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高中数学新人教A版必修5学案 3.2一元二次不等式及其解法(第2课时)


第 2 课时

一元二次不等式的应用

1.复习巩固一元二次不等式的解法. 2.能利用一元二次不等式解决实际应用问题. 3.初步掌握一元二次方程根的分布的讨论.

1.一元二次不等式的解集 2 Δ =b -4ac Δ >0 (a>0)

Δ =0

Δ <0

y=ax2+bx+c
的图象

有两个相等实 根 一元二次方程 有两个相异实根 2 b ax +bx+c=0 无实根 x1,x2(x1<x2) x1=x2=- 2a 的根 ax2+bx+c>0 ____________ ____________ R 的解集 ax2+bx+c≥0 {x|x≤x1 R R 的解集 或 x≥x2} ax2+bx+c<0 {x|x1<x<x2} __ 的解集 ? b? ax2+bx+c≤0 ?x|x=- ? {x|x1≤x≤x2} 2a? 的解集 ? 2 【做一做 1】 不等式-6x -x+2≤0 的解集是( ) ? ? 2 1? 2 1? A.?x|- ≤x≤ ? B.?x|x≤- 或x≥ ? 3 2 3 2 ? ? ? ? ? ? 1? 2? C.?x|x≥ ? D.?x|x≤- ? 2? 3? ? ? 2.用程序框图表示一元二次不等式的求解过程 2 用一个程序框图来描述求解一元二次不等式 ax +bx+c>0(a>0)的算法过程:

1

【做一做 2 】 集合 A ={x|x - 4x +3 < 0}, B = {x|(x -2)·(x - 5)< 0} ,则 A∩B = __________. 答案:1.{x|x<x1,或x>x2} ?x|x≠- ? 2a? ? 【做一做 1】 B 【做一做 2】 {x|2<x<3}
?

2

b?

一元二次方程的根的分布讨论 2 2 剖析:关于 x 的一元二次方程 ax +bx+c=0 (a≠0),判别式 Δ =b -4ac. (1)定理 1:方程没有实数根 Δ <0. 定理 2:方程有两个相等的实数根 Δ =0. 定理 3:方程有两个不相等的实数根 Δ >0. 定理 4:方程有实数根 Δ ≥0. (2)设一元二次方程的两个实 根为 x1,x2,且 x1≤x2.

定理 5:x1>0,x2>0

? ?x +x =-b >0, ? c a ? ?x x =a>0.
1 2 1 2

Δ =b -4ac≥0,

2

定理 6:x1<0,x2<0

? ?x +x =-b <0, ? c a ? ?x x =a>0.
1 2 1 2

Δ =b -4ac≥0,

2

定理 7:x1<0<x2

c <0. a

定理 8:x1=0,x2>0

x1<0,x2=0

b c=0 且 <0; a b c=0 且 >0. a

2

题型一 求参数的取值范围 2 【例题 1】 关于 x 的一元二次方程 x -mx+m=0 没有实数根,求实数 m 的取值范围. 2 分析:根据一元二次方程 x -mx+m=0 没有实数根列出 m 满足的条件(一元二次不等 式),解不等式得到实数 m 的取值范围. 反思:已知一元二次方程的根的分布求参数的取值范围的步骤:(1)利用一元二次方程 根的分布情况列出参数满足的条件——不等式(组);(2)解不等式(组)得参数的取值范围. 题型二 实际应用题 【例题 2】 政府收购某种农产品的原价是 100 元/担,其中征税标准为每 100 元征 10 元(叫做税率为 10 个百分点,即 10%),计划收购 a 万担;为了减轻农民的负担,现决定 将 税率降低 x 个百分点,预计收购量可增加 2x 个百分点.要使此项税收在税率调节后不低于 原计划的 83.2%,试确定 x 的取值范围. 分析:税收=征税总额×税率,先建立税收随税率降低的百分点 x 变化的函数关系,再 用不等式表示不等关系即可. 反思:解不等式应用题,一般可按以下步骤进行: (1)阅读理解、认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系; (2)引进数学符号,用不等式表示不等关系; (3) 解不等式; (4)给出实际问题的解. 题型三 易错辨析 2 【例题 3】 关于 x 的方程 ax -x-a-1=0 仅有一个实数根,求实数 a 的值. 2 错解: 由于关于 x 的方程 ax -x-a-1=0 仅有一个实 数根, 则实数 a 满足 Δ =1-4a(- 1 a-1)=0,解得 a=- . 2 2 错因分析:当 a=0 时,关于 x 的方程 ax -x-a-1=0 不是一元二次方程,此时不存 在判别式 Δ ,因此需要对实数 a 是否等于 0 进行分类讨论. 2 2 反思:讨论关于 x 的方程 ax +bx+ c=0 根的分布时,要讨论 x 的系数 a 是否为 0,否 则易漏解(如本题错解). 答案: 【例题 1】 解:由于关于 x 的一 元二次方程 x -mx+m=0 没有实数根,则实数 m 2 满足 Δ =(-m) -4m<0, 解得 0<m<4, 即实数 m 的取值范围是(0,4). 2x ? ? 【例题 2】 解:税率降低 x 个百分点,则收购量可增加为 a?1+ ?万担,征税总额增 ? 100? 2 x 10-x ? ? 加为 100×a?1+ ?元,税率变为 . 100 ? 100? 2x ? 10-x ? 2 由题意,得 100×a?1+ ?× ≥100×a×10%×83.2%,即 x +40x-84≤0, ? 100? 100 解得-42≤x≤2,所以 0<x≤2. 即 x 的取值范围是(0,2]. 2 【例题 3】 正解:当 a=0 时,关于 x 的方程 ax -x-a-1=0 为-x -1=0,解得 x =-1,即 a=0 满足题意. 2 当 a≠0 时, 关于 x 的方程 ax -x-a-1=0 是一元二次方程, 则实数 a 满足 Δ =1-4a(- 1 a-1)=0,解得 a=- . 2 1 综上所得,a=0 或- . 2
2

3

1(2011·吉林长春高三调研)已知集合 A={x||2x+1|>3},B={x|x +x-6≤0},则 A∩B=( ) A.[-3,-2)∪(1,2] B.(-3,-2]∪(1,+∞) C.(-3,-2]∪[1,2) D.(-∞,-3)∪(1,2] 2 若关于 x 的一元二次方程 x -(t+2)x+
2

2

9 =0 有两个不相等的实数根,则实数 t 的 4 5 t 万 m3.为了既减少木材消耗又保 2

取值范围是__________. 3 3 3 某地每年销售木材约 20 万 m ,每 m 价格为 2 400 元.为了减少木材消耗,决定按销 售收入的 t%征收木材税,这样每年的木材销售量能减少

证税金收入每年不少于 900 万 元,则 t 的取值范围是________. 2 4 若关于 x 的一元二次方程 x +(m-3)x+m+5=0 的实数根均是正数, 则实数 m 的取值 范围是__________. 2 5 你能用一根长为 100 m 的绳子围成一个面积大于 600 m 的矩形吗? 答案:1.A 2.(-∞,-5)∪(1,+∞) 3.[3,5] 4.(-5,-1] 5.解:设围成的矩形一边的 长为 x m,则另一边的长为(50-x)m,且 0<x<50. 由题意,得围成矩形的面积 S=x(50-x)> 600, 2 即 x -50x+600<0,解得 20<x<30. 2 所以,当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时,能围成一个面积大于 600 m 的矩形.

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