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2.2.1对数与对数运算(1)(含答案)


§2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算(一)
自主学习 1.理解对数的概念,能进行指数式与对数式的互化. 2.了解常用对数与自然对数的意义. 3.理解对数恒等式并能用于有关对数的计算. 1 . 如 果 ax = N(a>0 , 且 a≠1) , 那 么 数 x 叫 做 ______________________ , 记 作 _______________

_,其中 a 叫做________________,N 叫做________. 2.对数的性质有: (1)1 的对数为________;(2)底的对数为________;(3)零和负数________________. 3 . 通 常 将 以 10 为 底 的 对 数 叫 做 ________________ , 以 e 为 底 的 对 数 叫 做 ________________,log10N 可简记为________,logeN 简记为________________. 4.若 a>0,且 a≠1,则 ax=N________logaN=x. 5.对数恒等式:alogaN=________(a>0 且 a≠1). 对点讲练 对数式有意义的条件 【例 1】 求下列各式中 x 的取值范围: (1)log2(x-10); (2)log(x-1)(x+2); (3)log(x+1)(x-1)2.

规律方法 在解决与对数有关的问题时,一定要注意:对数真数大于零,对数的底数大 于零且不等于 1. 变式迁移 1 在 b=log(a-2)(5-a)中,实数 a 的取值范围是( ) A.a>5 或 a<2 B.2<a<5 C.2<a<3 或 3<a<5 D.3<a<4 对数式与指数式的互化 【例 2】 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式: 1?-2 1 (1)54=625; (2)log 8=-3; (3)? ?4? =16; (4)log101 000=3. 2

规律方法 指数和对数运算是一对互逆运算, 在解题过程中, 互相转化是解决相关问题 x 的重要途径.在利用 a =N?x=logaN 进行互化时,要分清各字母分别在指数式和对数式中 的位置. 变式迁移 2 将下列对数式化为指数式求 x 值: 3 2 1 1 (1)logx27= ; (2)log2x=- ; (3)log5(log2x)=0; (4)x=log27 ; (5)x=log 16. 2 3 9 2

对数恒等式的应用 【例 3】 计算: (1)71+log75; 1 (2)4 (log29-log25). 2

1 变式迁移 3 计算:3log3 5+( 3)log3 . 5

1.一般地,如果 a(a>0 且 a≠1)的 x 次幂等于 N,即 ax=N,那么 x 叫做以 a 为底 N 的 对数,记作 logaN=x,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 2.利用 ax=N?x=logaN (其中 a>0 且 a≠1,N>0)可以进行指数式与对数式的互化. 3.对数恒等式:alogaN=N(a>0 且 a≠1).

课时作业 一、选择题 1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( A.100=1 与 lg 1=0

) 1 1 1 1 B.27- = 与 log27 =- 3 3 3 3

1 1 C.9 =3 与 log3 =9 D.log55=1 与 51=5 2 2 2.指数式 b6=a (b>0,b≠1)所对应的对数式是( ) A.log6a=a B.log6b=a C.logab=6 D.logba=6 3.若 logx( 5-2)=-1,则 x 的值为( ) A. 5-2 B. 5+2 C. 5-2 或 5+2 D.2- 5 4.如果 f(10x)=x,则 f(3)等于( ) A.log310 B.lg 3 C.103 D.310 1 5.21+ · log25 的值等于( ) 2 5 5 A.2+ 5 B.2 5 C.2+ D.1+ 2 2 二、填空题 6.若 5lg x=25,则 x 的值为________. + 7.设 loga2=m,loga3=n,则 a2m n 的值为________. 2.778 2 8.已知 lg 6≈0.778 2,则 10 ≈________. 三、解答题 9.求 10lg 3-10log51+πlogπ2 的值.

10.求 x 的值: 2 (1)x=log 4; (2)x=log9 3; 2

(3)x=71-log75;

1 (4)logx8=-3; (5)log x=4. 2

§ 2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算(一)

答案
自学导引 1.以 a 为底 N 的对数 x=logaN 对数的底数 真数 2.(1)零 (2)1 (3)没有对数 3.常用对数 自然对数 lg N ln N 4.等价于 5.N 对点讲练 【例 1】 解 (1)由题意有 x-10>0,∴x>10,即为所求. ?x+2>0, ? (2)由题意有? ? ?x-1>0且x-1≠1,
? ?x>-2, 即? ∴x>1 且 x≠2. ?x>1且x≠2, ?
2 ? ??x-1? >0, ? (3)由题意有 ? ?x+1>0且x+1≠1,

解得 x>-1 且 x≠0,x≠1. 5-a>0 ? ? 变式迁移 1 C [由题意得?a-2>0 ? ?a-2≠1 ,

∴2<a<5 且 a≠3.] 【例 2】 解 (1)∵54=625,∴log5625=4. 1?-3 1 (2)∵log 8=-3,∴? ?2? =8. 2 1?-2 1 (3)∵? ?4? =16,∴log416=-2. (4)∵log101 000=3,∴103=1 000. 3 变式迁移 2 解 (1)由 logx27= , 2 3 得 x =27, 2 2 ∴x=27 =32=9. 3 2 2 (2)由 log2x=- ,得 2- =x, 3 3 ∴x= 1 3 3 = 2 . 2

22 (3)由 log5(log2x)=0,得 log2x=1, ∴x=21=2. 1 1 - (4)由 x=log27 ,得 27x= ,即 33x=3 2, 9 9 2 ∴x=- . 3 1?x 1 (5)由 x=log 16,得? ?2? =16, 2 - 即 2 x=24, ∴x=-4. 【例 3】 解 (1)原式=7· 7log75=7×5=35.

2log29 9 (2)原式=2(log29-log25)= = . 2log25 5 1 1 变式迁移 3 解 原式= 5+3 log3 2 5 11 = 5+(3log3 ) 52 1 6 5 = 5+ = . 5 5 课时作业 1.C 2.D 3.B 4.B [方法一 令 10x=t,则 x=lg t, ∴f(t)=lg t,f(3)=lg 3. 方法二 令 10x=3,则 x=lg 3, ∴f(3)=lg 3.] 1 1 1 5.B [21+ log25=2×2 log25=2×(2log5 2) 2 2 2 1 =2×5 =2 5.] 2 6.100 [∵5lg x=52,∴lg x=2, ∴x=102=100.] 7.12 解析 ∵loga2=m,loga3=n, ∴am=2,an=3, + ∴a2m n=a2m· an=(am)2· an=22×3=12. 8.600 解析 102.778 2≈102×10lg 6=600. 9.解 原式=3-10×0+2=5. 2 10.解 (1)由已知得:? ?x=4, ?2? 1 x ∴2- x=22,- =2,x=-4. 2 2 1 (2)由已知得:9x= 3,即 32x=3 . 2 1 1 ∴2x= ,x= . 2 4 7 (3)x=7÷ 7log75=7÷ 5= . 5 - (4)由已知得:x 3=8, 1?3 1 3 1 即? ? x? =2 ,x=2,x=2. 1?4 1 (5)由已知得:x=? ?2? =16.


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