e ?1

? ee .
第 8 页 共 39 页

②设切点为 ( x0 , e 0 ),? (e )? ? e ? k ? e
x x x

x0

由点斜式得 y ? e

x0

? e x0 ?x ? x0 ? ,
0 0

?切线过原点,? 0 ? e x ? e x (0 ? x0 ),? e x ? 0,? x0 ? 1,? 切点为 (1, e), ? k ? e, 由点斜式,得: y ? e ? e( x ? 1), 即: y ? ex.
0

点评:在求切线方程的过程中,如何设切点、求切点是解题的关键。 备选题 例 3:求下列函数的导数:

x x sin 2 2 3 1 3 1 ?1 3 2 3 2 3 ' 2 ) ' =( 2 ) ' = 解: (1) y =(x ? x x = x = x 2 2 2 x x ' ' ' (2) y =(2cos sin ) =(sinx) =cosx 2 2
(1)y=x x , (2)y=2cos

x

评析:要用导数表中的公式对函数求导,应对表达式适当的变形。如(1)应化为 y= x 的形式, (2)应用三角变换公式使之转化为初等函数的导数。 点击双基 1. 若 f ( x) ? x , f ( x0 ) ? 9 ,则 x0 的值为(
3 '

n



A, 1,
'

B

3

C -1

D ? 3

解: y =3 x =9,x= ? 3 ,故选 D
2

2. f(x)=sinx,则 f ( A.0
'

'

? )= 2

( C. -1
'

) D.

B.1

解: f (x)=cosx, ? f (
n
'

? ? )=cos =0,故选 A 2 2

? 2

3. f(x)= x ,若 f (2)=12,则 n= ( ) A.3 B. 4 C. 5 D, 6 ' n ?1 n ?1 解: f (x)=n x , n2 =12,n=3,故选 A 4 曲线 y=lnx 在 x=e 点处的切线方程为_____

1 1 1 1 ,切线斜率 k= ,切线方程为 y-1= (x-e),即 y= x。 x e e e x 5. 某质点运动的方程为 y= 2 。求时间 x=3 时的瞬时速度______ ' x 解: y = 2 ln2,当 x=3 时瞬时速度 8ln2。
解: y =
'

课外作业 1、 y ? 3 x 的导数是 A.3x ( )

1 B. x 3
1 2

1 ? C. ? x 3 3
1 ?3 x ,故选 D 3
'

2

1 ? D. x 3 3

2

解: (3 x )? ? ( x 3 )? ?
3 2

2、 f ( x) ? ax ? 3x ? 2 ,若 f (?1) ? 4 ,则 a 的值等于( A.



19 3

B.

16 3

C.

13 3

D.

10 3

第 9 页 共 39 页

解: f ?( x) ? 3ax 2 ? 6 x, f ?(?1) ? 3a ? 6 ? 4, a ? 3、 下列各结论正确的是 A (lon3 x ) =
'

10 ,故选 D 3

(

)

1 ' B ( 2 x ) ' =2x C (sin x) =cosx D (cosx) ' =sinx 3x 1 ' ' 解: (lon3 x ) = ;( 2 x ) = 2 x ln2; (cosx) ' =-sinx ,故选 C x ln 3 4 4、 若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( ) A. 4 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 D. x ? 4 y ? 3 ? 0 ' 3 解: y =4 x =4,x=1,所以切点(1,1) ,故选 A
5、函数 f(x)= a (a>0 且 a ? 1), f (2)= a ,则 a=
x
'

2

(

)

A 2
'

B e
x 2

C 4
2

D

e2


解: f (x)= a lna, a lna= a ,lna=1? a=e ,故选 B 6、曲线 y=sinx, x ? ? ? A y=
'

? x, 2

? ? ?? , ? 的一条切线 m 平行于直线 x-y-3=0, 则 m 的方程为( ? 2 2?
C y=x+1 D,不存在

B y=x

解:令 y =cosx=1,? x ? ? ?
x

? ? ?? 、切线斜率 k=1,故选 B , ? ,?x=0.切点(1,1) ? 2 2?


7 、曲线 y ? e 在点 (2, e 2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ( A.

9 2 e2 B. 2e 2 C. e 2 D. e 2 4 ' x 2 2 2 解: y = e ,切线斜率 k= e ,切线方程为 y= e x- e ,与坐标轴交点(0,- e 2 )、
(1,0)。?切线与坐标轴所围三角形的面积为

e2 ,故选 D 2

8、 f 0 ( x) ? sin x, f1 ( x) ? f 0?( x), f 2 ( x) ? f1?( x),?,f n ?1 ( x) ? f n?( x) , (n ? N )

? 则 f 2009 ( x) ? (



A.

? sin x

B. sin x

C. cos x

D. ? cos x

解: f1 ( x) ? cos x, f 2 ( x) ? -sinx, f 3 (x)=-cosx, f 4 (x)=sinx, f5 ( x) ? cos x ?. 周期为 4,2009=502 ? 4 +1 ,故选 A 二.填空题 9、函数 y= e 2 ,则 y =_________
'

解:常数函数的导数为 0,? y =0, 10、已知函数 f ( x) ? sin x ? ln x ,则 f ?( x) = . 1 解: f ?( x) = cos x ? x ' ' 11、已知 f(x)=lnx, g(x)=x. 且 f (x)-g (x)>0,则 x 的取值范围是_______
'

解: (lnx- x ) =

'

1 -1>0, ?x>0,?0<x<1. x

三解答题 12、求函数的导数: y ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)

第 10 页 共 39 页

解:? y ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ? x 3 ? 6 x 2 ? 11x ? 6

? y ? ? 3x 2 ? 12 x ? 11
13、物体的运动方程是 s ? t 3 ? 2t 2 ? 1(位移单位:m,时间单位:s) ,当 t ? 2 时,求物体的瞬时速度及 加速度. 解:? s ? t ? 2t ? 1
3 2

? s? ? 3t 2 ? 4t (s?)? ? 6t ? 4 故当 t ? 2 时, s? ? 20, (s?)? ? 16 2 所以当时间 t ? 2 时, v ? 20 m / s, a ? 16 m / s .
14、f(x)=lnx,若 4f ' (x)+x ? a 恒成立,求 a 的取值范围。 解:由函数定义域知 x>0,又 f ' (x)=

1 4 ,所以不等式化为: +x ? a 恒成立. x x

4 ? +x ? 4 x

4 ?只须 a ? 4 则 +x ? a 恒成立. x 所以 a 的取值范围是:a ? 4.
思悟小结 基本初等函数的导数公式记忆: ; (a ? 0) (注意幂函数 a 为任意实数) x x 第二类为指数函数, (a ) ' ? a ln a(a ? 0, 且a ? 0) ,当 a ? e 时, e 的导数是 ( a ) ? 的一个特例; 1 1 第三类为对数函数, (log a x) ' ? log a e ? (a ? 0, 且a ? 0) ,当 a ? e 时, ln x 也是对数函数的一 x x ln a 第一类为幂函数, ( x )' ? ax
a
x x

a ?1

个特例; 第四类为三角函数,可记住正弦函数的导数是余弦函数,余弦函数的导数是正弦函数的相反数,正切函数 的导数是余弦函数平方的倒数,余切函数的导数是正弦函数的平方的倒数的相反数。 利用公式求函数的导数,这就要求熟练掌握公式。特别注意 y ? a 的导数与 y ? x 的导数的区别,
x a

不要犯这样的错误: (a )? ? xa
x

x ?1



3.2.3 导数的运算法则 题型一 导数的运算法则 例 1 求下列函数的导数 (1)y=2 x +3cosx, (3)y=xsinx
'

3

(2)y=(1+2x)(2x-3) (4)y=

x ?1 x2
2 2

' ' ' 解;(1) y =(2 x +3cosx) =( 2 x ) +(3cosx) =6 x -3sinx

3

3

(2)将函数化为 y=4 x -4x-3,所以 y =(4 x -4x-3) =8x-4
' ' ' (3) y =(xsinx ) =x sinx+x(sinx) =sinx+xcosx
'

2

'

'

(4) y =(

'

x ? 1 ' ( x ? 1) ' ? x 2 ? ( x ? 1) ? ( x 2 ) ' x 2 ? ( x ? 1) ? 2 x x ? 2 ) = = =- 3 x4 x4 x2 x

评析:按导数的运算法则求导。 题型二 化简后求导 例 2 求下列函数导数: (1)y=sin(

? +x) 2

(2)y=cos(2π -x)

(3) y ? (sin

x x ? cos ) 2 ? 1 2 2

分析:对于不具备基本初等函数特征的函数,应该先变形,然后求导。 解答: (1)因为 y=sin(

? +x)=cosx 2
第 11 页 共 39 页

所以 (sin(

?
2

? x))? ? (cos x)? ? ? sin x ;

(2) 因为 y=cos(2π -x)=cosx 所以 (cos(2? ? x))? ? (cos x)? ? ? sin x ; (3) 因为 y ? (sin

所以 (sin x)? ? cos x 点评:记住基本初等函数函数的求导公式,是计算导数的关键,特别注意各求导公式的结构特征。 备选题 例 3.求下列函数的导数: ⑴ y ? (2 ? x ) ;
2 3 2 3

x x x x x x ? cos ) 2 ? 1 ? sin 2 ? 2 sin cos ? cos2 ? 1 ? sin x 2 2 2 2 2 2

⑵ y ? sin x ;
2 3

分析:利用复合函数的求导法。 解:⑴函数 y ? (2 ? x ) 由函数 y ? u 和

? x u ? 2 ? x 2 复合而成,? y? ? yu ? u? ? 3u 2 ? (?2 x) ? 3(2 ? x 2 ) 2 (?2 x) ? ?6 x(2 ? x 2 ) 2
⑵函数 y ? sin x 由函数 y ? sin u 和 u ? x
2

2
2

? x 复合而成,? y? ? yu ? u? ? cosu ? 2 x ? 2 x cos x

点评:求复合函数的导数时,按以上规则求解就不会算错。 点击双基 1. 函数 f ( x) ? ?2?x ? 的导数是(
2


2

A . f ?( x) ? 4?x
2

B. f ?( x) ? 4? x
2 2

C. f ?( x) ? 8? x
2
2
2

D. f ?( x) ? 16?x

解: f ( x) ? ?2?x ? ? 4? x ,? f ?( x) ? 2 ? 4? x ? f ?( x) ? 8? x ,故选 C 2.函数 y=(x+1) (x-1)在 x=1 处的导数等于 A.1
'
2





B.2
3 2
'

C.3
2

D.4

解: y =( x + x -x-1 ) =3 x +2x-1, x=1 处的导数等于 4,故选 D

3.f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数,若 f(x),g(x)满足 f′(x)=g′(x),则 f(x)与 g(x)满足
( ) A.f(x)=g(x) C.f(x)=g(x)=0 B.f(x)-g(x)为常数函数 D.f(x)+g(x)为常数函数
'

解:f′(x)-g′(x)=0, (f(x)-g(x)) =0,? f(x)-g(x)为常数函数,故选 B 4. y=3x2+xcosx,求导数 y′=___ 解: y =6x+cosx+xsinx
'

x2 5.求 y= 的导数. y′=____ sin x 2 2 ? ? 2 x sin x ? x 2 cos x ' ( x ) sin x ? x (sin x ) ? 解: y = (sin x) 2 sin 2 x
课外作业 一.选择题 1、曲线 y=x3-3x2+1 在点(1,-1)处的切线方程为 A.y=3x-4 B.y=-3x+2 C.y=-4x+3 D.y=4x-5 2 解:∵点(1,-1)在曲线上,y′=3x -6x, ∴切线斜率为 3?12-6?1=-3,∴所求切线方程为 y+1=-3(x-1) 故选 B , 2、下列求导的式子中正确的是( )
第 12 页 共 39 页

A.[cos(1-x)] =-sin(-x) C.(a ) =xa
x / x-1

/

B. (e x) ? e ? e x
/

?

?

?

D. (ln

1 / 1 ) ?? x x
)

解:利用导数的运算法则,故选 D 3、已知函数 f(x)在 x=1 处的导数为 3,则 f(x)的解析式可能为 ( A.f(x)=(x-1) +3(x-1) C.f(x)=2(x-1)
2 2

B.f(x)=2(x-1) D.f(x)=x-1

解:A 中 f(x)= x 2 +x-2, f (x)=2x+1, ? f (1)=3,故选 A
' '

4、下列求导数运算正确的是(



' 1 1 1 A. ( x ? ) ' ? 1 ? 2 B. (log 2 x) ? x x ln 2 x x ' x 2 ' C. (3 ) ? 3 log 3 e D. ( x cos x) ? ?2 x sin x 1 ' 1 x ' x 2 ' 2 解: ( x ? ) ? 1 ? 2 , (3 ) ? 3 ln 3 , ( x cos x) ? 2 x cos x ? x sin x ,故选 B x x 3 2 ' 5、函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 2 e,若 f (1) =9,则 a 的值等于( )

A.1
'

B.-1
2

C.3

D.-3

解: f ( x) ? 3 x +6ax,3+6a=9, ?a=1,故选 A 6、若 f(x)=2sin ? +cosx,则 f ' ( ? )等于 ( ) A -sin ? B.sin ? C.2cos ? - sin ? .D cos ?
' 解: f ( x ) ? -sinx, ? f ( ? )=-sin ? ,故选 A
'

7、已知 f(x)= x ? 2 xf (1) ,则 f (0)的值为 A. 0 B。-2 C 2.
2 ' ' ' ' '


'

) D -4
'

解: f ?( x) ? 2x+ 2 f (1) ,? f (1) ? 2+ 2 f (1) ,则 f (1) ? -2,? f (0) ? -4 ,故选 D x ’ 8、若函数 y=x?2 且 y =0,则 x 的值为 ( ) A.'

1 ln 2
x x

B.

1 ln 2


C.- ln 2

D. ln 2

解: y = 2 +x 2 ln2, y =0,则 x 的值为二,填空题 9、求曲线 y ? x ? 解: y =1+
'

1 ,故 选 A ln 2

1 在点 (1,0) 处的切线方程_____ x

1 ,则切线斜率 k=2, 切线方程 2 x ? y ? 1 ? 0 x2 x2 ' 10、函数 f ( x) ? ,则 f (? ) ? cos x 2 x cos x ? x 2 sin x ' ' 解: f (x)= ,? f (? ) ? -2 ? 2 cos x 1 x ' 11、函数 y ? ( ) ,则 y | x ?1 = 4 ln 2 1 x 1 ' ' 解: y = ( ) ln , y | x ?1 = ? 4 4 2
三?解答题 12、求函数(1)y=(3x2+1)(2-x); (2)y=(1+x2)cosx 的导数. 解:(1)y′=[(3x2+1)(2-x)]′=(3x2+1)′(2-x)+(3x2+1)(2-x)′ =3?2x(2-x)+(3x2+1)(-1)=-9x2+12x-1
第 13 页 共 39 页

(2)y′=[(1+x2)cosx]′=(1+x2)′cosx+(1+x2)(cosx)′ =2xcosx+(1+x2)(-sinx)=2xcosx-(1+x2)siinx 13、求曲线 y=xlnx+3 的平行于直线 y=x+6 的切线方程。 解:设切点为 P( x 0 , y 0 ) 。 因为 y′=1+lnx, 所以曲线 y=xlnx+3 在切点 P 处的切线斜率为 1+ln x 0 . 令 1+ln x 0 =1.得 x 0 =1. 所以切点 P(1,3) 于是切线方程是 y=x+2 。 14、求下列函数的导数(先设中间变量,再求导). (1)y=( 5x ? 3 ) 4
3

(2)y=(2x 3 +x) 2
3

解:(1)令 y=u 4 ,u=5x-3 ∴ y ' x ? y 'u ?u ' x = 4u ? 5 ? 20(5 x ? 3) (2)令 y ? u , u ? 2 x ? x
2 3 2

∴ y ' x ? y 'u ?u ' x = 2u ? (6 x ? 1) ? 2(2 x ? x) ? (6 x ? 1)
3 2

? 24 x5 ? 16 x3 ? 2 x
思悟小结 对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导时,不但要重视求导法则的应用,而且 要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算 失误 复合函数求导法则,像链条一样,必须一环一环套下去,而不能丢掉其中的一环 必须正确分析复合 函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
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3.3 导数在研究函数中的应用 知识梳理 一 函数的单调性 1、利用导数的符号判断函数的单调性: 一般地,设函数 y ? f (x) 在某个区间可导,如果 f (x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数;如果 f ( x) ? 0 ,
' '

则 f (x) 为减函数;如果在某区间内恒有 f ( x) ? 0 ,则 f (x) 为常数;
'

2、对于可导函数 y ? f (x) 来说, f (x) ? 0 是 f (x) 在某个区间上为增函数的充分非必要条件,
'

f ' ( x) ? 0 是 f (x) 在某个区间上为减函数的充分非必要条件。
3、利用导数判断函数单调性的步骤: ①求函数 f(x)的导数 f′(x). ②令 f′(x)>0 解不等式,得 x 的范围就是递增区间. ③令 f′(x)<0 解不等式,得 x 的范围,就是递减区间. 4、已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性关系:即“若 函数单调递增,则 f ( x) ? 0 ;若函数单调递减,则 f ( x) ? 0 ”来求解,注意此时公式中的等号不能省略, 否则漏解. 二 函数极大值、极小值 1、极大值:如果 x ? c 是函数 f(x)在某个开区间 (u, v) 上的最大值点,即不等式 f (c) ? f ( x) 对 一切 x ? (u, v) 成立, 就说函数 f(x)在 x ? c 处取到极大值 f (c) , 并称 c 为函数 f(x)的一个极大值点,f (c) 为 f(x)的一个极大值。 2、极小值:如果 x ? c 是函数 f(x)在某个开区间 (u, v) 上的最小值点,即不等式 f (c) ? f ( x) 对一 切 x ? (u, v) 成立,就说函数 f(x)在 x ? c 处取到极小值 f (c) ,并称 c 为函数 f(x)的一个极小值点, f (c) 为 f(x)的一个极小值。 3、极大值与极小值统称为极值 ,极大值点与极小值点统称为极值点;若 f ?(c) ? 0 ,则 x ? c 叫做 函数 f(x)的驻点;可导函数的极值点必为驻点,但驻点不一定是极值点。
' '

是 f (x) 的极值点,f (c) 是极值, 并且如果 f ?(x) 在 c 两侧满足 “左正右负”则 c 是 f (x) 的极大值点,f (c) , 是极大值;如果 f ?(x) 在 c 两侧满足“左负右正” ,则 c 是 f (x) 的极小值点, f ( x0 ) 是极小值
第 14 页 共 39 页

4、判别 f(c)是极大、极小值的方法:若 x 0 满足 f ?(c) ? 0 ,且在 c 的两侧 f (x) 的导数异号,则 c

5、求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x) (2)求 f(x)的驻点,即求方程 f′(x)=0 的根 (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查 f′(x)在 方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在 这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,那么 f(x)在这个根处无极值 三 函数的最大值和最小值 在区间[a, b]上连续的函数 f (x) 在[a, b]上必有最大值与最小值。 求闭区间 [a, b] 上连续的函数 f (x) 的最大值和最小值的思想方法和步骤: (1)求函数? (x) 在(a,b)内的极值; (2)求函数? (x) 在区间端点的值?(a)、?(b); (3)将函数? (x) 的各极值与?(a)、?(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。 四 三 次 函 数 y ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 有 极 值 ? 导 函 数 f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c 的 判 别 式
3 2 2

? ? 4b 2 ? 12ac >0
3.3.1 利用导数研究函数的单调性 典例剖析: 题型一 求函数的单调区间 例 1 已知函数 y=x+

1 ,试讨论出此函数的单调区间. x

分析:讨论函数的单调区间,可以利用导数来判断 解答:y′=(x+

1 )′ x 2 1 x ? 1 ( x ? 1)( x ? 1) ? =1- 2 = x x2 x2 ( x ? 1)( x ? 1) 令 >0. 解得 x>1 或 x<-1. x2 1 ∴y=x+ 的单调增区间是(-∞,-1)和(1,+∞). x ( x ? 1)( x ? 1) 令 <0,解得-1<x<0 或 0<x<1. x2 1 ∴y=x+ 的单调减区间是(-1,0)和(0,1) x
王新敞
奎屯 新疆

点评:利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,再求函数 f(x)的导数 f′(x).,然 后解不等式 f′(x)>0,得递增区间,解不等式 f′(x)<0,得递减区间. 题型二 已知函数的单调性,求参数的取值范围 例 2. 若函数 f ( x) ? 实数 a 的取值范围. 分析: 常利用导数与函数单调性关系: “若函数单调递增, f ( x) ? 0 ; 即 则 若函数单调递减, f ( x) ? 0 ” 则 来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.
' '

1 3 1 2 x ? ax ? (a ? 1) x ? 1 在区间 (1, 4) 内为减函数,在区间 (6, ??) 上为增函数,试求 3 2

解答:函数求导得 f ?( x) ? x ? ax ? a ? 1 ? ( x ? 1)[ x ? (a ? 1)] ,
2

令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? a ? 1 , 因为函数在区间 (1, 4) 内为减函数,所以当 x ? (1, 4) 时, f ?( x) ? 0 又因为在函数区间 (6, ??) 上为增函数,所以当 x ? (6, ??) 时, f ?( x) ? 0 , ∴ 4 ? a ?1 ? 6 ,
第 15 页 共 39 页

∴5? a ? 7. 即实数 a 的取值范围[5,7] 点评:已知单调区间求参数 a 的取值范围是近年来常见的考查导数的一种题型。 备选题 1 例 3:已知函数 f(x)=2ax- 2 ,x∈(0,1] ,若 f(x)在 x∈(0,1]上是增函数,求 a 的取值范围; x 2 1 解: 由已知可得 f′(x)=2a+ 3 ,∵f(x)在(0,1)上是增函数,∴f′(x)>0,即 a>- 3 , x∈(0,1]. x x ∴a>-1. 2 当 a=-1 时,f′(x)=-2+ 3 对 x∈(0,1)也有 f′(x)>0,满足 f(x)在(0,1]上为增函数, x ∴a≥-1. 评述:求参数的取值范围,凡涉及函数的单调性、最值问题时,用导数的知识解决较简单. 点击双基 1.函数 y=x+cosx 在(- ? ,+ ? )内是( ) A 增函数 B 减函数 C 有增有减 D 不能确定 解:因为 y =1-sinx ? 0 恒成立,故选 A
'

2..函数 f ( x) ? x ? 2 x ? a 的单调减区间是
3



D

) D.以上都不对。

A. ? ?,?2) ( 解:

B. (?2, ?)

C. (? ,0) ,

2 3

f ' (x)=3 x 2 +2>0 恒成立,不存在单调减区间,故选 D x 3.函数 f ( x) ? ? x ( a ? b ? 1) ,则 ( ) e A. f (a) ? f (b) B. f (a) ? f (b) C. f (a) ? f (b) D. f (a), f (b) 大小关系不能确定

e x ? xe x x ? 1 解: f (x)== x <0 时 x<1,所以( ? ?,1) 为减区间,又 a ? b ? 1 ,故选 C e2 x e 4.函数 f ( x) ? 5 ? x ? 2sin x( x ? (0, ? )) 的单调增区间是 1 2? ' 解: f (x)=1+2cosx>0,所以 cosx>- ; 单调增区间为(0, ) 2 3 1 2 5.如果函数 y= x +lnx-ax 在定义域为增函数,则 a 的取值范围是 2 1 1 1 ' 解:定义域为(0, ? ?) , y =x+ -a ? 0,即 a ? x+ 在定义域(0, ? ?) 上恒成立,又 x+ 最小值为 2, x x x 所以 a ? 2
'

课外作业 一.选择题, 1. .函数 f ( x) ? ? x ? x ? x 的单调减区间是
3 2

(

) D. (?1, )

A. ? ?,?1) (
'

B. ( , ?)
2

1 3

C. ? ?,?1) 和 ( , ?) (

1 3

1 3

解: f (x)=-3 x -2x+1<0,所以 x> 2.函数 f ( x) ?

1 或 x<-1,故选 C 3
B. f (x) 在 (0, ? ) 内是增函数 D. f (x) 在 (?

sin x ,则 ( x A. f (x) 在 (0, ? ) 内是减函数
C. f (x) 在 (?

)

? ?

, ) 内是减函数 2 2

? ?

, ) 内是增函数 2 2

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x cos x ? sin x ' ,当 x ? (0, ? ) 时 f (x)<0,故选 A 2 x 3. .函数 f (x ) = (x - 1)e x 的单调递增区间是 ( )
解: f (x)=
'

A.[0,+∞)
'

B. [2,+∞)
x x

C.(-∞,2]

D.(-∞,1] )

解:令 f (x)= e -(x-1) e >0,得 2-x>0,x<2,故选 C 4.. f ?( x) 是 f(x)的导函数, f ?( x) 的图象如右图所示,则 f(x)的图象只可能是(

A A.
'

B B.

C C.

D D. (
3

解: f ( x ) 越大表示曲线 f(x)递增(减)速度越快,故选 D 5.下列函数中,在 (0,??) 上为增函数的是 A.y=sinx+1, B. y ? xe
x


'

C. y ? x ? x
x

D. y ? ln(1 ? x) ? x
'

解:y=sinx+1 是周期函数,不满足条件; y ? xe ,则 y = e +x e ,当 x>0 时 y >0 成立。 选B
x x



6.对于 R 上可导的任意函数,若满足 ?x ? 1? f A . f ?0? ? f ?2? ? 2 f ?1? C . f ?0? ? f ?2? ? 2 f ?1?
' 3

?x ? ? 0 ,则必有( B. f ?0? ? f ?2? ? 2 f ?1? D. f ?0? ? f ?2? ? 2 f ?1?
/ '



解:x ? 1 时 f (x) ? 0;x ? 1 时 f (x) ? 0。所以 f(1)最小, f(0) ? f(1),f(2) ? f(1),故选 C 7.已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数,则实数 a 的(
2



A. (??,? 3 ] ? [ 3,??)

B. [? 3, 3 ]

C. (??,? 3 ) ? ( 3 ,??)
'

D. (? 3, 3 )
2

解:曲线 f(x)在 (??,??) 上是单调函数, f (x)=-3 x +2ax-1, ? =4 a -12 ? 0,故选 B 8.右图为是函数 f(x)的导数图像,它是一条直线。 Y 若 f(x) 图像过原点,则其顶点在 ( ) b A.第一象限 B 第二象限 C.第三象限 D 第四象限 解:f(x) 图像大致如右图,故选 A 0 a x O a X 二.填空题
2

9.如果函数 f(x)=x+ 解:令 f ' (x)=1-

a 在(2, ? )上是增函数,则 a 的取值范围是 x

a ? 0,则 a ? x 2 .?在(2, ? )上 x 2 >4,?只需 a ? 4 x2
2

10.函数 f ( x) ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 10 的单调递减区间为
'

解:令 f (x)=6 x -6x<0,解得 0<x<1,? 单调递减区间为 ?0,1? .

1 x -sinx,x ? ?0,2? ? .则其单调递增区间为 2 1 1 ? 5? ' 解:令 f (x)= -cosx ? 0,则 cosx ? ,其单调递增区间为( , ) 2 2 3 3
11. 函数 f(x)= 三、解答 12. 求函数 y ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 1 的单调区间。
3 2

证明:因为 y ? 6 x ? 6 x ? 12 ? 6 x ? x ? 2 ? 6 ? x ? 1?? x ? 2 ?
' 2 2

?

?

当 y ? 0 时解得 ?2 ? x ? 1 时,所以函数 y ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 1 的减区间是 ? ?2,1? 。当 y >0 时解得 x>1
'
3 2

'

或 x<-2, 所以函数 y ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 1 的增区间是( ? ?,?2) 和(1, ? ? ) 。 13.求下列函数单调区间
3 2

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x2 ?1 2 ; (2) y ? 2 x ? ln x x x2 ?1 解: (1) y ? ? ? 0 在 x ? 0 时恒成立,函数在 (?? , 0) 递增,在 (0 , ? ?) 递增。 x2 1 4x2 ?1 (2) y? ? 4 x ? ? ? 0 ,因为定义域为 (0 , ? ?) x x 1 4x2 ?1 1 1 ? 0 得 x ? (0 , ) 。 ? x ? ( , ? ?) ;由 y? ? 4 x ? ? x x 2 2 1 1 ? f (x) 在 x ? ( , ? ?) 递增,在 x ? (0 , ) 递减。 2 2 4 3 14. 若函数 y ? ? x ? bx 有三个单调区间,求 b 的取值范围. 3 2 2 解: f ?( x) ? ?4 x ? b ,因为函数有三个单调区间,所以方程 f ?( x) ? ?4 x ? b ? 0 有两个相异的根,故
(1) y ?

4 x 2 ? b 有两个相异的根,?b ? 0 。
思悟小结 1. f ? (x)>0 ? f(x)为增函数( f ? (x)<0 ? f(x)为减函数). 2.f(x)是增函数 ? f ? (x)≥0(f(x)为减函数 ? f ? (x)≤0). 3.3.2 函数的极大值和极小值 第一课时 典例剖析 题型一 函数极值的求法 例 1 已知 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? 1 与 x ? ?
3 2

2 时,都取得极值. 3

(1) 求 a, b 的值;

3 ,求 f ( x) 的单调区间和极值; 2 分析:可导函数在 x0 点取到极值时, f ( x0 ) ? 0 ;求函数极值时,先求单调区间,再求极值。
(2)若 f (?1) ? 解: (1)f ′(x)=3x2+2a x+b=0. 2 由题设,x=1,x=- 为 f ′(x)=0 的解. 3 2 2 b 2 1 - a=1- , =1?(- ).∴a=- ,b=-2. 3 3 3 3 2 1 3 3 1 2 (2)f (x)=x - x -2 x+c,由 f (-1)=-1- +2+c= ,c=1. 2 2 2 1 2 ∴f (x)=x3- x -2 x+1. 2 2 2 x (-∞,- ) (- ,1) (1,+∞) 3 3 f ′(x) + - + 2 2 ∴f (x)的递增区间为(-∞,- ) ,及(1,+∞) ,递减区间为(- ,1) . 3 3 2 2 49 1 当 x=- 时,f (x)有极大值,f (- )= ;当 x=1 时,f (x)有极小值,f (1)=- . 3 3 27 2 评析:列表求单调区间和极值不容易出错。 题型二 例 2 设函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 的图象如图所示, 且与 y ? 0 在原点相切, 若函数的极小值为 ?4 , (1)
3 2

求 a, b, c 的值; (2)求函数的递减区间. 分析;从图上可得 x ? 0 是函数的极大值点,函数的图象经过(0,0)
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点 且 图 象与 x

轴相切于(0,0)点,可先求出 a, b, c 的值。 解: (1)函数的图象经过(0,0)点 ∴ c=0,又图象与 x 轴相切于(0,0)点, y ' =3x2+2ax+b ∴ 0=3?02+2a?0+b,得 b=0 ∴ y=x3+ax2, y ' =3x2+2ax

2 2 a 时, y' ? 0 ,当 x ? ? a 时, y' ? 0 3 3 2 当 x= ? a 时,函数有极小值-4 3 2 2a ∴ (? a) 3 ? a( ) 2 ? ?4 ,得 a=-3 3 3
当x?? (2) y ' =3x2-6x<0,解得 0<x<2 ∴ 递减区间是(0,2) 评析:求出 a, b, c 的值后,利用导数就可求出单调区间。 备选题

1 +lnx, 求 f (x) 的极值. x2 2 1 x2 ? 2 解;因为 f ' (x)=- 3 ? ? , 令 f ' (x)=0,则 x= ? 2 x x x3 注意函数定义域为(0, ? ? ) ,所以驻点是 x= 2 , ' 当 x ? (0, 2 )时 f (x)<0, f (x) 为减函数,
例 3:已知函数 f ( x) ? 当 x ? ( 2 ,+ ? )时 f (x)>0, f (x) 为增函数,
'

所以 x= 2 是极小值点, f (x) 的极小值为 f( 2 )= 评析:注意函数的定义域 点击双基 1、函数 y=1+3x-x 3 有 ( A.极大值 1,极小值-1, C.极大值 3 ,极小值 –2,
'

1 (1+ln2),没有极大值。 2

) B。极小值-2,极大值 2 D。极小值-1,极大值 3

解: y =-3 x +3,令 y =0 得 x= -1 或 x=1,易得 x= -1 是极小值点,x=1.是极大值点,故选 D, 2、函数 y=3+mx+x 3 有极值的充要条件是 ( ) A m>0 B m<0 C m?0 D, m ? 0 ' 2 3 解: y =3 x +m=0 则方程要有两解,函数 y=3+mx+x 才有极值。所以 m<0,故选 B 3、 f (x)在区间(a,b)的图像如右 则 f(x) 在区间(a,b)内有极大值点( ) A 2个 B。3 个 C4个 D1个
'

2

'

Y a A B 0 C D x b

解:A,B,D 三点左右导数异号,是极值点,其中 A,D 是极大值点 B 是极小值点。注意 C 不是极值点,故选 A

4 的极大值为______极小值为________ x 4 ' 解: y =1- 2 =0,则 x=-2 或 x=2, x=-2 是极大值点,所以极大值为-4,x=2 是极小值点,所以极小值为 x
4、y=x+ 4. 5、若函数 f ( x ) = x ( x - c ) 在 x ? 2 处有极大值,则常数 c 的值为_________;
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2

解; f ( x) ? 3x ? 4cx ? c , f (2) ? c ? 8c ? 12 ? 0, c ? 2, 或6 , c ? 2 时取极小值, c ? 6 时取极大值,故 常数 c 的值为 6 课外作业 一.选择题 1、函数 y ? f (x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f (x) 在这点取极值的( )
' 2 2 ' 2

A.充分条件
3

B.必要条件
' 2 '

C.充要条件

D.必要非充分条件 )

解:对于 f ( x) ? x , f ( x) ? 3x , f (0) ? 0, 不能推出 f ( x) 在 x ? 0 取极值,反之成立,故选 D 2、函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 ,已知 f (x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a ? ( A.2 B.3 C.4 D.5 ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 3, f ?(?3) ? 3 ? 9 ? 6a ? 3 ? 0, a ? 5 ,故选 D 解: f
3 2

3、函数 f (x) =-x 3 +3x 2 -3x+6 有 ( A.极大值 5 B 极小值 5 C 极小值 1 D 无极值
3 2



解:f ' (x)=-3 x 2 +6x-3=-3(x-1) 2 ? 0,所以 f (x) 在 R 上为减函数,故选 D 4、函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? a 的极大值为 6,那么 a 等于( A.6 B.0 C.5 D.11
2



解:令 f ' (x)=6 x -6x=0.得 x=0 或 x=1,易得 x=0 极大值点,由 f(0)=6 得 a=6,故选 A 5、下列四个函数,在 x ? 0 处取得极值的函数是( ) ① y ? x ② y ? x ? 1 ③ y ?| x | ④ y ? 2 A.①② B.②③ C.③④ D.①③
3 2 x

解:可以分别画出四个函数的图像,得到在 x ? 0 处取得极值的函数是 y ? x ? 1 和 y ?| x |
2

故选 B

6、函数 f (x) =ax +3x +(a-1)x-5 有极值的充要条件是( ) A a=-3 或 a=4 B -3<a<4 C a>4 或 a<-3 D a?R 解:f ' (x)=3a x 2 +6x+a-1, f (x) 有极值的充要条件是方程 f ' (x)=0 有两个不等实根。 令 ? >0,解得-3<a<4 故选 B 7、如右图是函数 y ? f ( x ) 的导数 f ?(x) 的图象,则 f (x) 有( A,唯一极值点 x=1 B x=0 极大值点,x=2 是极小值点 C x=0 极小值点,x=2 是极大值点 D 无极值 解:x=0 和 x=2 是方程 f ' (x)=0 的两根,由点 x=0 和 x=2 它们左右 两侧导数值的正负号,故选 B 8、函数 f (x) =2sinx-x 则有 ( ) )

3

2

? 是极小值点, 3 ? C x= 是极大值点, 3
A x=

B x= D x=

? 是极大值点, 6 ? ? ? ' 解: f ?(x) =2cosx-1, f ( )=0,图像可知在 x= 左侧 f ?(x) >0,在 x= 右侧 3 3 3 ? f ?(x) <0,所以 x= 是极大值点,故选 C 3
二.填空题 9、函数 y = x - 3x - 9 x (- 2 < x < 2) 的极大值为 解: y ? 3x ? 6 x ? 9 ? 0, x ? ?1, 得x ? 3 ,当 x ? ?1 时, y ? 0 ;当 x ? ?1 时, y ? 0
' 2
3 2

? 是极小值点 6

'

'

当 x ? ?1 时, y极大值 ? 5 10、函数 f (x) =-x-

2 的极大值为 x
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2 2 >0,则 x ? (- 2 ,0)或 x ? (0, 2 ),令 f ?(x) =-1+ 2 <0, 2 x x 则 x ? (- ?, 2 ))或 x ? ( 2 ,+ ? ) ,所以极大值为 f ?( 2 ) =-2 2 ,
解:令 f ?(x) =-1+ 11、函数 y=
' 2

1 3 1 x -4x+ 的极小值为 3 3

解: y ? x ? 4 ? 0, x ? ?2 ,极小值在 x ? 2 时取到,极小值为 ?5 三.解答题

1 3 x ? 4 x ? 4 的极值。 3 解:?y ' = x 2 ? 4 令 y ' =0 的 x1 =-2, x 2 =2 1 函数 y ? x 3 ? 4 x ? 4 驻点左右的符号如下表所示: 3 x (- ? ,-2) (-2,2)
12、求函数 y ? y
'

+

_

(2, ? ) +

y

?x=-2 是极大值点,x=2 是极小值点 28 4 所以极大值是 y= , 极小值是 y=3 3
13、求函数的极值:y =2 e x +e ? x - 解一; y′=2 ex-e x 令 y′=0 2ex=ex 2 e2x=1 e2 x =

1 2

x =-

1 ln 2 2
y′由负到正

在 x =-

1 ln2 附近 2

∴ y 有极小值,y 极小=2 2 - 解二: y′=2 e x -e x 令 y′=0 则 x =-
-x

1 ln 2 2
1
1

y″=2 e x +e 由于:y″(-

ln 2 ? ln 2 1 ln 2) =2 e 2 +e 2 2 = 2 + 2 =2 2 >0. 1 说明 y′在 x =- ln 2 附近是增函数,即由负到正,所以 y 有极小值 2 2 . 2

14、求函数 y =x4-8 x 2 +2 的极值: 解:y′=4 x3-16 x, 令 y′=0,解得 x1=0,x2=2,x3=-2. 当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表: x 0 2 (-∞,-2) -2 (-2,0) (0,2) (2, +∞) 0 0 0 y′ - + - + 极小值 极小值 极大值 y 2 -14 -14 当 x =0 时,y 有极大值,y 极大值=2; 当 x =±2 时,y 有极小值,y 极小值=-14. 思悟小结 1.可导函数 f(x)在极值点的导数为 0,但是导数为 0 的点不一定是极值点.如果 f(x)在 x0 处连续,
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在 x0 两侧的导数异号,那么点 x0 是函数 f(x)的极值点. 2.求可导函数 f(x)的极值的步骤如下: (1)求 f(x)的定义域,求 f ? (x) ; (2)由 f ? (x)=0,求其稳定点; (3)检查 f ? (x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取极大值;如果 左负右正,那么 f(x)在这个根处取极小值;如果左右同号,那么 f(x)在这个根处不取极值. 第二课时 典例剖析: 题型一 函数最大值和最小值的求法 例 1 (1) 求 f(x)=x3-3 x2-9 x +5 在[-4,4]上的最大值和最小值. (2) 求函数 f ( x) ? ( x ? 1) x 在[ ? 1,
3 2

1 ]上的最大值和最小值. 2

分析:求闭区间上函数最大最小值的方法为:① 求出导数为 0 的点和导数不存在的点,② 求出导数为 0 的点和导数不存在的点及端点的函数值,③ 比较它们的大小。 解答:(1)f′(x)=3 x2 -6 x -9=3(x +1) -3) (x 令 f′(x)=0 得 x1=-1,x2=3 ∴ f(x)在 x =-1 处有极大值 f(-1)=10 f(x)在 x =3 处有极小值 f(3)=-22 在区间端点处 f(-4)=-71,f(4)=-15 比较上述结果得:f(x)在[-4,4]上的最大值为 f(-1)=10,最小值为 f(-4)=-71. (2) 当 x ? 0 时, f ?( x) ?

5x ? 2 3 x
3

.由 f ?( x) ? 0 得, x ?

2 . x ? 0 为 f ?(x) 不存在的点.由于 5

2 3 4 1 1 .所以,函数的最大值是 f (0) ? 0, 最小 f (?1) ? ?2, f ( ) ? ? 3 2 , f (0) ? 0, f ( ) ? ? 3 5 5 25 2 4 值是 f (?1) ? ?2 .
点评:利用导数求最值问题是导数的一个重要应用。 题型二 函数最大值和最小值的综合应用
3 2 3 2

例 2.已知 f ( x) ? ax ? 2ax ? b (a ? 0) 在区间 ? ?2,1? 上最大值是 5,最小值是-11,求 f ( x) 的解析式. 分析:先讨论 f ( x) ? ax ? 2ax ? b 在区间 ? ?2,1? 上的单调性,再求最大值和最小值。 解 ? f ( x) ? ax ? 2ax ? b,? f ( x) ? 3ax ? 4ax ? ax(3x ? 4)
3 2 ' 2

令 f ( x) =0,得 x1 ? 0, x2 ?
'

4 ? ? ?2,1? 3
0 0 极大

若 a>0,

? ?2, 0 ?
f ' ( x)
+ ↗

? 0,1?


f ( x)

? f (? 2 )? ? 1 a ? 5f, ( 1 ) ? ? 6 ? a ? f (?2) ? ?16a ? 5 ? ?11,? a ? 1
? f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 5;

因此 f(0)必为最大值,∴f(0)=5,得 b=5,

5f, ?

(? ) ? ( 2 ) 1 f

? f (?2) ? ?16a ? 5, f (1) ? ?a ? 5,? f (?2) ? f (1) ? f (?2) ? f ( x) max ? 5,? a ? ?1 ? f ( x) ? ? x3 ? 2 x 2 ? 11
评析:函数的单调性要借助导数的符号,故要对 a 的符号进行讨论。
第 22 页 共 39 页

若 a<0,同理可得 f(0)为最小值, ∴f(0)=-11,得 b=-11,

备选题

1 ,x∈(0,1]. x2 (1)若 f(x)在 x∈(0,1]上是增函数,求 a 的取值范围; (2)求 f(x)在区间(0,1]上的最大值. 剖析:(1)要使 f(x)在(0,1]上为增函数,需 f′(x)>0,x∈(0,1). (2)利用函数的单调性求最大值. 2 解:(1)由已知可得 f′(x)=2a+ 3 ,∵f(x)在(0,1)上是增函数,∴f′(x)>0, x 1 即 a>- 3 , x∈(0,1].∴a>-1. x 2 当 a=-1 时,f′(x)=-2+ 3 对 x∈(0,1)也有 f′(x)>0, x 满足 f(x)在(0,1]上为增函数,∴a≥-1. (2)由(1)知,当 a≥-1 时,f(x)在(0,1]上为增函数, ∴[f(x) max=f(1)=2a-1. ] 1 当 a<-1 时,令 f′(x)=0 得 x= , 3 ?a 1 1 1 ∵0< <1,∴0<x< 时,f′(x)>0; <x≤1 时, 3 3 3 ?a ?a ?a 1 1 f′(x)<0.∴f(x)在(0, )上是增函数,在( ,1]减函数. 3 3 ?a ?a 1 ∴[f(x) max=f ( ] )=-3 3 a 2 . 3 ?a 评析:求参数的取值范围,凡涉及函数的单调性、最值问题时,用导数的知识解决较简单.
例 3:已知函数 f(x)=2ax- 点击双基 1、函数 y ? x ? 4 x ? 3 在区间 ? ?2,3? 上的最小值为(
4



A

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0
' '

解: y ? 4 x ? 4, 令y ? 0, 4 x ? 4 ? 0, x ? 1, 当x ? 1时, y ? 0;当x ? 1时, y ? 0 得 y极小值 ? y |x ?1 ? 0, 而端点的函数值 y |x ??2 ? 27, y |x ?3 ? 72 ,得 ymin ? 0 ,故选 D 2、函数 y=1+3x-x3 有( ) A.极小值-2,极大值 2 B.极小值-2,极大值 3 C.极小值-1,极大值 1 D.极小值-1,极大值 3 2 3 解:y′=3-3x =3(1+x) (1-x).令 y′=0 得 x1=-1,x2=1.当 x<-1 时,y′<0,函数 y=1+3x-x 是减函 3 3 数;当-1<x<1 时, y′>0,函数 y=1+3x-x 是增函数;当 x>1 时,y′<0,函数 y=1+3x-x 是减函数. 3 3 ∴当 x=-1 时,函数 y=1+3x-x 有极小值-1;当 x=1 时,函数 y=1+3x-x 有极大值 3,故选 D 3、下列结论正确的是( ) A.若 x0 是 f (x) 在 [a, b] 上的极大值点,则 f ( x0 ) 是 f (x) 在 [a, b] 上的最大值 B.若 x0 是 f (x) 在 (a, b) 上的极大值点,则 f ( x0 ) 是 f (x) 在 [a, b] 上的最大值 C.若 x0 是 f (x) 在 (a, b) 上唯一的极大值点,则 f ( x0 ) 是 f (x) 在 [a, b] 上的最大值 D.若 x0 是 f (x) 在 (a, b) 上唯一的极大值点,且 f (x) 在 (a, b) 上无极小值点, 则 f ( x0 ) 是 f (x) 在 [a, b] 上的最大值 解:故选 D 4、函数 y ? x ?

3 , x ? [2,??) 的最小值为____________。 x
第 23 页 共 39 页

解: y? ?

x2 ? 3 3 7 ? 0 在 x ? [2, ??) 恒成立, y ? x ? , x ? [2,??) 为增函数,故最小值为 2 2 x x

5、函数 y ? x ? 2cos x 在区间 [0, 解: y ' ? 1 ? 2sin x ? 0, x ? 课外作业 一.选择题

?

?
6

2

] 上的最大值是



,比较 0,

? ?
6 2 ,

处的函数值,得 ymax ?

?
6

? 3

1、 f ( x) ? x ? 3x ? 2 在区间 ? ?1,1? 上的最大值是(
3 2



(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 2 解: f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 3x( x ? 2) ,令 f ?( x) ? 0 可得 x=0 或 2(2 舍去) ,当-1?x?0 时, f ?( x) ?0,当 0?x?1 时, f ?( x) ?0,所以当 x=0 时,f(x)取得最大值为 2,故选 C 2、已知 f(x)=2x3-6x2+m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,则 m 值是( ) A.-37 B.-29 C.-5 D.3 解: f ?( x) ? 6 x ? 12 x ? 0, x ? 0 或 x ? 2 ,故 f ( x)max ? f (0) ? m ,故选 D
2

3、函数 f ( x) ? x ? 3ax ? a 在 (0,1) 内有最小值,则 a 的取值范围是(
3



A

0 ? a ?1 B
2

0 ? a ?1 C

?1? a ?1

D

0?a?

1 2

解: f ?( x) ? 3x ? 3a ? 0, a ? ? a , 0 ? a ? 1, 0 ? a ? 1 ,故选 B 4、函数 f(x)=x2-4x+1 在[1,5]的最大值和最小值分别为 ( ) A、f(1),f(5) B、f(2),f(5) C、f(1),f(2) D、f(5),f(2) 解:由二次函数可得,故选 D 5、方程 x ? 6 x ? 9 x ? 10 ? 0 的实根的个数是(
3 2



A

3

B
3

2
2

C

1

D

0
2

解:设 f(x)= x ? 6 x ? 9 x ? 10 ,∴ f ?( x) ? 3x ? 12 x ? 9 方程 f ′(x)=0 的△=4>0,方程的两根 x1 ? 1, x2 ? 3 ,并且 x 的系数大于 0,则函数 f (x)的图象为先增后 减再增,且在 x=1 取得极大值,在 x=3 取得极小值,又 f (3)=-10<0,由此可得出函数 f (x)的简图。可 知方程 x3-6x2+9x-10=0 有三个实根,故选 A 6、设 M,m 分别是函数 f (x) 在 ?a, b ? 上的最大值和最小值,若 M ? m ,则 f ' ( x)
3

A、等于 0 B、小于 0 C、等于 1 D、不确定 解:因为 M ? m ,所以 f (x) 为常数函数,故 f ' ( x) ? 0 ,故选 A

7、函数 y ? A. e
?1

ln x 的最大值为( x
B. e

) C. e
2

D.

10 3

' 解:令 y ?

y极大值

(ln x)' x ? ln x ? x ' 1 ? ln x ? ? 0, x ? e ,当 x ? e 时, y ' ? 0 ;当 x ? e 时, y ' ? 0 , 2 2 x x 1 1 ? f (e) ? ,在定义域内只有一个极值,所以 ymax ? ,故选 A e e
第 24 页 共 39 页

8、函数 y ? 4 x ? x ,在 [?1,2] 上的最大、最小值分别为
4

A.、 f (1), f (?1)

B、 f (1), f (2)

C、 f (?1), f (2)

D、 f (2), f (?1)

解: y ' ? 4 ? 4 x 3 ? 4(1 ? x)(1 ? x ? x 2 ) ? 4(1 ? x)[( x ? ) 2 ? ] ,讨论点 ? 1, (?1,1),1, (1,2),2 ,故选 B.

1 2

3 4

二.填空题

4x , x ? [?2,2] 的最大值是__________。 x ?1 4 ? 4 x2 4x ?( x) ? 2 解: f ? 0, x ? ?1 ,当 x ? 1 时, f ( x) ? 2 , x ? [?2,2] 的最大值是 2 2 ( x ? 1) x ?1 x 10、函数 f(x)= e -x 在[-2,2]上的最小值为____ ' ' x 解: f ?( x) = e -1,x>0 时 f ( x) >0;x<0 时 f ( x) <0.?x=0 是极小值点,也是最小值点。
9、函数 f ( x) ?
2

11、 f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 对于 x ? ? ?1,1? 总有 f ? x ? ≥0 成立,则 a =
3

最小值为 1。


3

解:若 x=0,则不论 a 取何值, f ? x ? ≥0 显然成立;当 x>0 即 x ? ? ?1,1? 时, f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 ≥0 可

3 ?1 ?2 x ? 3 1 3 1 ? 1? , 所以 g ? x ? 在区间 ? 0, ? 上单调递增, ? 3 ,设 g ? x ? ? 2 ? 3 ,则 g ' ? x ? ? 4 2 x x x x x ? 2? ?1 ? ?1? 在区间 ? ,1? 上单调递减,因此 g ? x ?max ? g ? ? ? 4 ,从而 a ≥4; ?2? ?2 ?
化为, a ? 三.解答题

1 1 在 (0, 1) 内的最小值. ? x 1? x 1 1 2x ? 1 1 ? 2 解: f ?( x) ? ? 2 ? .在 (0, 1) 上,令 f ?( x) ? 0 得 x ? . 2 2 2 x (1 ? x) x (1 ? x) 1 1 1 当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,故 f (x) 在 x ? 处取得极小值.则函数 2 2 2 1 1 f (x) 在点 x ? 处取得最小值 f ( ) ? 4 . 2 2 3 2 13、已知 f ( x) ? ax ? bx ? 2 x ? c 在 x ? ?2 时有极大值 6,在 x ? 1 时有极小值,求 a, b, c 的值;并求 f (x) 在区间[-3,3]上的最大值和最小值. 2 .解: (1) f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? 2 由条件知 ? f ?( ?2) ? 12 a ? 4b ? 2 ? 0, 1 1 8 ? 解得a ? , b ? , c ? . ? f ?(1) ? 3a ? 2b ? 2 ? 0, 3 2 3 ? f ( ?2) ? ?8a ? 4b ? 4 ? c ? 6. ? 1 3 1 2 8 2 (2) f ( x) ? x ? x ? 2 x ? , f ?( x) ? x ? x ? 2 3 2 3
12、求函数 f ( x) ? x -3 (-3,-2) + -2 0 6 (-2,1) - ↘ 1 0 (1,3) + ↗ 3

f ?(x) f (x)

4

1 6



3 2

10

1 6

由上表知,在区间[-3,3]上,当 x ? 3 时, f max

61 3 , x ? 1 时, f min ? 6 2

第 25 页 共 39 页

14、已知:f(x)=log3

x 2 ? ax ? b ,x∈(0,+∞).是否存在实数 a、b,使 f(x)同时满足下列两个条件: (1)f(x)在 x

(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数; (2)f(x)的最小值是 1,若存在,求出 a,b,若不存在,说 明理由. 解:设 g(x)=

x 2 ? ax ? b x

∵f(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数 ∴g(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数. x=1 是 g(x)的极小值点, ∴?

? g ' (1) ? 0 ? g (1) ? 3

∴?

?b ? 1 ? 0 ?a ? b ? 1 ? 3

解得 ?

?a ? 1 ?b ? 1

经检验,a=1,b=1 时,f(x)满足题设的两个条件. 思悟小结 求可导函数 f(x)的最值的方法: (1)求 f(x)在给定区间内的极值; (2)将 f(x)的各极值与端点值比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 3.3.3 三次函数的性质:单调区间和极值 典例剖析 题型一 三次函数的单调区间和极值 例 1 设 f(x)=x3-3ax2+2bx 在 x=1 处有极小值-1,试求 a、b 的值,并求出 f(x)的单调区间. 解: f ? (x)=3x2-6ax+2b,由题意知
?3 ?12 ? 6a ? 1 ? 2b ? 0, ? ?3 ?1 ? 3a ? 12 ? 2b ? 1 ? ?1, ? ?3 ? 6a ? 2b ? 0, 即? ?2 ? 3a ? 2b ? 0. 1 1 解之得 a= ,b=- . 2 3

1 此时 f(x)=x3-x2-x, f ? (x)=3x2-2x-1=3(x+ ) (x-1). 3 1 当 f ? (x)>0 时,x>1 或 x<- , 3 1 当 f ? (x)<0 时,- <x<1. 3 1 1 ∴函数 f(x)的单调增区间为(-∞,- )和(1,+∞) ,减区间为(- ,1). 3 3 评析:极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点. 题型二 求待定常数

2 3 x ( x ? R) 在区间 ? ?1,1? 上是增函数,求实数 a 的取值范围. 3 ' 2 ' 解: f ( x) ? 4 ? 2ax ? 2 x ,因为 f ? x ? 在区间 ? ?1,1? 上是增函数,所以 f ( x) ? 0 对 x ? ? ?1,1? 恒成立,
例 2 已知函数 f ( x) ? 4 x ? ax ?
2

即 x ? ax ? 2 ? 0 对 x ? ? ?1,1? 恒成立,
2

y= g(x) -1 1 x

令 g(x)=x -ax-2,只须 g(-1) ? 0 且 g(1) ? 0.解之得: ?1 ? a ? 1 评析:三次函数的导数是二次函数,要充分利用抛物线的性质。
2

备选题 例 3:已知函数 f(x)=ax3+3x2-x+1 在 R 上是减函数,求实数 a 的取值范围. 解: f ? (x)=3ax2+6x-1.
第 26 页 共 39 页

(1)当 f ? (x)<0 时,f(x)为减函数. 3ax2+6x-1<0(x∈R) ,a<0 时,Δ =36+12a<0,∴a<-3. ? (x)<0,f(x)在 R 上是减函数. ∴a<-3 时, f 1 8 (2)当 a=-3 时,f(x)=-3(x- )3+ . 9 3 3 由 y=x 在 R 上的单调性知:a=-3 时,f(x)在 R 上是减函数,综上,a≤-3. 评析:f(x)在 R 上为减函数 ? f ? (x)≤0(x∈R). 点击双基 1.函数 y=x2(x-3)的减区间是( ) A.(-∞,0) B.(2,+∞) C.(0,2) D.(-2,2) 解:y′=3x2-6x,由 y′<0,得 0<x<2,故选 C 2、函数 y= x -3x+2 在闭区间 ?? 3,0? 上的最大值和最小值分别为 A,2,1, B 2 ,-18 C.1,-17 D 4,-16
3
'





解; y =3x 2 -3=0,则 x=-1 或 x=1.又 f(0)=2, f(-1)=4, f(1)=0, f(-3)=-16,故选 D 3、函数 y = x + x 的递增区间是( A
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3

) C
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(0,??)
' 2
3 '

B

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(??,1)

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(??,??)

D

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(1,??)

解: y = 3x + 1 > 0 对于任何实数都恒成立,故选 C 4、若 f ( x) ? x , f ( x0 ) ? 3 ,则 x0 的值为_________________; 解: f ( x0 ) ? 3x0 ? 3, x0 ? ?1
' 2

5、曲线 y ? x ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为__________;
3

解: y ? 3x ? 4, k ? y |x ?1 ? ?1, tan ? ? ?1, ? ?
' 2 '

3 ? 4

课外作业 一 选择题: 1. 函数 f ( x) ? x ? 12 x 的“驻点”是
3

A.1
'
2
3

B. ? 1
2

C. ? 2 和 2

D. 0

解:f (x)=3 x -12=0,x= ? 2 ,故选 C 2.函数 f ( x) ? x ? x ? x 的单调减区间是 A. ? ?,? ) (

1 3

B. (1, ?)

C. ? ?,? ) , (1, ?) (

1 3

D. (? ,1)

1 3

1 <x<1,故选 D 3 3 3. 已知 y ? 2 x ? ax ? c 在 (??,??) 上的单调递增,则 A、a ? 0 且 c ? R B、 a ? 0, 且 c ? R C、 a ? 0, 且 c ? 0 D、 a ? 0, 且 c ? 0
解:f ' (x)=3x 2 -2x-1<0,得解:f (x)=6 x -a ? 0,即 a ? 6 x 在 x ? R 上恒成立,故选 A
'
2 2





4. 已知函数 y ? x 3 ? ax 2 ? A、0
'

4 a 的导数为 0 的 x 值也使 y 值为 0,则常数 a 的( 3
C、0 或±3 D、3



B、±3
2

解: y =3x +2ax=0,得 x=0 或 x= -

a= ? 3,故选 C 3 2 5. 已知 f(x)=2x -6x +m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是( ) A.-37 B.-29 C.-5 D.5 解; 令 y =6x -12x=0,则 x=0 或 x=2,在[-2,2]上有最大值点 x=0,所以 f(0)=3,得 m=3。
第 27 页 共 39 页
'
2

2a 4 ,把两根分别代入方程 x 3 ? ax 2 ? a ? 0 ,再解 a 的方程知 a=0 或 3 3

f(-2)=-37,f(2)=-5,故选 A 6. 设 y ? f ?( x) 是函数 y ? f ( x ) 的导数, y ? f ?( x) 的 图象如图所示, 则 y ? f ( x ) 的图象最有可能是( )



y ? f ?(x)

:

图象显示, x>2 或 x<0 时 f ' (x)>0,f(x)为增函数。0<x<2 时 f ' (x)<0,f(x)为减函数,故选 C 7. 若对任意的 x 有 f ?( x) ? 4 x -2 且 f (1) ? ?1 ,则此函数的解析式可能是(
3



A、 f ( x) ? x -2
4 4

B、 f ( x) ? x ? 2
4 4

C、 f ( x) ? x ? 2 x+1 D、 f ( x) ? x ? 1 解:将条件 f (1) ? ?1 代入验证即可,故选 C 8. f ( x) ? x ? 4 x ? 5 的图象在 x ? 1处的切线与圆 x 2 ? y 2 ? 50 的位置关系是( ) A、相切 B、相交但不过圆心 C、过圆心 D、相离
3

解: ′(x)=3 x +4, ′(1)=7, f(1)=10。 f f 又 所以切线方程为 7x-y+3=0,圆心 (0, 到切线距离 d= 0) 圆心(0,0)不在切线上,故选 B 二 填空题 9、函数 y ? x ? x ? 5 x ? 5 的单调递增区间是___________________________
3 2
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2

3 < 50 , 50

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解:

5 5 令y ' ? 3x 2 ? 2 x ? 5 ? 0, 得x ? ? , 或x ? 1 ,单调递增区间是 (??, ? ), (1, ??) 3 3
3 2

10、函数 f(x)=2x -3x -12x+5 在闭区间[0,3]上的最大值与最小值的和是
2



解; f ?( x) =6 x -6x-12=0,则 x=-1 或 x=2;因为 x=-1 ? [0,3]. 由 f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4.所以 f(x) 的最大值与最小值的和是-10. 4 11、若函数 y=- x3+bx 有三个单调区间,则 b 的取值范围是________. 3 2 解:y′=-4x +b,若 y′值有正、有负,则 b>0. 三 解答题 12、 已知函数 y ? ax ? bx ,当 x ? 1 时,有极大值 3 ;
3 2

(1)求 a, b 的值; (2)求函数 y 的极小值
' 2
'

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解: (1) y ? 3ax ? 2bx, 当 x ? 1 时, y |x ?1 ? 3a ? 2b ? 0, y |x ?1 ? a ? b ? 3 , 即?

?3a ? 2b ? 0 , a ? ?6, b ? 9 ?a ? b ? 3
3 2 ' 2

(2) y ? ?6 x ? 9 x , y ? ?18 x ? 18 x ,令 y ? 0 ,得 x ? 0, 或x ? 1
'

? y极小值 ? y |x ?0 ? 0
13、 设函数 f(x)=ax +bx +cx+d 的图象与 y 轴的交点为 P, 且曲线 f(x)在 P 点出处的切线方程为 24x+y-12=0, 又函数在 x=2 出处取得极值-16,求该函数的单调递减区间. 解:设 P 点的坐标(0,d),d=12 f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ,-24=k= f ?(0) ? c ,又-16=8a+4b+2c+d=8a+4b-36
第 28 页 共 39 页
3 2

,另由 f ?(2) ? 0 得 3a+b=6 ② 由①②解得 a=1,b=3;由此解 f ?( x) ? 0 得-4≤x≤2,所求区间[-4,2]. ∴2a+b=5 ①
1 1 14、若函数 y= x3- ax2+(a-1)x+1 在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为增函数,试 2 3 求实数 a 的取值范围. 解: f ? (x)=x2-ax+a-1=0 得 x=1 或 x=a-1, 当 a-1≤1,即 a≤2 时,函数 f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意. 当 a-1>1,即 a>2 时,函数 f(x)在(-∞,1)上为增函数, 在(1,a-1)上为减函数,在(a-1,+∞)上为增函数. 依题意,当 x∈(1,4)时, f ? (x)<0,当 x∈(6,+∞)时, f ? (x)>0,∴4≤a-1≤6,∴5≤a≤7.∴a 的取值范围为[5,7]. 思悟小结

1. 形如 y ? ax ? bx ? cx ? d (a≠0,b,c,d 为常数)的函数叫做三次函数,三次函数的图像是一条曲线---回归式抛物线(不同于普通抛物线) 。 三次函数的图象 主要内容: 三次函数 三次函数的性质 与三次方程的关系 2.对于三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) ,其导函数为 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,方程 f ?( x) ? 0 的两根为
3 2

x1 , x2 ,判别式 ? ? 4(b2 ? 3ac) . (1)当 a ? 0 时, x ? ?∞,则 f ( x) ? ?∞ ; x ? ?∞,则 f ( x) ? ?∞ ; 当 a ? 0 时, x ? ?∞,则 f ( x) ? ?∞ ; x ? ?∞,则 f ( x) ? ?∞ ;

( 2 ) 三 次 函 数 y ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 有 极 值
3 2

导 函 数 f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c 的 判 别 式
2

? ? 4b 2 ? 12ac >0
(3) d 为 f ( x) 在 y 轴上的截距, x1 , x2 是 f ( x) 的两个极值点,则 x1 ? x2 ? ? (4)单调性: (设 x1 ? x2 ) (Ⅰ)当 ?≤ 0 时,①若 a ? 0 时,则 f ( x) 在 R 上是增函数;②若 a ? 0 时,则 f ( x) 在 R 上是减函数.
2b c , x1 x2 ? ; · 3a 3a

(Ⅱ)当 ? ? 0 时, 区 间 为 (?∞,x1 ) 和 ( x1, x2 ) f ( 为极大 , 1x ) 则 a ? 0 时, f ( x) 的减 ( x2, ∞) , 增 区 间为 ? (相应的草图如上) f ( x2 ) 为极大值.

①若 a ? 0 时,则 f ( x) 的增 ( x2, ∞) , 减 区 间 为 ? 值, f ( x2 ) 为极小值;②若 区 间 为 (?∞,x1 ) 和 ( x1,x2 ),f ( x1 ) 为 极 小 值 ,

3.4 生活中的优化问题举例 知识梳理 1、在生产实践及科学实验中,常遇到质量最好、用料最省、效益最高、成本最低、利润最大、投入 最小等问题,这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题,通常称为优化问题。解决优化 问题的常见方法有判别式方法、平均不等式方法、线性规范方法、差分方法、利用二次函数的性质和利用 单调性等。 2、不少优化问题,可以化为求函数最值问题,对于函数的最值问题,多利用函数的图像、性质以及
第 29 页 共 39 页

不等式的性质来解题。其中求导数是求函数最大(小)值的有力工具。导数在实际生活中的应用主要是解 决有关函数最大值、最小值的实际问题。主要有以下几个方面:与几何有关的最值问题;与物理学有关的 最值问题;与利润及其成本有关的最值问题;效率最值问题等。 3、利用导数解决优化问题的基本思路: 优化问题
建立数学模型

用函数表示的数学问题
解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤: (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系 y ? f (x) ; (2)求函数的导数 f ( x) ,解方程 f ( x) ? 0 ;
/ /

(3)比较函数在区间端点和使 f ( x) ? 0 的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值。
/

解决生活中的优化问题应当注意的问题: (1)在求实际问题的最大值、最小值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去; (2) 在实际问题中, 有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f ?( x) ? 0 的情形, 如果函数在这点有极大 (小) 值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值; (3)在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示,还应该确定 函数关系式中自变量的定义区间。 典例剖析: 题型一 面积最小问题 例 1 如图,等腰梯形 ABCD 的三边 AB, BC, CD 分别与函数 y ? ?

1 2 x ? 2 , x ? ? ?2, 2? 的图象切于点 2

P, Q, R .求梯形 ABCD 面积的最小值。

解:设梯形 ABCD 的面积为 s ,点 P 的坐标 为 (t , ? t ? 2)(0 ? t ? 2) 。由题意得,
2

1 2

点 Q 的坐标为 (0, 2) , 直线 BC 的方程为 y ? 2 。

1 ? y ? ? x 2 ? 2, 2 ? y? |x ?t ? ?t

? y? ? ? x

?

直线 AB 的方程为 y ? (?

1 2 t ? 2) ? ?t ( x ? t ), 2
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1 2 t ?2 2 t2 ? 4 t2 ? 4 令 y ? 0 得, x ? ,? A( , 0). 2t 2t 1 1 令 y ? 2 得, x ? t ? B( t , 2) 2 2 2 1 1 t ?4 2 S ? ?( t ? ) ? 2 ? 2 ? 2(t ? ) ? 4 2 ? 2 2 2t t 2 当且仅当 t ? ,即 t ? 2 时,取“=”且 2 ? ? 0, 2 ? , t ? t ? 2 时, S 有最小值为 4 2 . ?梯形 ABCD 的面积的最小值为 4 2 。
即: y ? ?tx ? 评析:本题用不等式求最小值,也可以用导数求最小值。 题型二 最大利润问题 例 2 某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x(t)与每吨产品的价格 p(元/t)之间的关系式为:p=24200- 1 2 x ,且生产 x t 的成本为:R=50000+200x(元).问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大?最大利润是多 5 少?(利润=收入-成本) 1 解:每月生产 x 吨时的利润为 f(x)=(24200- x2)x-(50000+200x) 5 =-

1 3 x +24000x-50000(x≥0). 5 3 2 x +24000=0,解得 x1=200,x2=-200(舍去). 5

由 f′(x)=-

∵f(x)在[0,+∞)内只有一个点 x1=200 使 f′(x)=0, ∴它就是最大值点.f(x)的最大值为 f(200)=3150000(元). ∴每月生产 200 t 才能使利润达到最大,最大利润是 315 万元. 评析:当只有一个点 x0 使 f ?( x0 ) ? 0 时, f ( x0 ) 就是最大利润。 备选题 例 3:统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升) ,关于行驶速度 x (千米/时)的 函数, 解析式可以表示为 y ?

1 3 , 乙两地相距 100 千米, x 3 ? x ? 80( 0 ? x ? 120 ) 已知甲、 128000 80

(1)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 解: (1)当 x=40 千米时,汽车从甲地到乙地,行驶了

100 ? 2.5 小时,要消耗汽油 40

1 3 ( ? 403 ? ? 40 ? 8) ? 2.5 ? 17.5(升) 。 128000 80
(2)当速度为 x 千米/小时,汽车从甲地到乙地,行驶了

100 小时,设耗油量为 h(x)升,依题意得 x

h(x)= (

1 3 100 1 800 15 3 2 ? x ? ? x ? 8) ? ?( x ? x x ? 4 ), (0 ? x ? 120) 128000 80 x 1280
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? x 800 h ( x) ? 640 ? 2 ? x64080 , (0 ? x ? 120) 2 x x
3 3 '



h ( x) =0 ,解得 x=80 h ( x) <0,h(x)是减函数
' '

'

当 x ? (0,80)时,因为 当 x ? (80,120)时,

h ( x) >0, h(x)是增函数

所以 当 x=80 时,因为 h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以这个极值就是最小值。 答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升。 评析:函数是中学数学中最重要的一部分内容,现实世界中普遍存在着的最优化问题,常常可归结为函数 的最值问题,通过建立相应的目标函数,确定变量的限制条件,运用函数知识和方法去解决. 点击双基 1、要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积最大,则高为( ) A

3 cm 3

B

10 3 cm 3
2

C

16 3 cm 3

D

20 3 cm 3

解:设高 hcm,底半径为 rcm, h + r 2 =400.又体积 V= 极值点 h=

1 1 ? r 2 h, 则 V= ? (400- h 2 )h,令 V ' =0,得唯一 3 3

20 3 cm ,故选 D 3
) B 3 ?r
2

2、已知一球的半径为 r,作内接于球的圆柱,则圆柱的侧面积最大值为( A

2?r 2

C 4?r
2

2

D
2
2

1 2 ?r 2

解:设圆柱高 h, 圆柱底半径 x,则 ( 2 x ) + h = ( 2r ) ;

s侧 =2 ? xh=2 ? x 4r 2 ? 4 x 2 ,令 y= s侧 2 =16 ? 2 (- x 4 + r 2 x 2 ),

y ' =0 得唯一极值点 x=
2

2 r ,所以 h= 2 r. 2

所以 s侧 最大值 2?r ,故选 A 3、进货原价为 80 元的商品 400 个,按 90 元一个售出时,可全部卖出。已知这种商品每个涨价一元,其 销售数就减少 20 个,所获得利润最大时售价应为 ( ) A.90 B.95 C.100 D.105 解:设售价为 90 ? x 元时利润为 y ,此时售量为 400 ? 20 x.

y ? f ( x) ? (90 ? x)( 400 ? 20 x) ? (400 ? 20 x) ? 80 ? 20(20 ? x)(10 ? x), 求导得 当 x ? 5 时, y max ? 4500 (元) 。即售价为 95 元时获利最大,其最大值为 4500 元,故选 A
4.用以长为 16m 的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地面积最大值为 解:设矩形长为 xm,则宽为(8-x)m, 矩形面积 s=x(8-x) (0<x<8) 令 s =8-2x=0,得 x=4.
'

.

所以 smax =16( m )

2

5. 一矩形铁皮的长为 8cm,宽为 5cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问 小正方形的边长为多少时,盒子容积最大? 解: (1)设小正方形边长为 x cm, 则 V=(8-2x) ?(5-2x)x=4x -26x +40x (0<x<
3 2

5 ) 2

V′=4(3x2-13x+10)
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V′=0 得 x=1 或(舍去)

5 v? ? 0得x ? (0,1) , v ? ? 0得x ? (1, ) 2
根据实际情况,小盒容积最大是存在的, 3 ∴当 x=1cm 时,容积 V 取最大值为 18cm . 课外作业 一 选择题 2 1、某产品的销售收入 y1(万元)是产品 x(千台)的函数,y1=17x ,生产总成本 y2(万元)也是 x 的函数, y2=2x -x (x>0),为使利润最大,应生产( A.9 千台 B.8 千台
3
3 2

) D。3 千台
2

C.6 千台
2

解: f ( x) ? y1 ? y2 ? ?2 x ? 18 x , f ?( x) ? ?6 x ? 36 x ? 0, x ? 6 ,故选 C 2、把长度为 8cm 的线段分成四段,围成一个矩形,矩形面积最大值为( A 2 B 4 C 8 D 以上都不对 解:设矩形边长为 a,b;则 a+b=4, 矩形面积 s=ab=(4-b)b 令 s =4-2b=0,得 b=2,唯一极值点,所以 a=2, smax =4,故选 B 3、设正三棱柱体积为 V,则其表面积最小时,底面边长为 A. V
3



'





B.

3

2V

C.

3

4V

D 2 V

3

解:设正三棱柱底面边长为 x,高为 h;则 V= 即有 s=

3 2 3 2 x h, 表面积 s=3xh+2 ? x 4 4

3 2 4 3V 3 3 ' ' , s = 2 ( x -4V),令 s =0 得唯一极值点 x= 3 4V ,故选 C x + 2 x x 4、欲制作一个容积为 2? 立方米的圆柱形储油罐(有盖) ,为能使所用的材料最省, 它的底面半径与高分
别为 ( ) B.底面半径为 1 米,高为 1 米 ; D.底面半径为 2 米,高为 2 米
2

A.底面半径为 0.5 米,高为 1 米; C.底面半径为 1 米,高为 2 米 ;

解:设圆柱的底面半径为 r ,高为 h ,表面积为 y ,则由题意有: ? r h ? 2? ,? h ? 且 y ? 2? r ? 2? rh ? 2? r ?
2 2

4? 4? 4? ,则 y? ? 4? r ? 2 ,令 y? ? 4? r ? 2 ? 0 ,得 r ? 1 . r r r 当 0 ? r ? 1时, y? ? 0 ,函数单调递减,当 r ? 1 时, y? ? 0 ,函数单调递增, 所以,当 r ? 1 时,函数有极小值也是最小值 6? (平方米) ,
所以当底面半径为 1 米,高为 2 米时,所用材料最省,故选 C 5、内接于半径为 R 的圆的矩形,周长最大值为( A 2R B 3R C 4R 解:设矩形边长为 a,b. ? ABC= ? ,则 周长 L=4R(sin ? +cos ? )
'

2 , r2

) A B C

D

4 2R

(0< ? <

? ) 2

令 L =4R(cos ? -sin ? )=0,得 tan ? =1, 所以周长最大值为 4 2 R,故选 D

?=

? 4

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6、生产某种产品,固定成本为 20000 元,每生产一个单位产品,成本增加 100 元,已知总收益 R 与年产

1 2 ? 0 ?400 x ? x , ? x ? 400 量 x 的关系是 R(x)= ? 则总利润最大时年产量是 ( ) 2 ?80000 , x ? 400 ?
A 100 B 150 C 200 D 300 解:当 0 ? x ? 400 时, 总利润 y=400x'

1 2 1 x -100x-20000=300x- x 2 -20000 2 2

令 y =300-x=0,得 x=300,唯一极值点,y=25000. 当 x>400 时,y=80000-100x-20000=60000-100x<20000,故选 D 解:设圆柱高 h, 底面半径 R,容积 V,则:

S ? 2?R 2 2?R 2 S ? 2?R 1 1 V(R)= ? R 2 = (S ? 2?R 2 ) R ? SR ? ?R 3 2?R 2 2 2 2 V ' ( R) )=0 ? S ? 6?R ? 6?R ? 2?Rh ? 2?R 2 ? h ? 2R . h 所以 =2,故选 A R
S=2 ?Rh + 2?R 2 , h=
7、某渔业公司年初用 98 万元购买一艘捕鱼船,第一年各种费用为 12 万元,以后每年都增加 4 万元,每 年捕鱼收益 50 万元.若干年后,有两种处理方案: 方案一:年平均获利最大时,以 26 万元出售该渔船 方案二:总纯收入获利最大时,以 8 万元出售该渔船.问哪种方案合算. ( ) A.方案一; B.方案二; C.方案一和方案二都一样; D.还有更合算方案解:由题意知, 每年的费用以 12 为首项,4 为公差的等差数列. 设纯收入与年数 n 的关系为 f(n) ,则

f (n) ? 50n ? [12 ? 16 ? ? ? (8 ? 4n)] ? 98 ? ?2n 2 ? 40 n ? 98 . f ( n) 49 方案一:年平均收入 ? ? 40 ? 2(n ? ) . n n
求导得,n=7 时获利最大. ∴

f ( n) . ? 40 ? 2 ?14 ? 12 (万元) n
2

即第 7 年平均收益最大,总收益为 12?7+26=110(万元) . 方案二:f(n)= ? 2n +40n-98 . 求导得,当 n=10 时,f(n)取最大值 102,总收益为 102+8=110(万元) . 比较如上两种方案,总收益均为 110 万元,而方案一中 n=7,故选方案一.故选 A 8、某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法:达到 100 人的团体,每人收费 1000 元。如果团体的人数超 过 100 人,那么每超过 1 人,每人平均收费降低 5 元,但团体人数不能超过 180 人(不到 100 人不组团),要使 旅行社的收费最多?, 旅游团组团人数为 A.130; B.140; C.150; ( D.160 )

解:设参加旅游的人数为 x,旅游团收费为 y 则依题意有 f ( x) =1000x-5(x-100)x (100≤x≤180)

令 f ?( x) ? 1500 ? 10 x ? 0 得 x=150 又 f (100) ? 100000 , f (150) ? 112500 , f (180) ? 108000 所以当参加人数为 150 人时,旅游团的收费最高,可达 112500 元,故选 C
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二.填空题 2 9、过抛物线 y=x -3x 上一点 P 的切线的倾斜角为 45°,它与两坐标轴交于 A,B 两点,则△AOB 的面积是 . 解: y =2x-3=tan45°=1,所以 x=2,则 y=-2.切线方程 y=x-4, 点 A(4,0) ,B(0,-4); 所以△AOB 的面积是 8. 10、容积为 256cm 3 的方底无盖水箱,它的高为
2
'

时,材料最省。

解:设底边长为 xcm,高为 hcm,则 x h=256. 表面积 y=4xh+x 2 = y ' =-

11、铁道机车运行 1 小时所需的成本由两部分组成,固定部分为 m 元,变动部分与运行速度 V(千米/小 时)的平方成正比。比例系数为 k(k≠0) 。如果机车匀速从甲站开往乙站,当机车以_______ 度运行时,成本最省。 解:设以速度 V 匀速运行成本最省,甲、乙两站相距 S 千米,则机车匀速从甲站到乙站所需时间为 t ? 总成本为 y 元。? y ? (m ? KV )
2

256 ? 4 +2x,令 y ' =0 得 x=8,为唯一极值点,所以 h=4(cm) 2 x

256 ? 4 2 +x x

m ___速 K

S . V

S m ? S ( KV ? ), 求导得: V V

当V ?

m 时, y 有最小值, K

三 解答题 12、如图,一矩形铁皮的长为 8cm,宽为 5cm,在四个角上截去 四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,盒子容积最大时小 边长为 解: 设小正方形的边长为 x 厘米, 则盒子底面长为 8 ? 2x , 宽为 5 ? 2x 正方形的

V ? (8 ? 2 x)(5 ? 2 x) x ? 4 x3 ? 26 x 2 ? 40 x

V ' ? 12 x 2 ? 52 x ? 40, 令V ' ? 0, 得x ? 1, 或x ?
?V最大值 ? 18
13、 某厂生产产品 x 件的总成本 c( x) ? 1200 ?

V极大值 ? V (1) ? 18 ,在定义域内仅有一个极大值,

10 10 ,x? (舍去) 3 3

2 3 k 2 已知产品单价 P(万元)与产品件数 x 满足: P ? , x (万元), 75 x

生产 100 件这样的产品单价为 50 万元,产量定为多少件时总利润最大?

解:由题意知有:502 ? ?总利润L(x)=x ?

k 25 ?104 500 得k=25 ? 104 ,? P ? ? 100 x x

1 500 2 2 ? 1200 ? x3 ? L' ( x) ? 500 x 2 ? x 2 75 25 x 令L' ( x) ? 0则有 : x ? 25(件) ?当x ? 25件时,总利润最大.

14、 一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比,已知当速度为 10 k m 的燃料费是 6 元 ,

h

h

而其他与速度无关的费用是 96 元 ,问轮船以何种速度航行时,能使行使路程的费用总和最小?

h Q元 3 解:设船的行使速度为 x(x>0) k m 时,燃料费用为 ,则 Q ? k x h 小时
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则6 ? k ? 10 3 ,? k ? 行使路程为a, 则

3 3 , 从而Q ? x3, 设总费用为y元, 500 500

3 a 3 x 2 96 x3 ? 96 ) ? ? ( ? ) a, 500 x 500 x 6 96 6( x 3 ? 800 ) ? y' ? ( ? ) a , 令y ' ? ?0 500 x 2 500 x 2 得x ? 20, 且x ? (0,20 )时, y ' ? 0;当x ? (20,??)时y ' ? 0, 所以当x ? 20时,y最小. y?(
思悟小结 在生产实践及科学实验中,常遇到“最好”“最省”“最低”“最大”和“最小”等问题.例如质量 , , , 最好,用料最省,效益最高,成本最低,利润最大,投入最小等等,这类问题在数学上常常归结为求函数 的最大值或最小值问题,通常称为优化问题. 章末测试 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题 目要求的) 1. y ? x 在 x ? 1处的导数为( A. 2 x B.2 ? ?x
2 ' '

) C.2 D.1

解: y =2x,当 x=1 时 y =2,故选 C 2.下列求导数运算正确的是( )

1 1 ' 1 ' B. (log 2 x) ? 2 x x x ln 2 x ' x 2 ' C. (3 ) ? 3 log 3 e D. ( x cos x) ? ?2 x sin x 1 1 x ' x 2 ' 2 解:A). ( x ? )' ? 1 ? 2 , C) (3 ) ? 3 ln 3 ,D) ( x cos x) ? 2 x cos x ? x sin x ,故选 B x x 3 3. .函数 y ? 3x ? x 的单调增区间是( )
A. ( x ? ) ? 1 ? A.(0,+∞)
'

B.(-∞,-1)
2
2

C.(-1,1)

D.(1,+∞)

解:令 y =3-3 x >0,得-1<x<1,故选 C 4.函数 f(x)=x (1 ? x) 有 ( )个极值点。 A0 B1 C2 D3 ' 3 2 2 解:f(x)= x ? 2 x ? x , f ( x) = 3x ? 4 x ? 1 有两个零点,故选 C 5. 三次函数 f ( x) ? ax ? 2 x +5 在 x ? (??,??) 内是增函数,则(
3



A. a >0
'

B. a <0
2

C. a =1

D. a =

1 3


解: 依题意 f ( x) =3a x +2>0 在 x ? (??,??) 恒成立,所以 a >0, (注意 a ? 0 ) ,故选 A 6.与直线 3x ? y ? 8 ? 0 平行的曲线 y ? x ? 3x ? 1 的切线方程为(
3 2

(A) y ? 3x ? 4 (B) y ? ?3x ? 2
'

(C) y ? ?4 x ? 3

(D) y ? 4 x ? 5

解: y =3 x -6x=-3,得 x=1,则 y=-1,所以切线方程为 y+1=-3(x-1),故选 B 7. 对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x-1) f ? x) ( ?0,则必有( ) A.f(0)+f(2)?2f(1) B. f(0)+f(2)?2f(1) C.f(0)+f(2)?2f(1) D. f(0)+f(2)?2f(1) 解:依题意,当 x?1 时,f?(x)?0,函数 f(x)在(1,+?)上是增函数;当 x?1 时,f?(x)?0,f(x) 在(-?,1)上是减函数,故 f(x)当 x=1 时取得最小值,即有 f(0)?f(1) ,f(2)?f(1) ,故选 C 8.已知函数 f(x)=

2

1 2 x +sinx, 则 y=f′(x)的大致图象是 2
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解 : f ′ (x)=x+cosx,
非奇函数也非偶函数,又在 ??
3

? ? ??

上 x+cosx ? ,故选 B , ? 2 2? ?

9. 、函数 f(x)=x -3bx+3b 在(0,1)内有极小值,则 1 A.0<b<1 B.b<1 C.b>0 D.b< 2
2 解:f ( x) =3 x -3b, 因为有极小值则 b>0,所以当 f ( x) =0 得 x= b 或 x=- b ,由三次函数性质可知 x= b
' '

是极小值点,故 0< b <1,故选 A 10.下图是 f ( x) 的图像,则正确的判断个数是( 1)f(x)在(-5,-3)上是减函数; 2)x=4 是极大值点; 3)x=2 是极值点; 4)f(x)在(-2,2)上先减后增;
'



y

-5 -3 -2 0 2 4 A 0 B1 C2 D3 解:正确的判断是 2)和 4) ,故选 C 二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。把答案填在题中横线上) 11. 曲线 y ? x ? 3x 在点 P(?2, ?14) 处的切线方程是
3

x



解:令 y =3 x +3,当 x=-2 时, y =15.所以有 y+14=15(x+2), 即切线方程为:y=15x+16 12.函数 f ( x) ? x3 ? px 2 ? qx 的图象与 x 轴相切于点 (1 0) ,极大值为 , 13.函数 y ? 2 x 2 ? ln x( x ? 0) 的单调增区间为 解:令 y =4x'

'

2

'

4 ,则极小值为 27 解:?这函数的图象过原点且 x 轴相切于点 (1 0) ,由三次函数性质知极小值为 0. ,



1 1 1 >0,得 x> . 单调增区间为( ,+ ? ). x 2 2 ? ?? 14.函数 f(x)=x+2cosx 在 ? 0, ? 上取得最大值时,x 的值是 。 ? 2? 1 ? ? ?? ' 解:令 f ( x) =1-2sinx=0,得 sinx= ,?x ? ? 0, ? ,?x= .为唯一极值点。故为极大值点, 2 6 ? 2? ? x= 为所求。 6 x 15.如果直线 y=kx 与曲线 y= e 有公共点,则 k 的取值范围是 x x 解:当直线 y=kx 与曲线 y= e 相切时,设切点( x0 , e 0 ) , y
e x0 则 k= e = ,? x0 =1, 切点(1,e), k=e, 则 k 的取值范围是 x0
x0

x

?e,??? ? (- ?,0)

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三.解答题(本大题共 5 小题,共 50 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

1 x ?x ( e + e )的最小值点,求曲线在( x0 , f (x0 ) )处的切线方程。 2 1 x ?x 解:令) f ' (x)= ( e - e )=0,得 x=0. 2 ' 当 x>0 时, f (x)>0;当 x<0 时, f ' (x)<0.
16 设 x0 是 f(x)= 所以 x=0 时,f(x)取得最小值是 f(0)=1,又曲线在(0,1)点处切线斜率 k= f ' (0)=0 所以曲线在(1,0)处的切线方程为 y=1。 .17. 设函数 f(x)=ax +bx +cx+d 的图象与 y 轴的交点为 P,且曲线 f(x)在 P 点出处的切线方程为 24x+y- 12=0,又函数在 x=2 出处取得极值-16,求该函数的单调递减区间 解:设 P 点的坐标(0,d),d=12 f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ,-24=k= f ?(0) ? c ,又-16=8a+4b+2c+d=8a+4b-36 ,另由 f ?(2) ? 0 得 3a+b=6 ② 由①②解得 a=1,b=3;由此解 f ?( x) ? 0 得-4≤x≤2,所求区间[-4,2]. ∴2a+b=5 ① 18.曲线 C:f(x)= ax +bx +cx+d 关于原点成中心对称,y 极小=f(1)= ?
3 2 3 2

2 . 3

(1)求 f(x)的解析式; (2) 在曲线 C 上是否存在点 P, 使过 P 点的切线与曲线 C 除 P 点以外不再有其它公共点?证明你的结论. 解:(1)曲线 f(x) 关于原点成中心对称,f(-x)=-f(x),得 b=d=0.

2 ? ? f(x)=a x +cx, 又 f(1)= ? 且 f ' (1)=0,? ? 2得 3 ?a ? c ? ?
3

?3a ? c ? 0, ? 3

a=

1 1 ,c=-1,得 f ( x) ? x 3 ? x ; 3 3
2 2

(2)设切点 P(a,f(a)),则 k= f ?(a) ? a 2 ? 1 ?

y ? f (a) 1 2 ? ( x ? ax ? a 2 ) ? 1 , x?a 3

∴x +ax-2a =0,若存在这样的点 P,则 x1=x2=a,∴x1+x2=2a= -a,∴a=0 ∴存在这样的点 P(0,0)满足题意. b 1 19..已知 f(x)=2ax- +lnx 在 x=-1,x= 处取得极值.(1)求 a、b 的值; x 2 (2)若对 x∈[

1 ,4]时,f(x)>c 恒成立,求 c 的取值范围. 4
b 1 b +lnx, ∴f′(x)=2a+ 2 + . x x x

解:(1)∵f(x)=2ax-

∵f(x)在 x=-1 与 x=

1 1 处取得极值,∴f′(-1)=0,f′( )=0, 2 2
∴所求 a、b 的值分别为 1、-1.

?2a ? b ? 1 ? 0, ?a ? 1, 即? 解得 ? ?2a ? 4b ? 2 ? 0. ?b ? ?1.
(2)由(1)得 f′(x)=2- ∴当 x∈[

1 1 1 1 2 + = 2 (2x +x-1)= 2 (2x-1) x+1). ( 2 x x x x

1 1 1 1 1 , ]时,f′(x)<0;当 x∈[ ,4]时,f′(x)>0.∴f( )是 f(x)在[ ,4] 4 2 2 2 4
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上的极小值.又∵只有一个极小值,

∴f(x)min=f(

1 )=3-ln2. 2

∵f(x)>c 恒成立,∴c<f(x)min=3-ln2. ∴c 的取值范围为 c<3-ln2.
1 2 ,问: (1)要使平均成本最低,应生 x (元) 40 产多少件产品?(2)若产品以每件 500 元售出,要使利润最大,应生产多少件产品? 1 2 25000 ? 200 x ? x 40 ? 25000 ? 200 ? x , 解: (1)设平均成本为 y 元,则 y ? x x 40 ?25000 1 ,令 y? ? 0 得 x ? 1000 . y? ? ? x2 40 当在 x ? 1000 附近左侧时 y? ? 0 ; 在 x ? 1000 附近右侧时 y? ? 0 ,故当 x ? 1000 时, y 取极小值,而函数只有一个点使 y? ? 0 ,故函数在该点 处取得最小值,因此,要使平均成本最低,应生产 1000 件产品. ? x2 ? x2 x (2)利润函数为 S ? 500 x ? ? 25000 ? 200 x ? ? ? 300 x ? 25000 ? , S ? ? 300 ? , 40 ? 40 20 ? 令 S ? ? 0 ,得 x ? 6000 ,当在 x ? 6000 附近左侧时 S ? ? 0 ;在 x ? 6000 附近右侧时 S ? ? 0 ,故当 x ? 6000 时, 而函数只有一个点使 S ? ? 0 ,故函数在该点处取得最大值,因此, 要使利润最大,应生产 6000 S 取极大值, 件产品.

20.已知某工厂生产 x 件产品的成本为 C ? 25000 ? 200 x ?

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