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数学史上的三大危机是什么?


数学史上的三大危机
数学的发展史,并不是那么一帆风顺的,其中历史上曾发生过三大危机,危 机的发生促使了数学本身的发展,因此我们应该辨证地看待这三大危机。 第一次危机发生在公元前 580~568 年之间的古希腊, 数学家毕达哥拉斯建 立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体,该学派人数固定, 知识保密,所有发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限

, 对于无理数的概念更是一无所知,毕达哥拉斯学派所说的数,原来是指整数,他 们不把分数看成一种数,而仅看作两个整数之比,他们错误地认为,宇宙间的一 切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据勾股定理(西方称 为毕达哥拉斯定理) 通过逻辑推理发现, 边长为 1 的正方形的对角线长度既不是 整数,也不是用整数的比所能表示的。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常 识的事。 它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条,也冲击了当时希腊人的传 统见解。 使当时希腊数学家们深感不安,相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹 死,这就是第一次数学危机。 最后, 这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何 线段,如果存在一个第三线段能同时量尽它们,就称这两个线段是可通约的,否 则称为不可通约的。 正方形的一边与对角线,就不存在能同时量尽它们的第三线 段,因此它们是不可通约的。很显然,只要承认不可通约量的存在使几何量不再 受整数的限制,所谓的数学危机也就不复存在了。 我认为第一次危机的产生最大的意义导致了无理数的产生, 比如说我们现在 说的根号 2, 都无法用整数之比来表示,那么我们必须引入新的数来刻画这个 问题,这样无理数便产生了,正是有这种思想,当我们将负数开方时,人们引入 了虚数 i(虚数的产生导致复变函数等学科的产生,并在现代工程技术上得到广 泛应用),这使我不得不佩服人类的智慧。但我个人认为第一次危机的真正解决 在 1872 年德国数学家对无理数的严格定义,因为数学是很强调其严格的逻辑与 推证性的。 第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后,由于推敲微积分 的理论基础问题,数学界出现混乱局面,即第二次数学危机。其实我翻了一下有 关数学史的资料, 微积分的雏形早在古希腊时期就形成了,阿基米德的逼近法实 际上已经掌握了无限小分析的基本要素,直到 2100 年后,牛顿和莱布尼兹开辟 了新的天地——微积分。 微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中,第 一步用了无穷小量作分母进行除法,当然无穷小量不能为零;第二步牛顿又把无 穷小量看作零,去掉那些包含它的项,从而得到所要的公式,在力学和几何学的 应用证明了这些公式是正确的, 但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾.焦点 是:无穷小量是零还是非零?如果是零,怎么能用它做除数?如果不是零,又怎 么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢? 直到 19 世纪,柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量 作为确定的量,即使是零,都说不过去,它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量 应该是要怎样小就怎样小的量,因此本质上它是变量,而且是以零为极限的量,

至此柯西澄清了前人的无穷小的概念,另外 Weistrass 创立了 极限理论,加上 实数理论,集合论的建立,从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来,第二 次数学危机基本解决。 而我自己的理解是一个无穷小量,是不是零要看它是运动的还是静止的,如 果是静止的, 我们当然认为它可以看为零; 如果是运动的, 比如说 1/n, 我们说 , 但 n 个 1/n 相乘就为 1,这就不是无穷小量了,当我们遇到无穷小比无穷小等情 况时,我们可以用罗比塔法则反复求导来考查极限,也可以用 Taylor 展式展开 后,一阶一阶的比,我们总会在有限阶比出大小。 第三次数学危机发生在 1902 年,罗素悖论的产生震撼了整个数学界,号称 天衣无缝,绝对正确的数学出现了自相矛盾。 我从很早以前就读过“理发师悖论”,就是一位理发师只给不给自己理发的人 理发。那么理发师该不该给自己理发呢?还有大家熟悉的“说谎者悖论”,其大体 内容是:一个克里特人说:“所有克里特人说的每一句话都是谎话。”试问这句话 是真还是假?从数学上来说,这就是罗素悖论的一个具体例子。 罗素在该悖论中所定义的集合 R, 被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素 集合论中可以合法存在的集合。 事实虽是这样但原因却又是什么呢?这是由于 R 是集合,若 R 含有自身作为元素,就有 R R,那么从集合的角度就有 R R。一 个集合真包含它自己,这样的集合显然是不存在的。因为既要 R 有异于 R 的元 素, 又要 R 与 R 是相同的, 这显然是不可能的。因此,任何集合都必须遵循 R R 的基本原则, 否则就是不合法的集合。 这样看来, 罗素悖论中所定义的一切 R R 的集合,就应该是一切合法集合的集合,也就是所有集合的集合,这就是同类事 物包含所有的同类事物,必会引出最大的这类事物。归根结底,R 也就是包含一 切集合的“最大的集合”了。因此可以明确了,实质上,罗素悖论就是一个以否定 形式陈述的最大集合悖论。 从此, 数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法,其中之一是把集合论建 立在一组公理之上,以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗,他 提出七条公理, 建立了一种不会产生悖论的集合论,又经过德国的另一位数学家 弗芝克尔的改进, 形成了一个无矛盾的集合论公理系统(即所谓 ZF 公理系统), 这场数学危机到此缓和下来。 现在,我们通过离散数学的学习,知道集合论主要分为 Cantor 集合论和 Axiomatic 集合论,集合是先定义了全集 I,空集 ,在经过一系列一元和二元运 算而得来得。 而在七条公理上建立起来的集合论系统避开了罗素悖论,使现代数 学得以发展。


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