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2014届高三一轮数学(理)复习第71讲相似三角形的判定与性质


第71讲 相似三角形的判定与性质

1.如图,l1∥l2∥l3,那么下列结论中错误的是( B ) A.由 AB=BC,可得 FG=GH B.由 AB=BC 可得 OB=OG C.由 CE=2CD 可得 CA=2BC 1 D.由 GH= FH 可得 CD=DE 2

解析: 由于 OB、 不是一条直线被平行线截得的线段, OG 可知 B 选项不正确,故选 B.

2.(改编)如图,在直角梯形 ABCD 中,DC∥AB,CB a ⊥AB,AB=AD=a,CD= ,点 E,F 分别在线段 AB,AD 2 上,且 AD=3AF,AB=3AE,则 EF= .

解析:取 AB 的中点 G,连接 DG,DB,则 3 BC=DG= AD -AG = a, 2
2 2

于是 BD= CD2+BC2=a, 于是由 AD=3AF,AB=3AE,知△AEF∽△ABD, 1 a 于是 EF= BD= . 3 3

5 3. (改编)已知△ABC∽△DBE, 且相似比为 , 若△ABC 3 与△DBE 的周长之差为 10 cm,则△ABC 的周长为( D ) A.20 cm 50 C. cm 3 25 B. cm 4 D.25 cm

解析:由△ABC∽△DBE, C△ABC 5 C△ABC 5 知 = ,即 = , C△BDE 3 C△ABC-10 3 解得 C△ABC=25 cm,故选 D.

4.如图,平行四边形 ABCD 中,已知 AE∶EB=1∶2, △AEF 的面积为 6,则△CDF 的面积为( D ) A.12 C.18 B.24 D.54

解析:由题设,AE∶EB=1∶2, 所以 AE∶AB=1∶3,所以 AE∶CD=1∶3. S△AEF AE2 1 又 AE∥CD, 所以△AEF∽△CDF, 所以 = 2= , S△CDF CD 9 所以 S△CDF=9S△AEF=54,故选 D.

5.如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于 D,AB2=BD· BC, 则∠BAC= .

BC AB 解析:由 AB =BD· BC,得 = , AB BD
2

从而△ABD∽△CBA,则∠ADB=∠BAC=90° .



平行线等分线段成比例定理及应用
【例 1】如图,在?ABCD 中,H,E 分别是 AD,AB

的延长线上一点,HE 交 DC 于 K,交 AC 于 G,交 BC 于 F. 求证:GH· GK=GE· GF.

GH GE 证明:要证 GH· GK=GE· GF,即证 = . GF GK GH AG 由 AD∥BC,得 = ; GF CG GE AG 由 AB∥CD,得 = , GK CG GH GE 故 = . GF GK

【拓展演练 1】 如图,已知 AB∥CD∥EF,AB=3,CD=5,AE∶EC =2∶3,则 EF= .

解析:如图,过点 F 作 FH∥EC,分别交 BA,DC 的 延长线于点 G,H. 由 EF∥AB∥CD 及 FH∥EC, 知 AG=CH=EF, FG=AE,FH=EC, 从而 FG∶FH=AE∶EC=2∶3, 由 BG∥DH,知 BG∶DH=FG∶FH=2∶3, 设 EF=x,则得(x+3)∶(x+5)=2∶3,解得 x=1.



直角三角形射影定理及应用
【例 2】已知,如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AC

⊥BD,垂足为 E,∠ABC=45° ,过 E 作 AD 的垂线交 AD 于 F,交 BC 于 G,过 E 作 AD 的平行线交 AB 于 H. 求证:FG2=AF· DF+BG· CG+AH· BH.

分析:由射影定理可知 AF· DF=EF2,BG· CG=EG2, 故考虑将 FG=FE+EG,然后只需寻找 EF· 与 AH· EG BH 的关系.

证明:因为 AC⊥BD,故△AED、 △BEC 都是直角三角形. 又 EF⊥AD,EG⊥BC,由射影定 理可知 AF· DF=EF2, BG· CG=EG2.

又 FG2=(FE+EG)2=FE2+EG2+2FE· EG=AF· DF+ BG· CG+2FE· EG, 因为∠ABC=45° ,分别过点 A,H 作直线与 BC 垂直, 易知,AH= 2FE,BH= 2EG, 故 AH· BH=2EF· EG. 所以 FG2=AF· DF+BG· CG+2FE· EG =AF· DF+BG· CG+AH· BH.

【拓展演练 2】 如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于 D,DE⊥AB 于 E,DF ⊥AC 于 F,若 AE∶AF=3∶4,则 AC∶AB= .

解析: AD⊥BC 可知△ABD 和△ADC 均为直角三角 由 形.在 Rt△ABD 中,由射影定理可得 AD2=AE· AB. 同理,AD2=AF· AC,则 AE· AB=AF· AC, AC AE 3 因此 = = . AB AF 4



三角形相似的判定与性质的应用
【例 3】在△ABC 中,已知∠B=∠C=2∠A,AB=4,

求 AB· BC+BC2 的值.

解析:如图,延长 BC 到点 D,使 AB=CD,连接 AD. 因为∠B=∠ACB, 所以 AB=AC. 又 AB=CD,所以 AC=CD, 1 所以∠D= ∠ACB=∠BAC, 2 AB BC 又∠B=∠B,所以△ABC∽△DBA,所以 = . BD AB 所以 AB2=BC· BD=BC(BC+CD)=BC2+AB· BC=42 =16.

【拓展演练 3】 (2012· 江苏部分重点中学第二次联考)如图,△ABC 中, 1 1 AB=AC,∠BAC=90° ,AE= AC,BD= AB,点 F 在 BC 3 3 1 上,且 CF= BC.求证: 3 (1)EF⊥BC; (2)∠ADE=∠EBC.

解析:设 AB=AC=3a,则 AE=BD=a,CF= 2a. CE 2a 2 CF 2a 2 (1) = = , = = , CB 3 2a 3 CA 3a 3 又∠C 为公共角,故△BAC∽△EFC, 由∠BAC=90° ,所以∠EFC=90° ,所以 EF⊥BC.

(2)由(1)得 EF= 2a, AE a 2 AD 2a 2 故 = = , = = , EF 2 BF 2 2a 2 2a AE AD 所以 = ,又因为∠DAE=∠BFE=90° , EF BF 所以△ADE∽△FBE,所以∠ADE=∠EBC.

1.(2011· 广东卷)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB =4,CD=2.E,F 分别为 AD,BC 上的点,且 EF=3,EF ∥AB,则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为 .

解析:因为 E,F 分别为 AD,BC 上点,且 EF=3,EF∥ AB,所以 EF 是梯形的中位线. 设两个梯形的高是 h, ?4+3?h 7 所以梯形 ABFE 的面积是 = h, 2 2 ?2+3?h 5 梯形 EFCD 的面积是 = h, 2 2 7 5 所以梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为 h∶ h=7∶5. 2 2

2.(2011· 陕西卷)如图∠B=∠D,AE⊥BC,且 AB=6,AC =4,∠ACD=90° ,AD=12,则 BE= .

解析:因为∠ACD=90° ,AD=12,AC=4, 所以 CD= AD2-AC2= 122-42=8 2, AB BE 又 Rt△ABE∽Rt△ADC,所以 = , AD DC AB×DC 6×8 2 即 BE= = =4 2. AD 12

3.(2013· 湖北卷)圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影是 CE D,点 D 在半径 OC 上的射影为 E,若 AB=3AD,则 的 OE 值为 .

解析:连接 AC,BC,因为 AB 为⊙O 的直径, 所以∠ACB=90° . 因为 CD⊥AD,DE⊥OC, CE CD2 AD· BD 所以 = 2= OE DO ?AO-AD?2 AD· ?AB-AD? = =8. 1 ? AB-AD?2 2


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