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讲义二次函数的解析式求法


学员姓名: 课 题 教学目标 重点、难点 考点及考试要求

年级:九年级

教师:

二次函数的解析式求法
熟练掌握二次函数解析式的求法 二次函数解析式的求法 二次函数解析式的求法 教学内容

二次函数的三种表达形式: 一般式 y=a x 2 +bx+c,交点式 y=a(x- x1 )(x-

x2 ),顶点式 y=a(x-h) 2 +k. 一. 一般式:y=a x 2 +bx+c 就一般式 y= a x +bx+c(其中 a,b,c 为常数,且 a≠0)而言,其中含有三个待定的系数 a ,b ,c.求二次 函数的一般式时,必须要有三个独立的定量条件,来建立关于 a ,b ,c 的方程,联立求解,再把求出的 a , b ,c 的值反代回原函数解析式,即可得到所求的二次函数解析式. 典型例题:已知二次函数的图像过点(0,2)(1,1)(3,5), 求此二次函数解析式。
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二.交点式:y=a(x- x1 )(x- x2 ) 知识归纳:二次函数交点式:y=a(x- x1 )(x- x2 ) (a≠0), x1 , x2 分别是抛物线与 x 轴两个交点的横坐标.已 知抛物线与 x 轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时,用交点式比较简便. 典型例题一:告诉抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,和第三个点,可求出函数的交点式. 例 1 已知抛物线与 x 轴交点的横坐标为-2 和 1 ,且通过点(2,8),求二次函数的解析式.

典型例题二:告诉抛物线与 x 轴的两个交点之间的距离和对称轴,可利用抛物线的对称性求解. 例 2 已知二次函数的顶点坐标为(3,-2),并且图象与 x 轴两交点间的距离为 4.求二次函数的解析式.

三.顶点式:y=a(x-h) +k 顶点式 y=a(x-h) +k(a≠0),其中(h,k)是抛物线的顶点.当已知抛物线顶点坐标或对称轴,或能够先求出 抛物线顶点时,设顶点式解题十分简洁,因为其中只有一个未知数 a.在此类问题中,常和对称轴,最大值或最 小值结合起来命题.在应用题中,涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时,一般用顶点式方便. 典型例题一:告诉顶点坐标和另一个点的坐标,直接可以解出函数顶点式.
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例 3 已知抛物线的顶点坐标为(-1,-2),且通过点(1,10),求此二次函数的解析式.

典型例题二:如果 a>0,那么当 x= -

4ac ? b 2 b b 时,y 有最小值且 y 最小= ;如果 a<0,那么,当 x=时,y 4a 2a 2a

有最大值,且 y 最大=

4ac ? b 2 .告诉最大值或最小值,实际上也是告诉了顶点坐标,同样也可以求出顶点式. 4a

例 4 已知二次函数当 x=4 时有最小值-3,且它的图象与 x 轴两交点间的距离为 6,求这个二次函数的解析式.

典型例题三:告诉对称轴,相当于告诉了顶点的横坐标,综合其他条件,也可解出. 例如(1)已知二次函数的图象经过点 A(3,-2)和 B(1,0),且对称轴是直线 x=3.求这个二次函数的解析 式.

(2)已知关于 x 的二次函数图象的对称轴是直线 x=1,图象交 y 轴于点(0,2),且过点(-1,0),求这 个二次函数的解析式.

(3)已知抛物线的对称轴为直线 x=2,且通过点(1,4)和点(5,0),求此抛物线的解析式.

(4)二次函数的图象的对称轴 x=-4,且过原点,它的顶点到 x 轴的距离为 4,求此函数的解析式.

典型例题四:利用函数的顶点式,解图像的平移等问题非常方便. 例 5:把抛物线 y=ax +bx+c 的图像向右平移 3 个单位, 再向下平移 2 个单位, 所得图像的解析式是 y=x -3x+5, 则函数的解析式为__________________. 利用翻折型(对称性)来求函数解析式 已知一个二次函数 ? ? a? ? b? ? c ,要求其图象关于 x 轴对称(也可以说沿 x 轴翻折) y 轴对称及经过其 ;
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顶点且平行于 x 轴的直线对称, (也可以说抛物线图象绕顶点旋转 180°)的图象的函数解析式,先把原函数的解 析式化成 y = a( x – h) + k 的形式.
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(1)关于 x 轴对称的两个图象的顶点关于 x 轴对称,两个图象的开口方向相反,即 a 互为相反数. (2)关于 y 轴对称的两个图象的顶点关于 y 轴对称,两个图象的形状大小不变,即 a 相同. (3)关于经过其顶点且平行于 x 轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变,开口方向相反,即 a 互为 相反数. 例6 已知二次函数 y ? 3x ? 6 x ? 5 ,求满足下列条件的二次函数的解析式:
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(1)图象关于 x 轴对称; (2)图象关于 y 轴对称; (3)图象关于经过其顶点且平行于 x 轴的直线对称.

综合应用 例 1. (南通市)已知抛物线 y ? ax ? bx ? c 经过 A,B,C 三点,当 x ? 0 时,其图象如图所示。求抛物线的解析式,写出顶点坐标。
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例 2. (江西省)一条抛物线 y ?

1 2 3 3 x ? mx ? n 经过点 (0, ) 与 (4 , ) 。求这条抛物线的解析式。 4 2 2

例 3.已知抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 y 轴的交点为 C,顶点为 M,直线 CM 的解析式为 y ? ? x ? 2 ,线段 CM 的长
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为 2 2 。求这条抛物线的解析式。


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