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2012年新课标版高考题库考点53 坐标系与参数方程


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考点 53 坐标系与参数方程
一、填空题 1.(2012·湖北高考理科·T16)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系,已知射线 ? ? 与曲线 ?
? 4
? x

=t ? 1, ? y=(t ? 1)
2

(t 为参数)相交

于 A,B 两点,则线段 AB 的中点的直角坐标为_________. 【解题指南】本题考查极坐标的意义与参数方程,可转化为直线与抛物线的交点 问题,再利用中点坐标公式求解. 【解析】曲线 ?
? x=t ? 1, ? y=(t ? 1)
2

2 ? 可化为: y ? ( x ? 2) ,射线 ? ? 可化为 y ? x( x ? 0) ,联立这两

4

2 个方程得: x ? 5x ? 4 ? 0 ,点 A,B 的横坐标就是此方程的根, 线段 AB 的中点的直角

5 5 ( , ) 坐标为 2 2 . 5 5 ( , ) 【答案】 2 2

2.(2012·广东高考文科·T14)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参
? 2 t ?x ? 1? ? 2 ? ? ? x ? 5 cos ? ? ?y ? ? 2 t ? 0 ?? ? ) ? 2 ? y ? 5 sin ? ( ? 为参数, 2 和? 数方程分别为 ? (t 为参数) ,则曲

线 C1 和 C2 的交点坐标为

.

【解题指南】解决本题需把 C1 的方程化成普通方程之后,再把 C2 中的点的坐标 代入 C1 方程,可求出 t,进而可确定交点坐标.
-1-

【解析】把 C1 的方程化成普通方程为
x ? y ? 5( x ? 0, y ? 0) ,
2 2

? (1 ?

2 2 2 2 t ) ? (? t ) ? 5,? t 2 ? 2t ? 4 ? 0, t ? 2 2(舍), t ? ? 2 2 2 ,两

曲线的交点坐标为 (2,1) . 【答案】 (2,1) 3.(2012·广东高考理科·T14)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参
? ? ? x ? 2 cos ? ?x ? t (? 为参数) (t为参数) ? ? y? t y ? 2 sin ? ? ? ? ? 数方程分别为 和 ,则曲线

C1 与 C2 的交点坐标为

_______. 【解题指南】解决本题显然把 C2 的方程化成普通方程之后,再把 C1 中点的坐标 代入 C2 方程,可求出 t,进而可确定交点坐标.
2 2 【解析】把 C2 的方程化成普通方程为 x ? y ? 2 ,? t 2 ? ( t )2 ? 2,? t1 ? 1, t2 ? ?2(舍),?两

曲线的交点坐标为 (1,1) . 【答案】(1,1) 4.(2012·湖南高考文科·T10)在极坐标系中,曲线 C1 : ? ( 2 cos ? ? sin ? ) ? 1 与 曲线 C2 : ? ? a (a ? 0) 的一个交点在极轴上,则 a=_______. 【解题指南】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程,直线与圆的位置 关系,考查转化的思想、方程的思想,考查运算能力;题型年年有,难度适中. 把曲线 C1 与曲线 C2 的极坐标方程都转化为直角坐标方程,求出与 x 轴的交点,即 得.极轴上的点对应的角 ? ? 2k?(k ? Z) ,所以可以取 ? ? 0 ,进行求解. 【解析】曲线 C1 的直角坐标方程是 2 x ? y ? 1 ,曲线 C2 的直角坐标方程是
x 2 ? y 2 ? a 2 ,因为曲线 C :? ( 2 cos ? ? sin ? ) ? 1 与曲线 C :? ? a (a ? 0) 的一个交点在 1 2 C1
y ? 0, x ? 2 2 2 ,知 a = 2 .

极轴上,所以

与 x 轴交点横坐标与 a 值相等,由
-2-

【答案】

2 2

5.(2012·北京高考理科·T9)直线

?x ? 2 ? t ? ? y ? ?1 ? t

错误!未找到引用源。(t 为参数)

s ?x ? 3 c o? ? ? 错误!未找到引用源。 (α 为任意实数)的交点个数 与 曲 线 ?y ? 3 s i n



.

【解题指南】消参后,得到直线与圆的普通方程,利用圆心到直线的距离与半 径的关系判断直线与圆的位置关系.
2 2 【解析】消参后,直线为 x ? y ? 1,曲线为圆 x ? y ? 9 .圆心(0,0)到直线的距

2 离为 2 ,小于半径 3,所以直线与圆相交,因此,交点个数为 2 个.

【答案】2 6.(2012·陕西高考理科·T15)直线 2? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2cos ? 相交的弦 长为 .

【解题指南】解方程组求出交点的坐标,再求弦长;或先化为普通方程,再求弦 长.
? ?1 ? 1 ? ?2 ? cos? ? 1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? 2cos ? 【解析】解方程组 ? 得? 3 ? ?1 ? ?1 ? ? 2? ?2 ? ? 3 或?

,所求弦长为 2 ?1? sin60? ? 3 .

【答案】 3 7.(2012·湖南高考理科·T9)在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1: ? (t 为参数)与曲线 C2 : ? 则 a= .
?x ? t ? 1 ? y ? 1 ? 2t

? x ? a sin ? ? ( 为参数,a>0 ) 有一个公共点在 X 轴上, ? y ? 3cos ?

【解题指南】x 轴上的点的纵坐标为 0,以此为突破口,逐步解出 a 的值.
-3-

【解析】由 y=0 知 1-2t=0,t= ,
3cos ?=0, ? ? ? 3 3 3 ? k ?(k ? Z),sin ? ? ?1, x ? t ? 1 ? ,? ? ? a, 又a ? 0,? a ? . 2 2 2 2

1 2

【答案】

3 2

8. ( 2012 ·安徽高考理科·T 13 )在极坐标系中,圆 ? ? 4sin ? 的圆心到直线
?? ?
6 ( ? ? R)

的距离是

.

【解题指南】将极坐标转化为普通方程再求解.
?? ? 4sin 4sin? ?? ?x x22 ? ?((y y? ?2) 2)22 ? ?4 4 的圆心为 C (0, 2) , 【解析】圆? 即
l :? ?

?
6

直线

( ? ? R) ? x ? 3 y ? 0

0?2 3



;点 C 到直线 l 的距离是

2

? 3

.

【答案】 3 9.(2012·江西高考理科·T15)曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0,以原 点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 ___________. 【解题指南】通过极坐标的定义建立曲线 C 的参数方程,将其代入直角坐标方 程,化简整理可得极坐标方程.
? x ? ? cos ? ? 【解析】设曲线 C 的参数方程为 ? y ? ? sin ? ,代入直角坐标方程可得

? 2 cos2 ? ? ? 2 sin 2 ? ? 2? cos ? ? 0 ,化简整理得 ? ? 2cos ? .

【答案】 ? ? 2cos ?
? x ? 2 pt 2 , 10. (2012· 天津高考理科· T12) 已知抛物线的参数方程为 ? ( t 为参数) , ? y ? 2 pt.

其中 p>0,焦点为 F,准线为 l ,过抛物线上一点 M 作 l 的垂线,垂足为 E,若 |EF|=|MF|,点 M 的横坐标为 3,则 p =________. 【解题指南】将抛物线的参数方程化为普通方程,求出焦点坐标,根据抛物线
-4-

定义结合解三角形即可求得 p 值. 【解析】 ?
? x ? 2 pt 2
p ? y 2 ? 2 px ,焦点 F ,过点 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N, ( ,0) 2 ? y ? 2 pt

由 题 意 可 知 , ?MEF

是 正 三 角 形 , 所 以 ?MFN =600 , 在 R t 中, ? MFN

1 p p 1 p FN = MF cos 600 = (3 + ) ,? 3- ? (3 ? ) ? p ? 2. 2 2 2 2 2 .

【答案】2 二、解答题 11.(2012·新课标全国高考文科·T23)与(2012·新课标全国高考理科· T23)相同
?x ? 2cos? (?为参数) ? y ? 3sin? C ? 1 已知曲线 的参数方程是 ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴

为极轴建立坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上,且 A, B, C, D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (1)求点 A, B, C, D 的直角坐标.
PA ? PB ? PC ? PD (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 的取值范围.
2 2 2 2

(2, ) 3 .

?

【解题指南】 (1)利用极坐标的定义求得 A,B,C,D 的坐标. (2)由 C1 方程的参数式表示出|PA|2+ |PB|2 + |PC|2+ |PD|2 关于 ? 的函数式, 利用函数的知识求取值范围. 【解析】 (1)由已知可得
? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? A ? 2 cos , 2sin ? , B ? 2 cos ? ? ? , 2sin ? ? ? ? 3 3? ? ? ?3 2? ? 3 2 ?? ,
? ?? ? ?? ?? ? ? ? 3? ? ? ? 3? ? ? C ? 2 cos ? ? ? ? , 2sin ? ? ? ? ? , D ? 2 cos ? ? ? , 2sin ? ? ?? ?3 ? ?3 ?? ? ?3 2 ? ? 3 2 ?? , ?



A 1, 3 , B ? 3,1 , C ?1, ? 3 , D

?

? ?

? ?

? ?

3, ?1

?.

-5-

(2)设

P ? 2 cos ? ,3sin ? ? ,



S ? PA ? PB ? PC ? PD

2

2

2

2

,则

S ? 16cos2 ? ? 36sin 2 ? ? 16 ? 32 ? 20sin 2 ? .
2 32,52 ? 因为 0 ? sin ? ? 1, 所以 S 的取值范围是 ? .

12.(2012·辽宁高考文科·T23)与(2012·辽宁高考理科·T23)相同
2 2 2 2 在直角坐标系 xOy 中,圆 C1 : x ? y ? 4 ,圆 C2 : ( x ? 2) ? y ? 4 .

(1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1 , C2 的极坐 标方程,并求出圆 C1 , C2 的交点坐标(用极坐标表示). (2)求圆 C1与C2 的公共弦的参数方程. 【解题指南】将直角坐标方程化为极坐标方程,联立,求得交点极坐标. 【解析】(1)圆 C1 的极坐标方程为 ? ? 2 ;圆 C2 的极坐标方程为 ? ? 4cos? ;
?? ? 2 ? 联立方程组 ? ? ? 4 cos ?

,解得

? ? 2,? ? ?

?
3

.故圆 C1 , C2 的交点极坐标为

(2, ), (2, ? ) 3 3 .

?

?

(2)由

? ? 2,? ? ?

?

? x ? ? cos ? ? 3 ,及 ? y ? ? s in?

? ?x ? 1 ? ? x ? 1, ?y ? 3 , ? 得? ? ? ? y ? ? 3,

圆 C1 , C2 的交点直角坐标为 (1,

3),(1, ? 3)

.
(? 3 ? t ? 3) .

故圆 C1 , C2 的公共弦的参数方程为 ? ?

x ?1

?y ? t

13.(2012·福建高考理科·T21)在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l 上两点 M , N 的极坐标分别为
? ? x ? 2 ? 2 cos ? 2 3 ? ? , ) (2, 0), 3 2 ,圆 C 的参数方程 ? ? y ? ? 3 ? 2sin ? ( ? 为参数).

(

(1) 设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程. (2) 判断直线 l 与圆 C 的位置关系. 【解析】 (1)由题意知,M,N 的平面直角坐标分别为 (2, 0) ,
-6-

(0,

2 3 ) 3 ,

又点 P 为线段 MN 的中点,从而点 P 的平面直角坐标为 故直线 OP 的平面直角坐标方程为
y? 3 x 3 .

(1,

3 ) 3 ,

(2)因为直线 l 上两点 M,N 的平面直角坐标分别为 (2, 0) , 所以直线 l 的平面直角坐标方程为 3x ? 3 y ? 2 3 ? 0 . 又圆 C 的圆心坐标为 (2, ? 3) ,半径 r ? 2 , ∴圆心到直线 l 的距离为 ∴直线 l 和圆 C 相交.
d? | 2 3 ?3 3 ?2 3 | 3 ? ?r 2 3?9 ,

(0,

2 3 ) 3 ,

14.(2012·江苏高考·T21)在极坐标系中,已知圆 C 经过点 为直线
? sin ? ?

P

?

2,

? 4

? ,圆心

?

? 3 ?? 3 2 与极轴的交点,求圆

?

C 的极坐标方程.

? sin ? ? ? ? ? ? 3? 2 ? C 【解析】∵圆 圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 3? 2 ? ∴在
? ?? 3

?

??

3

与极轴的交点,

中令 ? =0 ,得 ? ? 1.

∴圆 C 的圆心坐标为(1,0). ∵圆 C 经过点
P

?

2,

? 4

? ,∴圆 C 的半径为 PC ? ? 2 ?

2

? 12 ? 2 ? 1? 2 cos

?
4

=1

.

∴圆 C 经过极点,∴圆 C 的极坐标方程为 ? =2cos? .

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-7-


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