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2015 概率统计1.1


概率论与数理统计
主讲教师: 朱志强 办公地址: 逸夫楼B303 电 话:18975110460
Email:zqzhu@mail.hzau.edu.cn

概率论起源
17世纪,法国贵族德·梅勒 请教

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费马 通信

帕斯卡

概率论起源
瑞士数学家J.伯努利建立了概率论中第一个极限定理 ,即伯努利大数定律。

1933年苏联数学家柯尔莫哥洛夫 《概率论基础》给 出了概率的测度论的定义和一套严密的公理体系。

现实世界的客观现象

确定性现象

非确定性现象

随机现象

第一章 随机事件的概率
重点:随机事件、概率、条件概率、独立性概念; 加法公式、乘法公式;

难点:古典概率、条件概率计算;

全概率公式和贝叶斯公式及应用。

§1.1 随机试验与随机事件
1. 随机试验(Random Experiments)
例1 掷一个均匀的硬币:?正上,反上 ?
例2 掷一六面均匀的骰子:? 1,2,3,4,5,6?

等车 时间为 : [0, 8) 例3 571 路汽车, 8分钟一趟,

6

§1.1 随机试验与随机事件
随机试验满足:
1)重复性 2)明确性 3)随机性 相同条件下可重复进行 试验的所有可能结果已知 每次试验的具体结果不知

7

§1.1 随机试验与随机事件
2. 随机试验的样本空间
1)样本空间(Sample Space) : 随机试验的所有可能结果组成的集合.记Ω. 2)样本点(Sample Point) : 样本空间的元素(即每次试验的可能结果). 例:掷骰子的样本空间为: ? ? ?1,2,3,4,5,6?

§1.1 随机试验与随机事件
例:测试某灯泡的寿命, 若规定灯泡的寿命 (小时) 小于500为次品, 则关注灯泡的寿命
{ t t ? 500}

注意:在进行随机试验时, 关注满足某种条件的那 些样本点所组成的集合(子集)。

§1.1 随机试验与随机事件
3. 随机事件 (random Events)
定义:在随机试验中,可能出现、也可能不出现的某一件事情 称为随机事件. 用大写字母A,B,C表示,简称为事件. 随机事件是样本空间的某个子集。 A:掷出的点数为1. 基本事件--集合元素--样本点

B:掷出的点数小于0。 不可能事件--空集 C:掷出的点数小于8。 必然事件--全集

§1.1 随机试验与随机事件
4.随机事件的关系及运算
随机事件--集合

(Contain and Equal) ?1? 事件的包含与相等

若事件 A发 生 必 然 导 致 事 件 B发 生 , 称 B包 含A, 或称事件 A为 事 件 B的 子 事 件 。 记为: A ? B或B ? A。
显然,对任何事件A有? ? A ? ?。

Ω

BA

若A ? B且B ? A,则称A与事件B相等。记为A ? B

§1.1 随机试验与随机事件

?2? 事件的并(或和)

(Union)

若事件 A, B中 至 少 有 一 个 发 生 , 即" A或B" 是 一 个 事 件 ,被称为 事 件A与B的 并 事 件 或 和 事 件 . 记 为A ? B或A ? B

Ω

A B
n

推广 : n个事件A1 , A2 ,?, An中至少有一个发生的事 件称为 事件A1 , A2 ,?, An的并事件或和事件 .记为? Ai
i ?1

* *通常 A ? B或者

互不相容。 ? A 的这种写法要求事件间
i

§1.1 随机试验与随机事件
(Intersection) ?3? 事件的交(或事件的积 )

两个事件 A,B同 时 发 生 的 事 件 , 被 为 称A与B的 交(或积)事件。 记 为A ? B或AB.
?

B

A

显然AB ? A, AB ? B.当A ? B时,AB ? A
推广 : n个事件A1 , A2 ,? , An同时发生的事件称为 事件A1 , A2 ,? , An的交事件或积事件.记为? Ai .
i ?1 n

§1.1 随机试验与随机事件
(Exclusive) ?4? 互不相容事件

若事件 AB ? ?, 则称事件 A与B互 不 相 容 。
(Contrary) ?5? 对立事件

A

B Ω A

若事件 AB ? ?,且A ? B ? ?, 则称事件 A与B对立。
称事件B为A的逆事件。记为A。 显然, A??? A

B

Ω

§1.1 随机试验与随机事件

?6? 完备事件组

若A1 , A2 ,?, An两 两 互 斥 ,且满足 ? Ai ? ?, 则 称A1 , A2 ,?, An
i ?1

n

. 为完备事件组 . 显然, A与A构成完备事件组

?7? 事件的差 (Difference)
事 件A发 生 而 同 时 事 件 B未 发 生 的事件,称为事件 A与B的 差 。 记 为A ? B。

Ω

A B
A ? AB ? AB

A ? B ? AB

§1.1 随机试验与随机事件 运算法则
(1)包含传递性 若A ? B,B ? C,则A ? C ( 2)交换律 A ? B ? B ? A; A ? B ? B ? A ( 3)结合律 ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C );
( AB )C ? A( BC ).
(4)分配律

A( B ? C ) ? AB ? AC ;

A ? ( BC ) ? ( A ? B)( A ? C ).

例1 化简 ( A ? B)( A ? B)

§1.1 随机试验与随机事件
?5? 德? 摩根律?对偶律? :
A ? B ? A B , ? AB? ? A ? B ,
i ?1 ? n n n n

? Ai ? ? Ai , ? Ai ? ? Ai
i ?1 ? i ?1 ? i ?1 ? i ?1

? Ai ? ? Ai , ? Ai ? ? Ai
i ?1 i ?1 i ?1

?6? A ? A
?7 ? A ? B ? AB ? A ? AB .

§1.1 随机试验与随机事件
5.事件的复合
善于设一些基本的随机事件,令成字母A,B,C…,
然后根据事件的关系用这些基本事件表示其他的 随机事件。

复合关系见P7的表

例2:设Ai 表示第 i次击中目标( i ?1 , 2, 3 ),
试用事件 Ai 及运算法则表示出如下 事件:

1.只中第一枪;
2.只中一枪;
3.最多中一枪;

4.至少中一枪.

内容小结:
1.随机试验是满足下面三性的试验 1)重复性 2)明确性 3)随机性 相同条件下可以重复进行 试验的所有可能结果已知

每次试验的具体结果不知

内容小结:
2.样本空间 (Sample Space) (记作Ω): 随机试验的所有可能结果组成的集合. 样本点 (Sample Point) : 样本空间的元素(即每次试验的可能结果).

内容小结:
3.随机事件:在随机试验中可能出现、也可能不出现的某 一件事情. 用大写字母A,B,C表示,简称事件(Events). A:掷出的点数小于4。 B:掷出的点数大于5。 C:掷出的点数为奇数。 随机事件是样本空间的某个子集。

内容小结: 4.随机事件的关系及运算
并或和、 交或积、 差、 包含与相等、 互不相容事件 、 对立事件、 完备事件组、

运算法则(德莫根定理)

作业:P9,3,6,10


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