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2013高考百天仿真冲刺卷(文科数学试卷三)


2013 高考百天仿真冲刺卷

数 学(文) 试 卷(三)
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2 ,则 z 等于 (A) 1 ? i (B) 1 ? i (C) ? 1 ? i (D) ? 1 ? i (2)命题“ ?x0 ?R , log 2 x0 ? 0 ”的否定为 (A) ?x0 ?R , log 2 x0 ? 0 (C) ?x ? R , log2 x ? 0 ≥0 (B) ?x0 ?R , log 2 x0≥00 ? (D) ?x ? R , log2 x ? 0

(3)已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ,则函数 f ( x) 的大致图像 为 y y y y

? 1 O1

x

?1 O 1

x

O

x

O

x

(A) (B) (C) (D) (4)给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面平行; ②若两个平面都垂直于同一条直线,则这两个平面平行; ③若两个平面互相垂直,则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面; ④若两个平面互相平行,则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面. 其中为真命题的是 (A)①和② (B)②和③ (C)③和④ (D)②和④ (5)已知函数 y ? sin ? ?x ? ?? (? ? 0, 0 ? ? ? ) 的部分 图象如右图所示,则点 P ? ?, ? ? 的坐标为

? 2

y

1
? 3

? 3 1 ? (C) ( , ) 2 3
(A) (2, )

? 6 1 ? (D) ( , ) 2 6
(B) (2, )

o
?1

5? 6

x

(6)若右边的程序框图输出的 S 是 126 ,则条件①可为 (A)n≤5 (B)n≤6 (C)n≤7 (D)n≤8 (7)已知函数 f ( x) ? ( ) ? x 3 ,那么在下列区间中含有函数
x

1 2

1

f ( x) 零点的为 1 (A) (0, ) 3 1 (C) ( ,1) 2

(B) ( , ) (D) (1, 2)

1 1 3 2

(8)空间点到平面的距离如下定义:过空间一点作平面的垂线,该点和垂足之间的距离 即为该点到平面的距离.平面 ? , ? ,? 两两互相垂直,点 A ? ? ,点 A 到 ? , ?
1

的距离都是 3 ,点 P 是 ? 上的动点,满足 P 到 ? 的距离是到 P 到点 A 距离的 2 倍,则点 P 的轨迹上 的点到 ? 的距离的最小值为 (A) 3 (C) 6 ? 3 (B) 3 ? 2 3 (D) 3 ? 3 第Ⅱ 卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)抛物线 y 2 ? 8x 的焦点坐标为 . . . (10)在等差数列 ?an ? 中,若 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13 ,则 a4 ? a5 ? a6 ? (12)已知 ? ? ( , π) , tan(? ?

(11)已知向量 a , b , c 满足 a ? b ? 2c ? 0 ,且 a ? c , | a |? 2 , | c |? 1 ,则 | b |?

π π 1 ) ? ,则 sin ? ? cos ? ? . 2 4 7 ?2a x , x ? 1, ? (13)设 f ( x) ? ? 且 f (2 2) ? 1 ,则 a ? ; f ( f (2)) ? . 2 ?log a ( x ? 1), x ? 1, ? ? x ? 0, kS ? (14)设不等式组 ? y ? 0, 在直角坐标系中所表示的区域的面积为 S ,则当 k ? 1 时, 的最小 k ?1 ? y ? ? kx ? 4k ?
值为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c . cos C ? (Ⅰ)求证: A ? B ;

4 , c ? 2b cos A . 5
P

15 (Ⅱ)若△ ABC 的面积 S ? ,求 c 的值. 2
E

D

C

A

B

(16) (本小题共 13 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是菱形. PB ? PD , E 为 PA 的中点. (Ⅰ)求证: PC ∥平面 BDE ; (Ⅱ)求证:平面 PAC ? 平面 BDE .

2

(17) (本小题共 13 分) 某高校在 2011 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩分组:第 1 组[75,80),第 2 组 [80,85),第 3 组[85,90),第 4 组[90,95),第 5 组 [95,100]得到的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)分别求第 3,4,5 组的频率; (Ⅱ)若该校决定在笔试成绩高的第 3,4,5 组中用分层抽样 抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第 3,4,5 组每组各抽取 多少名学生进入第二轮面试? (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面试,求第 4 组至少有一名学生被甲考 官面试的概率.

频率 组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 75 80 85 90 95 100 分数

(18)(本小题共 14 分)
3 2 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? x ? c ,且 a ? f '( ) .

2 3

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f (x) 的单调区间; (Ⅲ)设函数 g ( x) ? [ f ( x) ? x ] ? e ,若函数 g (x) 在 x ? [?3,2] 上单调递增,求实数 c 的取值范围.
3 x

3

(19) (本小题共 14 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上, 离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

1 , 椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 . 2

(Ⅱ)若过点 P(0, m) 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A, B ,且 AP ? 3PB ,求实数 m 的取值范围.

??? ?

??? ?

(20)(本小题共 13 分)

? a11 ? ? a 21 * 对于 n ? N (n ? 2) ,定义一个如下数阵: Ann ? ? ? ? ?a ? n1 1 ? j ? n ,当 i 能整除 j 时, aij ? 1 ;当 i 不能整除 j 时, aij
(Ⅰ)当 n ? 4 时,试写出数阵 A44 ; ( Ⅱ ) 设 t ( j) ?
n
n

a12 a 22 ? an2

? a1n ? ? ? a2n ? 其中对任意的 1 ? i ? n , ? ?? ? ? a nn ? ?

? 0.

?a
i ?1

n

ij

? a1 j ? a 2 j ? ? ? a nj . 若 [x] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 求 证 :

? t ( j ) ? ?[ i ] .
j ?1
i ?1

n

4

2013 高考百天仿真冲刺卷

数学(文)试卷(三)参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)A (2)D (3)C (4)D (5)A (6)B (7)B (8)D 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) (2, 0) (10) 42 (11) 2 2 (12) ?

1 5

(13) 7 ; 6 (14) 32 注:两个空的填空题第一个空填对得 2 分,第二个空填对得 3 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) (Ⅰ)证明:因为 c ? 2b cos A ,由正弦定理得 sin C ? 2sin B ? cos A , 所以 sin( A ? B) ? 2sin B ? cos A ,

sin( A ? B) ? 0 , 在△ ABC 中,因为 0 ? A ? π , 0 ? B ? π , 所以 ? π ? A ? B ? π 所以 A ? B . ????????6 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 a ? b . 4 3 因为 cos C ? ,所以 sin C ? . 5 5 15 1 15 因为△ ABC 的面积 S ? ,所以 S ? ab sin C ? , a ? b ? 5. 2 2 2 2 2 2 由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab cos C ? 10 所以 c ? 10 . ????????13 分
(16) (共 13 分) (Ⅰ)证明:因为 E , O 分别为 PA , AC 的中点, 所以 EO ∥ PC . 因为 EO ? 平面 BDE PC ? 平面 BDE 所以 PC ∥平面 BDE . E ????????6 分 (Ⅱ)证明:连结 OP D 因为 PB ? PD , 所以 OP ? BD . A 在菱形 ABCD 中, BD ? AC 因为 OP ? AC ? O 所以 BD ? 平面 PAC 因为 BD ? 平面 BDE 所以平面 PAC ? 平面 BDE . ????????13 分 (17) (共 13 分)
P

C O B

5

解:(Ⅰ)由题设可知,第 3 组的频率为 0.06 ? 5 ? 0.3 , 第 4 组的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 , 第 5 组的频率为 0.02 ? 5 ? 0.1 . ????????3 分 (Ⅱ)第 3 组的人数为 0.3 ?100 ? 30 , 第 4 组的人数为 0.2 ?100 ? 20 , 第 5 组的人数为 0.1?100 ? 10 . 因为第 3 , 4 , 5 组共有 60 名学生, 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组抽取的人数分别为:

30 ?6 ? 3, 60 20 ?6 ? 2 , 第 4 组: 60 10 ? 6 ? 1. 第 5 组: 60 所以第 3 , 4 , 5 组分别抽取 3 人, 2 人, 1 人. ????????8 分 (Ⅲ)设第 3 组的 3 位同学为 A , A2 , A3 , 1 第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 ,
第 3 组: 第 5 组的 1 位同学为 C1 . 则从六位同学中抽两位同学有:

( A1, A2 ),( A1, A3 ),( A1, B1 ),( A1, B2 ),( A1, C1 ), ( A2 , A3 ),( A2 , B1 ),( A2 , B2 ),( A2 , C1 ), ( A3 , B1 ),( A3 , B2 ),( A3 , C1 ), ( B1 , B2 ),( B1, C1 ),( B2 , C1 ), 共 15 种可能. 其中第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 至少有一位同学入选的有: ( A1 , B1 ),( A1 , B2 ),( A2 , B1 ),( A2 , B2 ), ( A3 , B1 ),( B1, B2 ),( A3 , B2 ),( B1, C1 ),( B2 , C1), 共 9 种可能, 9 3 ? . 所以第 4 组至少有一名学生被甲考官面试的概率为 15 5
????????13 分 (18) (共 14 分) 解: (Ⅰ)由 f ( x) ? x ? ax ? x ? c ,得 f '( x) ? 3x ? 2ax ?1 .
3 2 2

2 2 2 2 2 2 时,得 a ? f '( ) ? 3 ? ( ) ? 2 f '( ) ? ( ) ? 1 , 3 3 3 3 3 解之,得 a ? ?1 . ????????4 分
当x? (Ⅱ)因为 f ( x) ? x ? x ? x ? c .
3 2

从而 f '( x) ? 3x ? 2 x ? 1 ? 3( x ? )( x ? 1) ,列表如下:
2

1 3

x
f ' ( x) f (x)

1 (?? , ? ) 3
+ ↗

?

1 3

1 (? , 1) 3
- ↘

1 0 有极小值

(1 , ? ?)
+ ↗

0 有极大值

所以 f (x) 的单调递增区间是 (?? , ? ) 和 (1 , ? ?) ;

1 3

6

1 f (x) 的单调递减区间是 (? , 1) . 3
(Ⅲ)函数 g ( x) ? ( f ( x) ? x3 ) ? e x ? (? x2 ? x ? c) ? e x ,

????????9 分

有 g(x) ? (?2 x ?1)ex ? (? x2 ? x ? c)e x = (? x2 ? 3x ? c ?1)e x , ' 因为函数在区间 x ? [?3,2] 上单调递增, 等价于 h( x) ? ? x2 ? 3x ? c ?1 ? 0 在 x ? [?3,2] 上恒成立, 只要 h(2) ? 0 ≥0,解得 c ? 11 ≥11,

? 11. 所以 c 的取值范围是 c ≥11 (19) (共 14 分)
解: (Ⅰ)设所求的椭圆方程为:

????????14 分

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2

?c 1 ?a ? 2 ?a ? 2 ? ? ? ?b ? 3 由题意: ? a ? c ? 3 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?c ? 1 ? ? x2 y 2 ? ? 1. 所求椭圆方程为: 4 3
(Ⅱ)若过点 P(0, m) 的斜率不存在,则 m ? ?

????????5 分

3 . 2 3 若过点 P(0, m) 的直线斜率为 k ,即: m ? ? 时, 2 直线 AB 的方程为 y ? m ? kx ? y ? kx ? m 由? 2 ? (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m2 ? 12 ? 0 2 ?3x ? 4 y ? 12

? ? 64m2k 2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) 因为 AB 和椭圆 C 交于不同两点 2 2 所以 ? ? 0 , 4k ? m ? 3 ? 0 2 2 所以 4k ? m ? 3 ① 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ??? ? ??? ? 8km 4m2 ? 12 , x1 x2 ? 由已知 AP ? 3PB ,则 x1 ? x2 ? ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ??? ? ??? ? AP ? (?x1, m ? y1 ), PB ? ( x2 , y2 ? m) ③ ? x1 ? 3x2
4km 2 4m2 ? 12 ) ? 将③代入②得: ?3( 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 2 2 2 2 整理得: 16m k ? 12k ? 3m ? 9 ? 0 9 ? 3m2 9 ? 3m 2 2 2 ? m2 ? 3 所以 k ? 代入①式得 4k ? 16m 2 ? 12 4m 2 ? 3 3 4m2 (m2 ? 3) ? 0 ,解得 ? m 2 ? 3 . 2 4 4m ? 3 3 3 所以 ? 3 ? m ? ? 或 ?m? 3. 2 2



7

综上可得,实数 m 的取值范围为: (? 3, ?

3 3 ] ? [ , 3) . 2 2
????????14 分

(20)(共 13 分)

?1 ? 0 解: (Ⅰ)依题意可得, A44 ? ? ?0 ? ?0

1 1 0 0

1 0 1 0

1? ? 1? 0? ? 1?
????????4 分

(Ⅱ)由题意可知, t ( j ) 是数阵 Ann 的第 j 列的和, 因此

? t ( j ) 是数阵 A
j ?1

n

nn

所有数的和.

而数阵 Ann 所有数的和也可以考虑按行相加. 对任意的 1 ? i ? n ,不超过 n 的倍数有 1i , 2i ,?, [ ]i . 因此数阵 Ann 的第 i 行中有 [ ] 个1,其余是 0 ,即第 i 行的和为 [ ] . 所以

n i

n i

n i

? t ( j ) ? ?[
j ?1
i ?1

n

n

n ]. i
????????13 分

8


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