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数学必修Ⅳ北师大版1.3《弧度制》课件


写出满足下列条件的角的集合. () 锐角 1 (2) 0 到90 的角 (3) 第一象限的角 (4) 小于90 的角
? ? ?

引入
我们在平面几何中研究角的度量,当时 ? 是用度做单位来度量角, 1 的角是如何定义 的?
规定周角的
1 。 360 为1 的角。

我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制。

弧度制定义
我们把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角. 这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度 制,它的单位是弧度,单位符号是rad.
演示课件

若弧是一个半圆,则其圆心角的弧度数是多少? 若弧是一个整圆呢?

为什么可以用弧长与其半径的比值来度 量角的大小呢?即这个比值是否与所取的圆 的半径大小无关呢?

演示课件

一般地有:正角的弧度数是一个正数, 负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数 是0;角 ? 的弧度数的绝对值 l | ? |? r 其中 l是以角? 作为圆心角时所对的弧长,

r

是圆的半径。

角度制与弧度制的换算
1 把角度换成弧度 2 把弧度换成角度

360 ? 2? rad
?

2?
?

rad=360。 rad=180。

180 ? ?
?

rad

1 ?
?

?
180

rad ? 0.01745rad
? 180 ? 1rad ? ? ? 57.30? ? 57?18' ? ? ? ?
?

写出一些特殊角的弧度数
角 度 弧 度

0

?

30? 45? 60? 90? 120 ?135 ? 150?180? 270 ? 360?

0

? ? 6 4

? 3

? 2

2? 3? 5? 3 4 6

?

3? 2? 2

注:今后我们用弧度制表示角的时候,“弧
度”二字或者“rad”通常省略不写,而只写 。 这个角所对应的弧度数。但如果以度( ) 。 为 单位表示角时,度( )不能省略。

例1 把

67 30?化成弧度.
?
? ?

? 1? 解:∵ 67 30? ? ? 67 ? ? 2?
?

? 1 3 rad ? 67 ? ? rad ∴ 67 30? ? 180 2 8

例2

4 把 ? rad 化成度. 5

4 4 ? rad ? ? 180 ? ? 144 ? 解: 5 5

180? ? ? 角度制与弧度制互化时要抓住 弧度这个关键.

角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度,角度制 是以“度”为单位度量角的制度;

②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或该弧)
的大小,而 1 是圆的
?

1 360

所对的圆心角(或该弧)

的大小;
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都 是一 个与圆的半径大小无关的定值.

例3

计算:

? (1) sin ;(2) 1.5 . tan 4

? ? 2 ? ? 解:(1)∵ ? 45 ∴ sin ? sin 45 ? 4 2 4
(2)∵

57.30 ?1.5 ? 85.95 ? 85 57?
? ? ?

tan1.5 ? tan 85?57? ? 14.12 ∴

角的集合与实数集之间的一一对应关系:
正角
零角 负角 正实数 零 负实数

1 例4利用弧度制证明扇形面积公式 S ? lR , 2 其中 l 是扇形的弧长,R是圆的半径。

弧长公式: l ? ? ? r 即弧长等于弧所 对的圆心角的弧度数的绝对值与半径的乘积。

例5
把下列各角化成 2k? ? ??0 ? ? ? 2?,k ? Ζ? 的形式:

16? 11? ? (1) ;(2)? 315 ;(3) ? . 3 7

例6 求图中公路弯道处弧
(精确到 1m ,图中长度单 位: ).

的长l

m

练习
(1)若三角形的三个内角之比是2:3:4,求其三个内角 的弧度数.
2 (2)已知扇形的周长为 8cm,面积为 4cm,求扇形的中 心角的弧度数.

(3)下列角的终边相同的是(

).

? ? A. k? ? 与 2k? ? ,k ? Ζ 4 4 ? 2? B. 2k? ? 与 ? ? ,k ? Ζ 3 3

k? ? 与 k? ? ,k ? Ζ C. 2 2
D.

?2k ?1?? 与 3k?,k ? Ζ

小结
? ( 2)“角化弧”时,将 乘以 n 180 180 将 ?乘以 ; ?
(3)弧长公式: l (1) 180
?

? ? 弧度;

;“弧化角”时,

? ? ?r

1 1 2 扇形面积公式: ? lr ? r ?(其中 l为圆心角? 所 S 2 2
对的弧长,? 为圆心角的弧度数,

r 为圆半径.)

作业


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