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高考数学分类汇编第一章 集合、指数函数与对数函数


第一章
考试内容:

集合、指数函数与对数函数

集合.子集、交集、并集、补集. 逻辑联结词。四种命题。充要条件。 映射.函数(函数的记号、定义域、值域). 函数的单调性.(函数的奇偶性) 反函数.互为反函数的函数图象间的关系. 指数概念的扩充。有理指数幂的运算性质。指数函数。对数。对数的运算性质。对数函数。函 数的应用举例。实习

作业。 二次函数. 考试要求: (1)理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义,了解属于、包含、相 等关系的意义,能掌握有关的术语和符号,能正确地表示一些较简单的集合. (2)理解逻辑逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义;理解四种命题及其相互关系;掌握 充要条件的意义。 (3)了解映射的概念,在此基础上理解函数及其有关的概念掌握互为反函数的函数图象间的关 系. (3)理解函数的单调性的概念,并能判断一些简单函数的单调性的方法。 (4)了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简单的反函数。 (5)理解对数的概念,掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图象和性质。 (6)理解分数指数的概念,掌握有理指数幂的运算性质;掌握指数函数的概念、图象和性质。 (7)能够运用函数的性质、指数函数、对数函数的性质解决某些简单的实际问题。 (8)实习作业以函数应用为内容,培养学生应用函数知识解决实际问题的能力。

1985 年——2002 年高考试题回顾 一、选择题
1.在下面给出的函数中, 哪一个既是区间(0,? )上的增函数, 又是以π 为周期的偶函数(85(3)3
2

分) A.y=x2 B.y=|sinx| C.y=cos2x D.y=esin2x -x 2.函数 y=(0.2) +1 的反函数是(86(2)3 分) A.y=log5x+1 B.y=logx5+1 C.y=log5(x-1) D.y=log5x-1 2 3.在下列各图中,y=ax +bx 与 y=ax+b 的图象只可能是(86(9)3 分) A. B. C. D. y y y y 0 x 0 0 x x x 0

4.设 S,T 是两个非空集合,且 S ? T,T ? S,令 X=S∩T,那么 S∪X=(87(1)3 分) A.X B.T C.Φ D.S 5.在区间(-∞,0)上为增函数的是(87(5)3 分) A.y=-log0.5(-x) B.y= x
1? x

C.y=-(x+1)2

D.y=1+x2

6.集合{1,2,3}的子集总共有(88(3)3 分) A.7 个 B.8 个 C.6 个 D.5 个 7.如果全集 I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},则 M ? N =(89(1)3 分) A.φ B.{d} C.{a,c} D.{b,e} 8.与函数 y=x 有相同图象的一个函数是(89(2)3 分) A.y= x B.y= x
2

C.y=a

log a x

x

(a>0 且 a≠1) D.y=log a a x (a>0 且 a≠1)

9.已知 f(x)=8+2x-x2,如果 g(x)=f(2-x2),那么 g(x)(89(11)3 分) A.在区间(-1,0)上是减函数 B.在区间(0,1)上是减函数 C.在区间(-2,0)上是增函数 D.在区间(0,2)上是增函数 10.设全集 I={(x,y)|x,y∈R},M={(x,y)| y ? 3 =1},N={(x,y)|y≠x+1},则 M ? N =
x?2

(90(9)3 分) A.φ

B.{(2,3)}
2 2

C.(2,3)

D.{(x,y)|y=x+1}

11.如果实数 x,y 满足等式(x-2) +y =3,那么 y 的最大值是(90(10)3 分) x 1 3 A. B. C. 3 D. 3 2 3 2 12.函数 f(x)和 g(x)的定义域为 R, “f(x)和 g(x)均为奇函数” “f(x)与 g(x)的积为偶函数” 是 的(90 上海) A.必要条件但非充分条件 B.充分条件但非必要条件 C.充分必要条件 D.非充分条件也非必要条件 13.如果 loga2>logb2>0,那么(90 广东) A.1<a<b B.1<b<a C.0<a<b<1 D.0<b<a<1 14.如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为 5,那么 f(x)在区间[-7,-3]上是 (91(13)3 分) A.增函数且最小值为-5 B.增函数且最大值为-5 C.减函数且最小值为-5 D.减函数且最大值为-5

15.设全集为 R,f(x)=sinx,g(x)=cosx,M={x|f(x)≠0},N={x|g(x)≠0},那么集合 {x|f(x)g(x)=0}等于 A. M ? N B. M ∪N C. M ∪N D. M ? N 16. log8 9 等于(92(1)3 分)
log 2 3

A. 2
3

B.1

C. 3
2

D.2

x ?x 17.函数 y= e ? e 的反函数(92(16)3 分)

2

A.是奇函数,它在(0,+∞)上是减函数 B.是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数 C.是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数 D.是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数 2 18.如果函数 f(x)=x +bx+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t),那么(92(17)3 分) A.f(2)<f(1)<f(4) B.f(1)<f(2)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1) D.f(4)<f(2)<f(1) 19.F(x)=[1+
2 ]f(x),(x≠0)是偶函数,且 f(x)不恒等于 0,则 f(x)(93(8)3 分) 2x ?1

A.是奇函数 B.是偶函数 C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数 20.设 a,b,c 都是正数,且 3a=4b=6c,那么(93(16)3 分) A. 1 ? 1 ? 1
c a b

B. 2 ? 2 ? 1
c a

b

C. 1 ? 2 ? 2
c a b

D. 2 ? 1 ? 2
c a b

21.设全集 I={0,1,2,3,4},集合 A={0,1,2,3},集合 B={2,3,4},则 A ? B =(94(1)4 分) A.{0} B.{0,1} C.{0,1,4} D.(0,1,2,3,4} 22.设函数 f(x)=1- 1 ? x 2 (-1≤x≤0),则函数 y=f-1(x)的图象是(94(12)5 分) A. y B. y 1 C. y D. y 1 1 x 1 O x -1 -1 -1 O x O 1 x 23.定义在 R 上的任意函数 f(x)都可以表示成一个奇函数 g(x)与一个偶函数 h(x)之和, 如果 f(x) =lg(10x+1),x∈R,那么(94(15)5 分) A.g(x)=x,h(x)=lg(10x+10-x+1) C.g(x)= x ,h(x)=lg(10x+1)- x 2 2
x x B.g(x)= lg(10 ? 1) ? x ,h(x)= lg(10 ? 1) ? x

2 2 lg(10 x ? 1) ? x x D.g(x)=- ,h(x)= 2 2

24.当 a>1 时,函数 y=logax 和 y=(1-a)x 的图像只可能是(94 上海) A. y B. y C. y D. 0 1 x 0 1 x 0 1 x

y 0 1 x

25.如果 0<a<1,那么下列不等式中正确的是(94 上海)

1

1

A.(1-a) 3 >(1-a) 2 B.log(1-a)(1+a)>0 C.(1-a)3>(1+a)2 26.已知 I 为全集,集合 M,N?I,若 M∩N=N,则(95(1)4 分) A. M ? N B. M ?N C. M ? N 27.函数 y=- 1 的图象是(95(2)4 分)
x ?1

D.(1-a)1+a>1 D. M ?N

A. O

y 1 x

B. -1

y O x

C. O

y 1 x

D. -1 O

y x

28.已知 y=loga(2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是(95(11)5 分) A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞) 29.已知全集 I=N,集合 A={x|x=2n,n∈N},B={x|x=4n,n∈N},则(96(1)4 分) A.I=A∪B B.I= A ∪B C.I=A∪ B D.I= A ? B -x 30.当 a>1 时,同一直角坐标系中,函数 y=a ,y=logax 的图象是(96(2)4 分) A. y B. y C. y D. y 1 O 1 x 1 O 1 x 1 O 1 x 1 O 1 x )

31.设 f(x)是(-∞, ∞)上的奇函数, f(x+2)=-f(x), 0≤x≤1, 当 f(x)=x, f(7.5)=( 则 (96(15)5 分) A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5 32.如果 loga3>logb3>0,那么 a、b 间的关系为(96 上海) A.0<a<b<1 B.1<a<b C.0<b<a<1 D.1<b<a
?b? 33.在下列图像中,二次函数 y=ax +bx 与指数函数 y= ? ? 的图像只可能是(96 上海) ?a?
2
x

A.

B.

C. . -1

D. . 1

-1.

1.

34.设集合 M={x|0≤x<2},集合 N={x|x2-2x-3<0},集合 M∩N=(97(1)4 分) A.{x|0≤x<1} B.{x|0≤x<2} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0≤x≤2} 35.将 y=2x 的图象 A.先向左平行移动 1 个单位 B.先向右平行移动 1 个单位 C.先向上平行移动 1 个单位 D.先向下平行移动 1 个单位 再作关于直线 y=x 对称的图象,可得到函数 y=log2(x+1)的图象.(97(7)4 分) 36.定义在区间(-∞,+∞)的奇函数 f(x)为增函数;偶函数 g(x)在区间[0,+∞)的图象与 f(x)重合.设 a>b>0,给出下列不等式:

①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) 其中成立的是(97(13)5 分) A.①与④ B.②与③ 37.函数 y=a|x|(a>1)的图像是(98(2)4 分) A. y B. y 1 o x o x

②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b) ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a) C.①与③ D.②与④

C.

y 1 o x

D.

y 1 o x

38.函数 f(x)= 1 (x≠0)的反函数 f-1(x)=(98(5)4 分) x A.x(x≠0) B. 1 (x≠0) C.-x(x≠0) x

D.- 1 (x≠0)
x

39.如图,I 是全集,M、P、S 是 I 的 3 个子集,则阴影部分所表示的集合是 I P A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S M C.(M∩P)∩ S D.(M∩P)∪ S (99(1)4 分) S 40.已知映射 f:A?B,其中集合 A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合 B 中的元素都是 A 中的元素在映射 f 下的象,且对任意的 a∈A,在 B 中和 它对应的元素是|a|,则集合 B 中的元素的个数是(99(2)4 分) A.4 B.5 C.6 D.7 41.若函数 y=f(x)的反函数是 y=g(x),f(a)=b,ab≠0,则 g(b)=(99(3)4 分) A.a B.a-1 C.b D.b-1 42.设全集 I={a,b,c,d,e},集合 M={a,c,d},N={b,d,e},那么 M ? N 是(2000 安 徽(2)4 分) A.Φ B.{d} C.{a,c} D.{b,e} 43.函数 y=lg|x|(2000 安徽(7)4 分 y A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减 C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 0 1 2 x D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 44.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如右图,则(2000 安徽 (14)5 分) A.b∈(-∞,0) B.b∈(0,1) C.b∈(1,2) D.b∈(2,+∞) 45.设集合 A 和 B 都是自然数集合 N,映射 f:A→B 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素 2n+n,则在映射 f 下,象 20 的原象是(2000⑴5 分) A.2 B.3 C.4 D.5 46.函数 y=-xcosx 的部分图象是(2000⑸5 分) y y y y

47.《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过 800 元的部分不必 纳税,超过 800 元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分别累进计算. 全月应纳税所得额 税率 不超过 500 元的部分 5% 超过 500 元至 2000 元的部分 10% 超过 2000 元至 5000 元的部分 15% ? ? 某人一月份应交纳此项税款 26.78 元,则他的当月工资、薪金所得介于(2000⑹5 分) A.800~900 元 B.900~1200 元 C.1200~1500 元 D.1500~2800 元 x 2 48.若集合 S={y|y=3 ,x∈R},T={y|y=x -1,x∈R},则 S∩T 是(2000 上海(15)4 分) A.S B.T C.Φ D.有限集

1 49.集体 M ? ? ,2,3,4,5?的子集个数是(2001 北京(1)5 分) (A)32 (B)31 (C)16
x

(D)15

53.函数 f ( x) ? a (a ? 0且a ? 1) 对于任意的实数 x, y 都有 (2001 北京(2)5 分) (A) f ( xy) ? f ( x) f ( y) (C) f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 54.函数 y ? ? 1 ? x ( x ? 1) 的反函数是 (A) y ? x ? 1(?1 ? x ? 0)
2

(B) f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) (D) f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) (2001 北京(4)5 分) (B) y ? x ? 1(0 ? x ? 1)
2

(C) y ? 1 ? x ( x ? 0)
2

(D) y ? 1 ? x (0 ? x ? 1)
2

55.已知 f ( x ) ? log 2 x ,那么 f (8) 等于
6

(2001 北京(7)5 分) (D)

(A)

4 3
? ?

(B)8

(C)18

1 2

56.若定义在区间(-1,0)内的函数 f(x)=log2a(x+1)满足 f(x)>0,则 a 的取值范围是() A.(0,1/2) B. ? 0,

1 2

?

C.(1/2,+∞)

D.(9,+ ∞) (2001(4)5 分)

57.设 f(x),g(x)都是单调函数,则下列命题正确的是: (2001(10)5 分) ①f(x)单调递增,g(x)单调递增,则 f(x)—g(x)单调递增; ②f(x)单调递增,g(x)单调递减,则 f(x)—g(x)单调递增; ③f(x)单调递减,g(x)单调递增,则 f(x)—g(x)单调递减; ④f(x)单调递减,g(x)单调递减,则 f(x)—g(x)单调递减; A.①③ B。①④ C。②③ D。②④ 58.函数 y ? x ? bx ? c ( ? [0,??) )是单调函数的充要条件是
2

(2002(9)5 分)

(A) b ? 0 59.函数 y ? 1 ?

(B) b ? 0

(C) b ? 0 (2002(10)5 分)

(D) b ? 0

1 的图象是 x ?1

二、填空题
1. 设函数 f(x)的定义域是[0,1],则函数 f(x2)的定义域为________.(85(10)4 分) 2. 已知圆的方程为 x2+(y-2)2=9,用平行于 x 轴的直线把圆分成上下两个半圆,则以上半圆 (包括端点)为图像的函数表达式为_____________(85 广东) 3. 方程 25x
2

? x ? 0.5

? 4 5 的解是__________.(86(11)4 分)

4. 函数 y= e x ? 1 的反函数的定义域是__________.(89(15)4 分)
x

e ?1

5. 函数 y= x 2 ? 49 的值域为_______________(89 广东) 6. 设含有 10 个元素的集合的全部子集数为 S,其中由 3 个元素组成的子集数为 T,则 T 的值为
S

__________.(92(21)3 分) 7. 已 知 函 数 y = f(x) 的 反 函 数 为 f - 1(x) = x - 1(x ≥ 0) , 那 么 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 _________(92 上海) 8. 设 f(x)=4x-2x+1(x≥0),f-1(0)=_________.(93(23)3 分) 注:原题中无条件 x≥0,此时 f(x)不存在反函数. 9. 在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得 n 次测量分别得到 a1,a2,?an,共 n 个数据,我们规定所测物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量:与其它近似值比较,a 与 各数据的差的平方和最小,依此规定,从 a1,a2,?an 推出的 a=_______.(94(20)4 分) 10. 1992 年底世界人口达到 54.8 亿,若人口的年平均增长率为 x%,2000 年底世界人口数为 y(亿),那么 y 与 x 的关系式为___________(96 上海) 11. 函数 y=
1 log 1 (2 ? x)
2

的定义域为____________(96 上海)
a ,则 a=______(98 上海) 2

12. 函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 13. 函数 y=log 2

2x ? 1 的定义域为____________(2000 上海(2)4 分) 3? x

14. 已知 f(x)=2x+b 的反函数为 y=f-1(x),若 y=f-1(x)的图像经过点 Q(5,2),则 b= _______(2000 上海(5)4 分) 15. 根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告,1999 年 y 上海市完成 GDP(GDP 是指国内生产总值)4035 亿元,2000 年上海 2 A 市 GDP 预期增长 9%,市委、市政府提出本市常住人口每年的自然 增长率将控制在 0.08%,若 GDP 与人口均按这样的速度增长,则 1 B 要使本市人均 GDP 达到或超过 1999 年的 2 倍, 至少需要_________ 年(2000 上海(6)4 分) 0 1 2 x (按:1999 年本市常住人口总数约 1300 万) 16. 设函数 y=f(x)是最小正周期为 2 的偶函数,它在区间[0,1] 上的图像为如图所示的线段 AB,

则在区间[1,2]上,f(x)=_____(2000 上海(8)4 分) 20.函数 y ? a 在 [0,1] 上的最大值与最小值这和为 3,则 a =
x

(2002(13)4 分)

21.已知 f ( x) ?

x2 1 1 1 ,那么 f (1) ? f (2) ? f ( ) ? f (3) ? f ( ) ? f (4) ? f ( ) = 2 2 3 4 1?x
(2002(16)4 分)

22. 若全集 I=R, f(x),g(x)均为 x 的二次函数, P={x|f(x)<0}, Q={x|g(x)≥0}, 则不等式组 ?

? f ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0

的解集可用 P、Q 表示为 。(2002 上海春招(3)) 23.在空间中 ①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线; ②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线。 以上两个命题中,逆命题为真命题的是 。(把符合要求的命题序号填上) (2001 天津理(15)) 24.设集合 A={x|2lgx=lg(8x-15),x∈R},B={x|cosx/2>0,x∈R},则 A∩B 的元素个数为 。 (2001 上海理(4)) 25.设 I 是全集,非空集合 P、Q 满足 P ? Q ? I,若含 P、Q 的一个集合运算表达式,使运算 结果为空集 ? ,则这具运算表达式可以是 。(只要写出一个表达式) (2000 上海春招(12))

?

?

三、解答题
1. 设 a,b 是两个实数,A={(x,y)|x=n,y=na+b,n 是整数},B={(x,y)|x=m,y=3m2 +15,m 是整数},C={(x,y)|x2+y2≤144}是 xoy 平面内的集合,讨论是否存在 a 和 b 使得 ①A∩B≠φ ,②(a,b)∈C 同时成立.(85(17)12 分) 2. 已知集合 A 和集合 B 各含有 12 个元素,A∩B 含有 4 个元素,试求同时满足下面两个条件的 集合 C 的个数:①C?A∪B,且 C 中含有 3 个元素,②C∩A≠φ (φ 表示空集)(86(20)10 分) 3. 给定实数 a,a≠0 且 a≠1,设函数 y= x ? 1 (x∈R 且 x≠ 1 ),证明:
ax ? 1
a

①经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于 x 轴; ②这个函数的图象关于直线 y=x 成轴对称图形.(88(24)12 分) 4. 已知 a>0 且 a≠1,试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围.(89(22)12 分) 5. 设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的函数,对 k∈Z,用 Ik 表示区间(2k-1,2k+1],已知当 x∈I0 时,f(x)=x2.(89(24)10 分) ①求 f(x)在 Ik 上的解析表达式; ②对自然数 k,求集合 Mk={a|使方程 f(x)=ax 在 Ik 上有两个不相等的实根}
x x x 6. 设 f(x)=lg 1 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n a ,其中 a 是实数,n 是任意给定的自然数,且 n≥2.

n

①如果 f(x)当 x∈(-∞,1]时有意义,求 a 的取值范围; ②如果 a∈(0,1],证明 2f(x)<f(2x)当 x≠0 时成立.(90(24)10 分) 7. 根据函数单调性的定义,证明函数 f(x)=-x3+1 在 R 上是减函数.(91(24)10 分) 8. 已知函数 f(x)=
2 x ?1 (91 三南) 2x ?1

⑴证明:f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;
n n ?1 9. 某地为促进淡水鱼养殖业的发展, 将价格控制在适当范围内, 决定对淡水鱼养殖提供政府补 贴,设淡水鱼的市场价格为 x 元/千克,政府补贴为 t 元/千克,根据市场调查,当 8≤x≤14 时,淡水鱼的市场日供应量 P 千克与市场日需求量 Q 千克近似地满足关系: P=1000(x+t-8) (x≥8,t≥0) Q=500 40 ? (x ? 8)2 (8≤x≤14)

⑵证明:对不小于 3 的自然数 n 都有 f(n)>

当 P=Q 时的市场价格称为市场平衡价格. ①将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域; ②为使市场平衡价格不高于每千克 10 元,政府补贴至少为每千克多少元?(95(25)12 分) t2 t 10.已知二次函数 y=f(x)在 x= +1 处取得最小值- (t>0),f(1)=0(95 上海) 4 2 ⑴求 y=f(x)的表达式; ⑵若任意实数 x 都满足等式 f(x)g(x)+anx+bn=xn+1(其中 g(x)为多项式,n∈N),试用 t 表 示 an 和 bn; ⑶设圆 Cn 的方程为:(x-an)2+(y-bn)2=rn2,圆 Cn 与圆 Cn+1 外切(n=1,2,3?),{rn}是各项 都为正数的等比数列,记 Sn 为前 n 个圆的面积之和,求 rn 和 Sn. 11.设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0), 方程 f(x)-x=0 的两个根 x1, 2 满足 0<x1<x2< 1 . x
a

Ⅰ.当 x∈(0,x1)时,证明 x<f(x)<x1; Ⅱ.设函数 f(x)的图象关于直线 x=x0 对称,证明:x0< x1 .(97(24)12 分)
2

12.设函数 f(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)>f(b),证明:ab<1(2000 安徽(21)12 分)
? ? 1? ? f 1 ?x ?, x ? ?0, ? 1 ? ? 2? 13.已知函数 f(x)= ? 其中 f1(x)=-2(x- )2+1,f2(x)=-2x+2.(2000 安徽 2 ?1 ? ? f ?x ?, x ? ,1 ?2 ? ? 2 ? ? ?

(24)14 分) (I)在下面坐标系上画出 y=f(x)的图象; 1 (II)设 y=f2(x)(x∈[ ,1])的反函数为 y=g(x),a1 =1,a2 = 2 g(a1),??,an=g(an-1),求数列{an}的通项公式,并求 lim a n ;
n ??

(III)若 x0∈[0,

1 ),x1=f(x0),f(x1)=x0,求 x0. 2

14.某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的 300 天内,西红柿市场售价 与上市时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛 物线段表示.(2000(21)12 分) ⑴写出图一表示的市场售价与时间的函数关系 P=f(t); 写出图二表示的种植成 本与时间的函数关系式 Q=g(t); ⑵认定市场售价减去种 植成本为纯收益,问何 时上市的西红柿纯收益 最大? (注:市场售价和种植成 本的单位:元/10kg,时 间单位:天) 15.已知函数:f(x)= ⑴当 a=
x 2 ? 2x ? a ,x∈[1,+∞)(2000 上海(19)6+8=14 分) x

1 时,求函数 f(x)的最小值; 2 ⑵若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围

16.设函数 f ( x) ?

x?a (a ? b ? 0) ,求 f (x) 的单调区间,并证明 f (x) 在其单调区间上的单 x?b

调性.(2001 北京(18)12 分) 17.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,其图像关于直线 x=1 对称,对任意 x1,x2∈[0,1/2],都有 f(x1)+f(x2)=f(x1)· 2),且 f(1)=a>0。 f(x (1) 求 f(1/2)及 f(1/4); (2) 证明 f(x)是周期函数;

1 ? ? ,求 lim (ln an) 。 (2001(22)14 分) 2n ? n?? 2 21.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? | x ? a | ?1 , x ? R (1)讨论 f (x) 的奇偶性; (2)求 f (x) 的最小值。 (2002(21)12 分) ? 2x ? 1 ? 22、设集合 A={x| |x-a|<2},B= ? x | ? 1? 若 A ? B,求实数 a 的取值范围。 ? x?2 ?
(3) 记 an= f ? 2n ? (1999 上海(文理)17) 23.已知 a>0,函数 f(x)=ax-bx . (1)当 b>0 时,若对任意 x∈R 都有 f(x)≤1,证明 a≤2 b ; (2)当 b>1 时,证明:对任意 x∈[0,1],|f(x)|≤1 的充要条件是 b-1≤a≤2 b ; (3)当 0<b≤1 时,讨论:对任意 x∈[0,1],|f(x)|≤1 的充要条件。 (2002 河南、广东、广西(22)) 24.对于函数 f(x),若存在 x0 ∈R,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x)的不动点。已知函数 f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1) (a≠0)。
2

? ?

(1)当 a=1,b=-2 时,求函数 f(x)的不动点; (2)若对任意实数 b,函数 f(x)恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y=f(x)图象上 A、B 两点的横坐标是函数 f(x)的不动点,且 A、 B 两点关于直线 y=kx+1/(2a2+1)对称,求 b 的最小值。 (2002 上海春招(22)) 25.设 a>0, f ?x ? ?

ex a 是 R 上的偶函数。 ? a ex
(2001 天津理(19))

(1)求 a 的值; (2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数。


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