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江苏省扬州中学2017-2018学年高一10月月考数学试题


江苏省扬州中学 2017-2018 学年第一学期 10 月月考
高一数学试卷 2017.10.7 一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.答案写在答题卡上 ) ........ 1.集合 x 0 ? x ? 3 且x ? Z 的非空子集个数为 2.函数 y ? x ? 3 ? 1 的定义域是 2? x ▲ .

?

?





3. 定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x ) ?

1 1 ,则 f ( ) = 2 x ?1
▲ . ▲ .

▲ .

4.若函数 f ( x) ? ( p ? 2) x2 ? ( p ?1) x ? 2 是偶函数,则 p= 5.函数 f ( x) ? ?
x?a 图象的对称中心横坐标为 3,则 a= x ? a ?1

6.已知 A ? ?x 2a ? x ? a ? 3?, B ? (5, ??) ,若 A ? B ? ?, 则实数 a 的取值范围为 7.已知集合 A ? {?1,1} , B ? {x mx ? 1},且 A ? B ? B ,则实数 m 的值为 8.函数 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数且 f ( x) ? g ( x) ?

▲ . ▲ . ▲ . ▲ .

1 ( x ? ?1) ,则 f (?3) ? x ?1

? x 2 ? 4 x ? 6,x ? 0 9.已知函数 f ( x) ? ? ,若 f ( x) ? f (?1) ,则实数 x 的取值范围是 ?? x ? 6,x ? 0,

10.已知偶函数 f ? x ? 在 ?0, ??? 单调递减, f ? 2? ? 0 ,若 f ? x ?1? ? 0 ,则实数 x 的取值范 围是 ▲ .

11. 已知定义在 R 上的函数 f ?x ? 在 ?? 4,??? 上为增函数,且 y ? f ?x ? 4? 是偶函数,则

f ?? 6?, f ?? 4?, f ?0? 的大小关为



.

12. 已 知 函 数 f ( x) ? x2 ? 2x ? a 和 函 数 g ( x) ? 2x ? x ? 1 , 对 任 意 x1 , 总 存 在 x2 使

g ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是
13.设函数 f ( x) ?

▲ .

mx 区间 M ? [a, b](a ? b) , 集合 N ? { y | y ? f ( x), x ? M } , (其中常数m ? 1) , 1? | x |

则使 M ? N 成立的实数对 ? a, b ? 有

▲ 对.

14. 已知函数 f ?x ? 1? ? f ?x ? ? 1, 当 x ? ?0,1? 时, f ?x? ? 3x ? 1 ? 1. 若对任意实数 x ,都有

f ?x ? a ? ? f ?x ? 成立,则实数 a 的取值范围

▲ .

二、解答题:(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.答 . 案写在答题卡上 ) ....... 15. (本小题满分 14 分) 已知集合 A={x | | x ? a |? 4 }, B ? {x | x2 ? 4 x ? 5 ? 0} . (1)若 a ? 1 ,求 A ? B ; (2)若 A ? B ? R,求实数 a 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分)
2 已知函数 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x ? 2x .

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)若函数 f ( x) 在区间 [?1, a ? 2] 上单调递增,求实数 a 的取值范围.

17. (本小题满分 15 分) 已知函数 f(x)=|x -1|+x +kx. (1) 当k=2时,求方程f(x)=0的解; (2) 若关于 x 的方程 f(x)=0 在(0,2)上有两个实数解 x1,x2,求实数 k 的取值范围.
2 2

18(本小题满分 15 分) 学校欲在甲、乙两点采购某款投影仪,该款投影仪原价为每台 2000 元。甲店用如下方法促销:

买一台价格为 1950 元,买两台价格为 1900,每多买一台,则所买各台单价均再减少 50 元, 但每台不能低于 1200 元;乙店一律按原价的 80%销售。学校需购买 x 台投影仪,若在甲店购 买费用记为 f ?x ? 元,若在乙店购买费用记为 g ?x ? 元。 (1) 分别求 f ?x ? 和 g ?x ? 的解析式 (2) 当购买 x 台时,在哪家店买更省钱?

19.(本小题满分 16 分) 设函数 f ? x ? ? ax 2 ?

1 ?其中a ? R ? . x

(1)讨论函数 f ? x ? 的奇偶性,并证明你的结论; (2)若函数 f ? x ? 在区间 ?1+ ,? ? 上为增函数,求 a 的取值范围

20. (本小题满分 16 分)
2 已知二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c (其中 a ? 0 )满足下列 3 个条件:

① f ? x ? 的图象过坐标原点; ②对于任意 x ? R 都有 f (?

1 1 ? x) ? f (? ? x) 成立; 2 2

③方程 f ? x ? ? x 有两个相等的实数根, 令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? x ?1 (其中 ? ? 0 ), (1)求函数 f ? x ? 的表达式; (2)求函数 g ? x ? 的单调区间(直接写出结果即可); (3)研究方程 g ? x ? ? 0 在区间 ? 0,1? 上的解的个数.

高一数学试卷参考答案

2017.10.7

1.3,2. x x ? ?3且x ? 2 ,3. -2,4. 1,5. -4,6.

?

?

? ??,2? ? ? 3, ???

7.{1,0,-1}

3 ,9. ? ?1, ??? 10. ? ?1,3? 8 4? ? 4 2? ? 13.3 对; 14. ? -?, - ???- , - ? 3? ? 3 3? ?
8. ?

11、 f ? ?4? ? f ? ?6? ? f ? 0? ,12.

-1? ? -?,

15. 解:(1) A ? B ? ?x | ?3 ? x ? ?1?. (2)-1<a<3 .

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 ? 16.解:(1) f ( x ) ? ?0, x ? 0 ? x 2 ? 2 x, x ? 0 ?
(2)要使 f ( x) 在 [?1, a ? 2] 上递增,

则?

?a ? 2 ? ?1 ?a ? 2 ? 1

?1 ? a ? 3

17.. (1) 当k=2时,f(x)= |x -1|+x +2x. ①x -1≥0,即x≥1或x≤-1时, 方程化为2x +2x-1=0,解得x=
2 2

2

2

-1 ? 3 . 2

因为0<

-1 ? 3 <1, 2 -1- 3 . 2
1 . 2 1 -1- 3 或x=- . 2 2

所以x=

②当x2-1<0,即-1<x<1时, 方程化为1+2x=0,解得x=-

综上,当k=2时,方程f(x)=0的解是x= (2) 不妨设0<x1<x2<2,

?2 x 2 ? kx-1,|x| ? 1, 因为f(x)= ? 所以f(x)在(0,1]上是单调函数. ?kx ? 1,|x| ? 1,

故f(x)=0在(0,1]上至多有一个解. 若x1,x2∈(1,2),则x1x2=-

1 <0,故不符合题意. 2

因此,x1∈(0,1],x2∈(1,2).由f(x1)=0,得k=所以k≤-1; 由f(x2)=0,得k=

1 , x1

1 7 -2x2,所以- <k<-1. x2 2 ? ? 7 ? k ? -1} . 2

故实数k的取值范围是 ?k |-

?1 ? 19.(1) a ? 0 时 f ? x ? 为奇函数, a ? 0 时 f ? x ? 为非奇非偶函数,(2) ? , ?? ? ?2 ?

20.解: (1)由题意得 f ? 0? ? 0 ,即 c ? 0 .

…………1 分

∵对于任意 x ?R 都有 f ? ? ∴对称轴为 x ? ?

? 1 ? ? 1 ? ? x? ? f ?? ? x? , ? 2 ? ? 2 ?

1 b 1 ? ? ,即 a ? b . ,即 ? 2 2a 2

∴ f ? x ? ? ax2 ? ax , ∵方程 f ? x ? ? x 仅有一根,即方程 ax2 ? ? a ?1? x ? 0 仅有一根, ∴ ? ? 0 ,即 ? a ? 1? ? 0 ,即 a ? 1 .
2

∴ f ? x ? ? x2 ? x .

…………4 分

1 ? 2 x ? ?1 ? ? ? x ? 1, x ? , ? ? ? (2) g ? x ? ? f ? x ? ? ? x ? 1 ? ? ? x 2 ? ?1 ? ? ? x ? 1, x ? 1 . ? ? ?
① 当x?

1

?

时,函数 g ? x ? ? x ? ?1? ? ? x ?1 的对称轴为 x ?
2

? ?1
2





? ?1
2

? ?

1

?
1

,即 0 ? ? ? 2 ,函数 g ? x ? 在 ? ,即 ? ? 2 ,函数 g ? x ? 在 ?
2

?1 ? , ?? ? 上单调递增; ?? ?



? ?1
2 1

?

? ? ?1 ? ? 1 ? ?1 ? , ?? ? 上单调递增,在 ? , ? 上递减. ? 2 ? ?? 2 ?
1? ? 1 ? , 2 ?

② 当x ?

?

时,函数 g ? x ? ? x ? ?1 ? ? ? x ? 1的对称轴为 x ? ?

则函数 g ? x ? 在 ? ? 综上所述,

1? ? ? ? 1? ? 1 ? ? , ? 上单调递增,在 ? ??, ? ? 上单调递减. 2 ?? 2 ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? , ?? ? ,减区间为 ? ??, ? ?; 2 2 ? ? ? ?

当 0 ? ? ? 2 时,函数 g ? x ? 增区间为 ? ? 当 ? ? 2 时,函数 g ? x ? 增区间为 ? ?

? 1 ? ? 1 ? ? ? ?1 ? , ?、? , ?? ? ,减区间为 2 ?? ? 2 ? ?
…………9 分

1? ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? ??, ? ?、? , ?. 2 ? ?? 2 ? ?
(3) ① 当 0 ? ? ? 2 时,由(2)知函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上单调递增, 又 g ? 0? ? ?1 ? 0, g ?1? ? 2 ?

? ?1 ? 0 ,
…………12 分

故 g ? x ? ? 0 在区间 ? 0,1? 上只有一个零点.

②当 ? ? 2 时,则

1

?

?

1 ?1? 1 1 ? 1 ,而 g ? 0? ? ?1? 0, g ? ? ? 2 ? ? 0 , g ?1? ? 2 ? ? ?1 , 2 ??? ? ? 1

(ⅰ)若 2 ? ? ? 3 ,由于

?

?
2

? ?1
2

?1,
2

? ? ? 1? ? ?1 ? ? ?1? ? ? ?1? 且g? ?1 ? 0 , ?1 ? ? ??? ? ? ?1 ? ? ?? 4 2 ? 2 ? ? 2 ?
此时, g ? x ? ? 0 在区间 ? 0,1? 上只有一个零点; (ⅱ)若 ? ? 3 ,由于

? ?1
2

? 1 且 g ?1? ? 2 ? ? ?1 ? 0 ,此时 g ? x ? ? 0 在区间 ? 0,1?

上有两个不同的解. 综上所述, 当 0 ? ? ? 3 时, g ? x ? ? 0 在区间 ? 0,1? 上只有一个解; 当 ? ? 3 时, g ? x ? ? 0 在区间 ? 0,1? 上有两个不同的解. …………16 分


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