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陕西省榆林育才中学高中数学 第3章《推理与证明》合情推理(二)导学案(无答案)北师大版选修1-2


陕西省榆林育才中学高中数学 第 3 章《推理与证明》合情推理(二)导学 案(无答案)北师大版选修 1-2 学习目标 1. 结合已学过的数学实例,了解类比推理的含义; 2. 能利用类比 进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P30~ P38,找出疑惑之处) 1.已知 ai ? 0 (i ? 1, 2, (iii ) (a1 ? a2 ? a3 )( , n) ,考察下列式子: (i ) a1 ? 1 1 1 ? 1 ; (ii ) (a1 ? a2 )( ? ) ? 4 ; a1 a1 a2 1 1 1 ? ? ) ? 9 . 我们可以归纳出,对 a1 , a2 , a1 a2 a3 , an 也成立的类似不等式为 . 2. 猜想数列 1 1 1 1 ,? , ,? , 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 7 ? 9 的通项公式是 . 二、新课导学 ※ 学习探究 鲁班由带齿的草发明锯;人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇;地球上有生命,火星与地 球有许多相似点,如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星,有大气层,也有季节变更,温度也适合生 物生存,科学家猜测:火星上有生命存在. 以上都是类比思维,即类比推理. 新知:类比推理就是由两类对象具有 和其中 ,推出另一类对象也具有 这些特征的推理. 简言 之,类比推理是由 到 的推理. ※ 典型例题 例 1 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质. 类比 角度 运算 结果 运算律 实数的加法 实数的乘法 逆运算 单位元 变式:找出圆与球的相似之 处,并用圆的性质类比球的有关性质. 圆的概念和性质 球的类似概念和性质 圆的周长 -1- 圆的面积 圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦 与圆心距离相等的弦长相等,与圆心距离不等的 两弦不等,距圆心较近的弦较 长 以 点 ( x0 , y0 ) 为 圆 心 , r 为 半 径 的 圆 的 方 程 为 ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? r 2 例 2 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想. 变式:用三角形的下列性 质类比出四面体的有关性质. 三角形 三角形的两边之和大于第三边 三角形的中位线平行且等于第三边的一半 四面体 1 三角形的面积为 S ? (a ? b ? c)r (r 为三角形内 2 切圆的半径) 新知: 和 都是根据已有的事实, 经过观察、 分析、 比较、 联想, 再进行 , 然后提出 的推理,我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论,仅仅是一 种猜想,未必可靠. ※ 动 手试试 练 1. 如 图 , 若 射 线 OM , ON 上 分 别 存 在 点 M1 , M 2 与 点 N1 , N2 , 则 三 角 形 面 积 之 比 S?OM1N1 OM1 ON1 .若不在同一平面内的射线 OP,OQ 上分别存在点 P ? ? 1, P 2 ,点 Q1 , Q2 和点 R1 , R2 , S?OM 2 N2 OM 2 ON2 则类似的结论是什么? -2- 1 1 1 9 1 1 1 1 16 成 ? ? ? 成立;在四边形 ABCD 中,不等式 ? ? ? ? A B C ? A B C D 2? 1 1 1 1 1 25 立;在五边形 ABCDE 中,不等式 ? ? ? ? ? 成立 .猜想,在 n 边形 A1 A2 An 中,有怎 A B C D E 3? 样的不等式成立? 练 2. 在 ?ABC 中,

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