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余弦定理习题(带答案)-人教A版数学高二必修五第一章1.1.2


人教 A 版 2003 数学习题必修五 第一章 11.2 第一课时

第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理 测试题
知识点:余弦定理 1. 已知△ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a, b, c.若 a=c= 6+ 2, 且 A=75°, 则 b=( A.2 C.4-2 3 B.4+2 3 D. 6- 2 ) )

2.a、b、c 是△ABC 的三边,B=60°,那么 a2-ac+c2-b2 的值( A.大于 0 C.等于 0 B.小于 0 D.不确定

3.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 c= 2,b= 6,B=120°,则 a 等于 ( ) A. 6 C. 3 B.2 D. 2 )

4.△ABC 的三边长分别为 AB=7,BC=5,CA=6,则→ AB·→ BC的值为( A.19 C.-18 B.14 D.-19

5.在△ABC 中,若(a-c)(a+c)=b(b-c),则 A=________.

6.在不等边三角形中,a 是最大的边,若 a <b +c ,则角 A 的取值范围是________. 1 7.(2012·北京高考)在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=- ,则 b=________. 4 8.已知△ABC 的顶点为 A(2,3),B(3,-2)和 C(0,0),求∠ABC. 知识点:定理变形 9.(2012·上海高考)在△ABC 中,若 sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.不能确定 )

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人教 A 版 2003 数学习题必修五 第一章 11.2 第一课时

10.a、b、c 分别是△ABC 中角 A、B、C 的对边,且(sin B+sin C+sin A)(sin B+sin C -sin A)= 18 sin Bsin C,边 b 和 c 是关于 x 的方程 x2-9x+25cos A=0 的两根(b>c). 5

(1)求角 A 的正弦值; (2)求边 a,b,c; (3)判断△ABC 的形状. 11.(2013·潍坊高二检测)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 2b·cos A =c·cos A+a·cos C, (1)求角 A 的大小; (2)若 a= 7,b+c=4,求△ABC 的面积. 12.在不等边△ABC 中,a 为最大边,如果 a 2 ? b 2 ? c 2 ,求 A 的取值范围。 13.在△ABC 中,若
a 2 tan A ? ,试判断△ABC 的形状。 b 2 tan B
a ?b?c 的值。 sin A ? sin B ? sin C

14.在△ABC 中,A=60°,b=1, S △ABC ? 3 ,求

15.在△ABC 中, c ? 6 ? 2 ,C=30°,求 a+b 的最大值。 16.在△ABC 中, ? cos A ? b cos B ,判断△ABC 的形状。

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人教 A 版 2003 数学习题必修五 第一章 11.2 第一课时

【参考答案】 【答案】 A 1 【解析】 在△ABC 中,易知 B=30°, 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos 30°=4,∴b=2. 【答案】 C 2 【解析】 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos 60°=a2+c2-ac, 所以 a2-ac+c2-b2=(a2+c2-ac)-b2=b2-b2=0. 【答案】 D 3 【解析】 由余弦定理得,b2=a2+c2-2ac·cos B, ∴6=a2+2+ 2a,∴a= 2或-2 2(舍去). 【答案】 D 【解析】 由余弦定理的推论 4

AB2+BC2-AC2 19 cos B= = , 2AB·BC 35
19 又→ AB·→ BC=|→ AB|·|→ BC|·cos (π -B)=5×7×(- )=-19. 35 【答案】 60° 【解析】 由(a-c)(a+c)=b(b-c)得 a2-c2=b2-bc,

5

即 b2+c2-a2=bc 与余弦定理 b2+c2-a2=2bccos A, 1 比较知 cos A= ,∴A=60°. 2 【答案】 ( π π , ) 3 2

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π 【解析】 ∵a 是最大边,∴A> ,又 a2<b2+c2,由余弦定理 cos 3 0,∴A< π π π ,故 <A< . 2 3 2

b2+c2-a2 A= > 2bc

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【答案】 4 【解析】 在△ABC 中,由 b2=a2+c2-2accos B 及 b+c=7 知,b2=4+(7-b)2-2

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1 ×2×(7-b)×(- ),整理得 15b-60=0. 4 ∴b=4. 【解】 |AB|= (3-2)2+(-2-3)2= 26, |BC|= (0-3)2+[0-(-2)]2= 13, |CA|= (2-0)2+(3-0)2= 13, 8 由余弦定理得 ( 13)2+( 26)2-( 13)2 2 cos ∠ABC= = , 2 2× 13× 26 又∵∠ABC∈(0,π ),∴∠ABC= 【答案】 C 【解】 由正弦定理知 ∴sin A= 9 ∵sin2A+sin2B<sin2C,∴ ∴cos C= π . 4

a
sin A



b
sin B



c
sin C

=2R,

a b c ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R a2 b2 c2 + < ,∴a2+b2<c2, 4R2 4R2 4R2

a2+b2-c2 <0, 2ab

∴C 为钝角,∴△ABC 为钝角三角形. 【解】 (1)∵(sin B+sin C+sin A)(sin B+sin C-sin A)= 结合正弦定理得 (b+c+a)(b+c-a)= 10 18 8 bc,整理得 b2+c2-a2= bc. 5 5 18 sin B·sin C. 5

b2+c2-a2 4 由余弦定理得 cos A= = , 2bc 5
3 ∴sin A= . 5 (2)由(1)知方程 x2-9x+25cos A=0, 可化为 x2-9x+20=0,

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解之得 x=5 或 x=4. ∵b>c,∴b=5,c=4. 由余弦定理知:a2=b2+c2-2bccos A, ∴a=3. (3)由(1)(2)知,a2+c2=b2, ∴△ABC 为直角三角形. 【解】 (1)根据正弦定理 2b·cos A=c·cos A+a·cos C? 2cos Asin B=sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=sin B, 1 ∵sin B≠0,∴cos A= , 2 又∵0°<A<180°,∴A=60°. 11 (2)由余弦定理得: 7=a2=b2+c2-2bc·cos 60°=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc, 代入 b+c=4 得 bc=3, 1 3 3 故△ABC 面积为 S= bcsin A= . 2 4 【解】∵ a 2 ? b 2 ? c 2 ,∴b 2 ? c 2 ? a 2 ? 0 。则
cos A ? b2 ? c2 ? a 2 ? 0 ,由于 cosA 在(0°,180°)上为减函数 2bc

12

且 cos90° ? 0,∴A ? 90° 又 ∵a 为最大边,∴ A>60°。因此得 A 的 取值范 围是(60°,90°) 。
sin 2 A tan A 【解】由正弦定理,得 2 ? sin B tan B

即 13

sin 2 A sin A cos B ? · ,∵ sin A ? 0, sin B ? 0 2 sin B sin B cos A

∴ sin A cos A ? sin B cos B,即 sin 2 A ? sin 2 B 0 ? A ? ?,0 ? b ? ?,∴k ? 0,则A ? B 或 A ?
故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。


?B。

?
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【解】∵A=60°,b=1, S △ABC ? 3 ,又 S △ABC ? 解得 c=4。 14

1 1 bc sin A ,∴ 3 ? c sin 60° , 2 2

[来源:学科网]

由余弦 定理,得 a ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 1 ? 16 ? 8 cos 60° ? 13 由正弦定理,得

2R ?

a ?b?c 2 39 a 13 2 39 。∴ 。 ? 2R ? ? ? sin A ? sin B ? sin C 3 sin A sin 60° 3

【解】∵C=30°,∴A+B=150°,B=150°-A。 由正弦定理,得

a b 6? 2 ? ? sin A sin(150° ? A) sin 30°

因此 a ? b ? 2( 6 ? 2 )[sin A ? sin(150° ? A)] 15
? 2( 6 ? 2) · sin 75°cos( A ? 75°) 6? 2 · cos( A ? 75°) 4 ? (8 ? 4 3) cos( A ? 75°) ? 8 ? 4 3 ? 4( 6 ? 2)

∴a+b 的最大值为 8 ? 4 3 。 【解】在△ABC 中,∵ a cos A ? b cos B ,由正弦定理, 得 2 R sin A cos A ? 2 R sin B cos B,∴ sin 2 A ? sin 2 B 。 16 ∴2A=2B 或 2A+2B=180°,∴A=B 或 A+B=90°。 故△ABC 为等腰三角形或直角三角 形。

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