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2015年四川省成都市高考数学零诊试卷(理科)


2015 年四川省成都市高考数学零诊试卷(理科)
一、选择题.本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2014?成都模拟)已知向量 =(5,﹣3) , =(﹣6,4) ,则 + =( )

A. (1,1) B. (﹣1,﹣1) C. (1,﹣1) D. (﹣1,1) 2. (5 分) (2014?成都模拟)设全集 U={1,2,3,4},集合 S={l,3},T={4},则(?US) ∪T 等于( ) A.{2,4} B.{4} C.? D.{1,3,4} 3. (5 分) (2014?成都模拟)已知命题 p:?x∈R,2 =5,则¬p 为( A.?x?R,2 =5 B.?x∈R,2 ≠5
x x x

) ≠5

C.?x0∈R,2

=5 D.?x0∈R,2 )

4. (5 分) (2014?成都模拟)计算 21og63+log64 的结果是( A.log62 B.2 C.log63 D.3

5. (5 分) (2015?青岛模拟)已知实数 x,y 满足 A.10 B.8 C.2 D.0

,则 z=4x+y 的最大值为(



6. (5 分) (2014?成都模拟)关于空间两条不重合的直线 a、b 和平面 α,下列命题正确的是 ( ) A.若 a∥b,b?α,则 a∥αB.若 a∥α,b?α,则 a∥b C.若 a∥α,b∥α,则 a∥b D.若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b 7. (5 分) (2014?成都模拟)PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为 可 A 肺颗粒物,般情况下 PM2.5 浓度越大,大气环境质量越差,茎叶图表示的是成都市区 3 甲、乙两个监测站某 10 日内每天的 PM2.5 浓度读数(单位:μg/m )则下列说法正确的是 ( )

A.这 l0 日内甲、乙监测站读数的极差相等 B.这 10 日内甲、乙监测站读数的中位数中,乙的较大 C.这 10 日内乙监测站读数的众数与中位数相等 D.这 10 日内甲、乙监测站读数的平均数相等 8. (5 分) (2014?成都模拟)已知函数 f(x)= sinωx+cosωx(ω>0)的图象与直线 y=﹣ 2 的两个相邻公共点之间的距离等于 π,则 f(x)的单调递减区间是( )

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A.[kπ+ C.[2kπ+

,kπ+ ,2kπ+

],k∈z

B.[kπ﹣

,kπ+ ,2kπ+

],k∈z ],k∈z

],k∈z D.[2kπ﹣

9. (5 分) (2014?成都模拟)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(4﹣x)=f(x) ,且当 x∈(﹣1,3]时,f(x)=

则 g(x)=f(x)﹣|1gx|的零点个数

是( A.7

) B.8

C.9

D.10 +y =1,双曲线 C2:
2

10. (5 分) (2015?河南模拟)如图,已知椭圆 Cl:

=1(a

>0,b>0) ,若以 C1 的长轴为直径的圆与 C2 的一条渐近线相交于 A,B 两点,且 C1 与该 渐近线的两交点将线段 AB 三等分,则 C2 的离心率为( )

A.5

B.

C.

D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分答案填在答题卡上. 11. (5 分) (2015?兰州一模)已知 α∈(0, ) ,cosα= ,则 sin(π﹣α)= 的最小值为 . .

12. (5 分) (2014?成都模拟)当 x>1 时,函数

13. (5 分) (2014?成都模拟)如图是一个几何体的本视图,则该几何体的表面积 是 .

14. (5 分) (2014?成都模拟) 运行如图所示的程序框图, 则输出的运算结果是



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15. (5 分) (2014?成都模拟)已知直线 y=k(x+ )与曲线 y=

恰有两个不同交点,记 k

的所有可能取值构成集合 A;P(x,y)是椭圆

+

=l 上一动点,点 P1(x1,y1)与点 P

关于直线 y=x+l 对称,记

的所有可能取值构成集合 B,若随机地从集合 A,B 中分别 .

抽出一个元素 λ1,λ2,则 λ1>λ2 的概率是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分解答应写出立字说明、证明过程或推演步骤. 16. (12 分) (2014?成都模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=3,S7=49,n∈N . (I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
*

17. (12 分) (2014?成都模拟)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 向量 =(a﹣b,c﹣a) , =(a+b,c)且 ? =0. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)求函数 f(A)=sin(A+ )的值域.

18. (12 分) (2014?成都模拟)某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况,对该地 区内所有高二学生采用随机抽样的方法,得到一个容量为 200 的样本统计数据如表: 认为作业多 认为作业不多 总数 喜欢电脑游戏 72 名 36 名 108 名 不喜欢电脑游戏 32 名 60 名 92 名 (I)已知该地区共有高二学生 42500 名,根据该样本估计总体,其中喜欢电脑游戏并认为 作业不多的人有多少名?
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(Ⅱ)在 A,B,C,D,E,F 六名学生中,但有 A,B 两名学生认为作业多如果从速六名 学生中随机抽取两名,求至少有一名学生认为作业多的概率. 19. (12 分) (2014?成都模拟)如图,已知⊙O 的直径 AB=3,点 C 为⊙O 上异于 A,B 的 一点,VC⊥平面 ABC,且 VC=2,点 M 为线段 VB 的中点. (I)求证:BC⊥平面 VAC; (Ⅱ)若 AC=1,求二面角 M﹣VA﹣C 的余弦值.

20. (13 分) (2014?成都模拟) 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 P 是圆 x +y =4 上一动点, PD⊥x 轴于点 D,记满足 = ( + )的动点 M 的轨迹为 Γ.

2

2

(Ⅰ)求轨迹 Γ 的方程; (Ⅱ)已知直线 l:y=kx+m 与轨迹 F 交于不同两点 A,B,点 G 是线段 AB 中点,射线 OG 交轨迹 F 于点 Q,且
2 2 2



,λ∈R.

①证明:λ m =4k +1; ②求△ AOB 的面积 S(λ)的解析式,并计算 S(λ)的最大值. 21. (14 分) (2014?成都模拟)巳知函数 f(x)=x1nx,g(x)= ax ﹣bx,其中 a,b∈R. (I)求函数 f(x)的最小值; (Ⅱ)当 a>0,且 a 为常数时,若函数 h(x)=x[g(x)+1]对任意的 x1>x2≥4,总有 >0 成立,试用 a 表示出 b 的取值范围; (Ⅲ)当 b=﹣ a 时,若 f(x+1)≤ g(x)对 x∈[0,+∞)恒成立,求 a 的最小值.
2

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2015 年四川省成都市高考数学零诊试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题 1.D.2..A.3.D.4. B.5. B.6. D7. C.8. A9. D.10. C. 二、填空题:11. . 12. 3.13. 28+12 .14. . 15. .
*

16. (12 分) (2014?成都模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=3,S7=49,n∈N . (I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

【分析】 (Ⅰ)根据等差数列,建立方程关系即可求数列{an}的通项公式. (Ⅱ)求出数列{bn}的通项公式,利用等比数列的求和公式即可得到结论. 【解答】解: (Ⅰ)设等差数列的公差是 d, ∵a2=3,S7=49, ∴ ,解得 ,

∴an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1. (Ⅱ)bn= 则数列{bn}为等比数列, 则数列{bn}的前 n 项和 Tn= . = =2 ,
n

17. (12 分) (2014?成都模拟)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 向量 =(a﹣b,c﹣a) , =(a+b,c)且 ? =0. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)求函数 f(A)=sin(A+ )的值域.

【解答】解: (Ⅰ)∵ =(a﹣b,c﹣a) , =(a+b,c) ,且 ? =0, ∴(a﹣b) (a+b)﹣c(a﹣c)=0,即 a +c =b +ac, ∴cosB= = , ∵B∈(0,π) , ﹣C∈(0, ∴B= ) ,∴A+ ; ∈( , ) ,
2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:A=π﹣

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∴sin(A+

)∈( ,1],则 f(A)=sin(A+

)的值域为( ,1].

18. (12 分) (2014?成都模拟)某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况,对该地 区内所有高二学生采用随机抽样的方法,得到一个容量为 200 的样本统计数据如表: 认为作业多 认为作业不多 总数 喜欢电脑游戏 72 名 36 名 108 名 不喜欢电脑游戏 32 名 60 名 92 名 (I)已知该地区共有高二学生 42500 名,根据该样本估计总体,其中喜欢电脑游戏并认为 作业不多的人有多少名? (Ⅱ)在 A,B,C,D,E,F 六名学生中,但有 A,B 两名学生认为作业多如果从速六名 学生中随机抽取两名,求至少有一名学生认为作业多的概率. 【分析】 (I)根据样本数据统计表,可得 200 名学生中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有 36 名,求出其占总人数的概率,再乘以高二学生的总数即可; (Ⅱ) 求出至少有一名学生认为作业多的事件的个数, 和从这六名学生中随机抽取两名的基 本事件的个数,两者相除,即可求出至少有一名学生认为作业多的概率是多少. 【解答】解: (Ⅰ)42500× 答:欢电脑游戏并认为作业不多的人有 7650 名. (Ⅱ)从这六名学生中随机抽取两名的基本事件的个数是 至少有一名学生认为作业多的事件的个数是: 15﹣ =15﹣6=9(个) .

所有至少有一名学生认为作业多的概率是 答:至少有一名学生认为作业多的概率是 .

19. (12 分) (2014?成都模拟)如图,已知⊙O 的直径 AB=3,点 C 为⊙O 上异于 A,B 的 一点,VC⊥平面 ABC,且 VC=2,点 M 为线段 VB 的中点. (I)求证:BC⊥平面 VAC; (Ⅱ)若 AC=1,求二面角 M﹣VA﹣C 的余弦值.

【分析】 (Ⅰ) 由线面垂直得 VC⊥BC, 由直径性质得 AC⊥BC, 由此能证明 BC⊥平面 VAC. (Ⅱ)分别以 AC,BC,VC 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,利用向 量法能求出二面角 M﹣VA﹣C 的余弦值. 【解答】 (Ⅰ)证明:∵VC⊥平面 ABC,BC?平面 ABC,∴VC⊥BC, ∵点 C 为⊙O 上一点,且 AB 为直径,∴AC⊥BC, 又∵VC,AC?平面 VAC,VC∩AC=C,∴BC⊥平面 VAC. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 BC⊥VC,VC⊥AC,AC⊥BC,
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分别以 AC,BC,VC 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立空间直角坐标系, 则 A(1,0,0) ,V(0,0,2) ,B(0,2 ,0) , =(1,0,﹣2) , 设平面 VAC 的法向量 = =(0,2 , ,0) ,

设平面 VAM 的法向量 =(x,y,z) , 由 ,取 y= ,得 ∴ ,

∴cos<

>=

=

, ∴二面角 M﹣VA﹣C 的余弦值为



20. (13 分) (2014?成都模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 是圆 x +y =4 上一动点, PD⊥x 轴于点 D,记满足 = ( + )的动点 M 的轨迹为 Γ.

2

2

(Ⅰ)求轨迹 Γ 的方程; (Ⅱ)已知直线 l:y=kx+m 与轨迹 F 交于不同两点 A,B,点 G 是线段 AB 中点,射线 OG 交轨迹 F 于点 Q,且
2 2 2



,λ∈R.

①证明:λ m =4k +1; ②求△ AOB 的面积 S(λ)的解析式,并计算 S(λ)的最大值. 【分析】 (Ⅰ)利用代入法求椭圆方程; 2 2 2 (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由直线代入椭圆方程,消去 y,得(1+4k )x +8kmx+4m ﹣4=0,由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式,结合已知条件能证明结论. ②由已知条件得 m≠0,|x1﹣x2|= ,由此能求出△ AOB 的面积,再利用基本

不等式求最大值. 2 2 【解答】解: (Ⅰ)设 M(x,y) ,P(x0,y0) ,则 D(x0,0) ,且 x0 +y0 =4,① ∵ = ( + ) ,

∴x0=x,y0=2y,② 2 2 ②代入①可得 x +4y =4; (Ⅱ)①证明:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 2 2 2 由直线代入椭圆方程,消去 y,得(1+4k )x +8kmx+4m ﹣4=0,
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∴x1+x2=

,x1x2=

(1) ,

∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=

又由中点坐标公式,得 G(



) ,

将 Q(



)代入椭圆方程,化简,得 λ m =1+4k , (2) .

2

2

2

②解:由(1) , (2)得 m≠0,λ>1 且|x1﹣x2|=

, (3)

结合(2) 、 (3) ,得 S△ AOB=

,λ∈(1,+∞) ,



=t∈(0,+∞) ,则 S= 时,S 取得最大值 1.



≤1(当且仅当 t=1 即 λ=

时取等号) ,

∴λ=

21. (14 分) (2014?成都模拟)巳知函数 f(x)=x1nx,g(x)= ax ﹣bx,其中 a,b∈R. (I)求函数 f(x)的最小值; (Ⅱ)当 a>0,且 a 为常数时,若函数 h(x)=x[g(x)+1]对任意的 x1>x2≥4,总有 >0 成立,试用 a 表示出 b 的取值范围; (Ⅲ)当 b=﹣ a 时,若 f(x+1)≤ g(x)对 x∈[0,+∞)恒成立,求 a 的最小值. 【分析】 (I)利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出. (II)由函数 h(x)=x[g(x)+1]对任意的 x1>x2≥4,总有 可得函数 h(x)= 在[4, +∞) 上恒成立. 变形为 x∈[4,+∞) .令 u(x)= 得出. (III)当 b=﹣ a 时,令 G(x)=f(x+1)﹣ g(x)=(x+1)ln(x+1)﹣ ﹣ax,x∈[0,
2

2

>0 成立,

在 x∈[4,+∞)上单调递增.因此 h′(x)=ax ﹣2bx+1≥0 =ax+ 在[4, +∞) 上恒成立?2b≤ ,

,x∈[4,+∞) .对 a 分类讨论,利用导数研究其单调性即可

+∞) .由题意 G(x)≤0 对 x∈[0,+∞)恒成立.G′(x)=ln(x+1)+1﹣ax﹣a,
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x∈[0,+∞) .对 a 分类讨论利用研究其单调性极值与最值即可. 【解答】解: (I)f′(x)=lnx+1(x>0) ,令 f′(x)=0,解得 x= . ∴函数 f(x)在 上单调递减;在 = 单调递增. =﹣ .

∴当 x= 时,f(x)取得最小值.且

(II)由函数 h(x)=x[g(x)+1]对任意的 x1>x2≥4,总有 ∴函数 h(x)=
2

>0 成立,

在 x∈[4,+∞)上单调递增.

∴h′(x)=ax ﹣2bx+1≥0 在[4,+∞)上恒成立. ∴ =ax+ 在[4,+∞)上恒成立?2b≤ ,x∈[4,+∞) . (a>0) .则 ,x∈[4,+∞) . = .

令 u(x)=

令 u′(x)=0,解得 ∴u(x)在 (i)当 单调递增. ∴u(x)min= (ii)当 ∴ 综上可得:当 时,即 = 时,即

. 上单调递减,在 时,u(x)在 上单调递增. 上单调递减,在 上

,∴

,即



,函数 u(x)在[4,+∞)上单调递增, ,即 时,即 . .当 , . ﹣ax,x∈[0,

(III)当 b=﹣ a 时,令 G(x)=f(x+1)﹣ g(x)=(x+1)ln(x+1)﹣

+∞) . 由题意 G(x)≤0 对 x∈[0,+∞)恒成立.G′(x)=ln(x+1)+1﹣ax﹣a,x∈[0,+∞) . (i)当 a≤0 时,G′(x)>0,∴G(x)在 x∈[0,+∞)上单调递增. ∴G(x)>G(0)=0 在 x∈(0,+∞)成立,与题意矛盾,应舍去. (ii)当 a>0 时,令 v(x)=G′(x) ,x∈[0,+∞) . 则 , ,

①当 a≥1 时,v′(x)≤0 在 x∈[0,+∞)上成立.∴v(x)在 x∈[0,+∞)单调递减.

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∴v(x)≤v(0)=1﹣a≤0,∴G′(x)在 x∈[0,+∞)上成立.∴G(x)在 x∈[0,+∞)上单 调递减. ∴G(x)≤G(0)=0 在 x∈[0,+∞)成立,符合题意. ②当 0<a<1 时, ∴v(x)在 ∵v(0)=1﹣a>0, ∴v(x)>0 在 ∴G(x)在 ∴G(x)>G(0)=0 在 综上可知:a 的最小值为 1. 上成立,即 G′(x)>0 在 上单调递增, 成立,与题意矛盾. 上成立, = 上单调递增,在 ,x∈[0,+∞) . 单调递减.

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