kl800.com省心范文网

2012高考数学二轮复习 专题3-不等式、数列、推理与证明课件 理 新人教版


专题三

不等式、数列、 推理与证明

第8讲 第9讲 第10讲 第11讲

不等式及线性规划 等差数列与等比数列 数列求和及数列应用 推理与证明

专题三

不等式、数列、 推理与证明

专题三 │ 知识网络构建
知识网络构建

/> 专题三 │ 考情分析预测
考情分析预测

考向预测
(1)不等式既是高考数学的主干知识,也是重要的工具性知识,从近几年的考查情况看,该部 分主要是以选择题或者填空题的形式考查不等式的性质(往往和充要条件、命题等逻辑知识综合), 一元二次不等式的解法(与集合、函数等知识交汇),基本不等式的应用,二元一次不等式所表示的 平面区域, 简单的线性规划和非线性规划问题, 在试卷中一般是 2~3 个试题, 试题的难度中等. 对 不等式的深入考查,则是在解答题的数列、解析几何和函数导数试题中,考查大小比较、不等式 的证明,考查解不等式的应用等.预计 2012 年该部分的基本考查方向不会发生变化. (2)数列是新课程的必修内容,从课程定位上说,其考查难度不应该太大,数列试题倾向考查 基础是基本方向.从课标区的高考试题看,试卷中的数列试题最多是一道选择题或者填空题,一 道解答题.由此我们可以预测 2012 年的高考中,数列试题会以考查基本问题为主,在数列的解答 题中可能会出现与不等式的综合、与函数导数的综合等,但难度会得到控制. (3)推理部分的主要考点,一是归纳推理和类比推理,各地的试卷中零星地出现过这类试题(如 2011 年陕西、山东等地),试题的形式一般是填空题,归纳类比的对象一般也是很明确的,试题难 度不大;二是反证法,其考查方式一般有两种,一是在选择题或者填空题中,利用反例意识否定 一些结论,二是在解答题的一个部分使用反证法进行数学证明,有意识地考查间接证明;三是在 解答题的某个部分考查使用数学归纳法证明一个数学结论(如 2011 湖南卷理 22).这里的这三种情 况都不是一套高考试卷中必然出现的试题,要视各地情况而言.预计 2012 年该部分的考查仍然是 这样一个基本形势.

专题三 │ 考情分析预测
备考策略
(1)不等式部分重点掌握一元二次不等式的解法,特别是含有字母 参数的一元二次不等式的解法,基本不等式求最值,二元一次不等式 组所表示的平面区域,包括平面区域的形状判断、面积以及与平面区 域有关的最值问题,简单的线性规划模型在解决实际问题中的应 用.对不等式的深入复习要结合数列、解析几何、导数进行. (2)数列部分的重点是数列中an,Sn的关系,等差数列和等比数列, 一般数列的求和(重点是裂项相消法和错位相减法),数列的实际应 用.在数列问题中要注意与不等式综合的题目,注意反证法和数学归 纳法在解决数列试题中的应用,数列试题也是高考中考查推理与证明 的一个舞台. (3)重点解决归纳推理、类比推理型试题,熟悉在什么情况下使用 反证法和数学归纳法. (4)该专题中的三块内容既有其相对的独立性,也是紧密相连的, 在复习中要从整体上,从数列、不等式、推理与证明的相互联系上把 握该专题的内容.

专题三 │ 考情分析预测

专题三 │ 考情分析预测

第8讲

不等式及线性规划

第8讲

不等式及线性规划

第8讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1.不等式的基本性质 2.一元二次不等式的解法 解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程 的实数根(如果有实数根), 再结合对应的函数的图象确定其大 于零或者小于零的区间,在含有字母参数的不等式中还要根 据参数的不同取值确定方程根的大小以及函数图象的开口方 向,从而确定不等式的解集.

第8讲 │ 主干知识整合
3.基本不等式 a+b 不等式 ab≤ 2 (a>0,b>0)称为基本不等式,常见的与这个不 ?a+b? ?2 等式有关的其他不等式有:a+b≥2 ab(a,b>0);ab≤? ? 2 ? (a,b ? ? a+b a2+b2 2 1 b a ∈R);1 1≤ ab≤ 2 ≤ 2 (a,b>0);x+x≥2(x>0);a+b a+b ≥2(ab>0)等. 4.二元一次不等式(组)和简单的线性规划 (1)线性规划问题的有关概念:线性约束条件、线性目标函数、 可行域、最优解等; (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤:①画出可行 域;②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点;③求 出目标函数的最大值或者最小值.

第8讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点一 一元二次不等式的解法

例 1 已知 p:?x0∈R,mx2+1≤0,q:?x∈R,x2+mx+1>0. 0 若 p∧q 为真命题,则实数 m 的取值范围是( ) A.(-∞,-2) B.[-2,0) C.(-2,0) D.[0,2]

第8讲 │ 要点热点探究

C 【解析】 p∧q 为真命题,等价于 p,q 均为真命题.命题 p 真时,m<0;命题 q 为真时,Δ=m2-4<0,解得-2<m<2.故 p∧q 为真时,-2<m<0.

第8讲 │ 要点热点探究
? 探究点二 基本不等式的应用

例 2 [2011· 浙江卷] 设 x,y 为实数,若 4x2+y2+xy=1,则 2x+y 的最大值是________.
【分析】 根据已知的和求解的目标,把已知等式变形 为关于 2x+y 的不等式,或者使用代数换元的方法,即令 t=2x+y,得 y=t-2x,代入已知方程,这个方程的判别式 ? 1 ?2 ? 15 ?2 不小于零,或者变换已知式为?2x+4y? +? y? =1,使用三 ? ? ? 4 ? 角换元的方法.

第8讲 │ 要点热点探究
2 10 5 【解析】 方法 1:∵4x2+y2+xy=1,

3 ∴(2x+y)2-3xy=1,即(2x+y)2-2· 2xy=1, 3 ?2x+y?2 8 2 10 ? ? ≤1, ∴(2x+y)2-2· 解之得(2x+y)2≤5, 2x+y≤ 5 .等号当 即 ? 2 ? 10 10 且仅当 2x=y>0,即 x= 10 ,y= 5 时成立. 方法 2:令 t=2x+y,则 y=t-2x,代入 4x2+y2+xy=1,得 6x2-3tx 8 2 10 +t2-1=0,由于 x 是实数,故 Δ=9t2-24(t2-1)≥0,解得 t2≤5,即- 5 2 10 2 10 ≤t≤ 5 ,即 t 的最大值也就是 2x+y 的最大值,为 5 . ? 1 ? ? 15 ?2 1 2 2 ?2x+ y?2+? 方法 3:化已知 4x +y +xy=1 为 y? =1,令 2x+4y= 4 ? ? 4 ? ? 15 3 15 1 3 15 cosα, 4 y=sinα,则4y= 5 sinα,则 2x+y=2x+4y+4y=cosα+ 5 sinα 2 10 2 10 = 5 sin(α+φ)≤ 5 .

第8讲 │ 要点热点探究

【点评】 本题是一个典型条件最值问题,已知条件实际上是一 条曲线的方程,目标就是当点(x,y)在这条曲线上变化时,求线性目 标函数 t=2x+y 的最大值,在本题的各个解法中注意方法 2,这是解 决这类试题的一个通用方法. 使用基本不等式求二元函数最值时一定 要注意等号成立的条件, 在求解过程中尽可能的只使用一次基本不等 式, 如果使用两次基本不等式则需要验证两次不等式是否等号成立的 条件相同,如果两次不等式等号成立的条件产生矛盾,则求解结果就 是错误的.使用基本不等式求最值有时需要进行适当的变换(变换已 知条件和求解目标,常数代换等),如下面变式.

第8讲 │ 要点热点探究

1+z (1)已知正数 x,y,z 满足 x +y +z =1,则 S= 2xyz 的最小值为( ) 3? 3+1? A.3 B. C.4 D.2( 2+1) 2
2 2 2

(2)a=(m,1),b=(1-n,1)(其中 m、n 为正数),若 a∥b,则 1 2 m+n的最小值是________.

第8讲 │ 要点热点探究
(2)3+2 2 【解析】 (1)根据已知 x2+y2=(1+z)(1-z), x2+y2 x2+y2 2xy 故 1+z= ,所以 S= ≥ =4,当且仅当 1-z ?1-z?z· 2xy ?1-z+z?2 ? ? · 2xy ? 2 ? ? ? 1 x=y,z=2时等号成立. (1)C

(2)向量 a∥b 的充要条件是 m×1=1×(1-n),即 m+n ?1 2? 1 2 n 2m ? + ?=3+ + =1,故m+n=(m+n) m n m n ≥3+2 2. ? ?

第8讲 │ 要点热点探究
例 3 在交通拥挤地段,为了确保交通安全,规定机动车相互之 1 间的距离 d(米)与车速 v(千米/小时)需遵循的关系是 d≥2500av2(其中 a a(米)是车身长,a 为常量),同时规定 d≥2. a (1)当 d=2时,求机动车车速的变化范围; 1000v (2)设机动车每小时流量 Q= ,应规定怎样的车速,使机动 a+d 车每小时流量 Q 最大?

第8讲 │ 要点热点探究
a 1 【分析】 (1)把 d=2代入 d≥2500av2,解这个关于 v 的不等式 即可;(2)根据 d 满足的不等式,以最小车距代替 d,求此时 Q 的最 值即可.

a 1 【解答】 (1)v>0 且2≥2500av2,解得 0<v≤25 2. 1000v (2)当 v≤25 2时, Q= 3 , 是 v 的一次函数, Q 所以, 2a 50000 2 当 v=25 2时,Q 最大为 3a ;当 v>25 2时,Q= 1000 25000 25000 ?1 v ?≤ a ,所以,当 v=50 时,Q 最大为 a . a?v+2500? ? ? ? ?

第8讲 │ 要点热点探究

【点评】 本题中对车距 d 有两个限制条件,这两个条件 是在不同的车速的情况下的限制条件, 解题中容易出现的错误 是不能正确地使用这两个限制条件对函数的定义域进行分类, a 即在车速小于或等于 25 2时,两车之间的最小车距是2,当车 1 速大于 25 2时,两车之间的最小车距是2500av2.

第8讲 │ 要点热点探究
? 探究点三 线性规划问题的解法

例 4 [2011· 福建卷] 已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1),若点 ?x+y≥2, ? M(x,y)为平面区域?x≤1, ?y≤2 ? 值范围是( ) A.[-1,0] C.[0,2] → OM 上的一个动点,则OA·→ 的取

B.[0,1] D.[-1,2]

第8讲 │ 要点热点探究
?x+y≥2, ? → ·→ =-x+y, 【分析】 由于OA OM 实际上就是在线性约束条件?x≤1, ?y≤2 ?
下,求线性目标函数 z=-x+y 的最大值和最小值.

→ OM C 【解析】 画出不等式组表示的平面区域(如图),又OA·→ = -x+y,取目标函数 z=-x+y,即 y=x+z,作斜率为 1 的一组平行 线.

当它经过点 C(1,1)时,z 有最小值,即 zmin=-1+1=0;当它经 过点 B(0,2)时,z 有最大值,即 zmax=-0+2=2. → OM ∴z 的取值范围是[0,2],即OA·→ 的取值范围是[0,2],故选 C.

第8讲 │ 要点热点探究

【点评】 在线性约束条件下,线性约束条件所表示的区域一 般是一个多边形区域或者一个以直线为边界的无限区域,如果目 标函数是线性的,则可以根据目标函数的几何意义确定目标函数 取得最大值和最小值的位置,如本题中的目标函数 z=-x+y 变 换后即 y=x+z,则目标函数 z 的几何意义即直线 y=x+z 在 y 轴 上的截距, 截距最大(小)时的位置就是目标函数取得最大(小)值的 位置, 在一些含有参数的线性规划问题中这个思想显得更为重要, 如下面的变式.

第8讲 │ 要点热点探究

?y≥x, ? [2011· 湖南卷] 设 m>1,在约束条件?y≤mx, ?x+y≤1 ? 目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,则 m 的取值范围为( A.(1,1+ 2) B.(1+ 2,+∞) C.(1,3) D.(3,+∞)

下, )

第8讲 │ 要点热点探究
?y≥x, ? A【解析】 先画出约束条件?y≤mx, ?x+y≤1 ? 表示的可行域,如图.

直线 x+y=1 与 y=mx

? 1 m ? ? 的交点为?m+1,m+1?.由图可知,当 ? ? ?

x=

1 m 1 ,y= 时,目标函数 z=x+my 有最大值小于 2,则有 + m+1 m+1 m+1 m m× <2,得 1- 2<m<1+ 2. m+1 又因为 m>1,故 m 的取值范围为 1<m<1+ 2,故选 A.

第8讲 │ 要点热点探究

例 5 [2011· 四川卷] 某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车.某天需 送往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次,派用 的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元,派用的每 辆乙型卡车需配 1 名工人,运送一次可得利润 350 元.该公司合理计 划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润 z=( ) A.4650 元 B.4700 元 C.4900 元 D.5000 元

第8讲 │ 要点热点探究

C 【解析】 设该公司计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为 x, ?x+y≤12, ? ?2x+y≤19, ? y,则根据条件得 x,y 满足的约束条件为?10x+6y≥72, ? ?x≤8,y≤7, ?x∈N*,y∈N*, ?

目标函

数 z=450x+350y.作出约束条件所表示的平面区域,然后平移目标函 数对应的直线 450x+350y-z=0 知,当直线经过直线 x+y=12 与 2x+y=19 的交点(7,5)时, 目标函数取得最大值, z=450×7+350×5 即 =4900.

第8讲 │ 要点热点探究

第8讲 │ 要点热点探究
? 创新链接5 平面区域和非线性规划问题

平面区域和非线性规划问题,主要有两个类型:一个是确 定平面区域的面积、平面区域的形状等;一个是求非线性目标 函数的最值、范围等问题.我们这里主要说明非线性目标函数 的最值、范围问题. 求在已知区域上的变动点(x,y)的坐标 x,y 满足的非线性 目标函数的最值、范围问题的基本思想是数形结合,即根据非 线性目标函数的几何意义和平面区域的关系,把求解目标函数 的最值、范围问题转化为求直线的斜率、点到直线的距离等问 题解决,其中体现的是数形结合思想和化归转化思想.

第8讲 │ 要点热点探究
?x+y-3≤0, ? ?x-y+1≥0, 例 6 设点 P(x,y)满足:? ?x≥1, ?y≥1, ? 是( ) ?3 ? A.?2,+∞? ? ? ? 3 ? C.?-2,1? ? ?
? 3 3? B.?-2,2? ? ?

y x 则x- y的取值范围

D.[-1,1]

y y x 1 【分析】令 t=x, x- y=t- t , 则 只要求出 t 的取值范围, 1 再根据函数 f(t)=t- t 的性质即可求出其取值范围.

第8讲 │ 要点热点探究
?x+y-3≤0, ? ?x-y+1≥0, 不等式组? ?x≥1, ? ?y≥1

【解析】 B

所表示的平面区域如图

8-1, 根据 t 的几何意义, 值即为区域内的点与坐标原点连线的斜率, t 1 1 显然 OA 的斜率2最小,OB 的斜率 2 最大,即2≤t≤2.由于函数 f(t)=t ? 1 ?1 3 3 - t 在?2,2?上单调递增,故-2≤f(t)≤2. ? ?

图 8-1

第8讲 │ 要点热点探究

【点评】 本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域问 题,求解的基本方法是根据求解目标的几何意义,把求解目标表 示为一个函数,这样也考查了函数思想在解决问题中的应用.

第8讲 │ 要点热点探究
?x+y-1≤0, ? (1)已知?x-y+1≥0, ?y≥-1, ? 的最小值为( 3 2 A. 2 ) 9 B.2

且 u=x2+y2-4x-4y+8,则 u

2 1 C. 2 D.2 ?x-y-4≤0, ? (2)已知点 P(2, t)在不等式组? 所表示的平面区域内, ?x+y-3≤0 ? 则点 P(2,t)到直线 3x+4y+10=0 的距离的最大值为________.

第8讲 │ 要点热点探究
(1)B (2)4 【解析】 (1)求解目标 u=x2+y2-4x-4y+8=(x-2)2+(y -2)2,其几何意义是坐标平面内的点 P(x,y)到点(2,2)的距离的平方,而点 P

?x+y-1≤0, ? 在平面区域?x-y+1>0, 内,画出区域,分析图形之间的关系即可. ?y≥-1 ?
不等式组所表示的平面区域如图中的△ABC,根据题意只能是点(2,2)到 3 9 直线 x+y-1=0 的距离最小,这个最小值是 ,故所求式子的最小值是2. 2

第8讲 │ 要点热点探究
?x-y-4≤0, ? (2)不等式组? ?x+y-3≤0 ?

表示的平面区域如图中的阴影部分,

点 P(2,t)在直线 x=2 位于阴影部分的线段 AB 上,结合图形可知,在 点 A(2,1)处,点 P(2,t)到直线 3x+4y+10=0 距离的最大,这个最大值 ? ? ?3×2+4×1+10? ? ? 是 dmax= =4. 2 2 3 +4

第8讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1. 对一些在表现形式上是一元二次不等式的情况, 不要忽视了其中二次项的系数 可能等于零的情况,这时可能是一次不等式,也可能一次项系数也是零,要充分考虑 这些可能性.在解含有参数的不等式时,分类讨论时划分的标准一定要明确,先进行 大的分类,在每个类中再进行小的分类. 2. 使用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时, 基本 的技巧是创造使用这些不等式的条件,如各变数都是正数,某些变数之积或者之和为 常数等,解题中要根据这个原则对求解目标进行适当的变换,使之达到能够使用这些 不等式求解最值的目的.在使用基本不等式求函数的最值、特别是求二元函数最值时 一定要注意等号成立的条件,尽量避免二次使用基本不等式.

第8讲 │ 规律技巧提炼

3.平面区域的确定方法是“直线定界,特殊点定域”,二元一次不等式组所表示 的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集.确定平面区域中单个变量的范围、 整点个数等,只需把区域画出来,结合图形通过计算解决. 4.线性目标函数 z=ax+by 中的 z 不是直线 ax+by=z 在 y 轴上的截距,把目标 a z z 函数化为 y=-bx+b可知b是直线 ax+by=z 在 y 轴上的截距, 要根据 b 的符号确定目 标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.

第8讲 │ 教师备用例题

教师备用例题
备选理由: 1 为不等式的恒成立问题, 例 目的是 训练分离参数法和分类讨论;例 2 为非线性规划问 题, 主要是训练学生使用线性规划思想分析问题的能 力, 可以作为例题 6 的补充; 3 是不等式组中含有 例 参数的问题,根据参数确定平面区域的形状;例 4 是一个典型的使用基本不等式解决的实际应用问题, 目的是训练学生解决实际问题的能力.

第8讲 │ 教师备用例题
π 例 1 设 f(x)=x +x,x∈R.若当 0≤θ≤2时,f(msinθ)+ f(1-m)>0 恒成立,则实数 m 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(-∞,0) ? 1? C.?-∞,2? D.(-∞,1) ? ?
3

根据函数的性质,不等式 f(msinθ)+f(1- ? π? ?0, ?上恒成立. m)>0, f(msinθ)>f(m-1), msinθ>m-1 在 即 即 当 2? ? m-1 m-1 m>0 时, sinθ> m 恒成立, 即 只要 0> m 即可, 解得 0<m<1; m-1 当 m=0 时,不等式恒成立;当 m<0 时,只要 sinθ< m ,只要 m-1 1 1< m ,只要-m>0,这个不等式恒成立,此时 m<0.综上可知: m<1.

【解析】 D

第8讲 │ 教师备用例题

例 2 已知动点 P 在直线 x+2y-2=0 上,动点 Q 在直线 x + 2y + 4 = 0 上 , 线 段 PQ 中 点 M(x0 , y0) 满 足 不 等 式 x ? ?y0≤ 0+2, 2 3 ? 则 x2+y0的取值范围是( ) 0 ?y0≤-x0+2, ? ? 5 ? ?1 ? A.? , 34? B.?5,34? ? ? ? 5 ? ?1 ? C.?5,10? D.[10,34] ? ?

第8讲 │ 教师备用例题
如图,根据几何意义,坐标原点到直线 x+2y 1 1 +1=0 的距离是 ,故最小值是5,根据图形在点 A 处取得最大 5 值,点 A 的坐标是(5,-3),故最大值是 34. 【解析】 B

第8讲 │ 教师备用例题

例 3 已知 f(x)=ax2-c 且-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5, 则 f(3)的取值范围是________.

第8讲 │ 教师备用例题

【解析】 用已知的 f(1),f(2)来表示 f(3),然后利用不等式的性质

?a=1[f?2?-f?1?], ? 3 ?a-c=f?1?, ? 解决. 由题意得? 解得? ?4a-c=f?2?, ? ?c=-4f?1?+1f?2?. 3 3 ?
5 8 所以 f(3)=9a-c=- f(1)+ f(2). 3 3 5 5 20 因为-4≤f(1)≤-1,所以 ≤- f(1)≤ , 3 3 3 8 8 40 因为-1≤f(2)≤5,所以- ≤ f(2)≤ . 3 3 3 两式相加得-1≤f(3)≤20,故 f(3)的取值范围是[-1,20].

第8讲 │ 教师备用例题
例 4 某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图 所示的一个矩形综合性休闲广场, 其总面积为 3000 平方米, 其中 场地四周(阴影部分)为通道,通道宽度均为 2 米,中间的三个矩 形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相 同),塑胶运动场地占地面积为 S 平方米. (1)分别写出用 x 表示 y 和 S 的函数关系式(写出函数定义域); (2)怎样设计能使 S 取得最大值,最大值为多少?

第8讲 │ 教师备用例题
【解答】 (1)由已知 xy=3000,2a+6=y. 3000 根据已知 x>6,y>6,故 y= x , 3000 由 y>6,解得 x<500,所以 y= x (6<x<500). S=(x-4)a+(x-6)a=(2x-10)a, y 1500 根据 2a+6=y,得 a=2-3= x -3, ?1500 ? ? 15000? ? ?=3030-?6x+ ? 所以 S=(2x-10) x -3 x ?,6<x<500. ? ? ? ? 15000? 15000 (2)S=3030- ?6x+ x ? ≤3030-2 6x· x =3030-2×300 ? ? 15000 =2430,当且仅当 6x= x ,即 x=50 时等号成立,此时 y=60. 所以,矩形场地 x=50 m,y=60 m 时,运动场的面积最大,最大 面积是 2430 m2.

第9讲

等差数列与等比数列

第9讲

等差数列与等比数列

第9讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1.Sn 与 an 的关系 在数列{an}中,Sn=a1+a2+?+an,从而
?S1,n=1, ? an=? ?Sn-Sn-1,n≥2. ?

2.等差数列性质 如果数列{an}是公差为 d 的等差数列,则 n?n-1? n?a1+an? (1)an=a1+(n-1)d,Sn=na1+ 2 d= . 2 (2)对正整数 m,n,p,q,am+an=ap+aq?m+n=p+q,am+an=2ap ?m+n=2p.

第9讲 │ 主干知识整合
3.等比数列性质 如果数列{an}是公比为 q 的等比数列,则

?a1?1-q ? a1-anq ? = ,q≠1, n-1 1-q 1-q (1)an=a1q ,Sn=? ?na1,q=1. ?
n

(2)对正整数 m,n,p,q,aman=apaq?m+n=p+q,aman=a2?m+n p =2p. 4.等差、等比数列 Sn 的性质 若等差数列的前 n 项和为 Sn,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?为等差 数列;等比数列的前 n 项和为 Sn,则在公比不等于-1 时,Sm,S2m-Sm, S3m-S2m,?成等比数列. 5.等差、等比数列单调性 等差数列的单调性由公差 d 的范围确定,等比数列的单调性由首项和公比 的范围确定.

第9讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点一 等差数列的通项、求和的性质

例 1 (1)[2011· 天津卷] 已知{an}为等差数列,其公差为-2, 且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N*,则 S10 的值为( ) A.-110 B.-90 C.90 D.110 (2)设数列{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2 且 a1,a5,a13 成等比数列,则数列{an}的前 n 项和 Sn=( ) n2 7n n2 5n A. 4 + 4 B. 3 + 3 n2 3n C. 2 + 4 D.n2+n

第9讲 │ 要点热点探究
【解析】 (1)由 a2=a3· 9,d=-2,得(a1-12)2= a 7 10×9 (a1-4)(a1-16),解之得 a1=20,∴S10=10×20+ 2 (-2)=110. (2)根据 a1,a5,a13 成等比数列求出公差.根据已知得(2+4d)2= 1 2(2+12d),解得 d=2,故其前 n 项和只能是选项 A.注意等差数列中 d Sn=An2+Bn 中,A=2. (1) D (2)A

【点评】 在等差数列问题中其最基本的量是其首项和公 差,在解题时根据已知条件求出这两个量,其他的问题也就随 之解决了,这就是解决等差数列问题的基本方法,其中蕴含着 方程思想的运用.

第9讲 │ 要点热点探究

A.12 C.16

(1)在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则 a10=( B.14 D.18

)

(2)[2011· 江西卷] 设{an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和.若 S10=S11,则 a1=( ) A.18 B.20 C.22 D.24 (3)[2011· 广东卷] 等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和. 若 a1=1,ak+a4=0,则 k=________.

第9讲 │ 要点热点探究
(3)10 【解析】 (1)设等差数列{an}的公差为 d, ?a1+d=2, ?a1=0, ? ? 由 a2=2,a3=4,得? 解得? ?a1+2d=4, ?d=2, ? ? ∴a10=a1+(10-1)×d=9d=18.故选 D. (2)由 S10=S11,得 a11=S11-S10=0, ∴a1=a11+(1-11)d=0+(-10)(-2)=20.故选 B. (3)由 S9=S4,所以 a5+a6+a7+a8+a9=0,即 5a7=0,所以 a7=0, 1 由 a7=a1+6d 得 d=-6,又 ak+a4=0, ? 1? ? 1? 即 a1+(k-1)?-6?+a1+3×?-6?=0, ? ? ? ? ? 1? 3 ?- ?=- ,所以 k-1=9,所以 k=10. 即(k-1)× 6 2 ? ? (1)D (2)B

第9讲 │ 要点热点探究
? 探究点二 等比数列的通项、求和的性质

例 2 (1)已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N*)且 a2+a4 1 +a6=9,则 log3(a5+a7+a9)的值是( ) 1 A.-5 B.-5 1 C.5 D.5 (2)已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10, 则 a1· 2· a9=________. a ?·

【分析】 (1)根据数列满足 log3an+1=log3an+1(n∈N*)且 a2+a4+a6=9 可以确定数列{an}是公比等于 3 的等比数列, 再 根据等比数列的通项公式即可通过 a2+a4+a6=9 求出 a5+a7 +a9 的值.(2)根据等比中项求解.

第9讲 │ 要点热点探究
(1)A (2)250 2 【解析】 由 log3an+1=log3an+1(n∈N*),得 an+1=3an,所以数列{an}是公比等于 3 的等比数列,a5+a7+a9= 1 3 5 (a2+a4+a6)×3 =3 ,所以 log3(a5+a7+a9)=-log335=-5. (2) 由 等 比 数 列 的 性 质 知 a1a2a3 = (a1a3)· 2 = a 3 = 5 , a7a8a9 = a 2 1 9 (a7a9)· 8=a3=10,所以 a2a8=503,所以 a1· 2· a9=a5=( a2a8)9= a a ?· 8 250 2.

an - 【点评】 等比数列中有关系式a =qn m(m,n∈N*),其 m 中 q 为公比,这个关系式可以看做推广的等比数列的通项公 式,即 an=amqn-m(m,n∈N*),当 m=1 时就是等比数列的通 项公式.

第9讲 │ 要点热点探究

1 (1)[2011· 北京卷] 在等比数列{an}中, a1= , 4=-4, 若 a 2 则公比 q=________;|a1|+|a2|+?+|an|=________. f?x? (2) 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) 、 g(x) 满 足 = ax , 且 g?x? ? f?n? ? ? ? f?1? f?-1? 5 ?(n∈N*)的前 f′(x)g(x)<f(x)g′(x), + = ,若有穷数列? ? ? g?1? g?-1? 2 ?g?n?? 31 n 项和等于 ,则 n 等于( ) 32 A.4 B.5 C.6 D.7

第9讲 │ 要点热点探究
1 B 【解析】 (1)由 a4=a1q3= q3=-4,可得 2 1 q=-2;因此,数列{|an|}是首项为 ,公比为 2 的等比数列,所以|a1|+ 2 1 ?1-2n? 2 1 f?x? - |a2| + ? + |an| = = 2n 1 - .(2) 设 h(x) = , 则 h′(x) = 2 1-2 g?x? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? <0,故函数 h(x)为减函数,所以 0<a<1. g2?x? f?1? f?-1? 5 1 5 1 f?n? ?1?n 再根据 + = , a+a= , 得 解得 a=2(舍去)或 a= . =? ? , 2 2 g?n? ?2? g?1? g?-1? 2 1? 1? ?1- n? ? f?n? ? 2? 2? 1 1 31 ? ?的前 n 项和是 数列 =1- n.由于 1- n= ,所以 n=5. 1 2 2 32 ?g?n?? 1- 2 (1) -2 2n 1-


1 2

(2)

第9讲 │ 要点热点探究
? 探究点三 等差、等比数列的综合问题

例 3 [2011· 湖北卷] 成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这 三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; ? 5? ?Sn+ ?是等比数列. (2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列 4? ?

【分析】 (1)由条件可以先求得数列{bn}的第三项,进而借助 等比数列的通项公式求出 bn,(2)充分结合等比数列的定义不 难证明.

第9讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d. 依题意,得 a-d+a+a+d=15.解得 a=5. 所以{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d. 依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得 d=2 或 d=-13(舍去). 故{bn}的第 3 项为 5,公比为 2. 5 由 b3=b1·2,即 5=b1·2,解得 b1= . 2 2 4 5 所以{bn}是以 为首项,2 为公比的等比数列, 4 5 其通项公式为 bn= ·n-1=5·n-3. 2 2 4 5 ?1-2n? 4 5 5 (2)证明:由(1)得数列{bn}的前 n 项和 Sn= =5·n-2- ,即 Sn+ =5·n-2. 2 2 4 4 1-2 5 - Sn+1+ 2 4 5·n 1 5 5 所以 S1+ = , = =2. 4 2 5 5·n-2 2 Sn+ 4 ? ? ? 5? 5 ?Sn+ ?是以 为首项,公比为 2 的等比数列. 因此? 4? 2 ? ?

第9讲 │ 要点热点探究

第9讲 │ 要点热点探究

设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=a,an+1=2Sn- 2n,n∈N*. (1)设 bn=Sn-2n,求数列{bn}的通项公式; (2)若 an+1≤an,n∈N*,求 a 的取值范围.

第9讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=2Sn-2n,即 Sn+1=3Sn-2n. 由此得 Sn+1-2n+1=3(Sn-2n).即 bn+1=3bn, 又 b1=S1-2=a-2,当 a≠2 时数列{bn}是以 a-2 为首项,3 为公比的 等比数列,则 bn=(a-2)· n-1; 3 当 a=2 时,bn=0.综上所述,数列{bn}的通项公式为 bn=(a-2)· n-1,n∈(N*).① 3 (2)由①知 Sn=(a-2)3n-1+2n(n∈N*). 于是,当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=(a-2)3n-1+2n-[(a-2)3n-2+2n-1]=2(a-2)3n-2+2n-1, an+1-an=2(a-2)3n-1+2n-[2(a-2)3n-2+2n-1]=4(a-2)3n-2+2n-1 ? 1?2? - ? =4· n-2??a-2?+2?3?n 2?. 3 ? ? ? ? 1?2?n-2 1?2?n-2 3 ? ? 当 n≥2 时,an+1≤an?(a-2)+2 3 ≤0?a≤2-2?3? ?a≤2; ? ? ? ? 又 n=1 时,a2≤a1?2a-2≤a?a≤2. ? 3? 所以?n∈N*,a 的取值范围是?-∞,2?. ? ?

第9讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.在根据数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系求解数列的通项公式时,要 考虑两个方面,一是根据 Sn+1-Sn=an+1 把数列中的和转化为数列的通项之间 的关系, 先求 an 再求 Sn; 二是根据 an+1=Sn+1-Sn 把数列中的通项转化为和的 关系,先求 Sn 再求 an.注意分 n=1,n≥2 两种情况求出结果后,判断能否整合 为同一通项公式. 2.判断数列{an}是否是等差数列的方法有:(1)根据等差数列的定义,即证 an+an+2 明 an+1-an=d(常数);(2)证明 an+1= ;(3)证明其通项公式是关于 n 的 2 一次函数(这样的等差数列公差不等于零)等. 判断数列{an}为等比数列的基本方 法是定义. a+c 3.三个数 a,b,c 成等差数列的充要条件是 b= 2 ,但三个数 a,b,c 成等比数列的必要条件是 b2=ac.

第9讲 │ 教师备用例题

教师备用例题
备选理由: 1 可以进一步强化基本量思想方法, 例 等差数列、等比数列求和,其中第二问后半部分不等 式的证明方法较多,可以开阔学生思路;例 2 命题新 颖,第二问数列求和可以训练学生把数列问题分 n 为 奇数和偶数进行处理的思想意识,也可以作为训练错 位相减后求和的例子;例 3 是一个二阶线性递推数列 问题,虽然高考对递推数列要求很低,但把这类问题 以两类基本数列的形式呈现,还是有较大的可能出现 在高考中的.

第9讲 │ 教师备用例题

例 1 [2011· 浙江卷] 已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项 1 1 1 a1 为 a(a∈R).设数列的前 n 项和为 Sn,且a ,a ,a 成等比数列. 1 2 4 (1)求数列{an}的通项公式及 Sn; 1 1 1 1 1 1 1 1 (2)记 An=S +S +S +?+S ,Bn=a +a +a +?+ . a2n-1 1 2 3 n 1 2 22 当 n≥2 时,试比较 An 与 Bn 的大小.

第9讲 │ 教师备用例题
?1? 1 1 【解答】 (1)设等差数列{an}的公差为 d,由?a ?2=a · , a ? 2?
1 4

得(a1+d) =a1(a1+3d).因为 d≠0,所以 d=a1=a, an?n+1? 所以 an=na,Sn= . 2 1 ? 1 2? 1 (2)因为S =a?n-n+1?, ? ? n 1 ? 1 1 1 1 2? 所以 An=S +S +S +?+S =a?1-n+1?. ? ? 1 2 3 n 1 1 1 1 因为 a2n-1=2n-1a,所以 Bn=a +a +a +?+ a2n-1 1 2 22 ?1? 1-?2?n ? 1? 1 ? ? 2 ?1- n?. =a· 2 ? 1 a? 1-2 n 当 n≥2 时,2n=C0 +C1 +C2 +?+Cn>n+1, n n n 1 1 即 1- <1-2n, n+1 所以,当 a>0 时,An<Bn;当 a<0 时,An>Bn.

2

第9讲 │ 教师备用例题
例 2 [2011· 山东卷] 等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表 第一、二、三行中的某一个数,且 a1,a2,a3 中的任何两个数不在 下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 3 2 10 第一行 6 4 14 第二行 9 8 18 第三行 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nlnan,求数列{bn}的前 n 项 和 Sn.

第9讲 │ 教师备用例题
【解答】 (1)当 a1=3 时,不合题意;当 a1=2 时,当且仅当 a2=6, a3=18 时,适合题意; 当 a1=10 时,不合题意.因此 a1=2,a2=6,a3=18.所以公比 q=3, 故 an=2· n-1. 3 (2)因为 bn=an+(-1)nlnan=2· n-1+(-1)nln(2· n-1)=2· n-1+ 3 3 3 (-1)n[ln2+(n-1)ln3]=2· n-1+(-1)n(ln2-ln3)+(-1)nnln3, 3 所以 Sn=2(1+3+?+3n-1)+[-1+1-1+?+(-1)n](ln2-ln3)+ [-1+2-3+?+(-1)nn]ln3. 1-3n n n 所以当 n 为偶数时,Sn=2× + 2 ln3=3n+ 2ln3-1; 1-3 ?n-1 ? 1-3n n-1 ?ln3=3n- 当 n 为奇数时, n=2× S -(ln2-ln3)+? -n 2 ln3 1-3 ? 2 ? -ln2-1. ?3n+nln3-1,n为偶数, ? 2 综上所述,Sn=? ?3n-n-1ln3-ln2-1,n为奇数. 2 ?

第9讲 │ 教师备用例题
例3

已知数列{an}满足如下图所示的程

序框图. (1)写出数列{an}的一个递推关系式; (2)证明:{an+1-3an}是等比数列,并求 {an}的通项公式; - (3)求数列{n(an+3n 1)}的前 n 项和 Tn.

第9讲 │ 教师备用例题
【解答】 (1)由程序框图可知,a1=a2=1,an+2=5an+1-6an. (2)证明:由 an+2=5an+1-6an 得 an+2-3an+1=2(an+1-3an), 且 a2-3a1=-2 可知,数列{an+1-3an}是以-2 为首项,2 为公比的 an+1 3an 1 n 等比数列,可得 an+1-3an=-2 ,即 n+1=2· n-2. 2 2 an+ 1 3?an ? a1 1 ? n-1?,又 -1=- , ∵ n+1-1=2 2 2 2 ? ? 2 ?an ? 1 3 ? n-1?是以- 为首项, 为公比的等比数列, ∴数列 2 2 2 ? ? an 1?3? ∴2n-1=-2?2?n-1,∴an=2n-3n-1. ? ? (3)∵n(an+3n-1)=n· n, 2 ∴Tn=1· 2+2· 2+?+n· n,① 2 2 2Tn=1· 2+2· 3+?+n· n+1,② 2 2 2 两式相减得 Tn=(-2-22-?-2n)+n· n+1 2 2?1-2n? =- +n· n+1=2-2n+1+n· n+1=(n-1)2n+1+2. 2 2 1-2

第10讲

数列求和及数列应用

第10讲

数列求和及数列应用

第10讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1.常用公式 等差数列的前 n 项和,等比数列的前 n 项和, n?n+1? 1+2+3+?+n= 2 , n?n+1??2n+1? 2 2 2 2 1 +2 +3 +?+n = , 6 ?n?n+1?? ?2 3 3 3 1 +2 +?+n =? . ? 2 ? ? ? 2.常用裂项方法 1 1 1 (1) = - ; n?n+1? n n+1 1 ? 1 1?1 ? (2) =k?n-n+k?; ? n?n+k? ? ?

第10讲 │ 主干知识整合

1 ? 1 1? 1 ? (3) 2 =2?n-1-n+1?; ? n -1 ? ? 1 ? 1 1? 1 ? (4) 2 =2?2n-1-2n+1?; ? 4n -1 ? ? n+1 2n-?n-1? 1 1 (5) = = - 2n等. n?n-1?· n n?n-1?· n ?n-1?2n-1 n· 2 2 3.数学求和的基本方法 公式法、分组法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法. 4.数列的应用 等差数列模型、等比数列模型、递推数列模型.

第10讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点一 数列求和及其应用
例 1 [2011· 安徽卷] 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使 得这 n+2 个数构成递增的等比数列,将这 n+2 个数的乘积 记作 Tn,再令 an=lgTn,n≥1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=tanan· n+1,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. tana

【分析】 本题考查等比和等差数列,对数和指数的运算,两 角差的正切公式等基本知识,考查灵活运用基本知识解决问 题的能力,运算求解能力和创新思维能力.

第10讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)设 t1,t2,?,tn+2 构成等比数列,其中 t1=1,tn+2=100,则 Tn=t1· · tn+1· +2,① t2 ?· tn Tn=tn+2· +1· t2· ,② tn ?· t1 ①×②并利用 titn+3-i=t1tn+2=102(1≤i≤n+2),得 + . T2 =(t1tn+2)· 2tn+1)· (tn+1t2)· n+2t1)=102(n 2) ∴an=lgTn=n+2,n≥1. (t ?· (t n (2)由题意和(1)中计算结果,知 bn=tan(n+2)· tan(n+3),n≥1, tan?k+1?-tank 另一方面,利用 tan1=tan[(k+1)-k]= , 1+tan?k+1?· tank tan?k+1?-tank 得 tan(k+1)· tank= -1. tan1 所以 =
n+2 ? ? ?tan?k+1?-tank ? Sn= bk= tan(k+1)· tank= -1? ? tan1 ? k=1 k=3 k=3 ?

?

n

n+2

?

?

tan?n+3?-tan3 -n. tan1

第10讲 │ 要点热点探究

【点评】 本题考查等比数列的性质、三角函数等知识.本题两问中的方法都是值 得注意的,在第一问中采用的是倒序相乘法,这类似数列求和中的倒序相加法; 第二问采用的裂项相消法和两角差的正切公式结合在一起,这在近年来的高考试 题中是不多见的,这与我们平时见到的裂项相消法有较大的不同,但基本思想是 把不能使用公式直接求和的问题转化为可以逐项相消的问题, 基本思想就是裂项.

第10讲 │ 要点热点探究

在数列{an}中,a1=1,并且对于任意 n∈N*,都有 an+1= an . 2an+1

?1? (1)证明数列?a ?为等差数列,并求{an}的通项公式; ? n?

1000 (2)设数列{anan+1}的前 n 项和为 Tn,求使得 Tn> 2011 的最小 正整数.

第10讲 │ 要点热点探究
1 an 1 1 【解答】 (1)证明: =1,因为 an+1= ,所以 - =2, a1 2an+1 an+1 an ?1? 所以数列?a ?是首项为 1,公差为 2 的等差数列, ? n? 1 1 所以a =2n-1,从而 an= . 2n-1 n 1 ? 1 1? 1 ? ? (2)因为 anan+1= = ?2n-1-2n+1?, ?2n-1??2n+1? 2? ? 所以 Tn=a1a2+a2a3+?+anan+1 ? 1 1 ?? 1?? 1? ?1 1? n ?? ? ?? = ? 1-3?+?3-5?+?+?2n-1-2n+1??= . 2?? 2n+1 ? ? ? ? ?? n 1000 1000 1000 由 Tn= > ,得 n> ,所以使得 Tn> 的最小正整数 11 2011 2n+1 2011 n 为 91.

第10讲 │ 要点热点探究
? 探究点二 数列应用题的解法

例 2 某个集团公司下属的甲、乙两个企业在 2010 年 1 月的 产值都为 a 万元, 甲企业每个月的产值比前一个月的产值增加的 数值相等, 乙企业每个月的产值比前一个月的产值增加的百分数 相等,到 2011 年 1 月两个企业的产值又相等. (1)到 2010 年 7 月,试比较甲、乙两个企业的产值的大小, 并说明理由; (2)甲企业为了提高产能,决定用 3.2 万元买一台仪器.从 2011 年 2 月 1 日投放使用,从启用的第一天起连续使用,第 n n+49 天的维修保养费为 10 元(n∈N*), 求前 n 天这台仪器的日平均 耗资(含仪器的购置费),并求日平均耗资最小时使用了多少天?

第10讲 │ 要点热点探究

【分析】 (1)甲企业的各个月份的产值组成等差数列,乙企 业各个月份的产值组成等比数列,在这两个各有十三项的数列 中其第一项和最后一项相等,比较的是中间项的大小,根据等 差中项和等比中项的概念和基本不等式进行比较大小;(2)前 n 天的维修费用之和加上购买仪器的费用除以 n 即为日均耗费, 使用基本不等式求其最值以及取得最值时的 n 即可.

第10讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)甲企业的产值比乙企业的产值要大. 设从 2010 年 1 月到 2011 年 1 月甲企业每个月的产值分别是 a1,2, a ?, a13, 乙企业每个月的产值分别记为 b1, 2, b ?, 13.由题意{an}成等差数列, b 1 {bn}成等比数列.∴a7= (a1+a13),b7= b1b13. 2 a1+a13 又 a1=b1,a13=b13,∴a7= > a1a13= b1b13=b7, 2 即 2010 年 7 月甲企业的产值大. (2)设一共用了 n 天,则 n 天的平均耗资为 P(n), ? n+49? ? ? n 5+ ? 10 ? ? ? 3.2×104+ 3.2×104 n 9.9 2 则 P(n)= = + + , n n 20 2 3.2×104 n 当且仅当 = 时 P(n)取得最小值,此时 n=800, n 20 故日平均耗资最小时使用了 800 天.

第10讲 │ 要点热点探究

【点评】 本题考查等比数列模型、等差数列模型的实际应用, 并与基本不等式进行交汇.数列在实际问题中有着极为广泛的应 用,数列的应用问题在高考中虽然不是主流,但并不排除在高考中 考查数列实际应用问题的可能,看下面的变式.

第10讲 │ 要点热点探究

[2011· 湖南卷] 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的价值在使用过程中逐年减少,从第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始,每年初 M 的价值为上年初的 75%. (1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; a1+a2+?+an (2)设 An= .若 An 大于 80 万元, M 继续使 则 n 用,否则须在第 n 年初对 M 更新.证明:须在第 9 年初对 M 更新.

第10讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)当 n≤6 时,数列{an}是首项为 120,公差为-10 的等差数列. an=120-10(n-1)=130-10n; ?3? 3 - 当 n≥6 时,数列{an}是以 a6 为首项,公比为4的等比数列,又 a6=70,所以 an=70×?4?n 6. ? ? ? ? ?130-10n,n≤6, ? ?3? 因此,第 n 年初,M 的价值 an 的表达式为 an=? ? ?n- 6 ?70×?4? ,n≥7. ? ? ? (2)设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得 当 1≤n≤6 时,Sn=120n-5n(n-1),An=120-5(n-1)=125-5n; 当 n≥7 时,由于 S6=570, ? ?3? ? ?3? 3 - 故 Sn=S6+(a7+a8+?+an)=570+70×4×4×?1-?4?n 6?=780-210×?4?n-6, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3? 780-210×?4?n-6 ? ? ? ? An= , n 因为{an}是递减数列,所以{An}是递减数列. ?3? ?3? ? ?2 780-210×?4? 780-210×?4?3 ? ? 47 79 ? ? ? ? 又 A8= =8264>80,A9= =7696<80, 8 9 所以须在第 9 年初对 M 更新.

第10讲 │ 要点热点探究
? 创新链接6 数列中的不等式问题

高考对不等式的综合考查主要是三个方面,一个在函数导 数的综合题中使用不等式讨论函数性质,一个是在解析几何中 使用不等式确定直线与曲线的位置关系、 解决范围最值等问题, 再一个也是难度最大的一个就是在数列中考查不等式.在数列 中考查的不等式的主要类型为结合数列的通项与求和,然后证 明不等式,探究不等关系,求最值等. 解决数列中的不等式问题的方法是灵活的,但基本的思想 是比较和放缩,解题的关键是对已知关系的变换,通过变换实 现已知向求解目标的转化.

第10讲 │ 要点热点探究
1 1 例 3 [2011· 全国卷] 设数列{an}满足 a1=0 且 - =1. 1-an+1 1-an (1)求{an}的通项公式; 1- an+1 n (2)设 bn= ,记 Sn=∑ bk,证明:Sn<1. k= 1 n

【分析】 (1)问是常见的考查整体代换思想问题;(2)问涉及 的类型为常见的求和方法问题,关键是化简的方法.

第10讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)由题设
? 1 ? 即?1-a ?是公差为 n? ?

1 1 - =1, 1-an+1 1-an

1 的等差数列.

1 1 1 =1,故 =n.所以 an=1- . n 1-a1 1-an (2)证明:由(1)得 1- an+1 n+1- n 1 1 bn= = = - , n n n+1· n n+1 1 ? n n ? 1 1 ?=1- ∴Sn=∑ bk=∑ ? k- <1. k=1 k=1 k+1? n+1 ? 又

【点评】 本题为常见的数列与不等式的综合问题,就是在试题 的第二问结合数列求和、数列通项等证明一个不等式,基本思路之 一是放缩.

第10讲 │ 要点热点探究
已知二次函数 y=f(x)的图象经过坐标原点,其导 函数为 f′(x)=6x-2,数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)(n ∈N*)均在函数 y=f(x)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; 3 m (2)设 bn= , 是数列{bn}的前 n 项和, T 求使 Tn<20对 anan+1 n 所有 n∈N*都成立的最小正整数 m.

【分析】 (1)采用比较系数的方法求出二次函数的解析式,即可得到 数列{an}的前 n 项和公式,再根据 an,Sn 的关系,即可求出数列{an} 的通项公式;(2)根据(1)可知数列{bn}的通项公式,进而求和.

第10讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)设二次函数 f(x)=ax2+bx,则 f′(x)=2ax+b,由于 f′(x) =6x-2,所以 a=3,b=-2,所以 f(x)=3x2-2x. 又点(n,Sn)(n∈N*)均在函数 y=f(x)的图象上, 所以 Sn=3n2-2n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=6n-5, 当 n=1 时,a1=S1=1,也适合 an=6n-5, 所以 an=6n-5(n∈N*). 1 ? 3 3 1? 1 ? - ?. (2)由(1)得 bn= = = anan+1 ?6n-5??6n+1? 2?6n-5 6n+1?
? 1 1 ?? 1? 1 ? 1? ?1 1 ? 1?? 故 Tn= ?bi=2??1-7?+?7-13?+?+?6n-5-6n+1??=2?1-6n+1?. ? ? ? ?? ? ?? ? ? i=1
n

1 m 随着 n 的增大,Tn 逐渐增大直至趋近2,故 Tn<20对所有 n∈N*都成立, 1 m m 只要2≤20即可,即只要 m≥10.故使得 Tn<20对所有 n∈N*都成立的最小正 整数 m=10.

第10讲 │ 要点热点探究

第10讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.裂项相消法的基本思想是把数列的通项 an 分拆成 an=bn+1-bn 或者 an =bn-bn+1 或者 an=bn+2-bn 等,从而达到在求和时逐项相消的目的,在解题 中要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式,使之符合裂项相消的条 件. 2.错位相减法适用于数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积 构成的数列的求和,乘以等比数列的公比再错位相减,即依据是:cn=anbn,其 中{an}是公差为 d 的等差数列,{bn}是公比为 q(q≠1)的等比数列,则 qcn=qanbn =anbn+1,此时 cn+1-qcn=(an+1-an)bn+1=dbn+1,这样就把对应相减的项变为 了一个等比数列,从而达到求和的目的. 3.在数列应用题中首先确定是什么类型的数列,然后再根据已知和求解目 标,使用等差数列、等比数列的知识进行解答.

第10讲 │ 教师备用例题

教师备用例题

备选理由:例 1 的目的是复习倒序相加求和 法以及不等式证明中的放缩法; 2 虽然是 2010 例 年的高考试题,但这个题目揭示了一类重要的数 列应用模型,这个模型具有较高的应用价值.

第10讲 │ 教师备用例题
例 1 函数 f(x)对任意 x∈R 都有 f(x)+f(1-x)=1. ?1? (1)求 f ?2?的值; ? ? ?1? ?2? (2)数列{an}满足:an=f(0)+f ?n?+f ?n?+?+ ? ? ? ? ?n-1? ? f ? ? n ?+f(1),求 an; ? ? 2 4 2 2 2 (3)令 bn= , n=b1+b2+?+bn, n=8-n, T S 2an-1 试比较 Tn 与 Sn 的大小.

第10讲 │ 教师备用例题
?1? ? ?1? ?1? 1? 1 ? ? ? ? ? ? 【解答】 (1)令 x=2,则有 f ?2?+f ?1-2?=f ?2?+f ?2?=1. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? 1 ∴f ?2?=2. ? ? ? ? ?n-1? ?1 ? ? ?1 ? 1? 1 ? ? ? ? ? ? ? (2)令 x=n,得 f ?n?+f ?1-n?=1.即 f ?n?+f ? ? ?=1. ? ? ? ? ? ? ? n ? ?n-1? ?1 ? ?2 ? ? ? ? ? ? 因为 an=f(0)+f ?n?+f ?n?+?+f ? ? ?+f(1), ? ? ? ? ? n ? ?n-1? ?n-2? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 所以 an=f(1)+f ? ?+f ? ?+?+f ?n?+f(0). ? ? ? n ? ? n ? 两式相加得: ? ?1 ? ?n-1?? ? ? ? ?? 2an=[f(0)+f(1)]+?f ?n?+f ? ? ??+?+[f(1)+f(0)]=n+1, ? ? ? ? n ?? n+1 ∴an= 2 ,n∈N*.

第10讲 │ 教师备用例题

2 2 =n,n=1 时,Tn=Sn; 2an-1 n≥2 时, ∴Tn=b2+b2+?+b2 = 1 2 n ? ? 1 1 1 ? 1 1 1? ? ? ? 4?1+22+32+?+n2?≤4?1+1×2+2×3+?+n?n-1?? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ?? 1? ?1 1? 1? ? ? ?? ? ? ? ? ? =4?1+?1-2?+?2-3?+?+?n-1-n??=4?2-n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 4 =8-n=Sn, ∴Tn≤Sn. (3)bn=

第10讲 │ 教师备用例题
例 2 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a(单位:m2),其中有部分旧住房需要拆除.当地有关 部门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房, 同时也拆除面积为 b(单位:m2)的旧住房. (1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积 的表达式; (2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初 的住房面积增加了 30%,则每年拆除的旧住房面积 b 是多少?(计算时取 1.15=1.6).

第10讲 │ 教师备用例题
11 【解答】 (1)第 1 年末的住房面积为 a· -b=(1.1a-b) m2, 10 第 2 年末的住房面积为 ? 11 ? 11 ? 11 ? ? 11? ? ? ? ?2 ? ? 2 ?a· -b?· -b=a· ? -b?1+ ? ?=1.21a-2.1b(m ), 10? ? 10 ? 10 ?10? ? (2)第 3 年末的住房面积 ? ? ? 11 ? ? ? 11 ? 11 ??11 11 ?11?2? ? ? ?2 ? ?? ? ?3 ? +?10? ?, ?a· ? -b?1+ ? ?? -b=a· ? -b?1+ ? 10??10 10 ? ? ? ? ? ? ? ?10? ? ?10? ? ? ? 11 ? 11 ?11?2 ?11?3? ? ?4 ? 第 4 年末的住房面积 a· ? -b?1+10+?10? +?10? ?, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?10? ? ? ? 11 ? 1-1.15 11 ?11?2 ?11?3 ?11?4? ? 第 5 年末的住房面积 a· ?5-b?1+10+?10? +?10? +?10? ?=1.15a- ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1-1.1 ? ? ? ? ? ? ? ?10? ? a b=1.6a-6b,依题意可知,1.6a-6b=1.3a,解得 b= ,所以每年拆除的旧 20 a 住房面积为 (m2). 20

第11讲

推理与证明

第11讲

推理与证明

第11讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1.推理 (1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征(或性 质), 推出该类事物的全部对象都具有这些特征(或性质)的推理, 或者由个别事实概括出一般结论的推理,叫做归纳推理(简称归 纳).归纳推理是由特殊到一般、部分到整体的推理.(2)类比推 理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知 特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,叫做类比推理 (简称类比).类比推理是由特殊到特殊的推理.(3)演绎推理: 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定 理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程,是根据一 般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理.

第11讲 │ 主干知识整合
2.数学证明 (1)直接证明:分析法和综合法是两种思路相反的证明推理 方法:分析法是倒溯,综合法是顺推.分析法侧重于结论提供 的信息,综合法则侧重于条件提供的信息,把两者结合起来, 全方位地收集、储存、加工和运用题目提供的全部信息,才能 找到合理的解题思路.没有分析,就没有综合,分析是综合的 基础,它们相辅相成是对立统一的. (2)间接证明:反证法是一种间接证明命题的方法,它从命 题结论的反面出发,引出矛盾,从而肯定命题的结论. 3.数学归纳法 分两步:首先证明当 n 取第一个值 n0(例如 n0=1)时结论正 确;然后假设当 n=k(k∈N+,k≥n0)时结论正确,证明当 n=k +1 时结论也正确.

第11讲 │ 要点热点探究
要点热点探究

?

探究点一 合情推理与演绎推理 例 1 [2011· 江西卷] 观察下列各式:55 =3125,56 =15625,57 = 78125,?,则 52011 的末四位数字为( ) A.3125 B.5625 C.0625 D.8125

D 【 解 析 】 ∵ 55 = 3125,56 = 15625,57 = 78125,58 = 390625,59=1953125,510=9765625,?, ∴5n(n∈Z 且 n≥5)的末四位数字呈周期性变化, 且最小正 周期为 4,记 5n(n∈Z 且 n≥5)的末四位数为 f(n),则 f(2011) =f(501×4+7)=f(7), ∴52011 与 57 的末四位数相同,均为 8125.故选 D.

第11讲 │ 要点热点探究

第11讲 │ 要点热点探究
给出若干数字按如图 11-1 所示排成倒三角形,其中 第一行各数依次是 1,2,3,?,2011,从第二行起每个数分别等于 上一行左、右两数之和,最后一行只有一个数 M,则这个数 M 是 ( )

A.2012· 2009 2 C.2010· 2011 2

图 11-1 B.2011· 2010 2 D.2010· 2007 2

第11讲 │ 要点热点探究

A 【解析】 第一行公差为 1;第二行公差为 2;??;第 2010 行公差为 22009, 2011 行只有 M, 第 发现规律, M=(1+2011)· 2009. 得 2 或从第一行为 1,2,3 及 1,2,3,4,5 的两个“小三角形”结合选项归纳 得结果为(3+1)×21 及(5+1)×23,猜一般规律为(n+1)· n-2. 2

第11讲 │ 要点热点探究
例 2 有对称中心的曲线叫做有心曲线,过有心曲线中心的弦 叫做有心曲线的直径. 定理: 如果圆 x2+y2=r2(r>0)上异于一条直径 两个端点的任意一点与这条直径两个端点连线的斜率存在,则这两 x2 y2 条 直 线 的 斜 率 乘 积 为 定 值 - 1. 写 出 该 定 理 在 有 心 曲 线 m + n = 1(mn≠0)中的推广________________________.

【分析】 根据给出的概念,设出曲线上点的坐标,根据 点在曲线上和斜率公式推证.

第11讲 │ 要点热点探究
x2 y2 m+ n =1(mn≠0)上异于一条直径两个端点的任意一点,与这 n 条直径两个端点的连线斜率乘积等于-m 【解析】 设直径两端 点分别为 A(x1,y1),B(-x1,-y1),C(x0,y0)为曲线上异于 A,B y0-y1 y0+y1 的任意一点,则 kACkBC= · ,由于点 A,C 在曲线上, x0-x1 x0+x1 2 y0-y1 y0+y1 x2 y0 x2 y2 n 0 1 1 所以m+ n =1,m+ n =1,两式相减得 · =-m. x0-x1 x0+x1

第11讲 │ 要点热点探究
若等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,前 n 项的和 ?Sn? S d ? ?为等差数列,且通项为 n=a1+(n-1)· .类似地, 为 Sn,则数列 n n 2 ? ? 请完成下列命题:若各项均为正数的等比数列{bn}的首项为 b1,公 比为 q,前 n 项的积为 Tn,则________________________.

数列{ Tn}为等比数列,且通项为 Tn=b1( q)n 1 【解析】 等差数列的加法类比为等比数列的乘法. 结 论是:数列{ Tn}为等比数列,且通项为 Tn=b1( q)n 1. n n


n

n



第11讲 │ 要点热点探究
例 3 [2011· 福建卷] 设 V 是全体平面向量构成的集合,若映 射 f:V→R 满足: 对任意向量 a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,以及任意 λ∈R, 均有 f(λa+(1-λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b). 则称映射 f 具有性质 P. 现给出如下映射: ①f1:V→R,f1(m)=x-y,m=(x,y)∈V; ②f2:V→R,f2(m)=x2+y,m=(x,y)∈V; ③f3:V→R,f3(m)=x+y+1,m=(x,y)∈V. 其中,具有性质 P 的映射的序号为________.(写出所有具有 性质 P 的映射的序号)

第11讲 │ 要点热点探究
①③ 【解析】 设 a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,则 λa+(1-λ)b=λ(x1,y1)+(1-λ)(x2,y2)=(λx1+(1-λ)x2,λy1+ (1-λ)y2), ①f1(λa+(1-λ)b)=λx1+(1-λ)x2-[λy1+(1-λ)y2] =λ(x1-y1)+(1-λ)(x2-y2)=λf1(a)+(1-λ)f1(b), ∴映射 f1 具有性质 P; ②f2(λa+(1-λ)b)=[λx1+(1-λ)x2]2+[λy1+(1-λ)y2], λf2(a)+(1-λ)f2(b)=λ(x2 +y1 ) + (1-λ)(x2 + y2 ), 1 2 ∴f2(λa+(1-λ)b)≠λf2(a)+(1-λ)f2(b), ∴ 映射 f2 不具有性质 P; ③f3(λa+(1-λ)b)=λx1+(1-λ)x2+(λy1+(1-λ)y2)+1 =λ(x1+y1+1)+(1-λ)(x2+y2+1)=λf3(a)+(1-λ)f3(b), ∴ 映射 f3 具有性质 P. 故具有性质 P 的映射的序号为①③.

第11讲 │ 要点热点探究

第11讲 │ 要点热点探究
? 探究点二 直接证明与间接证明

例 4 [2011· 重庆卷] 设实数数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+1=an+1Sn(n∈N*). (1)若 a1,S2,-2a2 成等比数列,求 S2 和 a3; 4 (2)求证:对 k≥3 有 0≤ak+1≤ak≤3.

第11讲 │ 要点热点探究
2 ?S2=-2a1a2, 【解答】 (1)由题意? 得 S2=-2S2, 2 ?S2=a2S1=a1a2, 由 S2 是等比中项知 S2≠0.因此 S2=-2. -2 S2 2 由 S2+a3=S3=a3S2 解得 a3= = =3. S2-1 -2-1 (2)证法一:由题设条件有 Sn+an+1=an+1Sn, an+1 Sn 故 Sn≠1,an+1≠1 且 an+1= ,Sn= , Sn-1 an+1-1 ak-1 ak-1+ ak-1-1 Sk-1 ak-1+Sk-2 a2-1 k 从而对 k≥3 有 ak= = = = 2 .① Sk-1-1 ak-1+Sk-2-1 ak-1 ak-1-ak-1+1 ak-1+ -1 ak-1-1 ? 1? 3 因 a2-1-ak-1+1=?ak-1-2?2+4>0 且 a2-1≥0,由①得 ak≥0. k k ? ? ? ? a2-1 4 4 k 要证 ak≤3,由①只要证 2 ≤3, ak-1-ak-1+1 4 即证 3a2-1≤4(a2-1-ak-1+1),即(ak-1-2)2≥0,此式明显成立.因此 ak≤3(k≥3). k k a2 k 最后证 ak+1≤ak,若不然 ak+1= 2 >a , ak-ak+1 k ak 又因 ak≥0,故 2 >1,即(ak-1)2<0.矛盾. ak-ak+1 因此 ak+1≤ak(k≥3).

第11讲 │ 要点热点探究
(2) 证法二:由题设知 Sn+1=Sn+an+1=an+1Sn,
故方程 x2-Sn+1x+Sn+1=0 有根 Sn 和 an+1(可能相同). 因此判别式 Δ=S2 +1-4Sn+1≥0. n an+ 2 又由 Sn+2=Sn+1+an+2=an+2Sn+1 得 an+2≠1 且 Sn+1= . an+2-1 a2 +2 4an+2 n 因此 - ≥0,即 3a2 +2-4an+2≤0, 2 n ?an+2-1? an+2-1 4 4 解得 0≤an+2≤3.因此 0≤ak≤3(k≥3). Sk-1 由 ak= ≥0(k≥3),得 Sk-1-1 ? Sk-1 ? ? Sk-1 ? -1? Sk ? S2-1 -1?=ak ak+1-ak= -ak=ak? ? k -1 ? Sk-1 ?akSk-1-1 ? ?Sk-1-1 ? ak ak =- 2 =-? 1?2 3≤0, Sk-1-Sk-1+1 ?Sk-1- ? + 2? 4 ? 因此 ak+1≤ak(k≥3).

第11讲 │ 要点热点探究

第11讲 │ 要点热点探究
? 探究点三 数学归纳法

n 例 5 已知数列{an}满足关系式 an+1=a +2,n∈N*,且 a1=2. n (1)求 a2,a3,a4; (2)求证: n+1≤an< n+1+1; 1 1 1 (3)求证: n+1-1<a +a +?+a <2( n+3- 3). 1 2 n

5 14 43 【解答】 (1)由题意,知 a2=2,a3= 5 ,a4=14.

第11讲 │ 要点热点探究
n (2)由 an+1=a +2 及 a1=2,知 an>0.
n

下面用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,a1=2 满足 1+1≤a1< 1+1+1,成立. ②假设当 n=k(k∈N*)时, k+1≤ak< k+1+1 成立,则 k k 当 n=k+1 时,ak+1=a +2> +2= k+1+1. k k+1+1 k k ak+1=a +2≤ +2. k+1 k k 下面用分析法证明: +2< k+2+1. k+1 k 欲证 +2< k+2+1,只需证 k+ k+1<( k+1) k+2, k+1 只需证(k+ k+1)2<[( k+1) k+2]2,只需证 2 k+1>0,此式显然成立. k k k 所以 +2< k+2+1 成立.从而 ak+1=a +2≤ +2< k+2+1. k+1 k+1 k 由①②可知,对一切 k∈N*, n+1≤an< n+1+1 成立.

第11讲 │ 要点热点探究
(3)证明:由(2),知 而 1 1 1 <a ≤ , n+1 n+1+1 n

1 1 ≥ = n+1- n, n+1+1 n+1+ n 1 2 2 = < =2( n+3- n+2), n+1 ? n+1?+? n+1? n+3+ n+2 1 所以 n+1- n<a <2( n+3- n+2), n 1 1 1 ? ? ? ? 所以 ?? 2- 1?? +?+ ?? n+1- n?? < a + a +?+ a <2( 4- 3)+? 1 2 n +2( n+3- n+2), 1 1 1 所以 n+1-1<a +a +?+a <2( n+3- 3). 1 2 n

第11讲 │ 要点热点探究

第11讲 │ 要点热点探究

1 1 已知函数 fn(x)=3x3-2(n+1)x2+x(n∈N*),数列{an} 满足 an+1=f′n(an),a1=3. (1)求 a2,a3,a4; (2)根据(1)猜想数列{an}的通项公式,并证明; 1 1 1 3 (3)求证: + +?+ <2. ?2a1-5?2 ?2a2-5?2 ?2an-5?2

第11讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)f′n(x)=x2-(n+1)x+1(n∈N*), a1=3,又 an+1=a2 -(n+1)an+1,∴a2=a2-2a1+1=4, n 1 2 a3=a2-3a2+1=5,a4=a3-4a3+1=6. 2 (2)猜想 an=n+2,用数学归纳法证明. 当 n=1 时显然成立, 假设当 n=k(k∈N*)时,ak=k+2, 则当 n=k+1(k∈N*)时, ak+1=a2-(k+1)ak+1=(k+2)2-(k+1)(k+2)+1, k =k+3=(k+1)+2, ∴当 n=k(k∈N*)时,猜想成立. 根据数学归纳法对一切 n∈N*,an=n+2 均成立,

第11讲 │ 要点热点探究
(3)当 k≥2 时,有 1 ? 1 1 1 1? 1 ? - =2?2k-3 2k-1?, 2= 2< ? ?2ak-5? ?2k-1? ?2k-1??2k-3? ? ? 所以 n≥2 时,有
n 1 1 =1+ ? ? ?2a -5?2 ?2ak-5?2 k =1 =2 k k n

? 1 1 ?? 1? ?1 1? 1?? ?? ? <1+2? 1-3?+?3-5?+?+?2n-3-2n-1?? ?? ? ? ? ?? ? ?? 1 ? 1? 1 3 ? =1+2?1-2n-1?<1+2=2. ? ? ? 1 3 又 n=1 时, 2=1< . 2 ?2a1-5?

故对一切 n∈N ,有 ?
* k=1

n

1 3 < 2. ?2ak-5?2

第11讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.合情推理的精髓是“合情”,即得到的结论符合“情理”,其中主 要是归纳推理与类比推理.归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式.类 比推理是由此及彼的推理模式;演绎推理是一种严格的证明方式. 2.直接证明的最基本的两种证明方法综合法和分析法,这两种方法也 是解决数学问题时常见的思维方式.在实际解题时,通常先用分析法寻求解 题思路,再用综合法有条理地表述解题过程. 3.数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法,在遇到与 正整数有关的数学命题时,要考虑是否可以使用数学归纳法进行证明,但也 要注意并不是所有的与正整数有关的数学命题都可以使用数学归纳法进行 证明的;在可以使用数学归纳法进行证明的数学命题中,要准确使用数学归 纳法证明命题的格式,特别要注意在证明过程中一定要使用归纳假设..

第11讲 │ 教师备用例题

教师备用例题

备选理由: 1 难度不大, 例 主要说明出现在考题中的 合情推理试题, 其结论不是漫无目的的; 2 是递推数列 例 中的不等式问题,这里主要是使用数学归纳法进行证明, 这个题目具有较大的难度.

第11讲 │ 教师备用例题
例 1 在 Rt△ABC 中,若∠C=90° ,AC=b,BC a2+b2 =a,则△ABC 外接圆半径 r= . 2 运用类比方法, 若三棱锥的三条侧棱两两互相垂 直且长度分别为 a,b,c,则其外接球的半径 R= ________. a2+b2+c2 【答案】 2 【解析】 作一个在同一个顶点处棱长分别为 a,b,c 的 长方体,则这个长方体的体对角线的长度是 a2+b2+c2,故 a2+b2+c2 这个长方体的外接球的半径是 ,这也是所求的三 2 棱锥的外接球的半径.

第11讲 │ 教师备用例题
1 例 2 [2010· 全国卷Ⅰ] 已知数列{an}中, 1=1, n+1=c-a . a a n 5 1 (1)设 c=2,bn= ,求数列{bn}的通项公式; an-2 (2)求使不等式 an<an+1<3 成立的 c 的取值范围.
an-2 5 1 1 2an 4 【解答】 (1)an+1-2=2-a -2= 2a , = = + an+1-2 an-2 an-2 n n 2,即 bn+1=4bn+2, ? 2? 2 1 bn+1+3=4?bn+3?.又 a1=1,故 b1= =-1. ? ? a1-2 ? 2? 1 ?bn+ ?是首项为- ,公比为 4 的等比数列. 所以数列 3? 3 ? 2 1 n- 1 1 n-1 2 bn+3=-3· ,bn=-3· -3. 4 4

第11讲 │ 教师备用例题
(2)a1=1,a2=c-1,由 a2>a1 得 c>2. 用数学归纳法证明:当 c>2 时 an<an+1. 1 当 n=1 时,a2=c-a >a1,命题成立; 1 ②假设当 n=k 时,ak<ak+1, 1 1 则当 n=k+1 时,ak+2=c- >c-a =ak+1. ak+1 k 故由①②知,当 c>2 时 an<an+1. c+ c2-4 当 c>2 时,令 α= , 2 1 1 由 an+a <an+1+a =c 得 an<α. n n 10 10 当 2<c≤ 3 时,an<α≤3;当 c> 3 时,α>3,且 1≤an<α. 1 1 1 于是 α-an+1=a α(α-an)≤3(α-an),α-an+1≤3n(α-1). n α-1 10 当 n>log3 时,α-an+1<α-3,an+1>3,因此 c> 3 不符合要求. α-3 ? 10? ? 所以 c 的取值范围是?2, 3 ?. ? ? ?

第11讲 │ 教师备用例题
??高考命题者说 【考查目标】 本题考查数列的通项公式及前 n 项和公式,考查数学归 纳法的应用, 综合考查考生运用数列知识, 进行运算求解和推理论证的能力. 【命制过程】 试题用数列{an}的相邻两项之间的关系定义数列元素间的 关系,这是考生熟悉的.引入数列{bn},一方面使利用递推关系求数列通项 公式的难度控制在教学要求的范围内, 利于中学的教学; 另一方面使问题(2) 的解决有了多个切入点,使考查目标得以实现. 1 5 1 【解题思路】 (1)将 an+1=c-a =2-a 适当变形, 可得 bn+1=4bn+2.(2) n n 用数学归纳法. 【试题评价】 试题以数列的递推关系呈现,通过巧妙设计,将递推关 系求通项公式的难度控制在教学的基本范围内, 问题(2)的设计既体现了试题 的选拔功能,又利于中学教学. (引自高等教育出版社 2011 年大纲版的《高考理科试题分析》第 116 页 第 22 题)


2012高考数学二轮模拟新题分类汇编--专题三 不等式、数列、推理与证明

2012高考数学二轮模拟新题分类汇编--专题三 不等式数列推理与证明。最新模拟题汇编高考数学二轮模拟新题分类汇编---专题三 2012 高考数学二轮模拟新题分类汇编-...

2012高三不等式、推理与证明测试题及答案解析(1)新课标人教版

专题推荐 2012高三计数原理、概率... 2012高三数列测试...2012版高考二轮复习课件... 138页 2下载券 2012版...(11)不等式推理与证明一、选择题(本大题共 12...

2012高三数学不等式、推理与证明习题及答案解析(2)

2012高三数学不等式推理与证明习题及答案解析(2)_...答案:C 3.用反证法证明命题“ 2+ 3是无数”...1 15.已知等比数列{an}中,a2>a3=1,则使不等式...

专题三 数列、不等式及推理证明教师稿

湘阴县 2012 届高三二轮复习教师版 专题三 数列不等式推理证明 编辑:李振奎 专题三 数列不等式推理证明 第 1 课 等差数列与等比数列 考点分析 1,了解...

高考数学二轮复习数列与不等式

2012高考数学二轮复习... 26页 免费喜欢此文档的...【专题二】 数列与不等式 【考情分析】 1. 数列...逻辑推理能力的考查,成为了近几年数列考题的新热点...

2014高考数学理二轮专题突破文档:3.3推理与证明

2012大纲全国卷高考数学... 2012年高考新课标理科数...河北饶阳中学 2014 年数学理二轮复习专题3推理...证明和推理数学命题的方法,常与函数、数列不等式...

2014高三数学二轮复习专题3 第3讲 推理与证明 教师版

2014高三数学二轮复习专题3 第3讲 推理与证明 教师...4.(2012· 陕西)观察下列不等式: 1 3 1+ 2< ...等差数列. 1 1 1 1 1 11 ∴第五个不等式为 ...

期末复习卷确定版不等式数列推理与证明

2012版高考二轮复习课件... 138页 2下载券 专题三...高三理科数学不等式数列推理与证明练习卷( 命题...数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项,试求数列 {...

2014届高考数学(文)二轮复习专题突破讲义专题三 数列、推理与证明 第3讲推理与证明

2014届高考数学(文)二轮复习专题突破讲义专题三 数列推理与证明 第3讲推理与...不等式、解析几何等综 合命题.2.归纳推理和类比推理等主要是和数列不等式等...

专题七 数列、推理与证明

专题三 数列不等式及推... 22页 5财富值 2012高考二轮复习资料... ...专题七【真题感悟】 数列推理与证明 2013.3 1.( 2012 浙江)设 S n 是公差...