kl800.com省心范文网

广东省广州市2013届高三数学考前训练试题(广州三模)理 新人教A版


2013 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料 (理科)
说明: ⒈ 本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同编 写,共 24 题. ⒉ 本训练题仅供本市高三学生考前冲刺训练用,希望在 5 月 31 日之前完成. 3. 本训练题与市高三质量抽测、 一模、 二模等数学试题在内容上相互配套, 互为补充. 四 套试题覆盖了高中数学的主要知识和

方法. 因此, 希望同学们在 5 月 31 日至 6 月 6 日之间, 安排一段时间,对这四套试题进行一次全面的回顾总结,同时,将高中数学课本中的基本知 识(如概念、定理、公式等)再复习一遍. 希望同学们保持良好的心态,在高考中稳定发挥,考取理想的成绩!

0 1. 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,? ? ? π) , x ? R 的最大值是 1,其图像经过点

?π 1? M ? , ?. ? 3 2?
(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ?

? ?

π? 2?

3 12 , f (? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 5 13

2. 设函数 f ( x) ? 2 sin x ? cos x . (1)若 x0 是函数 f (x) 的一个零点,求 cos 2 x0 的值; (2)若 x0 是函数 f (x) 的一个极值点,求 sin 2 x0 的值.

3. 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边长分别是 a, b, c , 已知 A ? (1)求 cos C 的值; (2)若 BC ? 10, D 为 AB 的中点,求 CD 的长.

?
4

, cos B ?

4 . 5

1

4. 一缉私艇发现在方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)45°方向,距离 15 海里的海面上有一走私船正以 25 海里/小时的速度沿方位角为 105°的方向逃窜. 若缉 私艇的速度为 35 海里/小时,缉私艇沿方位角为 45°+α 的方向追去,若要在最短时间内 追上该走私船. (1)求角 α 的正弦值; (2)求缉私艇追上走私船所需的时间.

5. 某网站用“10 分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取 16 名,以下茎 叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎, 小数点后的一位数字为叶):
幸福度 7 8 9 3 0 7 8 8 9 9

6 6 6 6 7 7 6 5 5

(1)指出这组数据的众数和中位数; (2)若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这 16 人中随机选取 3 人,至多有 1 人是“极幸福”的概率; (3)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人, 记 ? 表示抽到“极幸福”的人数,求 ? 的分布列及数学期望.

6.汽车是碳排放量比较大的行业之一.欧盟规定,从 2012 年开始,将对 CO2 排放量超过
130 g/km 的 M1 型新车进行惩罚.某检测单位对甲、乙两类 M1 型品牌车各抽取 5 辆进行

CO2 排放量检测,记录如下(单位: g/km ).
甲 乙 80 100 110 120 120 140 150 160

x

y

经测算发现,乙品牌车 CO2 排放量的平均值为 x乙 ? 120 g/km . (1)从被检测的 5 辆甲类品牌车中任取 2 辆,则至少有一辆不符合 CO2 排放量的概率 是多少? (2)若 90 ? x ? 130 ,试比较甲、乙两类品牌车 CO2 排放量的稳定性.

2

7.随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位:万元)为 ? . (1)求 ? 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 ? 的数学期望) ; (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1% ,一等品率提高为 70% .如 果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多少?

8.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面为直角梯形, AD // BC , ?BAD ? 90 , PA ? 底
?

面 ABCD , PA ? AD ? AB ? 2BC , M , N 分别为 PC , PB 的中点. (1)求证: PB ? DM ; (2)求 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值.
P

N A

M D

9.一个三棱锥 S ? ABC 的三视图、直观图如图. (1)求三棱锥 S ? ABC 的体积; (2)求点 C 到平面 SAB 的距离; (3)求二面角 S ? AB ? C 的余弦值.

B

C

10.如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上, AB // EF ,矩形 ABCD 所在的平面 和圆 O 所在的平面互相垂直,且 AB ? 2 , AD ? EF ? 1 . (1)求证: AF ? 平面 CBF ; (2)设 FC 的中点为 M ,求证: OM // 平面 DAF ; (3)设平面 CBF 将几何体 EFABCD 分成的两个锥体 的体积分别为 VF ? ABCD , VF ?CBE ,求 VF ? ABCD : VF ?CBE .

3

11.已知等比数列 {an } 的公比 q ? 1 , a1 ? 32 ,且 2a2 、 3a3 、 4a4 成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? log2 an ,求数列 { bn } 的前 n 项和 Tn .

12.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车 流速度 v (单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流 密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0 ;当车流密度不超过 20 辆/千米 时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v?x ? 的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量 f ( x) ? x ? v( x) 可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时). (车流量为单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)

13.某地区有荒山 2200 亩,从 2002 年开始每年年初在荒山上植树造林, 第一年植树 100 亩,以后每年比上一年多植树 50 亩. (1)若所植树全部成活,则到哪一年可以将荒山全部绿化? (2)若每亩所植树苗木材量为 2 立方米,每年树木木材量的自然增长率 为 20%,那么到全部绿化后的那一年年底,该山木材总量是多少? (精确到1立方米, 1.2 ? 4.3 )
8

14. 已知抛物线 C1 : y 2 ? 8x 与双曲线 C2 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 有公共焦点 F2 ,点 A a 2 b2

是曲线 C1 , C2 在第一象限的交点,且 AF2 ? 5 . (1)求双曲线 C2 的方程; (2)以双曲线 C2 的另一焦点 F 为圆心的圆 M 与直线 y ? 3x 相切,圆 N : 1

( x ? 2)2 ? y 2 ? 1.过点 P(1, 3) 作互相垂直且分别与圆 M 、圆 N 相交的直线 l1 和 l2 , s 设 l1 被圆 M 截得的弦长为 s , l2 被圆 N 截得的弦长为 t . 是否为定值?请说明理由. t

4

15. 如图,长为 m+1(m>0)的线段 AB 的两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动,点 M → → 是线段 AB 上一点,且AM=mMB. (1)求点 M 的轨迹 Γ 的方程,并判断轨迹 Γ 为何种圆锥曲线; 1 (2)设过点 Q( ,0)且斜率不为 0 的直线交轨迹 Γ 于 C、D 两点. 2 试问在 x 轴上是否存在定点 P,使 PQ 平分∠CPD?若存在,求点 P 的坐标; 若不存在,请说明理由.

16.已知数列 ?an ? 的前 n 项和的平均数为 2n ? 1 (1)求 ?an ? 的通项公式;

an ,试判断并说明 cn?1 ? cn (n ? N ? ) 的符号; 2n ? 1 an 2 (3)设函数 f ( x) ? ? x ? 4 x ? ,是否存在最大的实数 ? ? 当 x ? ? 时,对于一切非 2n ? 1
(2)设 cn ? 零自然数 n ,都有 f ( x) ? 0

17. 数列 {an }满足 a1 =

1 an- 1 ,且 n ? 2 时, an = , 3 2 - an- 1

(1) 求数列 {an }的通项公式; (2) 设数列 {an }的前 n 项和为 Sn ,求证对任意的正整数 n 都有

2 1 (1- n ) ? S n 3 2

5 6

?1 ? ( x ? 0) 18. 设 k ? R ,函数 f ( x) ? ? x , F ( x) ? f ( x) ? kx , x ? R . ?e x ( x ? 0) ?
(1)当 k ? 1 时,求函数 F ( x ) 的值域; (2)试讨论函数 F ( x ) 的单调性.

5

19.已知函数 f ( x) ? ax ?

b ? c(a ? 0) 的图像在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? x ? 1 . x

(1)用 a 表示出 b, c ; (2)若 f ( x) ? ln x 在 [1,??) 上恒成立,求 a 的取值范围; (3)证明: 1 ?

1 1 1 n ? ? ? ? ? ? ? ln(n ? 1) ? (n ? 1) . 2 3 n 2(n ? 1)

20.如图,已知直线 l : y ? 4 x 及曲线 C : y ? x 2 , C 上的点 Q1 的横坐标为 a1 ( 0 ? a1 ? 4 ).从 曲线 C 上的点 Qn (n ? 1) 作直线平行于 x 轴, 交直线 l于点P ?1,再从点P ?1 作直线平行于 y n n 轴,交曲线 C于点Qn?1. Qn (n ? 1, 2,3,?) 的横坐标构成数列 ?an ? . (1)试求 an?1与an 的关系; (2)若曲线 C 的平行于直线 l 的切线的切点恰好介于点 Q1, Q2 之间 (不与 Q1, Q2 重合),求 a3 的取值范围; (3)若 a1 ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式.

y

P P O
3

2

Q1

Q2 Q3

a a a
3 2

1

x

21. 已知函数 f ? x ? ? x ?
2

2 ? a ln x ? x ? 0 ? , f ? x ? 的导函数是 f ' ? x ? , 对任意两个不相等 x

的正数 x1 , x2 , 证明: (1)当 a ? 0 时, (2)当 a ? 4 时,

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?x ?x ? ? f ? 1 2?; 2 ? 2 ?
f ' ? x1 ? ? f ' ? x2 ? ? x1 ? x2 .

6

22. 对于函数 f ( x ) ,若存在 x0 ∈R,使 f ( x0 ) ? x0 成立,则称 x0 为 f ( x ) 的不动点.

如果函数 f ( x ) =

x2 ? a 有且仅有两个不动点 0 和 2. bx ? c

(1)试求 b、c 满足的关系式; (2)若 c=2 时,各项不为零的数列{an}满足 4Sn· f (

1 ) =1, an

? 1 ? 求证: ? 1 ? ? ? an ?

an?1

1 ? 1 ? < < ?1 ? ? ; e ? an ?

an

(3)在(2)的条件下, 设 bn=-

1 , Tn 为数列{bn}的前 n 项和, an

求证: T2009 ? 1 ? ln 2009 ? T2008 .

23. 已知 定义 在 R 上 的单 调函 数 f ( x) , 存 在实 数 x 0 , 使得对 于 任意 实数 x1 , x2 , 总 有

f ( x0 x1 ? x0 x2) ? f( x ) ? f( x)? f( x恒成立. 0 1 2 )
(1)求 x 0 的值; (2)若 f ( x0 ) ? 1 ,且对任意正整数 n ,有 an ?

1 1 , bn ? f ( n ) ? 1 , f ( n) 2

记 Sn ? a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an ?1 ,Tn ? b1b2 ? b2b3 ? ? ? bnbn ?1 ,比较 给出证明.

4 S n 与 Tn 的大小关系,并 3

x ( x ? 0) ,设 f ( x) 在点 (n, f (n))(n ?N*)处的切线在 y 轴上的截 1? x 1 距为 bn ,数列 ?an ? 满足: a1 ? , an ?1 ? f (an )(n ? N*) . 2 (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
24. 已知函数 f ( x) ?

? bn ? ? b ? ? ? 中,仅当 n ? 5 时, n ? 取最小值,求 ? 的取值范围; 2 2 an an ? an an ? 1 2 (3)令函数 g ( x) ? f ( x)(1 ? x) ,数列 ?cn ? 满足: c1 ? , cn?1 ? g (cn )(n ? N*) , 2 1 1 1 求证:对于一切 n ? 2 的正整数,都满足: 1 ? ? ??? ? 2. 1 ? c1 1 ? c2 1 ? cn
(2)在数列 ?

7

2013 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科(理科)训练材料参考答案

sn ) 1. 解: (1) 依题意有 A ? 1 , f (x) ?i ( x ? ? , 则 将点 M (
而 0 ? ? ? ? ,?

? 1

5 ? ? ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x . 3 6 2 2 3 12 ? (2)依题意有 cos ? ? , cos ? ? ,而 ? , ? ? (0, ) , 5 13 2

?

? 1 , ) 代入得 sin( ? ? ) ? , 3 2 3 2

3 4 12 5 ?sin ? ? 1 ? ( )2 ? ,sin ? ? 1 ? ( )2 ? , 5 5 13 13
3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? . 5 13 5 13 65
2. 解: (1)? x0 是函数 f (x) 的一个零点, ∴ 2sin x0 ? cos x0 ? 0 , 从而 tan x0 ?

1 . 2

1 cos x0 ? sin x0 1 ? tan x0 4 ?3 ∴ cos 2 x0 ? ? ? 2 2 2 1 5 cos x0 ? sin x0 1 ? tan x0 1? 4
2 2 2

1?

(2) f ' ( x) ? 2 cos x ? sin x , ? x0 是函数 f (x) 的一个极值点 ∴ 2cos x0 ? sin x0 ? 0 , 从而 tan x0 ? ? ∴ sin 2 x0 ? 2sin x0 cos x0 ? 3. 解: (1)? cos B ?

1 . 2

2sin x0 cos x0 2 tan x0 4 ? ?? . 2 2 2 sin x0 ? cos x0 1 ? tan x0 5

4 3 , 且 B ? (0, ? ) ,∴ sin B ? 1 ? cos 2 B ? . 5 5 3? ? B) ∴ cos C ? cos(? ? A ? B) ? cos( 4

? cos

3? 3? 2 4 2 3 2 cos B ? sin sin B ? ? ? ? ? ?? . 4 4 2 5 2 5 10

(2)由(1)可得 sin C ? 1 ? cos2 C ? 1 ? (?

2 2 7 ) ? 2. 10 10

由正弦定理得

BC AB 10 AB ? ? ,即 ,解得 AB ? 14 . 7 sin A sin C 2 2 10 2
2 2 2

在 ?BCD 中, BD ? 7 , CD ? 7 ? 10 ? 2 ? 7 ?10 ?

4 ? 37 ,∴ CD ? 37 . 5

8

4. 解: (1)设缉私艇追上走私船所需的时间为 t 小时, 则有|BC|=25t,|AB|=35t, 且∠CAB=α ,∠ACB=120°,

x1 C o 45 α

x2 o 105 B

| BC | | AB | ? 根据正弦定理得: , sin ? sin1200


25t 35t 5 3 ? , ∴ sinα = . sin ? 14 3 2
2 2 2

A

(2)在△ABC 中由余弦定理得:|AB| =|AC| +|BC| -2|AC||BC|cos∠ACB, 2 2 2 2 即 (35t) =15 +(25t) -2·15·25t·cos120°,即 24t ―15t―9=0, 解之得:t=1 或 t=-

9 (舍) 24

故缉私艇追上走私船需要 1 个小时的时间. 5.解: (1)众数:8.6;中位数:8.75 (2)设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人是“极幸福” ,至多有 1 人是“极幸福”记为事件 A , 则 P( A) ? P( A0 ) ? P( A1 ) ?
3 1 2 C12 C4 C12 121 ? ? 3 3 140 C16 C16

(3) ξ 的可能取值为0、1、2、3.高?考.资.源+网 源+网

高.考.资.

3 27 27 1 1 3 2 P(? ? 0) ? ( ) 3 ? ; P (? ? 1) ? C 3 ( ) ? 4 64 4 4 64 1 3 9 1 3 1 P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ? ; P(? ? 3) ? ( ) ? 4 4 64 4 64

ξ 的分布列为 ξ
P

0

1

2

3

27 64

27 64

9 64

1 64
高考资源网

所以 E? ? 0 ? 另解:

27 27 9 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 0.75 . 64 64 64 64
则 ? ? B (3, ) ,

ξ

的 可 能 取 值 为 0 、 1 、 2 、 3. 高 .. 考 . 资 .,

1 4

1 3 P (? ? k ) ? C3k ( ) k ( )3? k . 4 4

ξ 的分布列为
9

ξ
P

0

1

2

3

3 ( )3 4

3 1 1 C 3 ( )1 ( ) 2 4 4

1 3 C 32 ( ) 2 ( )1 4 4

1 ( )3 4

所以 E? = 3 ?

1 ? 0.75 . 4

6. 解: (1)从被检测的 5 辆甲类品牌车中任取 2 辆,共有 10 种不同的 CO2 排放量结果: ( 80, 110);( 80, 120);( 80, 140);( 80, 150);( 110, 120 ); ( 110, 140 );( 110, 150 );( 120, 140 );( 120, 150 );( 140, 150 ). 设“至少有一辆不符合 CO2 排放量”为事件 A ,则事件 A 包含以下 7 种不同的结果: ( 80, 140); 80, 150); 110, 140 ); 110, 150 ); 120, 140 ); 120, 150 ); 140, 150 ). ( ( ( ( ( ( 所以, P ( A) ?

7 ? 0 .7 . 10

答:至少有一辆不符合 CO2 排放量的概率为 0 .7

(2)由题可知, x甲 ? x乙 ? 120, x ? y ? 220.
2 5S甲 ? ? 80 ? 120 ? ? ?110 ? 120?2 ? ?120? 120?2 ? ?140? 120?2 ? ?150? 120?2 ? 3000 2

2 5S乙 ? ?100? 120? ? ?120? 120? ? ?x ? 120? ? ? y ? 120? ? ?160? 120?

2

2

2

2

2

? 2000 ? ?x ? 120?2 ? ? y ? 120?2
2 2 2 ? x ? y ? 220,? 5S乙 ? 2000 ? ?x ? 120? ? ?x ? 100? ,

令 x ? 120 ? t ,? 90 ? x ? 130 ,? ?30 ? t ? 10 ,
2 2 ?5S乙 ? 2000 ? t 2 ? ?t ? 20? ,
2 2 ?5S乙 ? 5S甲 ? 2t 2 ? 40t ? 600 ? 2(t ? 30)(t ?10) ? 0 2 2 ? x甲 ? x乙 ? 120, S乙 <S甲 ,∴乙类品牌车碳排放量的稳定性好.

? 7. (1) 的所有可能取值有 6, 1, P (? ? 6) ? 解 2, -2;
P(? ? 1) ? 20 4 ? 0.1 , P(? ? ?2) ? ? 0.02 200 200

126 50 ? 0.63 ,P(? ? 2) ? ? 0.25 200 200

故 ? 的分布列为:

10

?
P

6 0.63

2 0.25

1 0.1

-2 0.02

(2) E? ? 6 ? 0.63 ? 2 ? 0.25 ? 1? 0.1 ? (?2) ? 0.02 ? 4.34 (3)设技术革新后的三等品率为 x ,则此时 1 件产品的平均利润为

E( x) ? 6 ? 0.7 ? 2 ? (1 ? 0.7 ? 0.01 ? x) ? (?2) ? 0.01 ? 4.76 ? x(0 ? x ? 0.29)
依题意, E ( x) ? 4.73 ,即 4.76 ? x ? 4.73 ,解得 x ? 0.03 所以三等品率最多为 3% . 8. (1)解法 1:∵ N 是 PB 的中点, PA ? AB ,∴ AN ? PB . ∵ PA? 平面 ABCD ,所以 AD ? PA . 又 AD ? AB , PA ? AB ? A ,∴ AD ? 平面PAB , AD ? PB . 又 AD ? AN ? N ,∴ PB ? 平面 ADMN . ∵ DM ? 平面 ADMN ,∴ PB ? DM . 解法 2:如图,以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设 BC ? 1 , 可得, A? 0,0,0? P(0,0,2), B(2,0,0), C ? 2,1,0? , M ?1, ,1? , D(0,2,0) . ? ?
1 ? 2 ?

???? ????? ? ? 3 ? ? 因为 PB ? DM ? (2,0, ?2) ? ?1, ? ,1? ? 0 ,所以 PB ? DM . 2 ? ?

z
P

(2)因为 PB ? AD ? (2,0, ?2) ? (0,2,0) ? 0 . 所以 PB ? AD ,又 PB ? DM ,所以 PB ? 平面 ADMN , ??? ???? ? 因此 ? PB, DC ? 的余角即是 CD 与平面 ADMN 所成的角.
???? ????? ? ???? ????? ? PB ? DC 10 ? 因为 cos ? PB, DC ?? ???? ????? ? .
N A B C M

???? ???? ? ?

y
D

| PB | ? | DC |

5

10 所以 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值为 . 5

x

9. 解: (1)由正视图、俯视图知 AC ? 4 ; 由正视图、侧视图知,点 B 在平面 SAC 上的正投影为 AC 的中点 D,则 BD ? 3 , BD ? 平面 SAC , BD ? AC ; 由俯视图、侧视图知,点 S 在平面 ABC 上的正投影为 DC 的中点 O, 则 SO ? 2 , SO ? 平面 ABC , SO ? AC .如图. (1)三棱锥 S ? ABC 的体积 VS ? ABC ?

1 ?1 ? ? ? ? 4 ? 3? ? 2 ? 4 . 3 ?2 ?

解法一: 以 O 为原点,OA 为 x 轴,过 O 且平行于 BD 的直线为 y 轴,OS 为 z 轴,建立如图空间直角坐 标系,可求 S ? 0,2? A?3,0? B ?13, , SA ? ? 3, ? 2 ?, ? ?1 3, 2 ? , 0, 0, ,0? 0, SB ,? 设 m ? ? x,y,z ? 是平面 SAB 的一个法向量,则

???

???

??

11

?? ??? ?? ? ?m ? SA ? 3x ? 2 y ? 0 9? ? ,取 m ? ? 3, ? , 2, ?? ??? ? 2? ? ?m ? SB ? x ? 3 y ? 2 z ? 0 ? ??? ? (2)可知 C ? ?1 0,?, ? ? 4,0 ? ,设点 C 到平面 SAB 的距离为 d , ,0 CA 0,
??? ?? ? CA ? m 24 133 ?? ? 则d ? . 133 m

?? ? ?? ? ? m?n 9 133 n (3)可知 n ? ? 0,1? 是平面 ABC 一个法向量,故 cos ? m, ? ? ?? ? ? , 0, 133 m?n

二面角 S ? AB ? C 的余弦值为 解法二: (2)可求 AB ?

9 133 . 133

AD2 ? BD2 ? 13 , SA ? AO2 ? SO2 ? 13 ,

SB ? SO2 ? OB2 ? SO2 ? BD2 ? DO2 ? 14 ,
△SAB 的面积 S?SAB

1 ? ? 14 ? 2

? 13 ?

2

? 14 ? 133 , ?? ? 2 ? ? 2 ? ? ?
1 ? S? SAB ? d , 3

2

设点 C 到平面 SAB 的距离为 d , 由三棱锥 S ? ABC 的体积 4 ? VS ? ABC ? VC ?SAB ? 得d ?

12 12 24 133 . ? ? S?SAB 133 133 2

(3)作 CH ? AB 于 H,作 OE // CH 交 AB 于 E,则 OE ? AB , 连接 SE,因 OE 是 SE 在底面 ABC 内的射影,而 OE ? AB ,故 SE ? AB , ?SEO 为二面角 S ? AB ? C 的平面角. △ABC 中,易求 BA ? BC ? 13 ,

由△ABC 的面积,

1 1 AC ? BD 12 13 ? AC ? BD ? ? AB ? CH , CH ? ? , 2 2 AB 13

△AEO 与△AHC 相似,相似比为 AO:AC=3:4,故 OE ?

3 9 13 CH ? , 4 13

Rt ?SEO 中, tan ?SEO ?

SO 2 13 ? , OE 9

12

故 cos ?SEO ?

9 92 ? 2 13

?

?

2

?

9 133 9 133 ,二面角 S ? AB ? C 的余弦值为 . 133 133

10.(1)证明: ? 平面 ABCD ? 平面 ABEF , CB ? AB , 平面 ABCD ? 平面 ABEF = AB ,

?CB ? 平面 ABEF , ? AF ? 平面 ABEF ,? AF ? CB , ? AB 为圆 O 的直径,? AF ? BF , ? AF ? 平面 CBF . 1 1 (2)设 DF 的中点为 N ,则 MN // CD ,又 AO // CD , 2 2
则 MN // AO , MNAO 为平行四边形,

? OM // AN ,又 AN ? 平面 DAF , OM ? 平面 DAF , ? OM // 平面 DAF . (3)过点 F 作 FG ? AB 于 G ,? 平面 ABCD ? 平面 ABEF , 1 2 ? FG ? 平面 ABCD ,?VF ? ABCD ? S ABCD ? FG ? FG , 3 3 ? CB ? 平面 ABEF , 1 1 1 1 ?VF ?CBE ? VC ? BFE ? S ?BFE ? CB ? ? EF ? FG ? CB ? FG , 3 3 2 6

?VF ? ABCD : VF ?CBE ? 4 : 1 .
11.解: (1)因为 2a2 、 3a3 、 4a4 成等差数列, 所以 2a2 ? 4a4 ? 6a3 ,即 a1q ? 2a1q3 ? 3a1q2 . 因为 a1 ? 0 , q ? 0 ,所以 2q ? 3q ? 1 ? 0 ,即 (q ? 1)(2q ? 1) ? 0 .
2

1 ?1? 因为 q ? 1 ,所以 q ? .所以 an ? a1q n?1 ? 32 ? ? ? 2 ?2?
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 26?n (n ?N* ) . (2)因为 an ? 26?n ,所以 bn ? log2 26?n ? 6 ? n . 所以 bn ? 6 ? n ? ?

n ?1

? 26?n .

?6 ? n, 1 ? n ? 6, ?n ? 6, n ? 7.

当 1 ? n ? 6 时, Tn ? b1 ? b2 ????? bn ? b1 ? b2 ????? bn

?

n ? [5 ? (6 ? n)] 1 11 ? ? n2 ? n ; 2 2 2

当 n ? 7 时, Tn ? b1 ? b2 ????? bn ? (b1 ? b2 ????? b6 ) ? (b7 ? b8 ????? bn )
13

? 2(b1 ? b2 ???? ? b6 ) ? (b1 ? b2 ???? ? bn )
11 ? 1 11 ? 1 ? 2 ? 15 ? ? ? n2 ? n ? ? n2 ? n ? 30 . 2 ? 2 2 ? 2
? 1 2 11 1 ? n ? 6, ? ? 2 n ? 2 n, ? Tn ? ? 综上所述, ? 1 n 2 ? 11 n ? 30, n ? 7. ?2 ? 2
12. 解:(1)由题意,当 0 ? x ? 20 时, v( x ) ? 60; 当 20 ? x ? 200 时,设 v( x ) ? ax ? b.

1 ?60,0 ? x ? 20 ? ?a ? ? 3 ? v( x ) ? ? 1 ?200a ? b ? 0 ? ? 由已知得 ? . . , 解得 ? ? 3 (200 ? x ), 20 ? x ? 200 ? ?20a ? b ? 60 ?b ? 200 ? 3 ?

?60 x,0 ? x ? 20 ? . (2)依题意得 f ( x ) ? ? x (200 ? x ), 20 ? x ? 200 ?3 ?
当 0 ? x ? 20 时, f ( x ) 为增函数,故 f ( x ) ? 1200 . 当 20 ? x ? 200 时, x ? 100 时, f ( x ) 取最大值

10000 ? 3333 . 3

答:车流密度 x 为 100 时,车流量 f ( x ) 达到最大值 3333. 13.解: (1)设植树 n 年后可将荒山全部绿化,记第 n 年初植树量为 an , 依题意知数列 {an } 是首项 a1 ? 100 ,公差 d ? 50 的等差数列, 则 100 n ? ∵ n? N
?

n?n ? 1? ? 50 ? 2200 , 即 n2 ? 3n ? 88 ? 0 ? (n ? 11)(n ? 8) ? 0 2
∴n ? 8

∴到 2009 年初植树后可以将荒山全部绿化. (2)2002 年初木材量为 2a1 m ,到 2009 年底木材量增加为 2a1 (1.2)8 m ,
7 2003 年初木材量为 2a2 m ,到 2009 年底木材量增加为 2a2 (1.2) m ,??
3 3 3 3

2009 年初木材量为 2a8 m ,到 2009 年底木材量增加为 2a8 ?1.2 m .
3 3

则到 2009 年底木材总量 S ? 2a1 ?1.2 ? 2a2 ?1.2 ? 2a3 ?1.2 ? ?? 2a8 ?1.2
8 7 6

14

S ? 900 ?1.2 ? 800 ?1.22 ? ? ? 400 ?1.26 ? 300 ?1.27 ? 200 ?1.28 ----------① 1.2S ? 900 ?1.22 ? 800 ?1.23 ? ? ? 400 ?1.27 ? 300 ?1.28 ? 200 ?1.29 ---------②
② 9





0 S?

.

? ?
8

2 2

?
4 ?

23
4 ?

?
0 ?

? 700 ?1.29 ? 500 ?1.22 ? 900 ?1.2 ? 8
2

?8

∴ S ? 9060 m 2 答:到全部绿化后的那一年年底,该山木材总量为 9060m 14. 解: (1)∵抛物线 C1 : y 2 ? 8x 的焦点为 F2 (2,0) , ∴双曲线 C2 的焦点为 F1 (?2,0) 、 F2 (2,0) , 设 A( x0 , y0 ) 在抛物线 C1 : y 2 ? 8x 上,且 AF2 ? 5 ,
2 由抛物线的定义得, x0 ? 2 ? 5 ,∴ x0 ? 3 ,∴ y0 ? 8 ? 3 ,∴ y0 ? ?2 6 ,

∴ | AF1 |?

(3 ? 2) 2 ? (?2 6) 2 ? 7 ,又∵点 A 在双曲线 C2 上,由双曲线定义得,

2a ?| 7 ? 5 |? 2 ,∴ a ? 1 , ∴双曲线 C2 的方程为: x 2 ?
(2)

y2 ? 1. 3

s 为定值.下面给出说明. t

设圆 M 的方程为: ( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 , ∵圆 M 与直线 y ? 3x 相切, ∴圆 M 的半径为 r ?

2 3 1? ( 3 )
2

? 3 ,故圆 M : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 .

显然当直线 l1 的斜率不存在时不符合题意, 设 l1 的方程为 y ? 3 ? k ( x ?1) ,即 kx ? y ? 3 ? k ? 0 , 设 l2 的方程为 y ? 3 ? ?

1 ( x ? 1) ,即 x ? ky ? 3k ?1 ? 0 , k

∴点 F 到直线 l1 的距离为 d1 ? 1

| 3k ? 3 | 1? k 2

,点 F2 到直线 l2 的距离为 d 2 ?
2

| 3k ? 1| 1? k 2



? 3k ? 3 ? 6 3k ? 6k 2 ∴直线 l1 被圆 M 截得的弦长 s ? 2 3 ? ? , ?2 ? 1? k 2 ? ? 1? k 2 ? ?

15

? 3k ? 1 ? 2 3k ? 2k 2 直线 l2 被圆 N 截得的弦长 t ? 2 1 ? ? , ? 1? k 2 ? ? 2 ? 1? k 2 ? ?


2

s 6 3k ? 6k 2 6( 3k ? k 2 ) s ? ? ? 3 , 故 为定值 3 . 2 2 t t 2 3k ? 2k 2( 3k ? k )

15. 解: (1)设 A、B、M 的坐标分别为(x0,0)、(0,y0)、(x,y),则 x2+y2=(m+1)2, ① 0 0 → → 由AM=mMB,得(x-x0,y)=m(-x,y0-y),
?x-x0=-mx, ? ∴? ?y=m(y0-y). ?

?x0=(m+1)x, ? ∴? m+1 ?y0= m y. ?



将②代入①,得 m+1 2 2 2 2 2 (m+1) x +( ) y =(m+1) ,

m

化简即得点 M 的轨迹 Γ 的方程为 x + 2=1(m>0) . 当 0<m<1 时,轨迹 Γ 是焦点在 x 轴上的椭圆; 当 m=1 时,轨迹 Γ 是以原点为圆心,半径为 1 的圆; 当 m>1 时,轨迹 Γ 是焦点在 y 轴上的椭圆. 1 (2)依题意,设直线 CD 的方程为 x=ty+ , 2

2

y2 m

?x=ty+1, ? 2 由? y ?x +m =1. ?
2 2 2 4 2 2 2 2

3 2 2 2 2 2 消去 x 并化简整理,得(m t +1)y +m ty- m =0, 4

△=m t +3m (m t +1)>0, 设 C(x1,y1),D(x2,y2),则
2 m2t 3m y1+y2=- 2 2 ,y1y2=- 2 2 . ③ m t +1 4(m t +1) 假设在 x 轴上存在定点 P(a,0),使 PQ 平分∠CPD, 则直线 PC、PD 的倾斜角互补, y1 y2 ∴kPC+kPD=0,即 + =0, x1-a x2-a 1 1 y1 y2 ∵x1=ty1+ ,x2=ty2+ ,∴ + =0, 2 2 1 1 ty1+ -a ty2+ -a

16.

2 2 化简,得 4ty1y2+(1-2a)( y1+y2)=0. ④ 2 2 3m t m t(1-2a) 2 将③代入④,得- 2 2 - 2 2 =0,即-2m t(2-a)=0, m t +1 m t +1 ∵m>0,∴t(2-a)=0,∵上式对? t∈R 都成立,∴a=2. 故在 x 轴上存在定点 P(2,0),使 PQ 平分∠CPD. 解 : ( 1 ) 由 题





a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an ? n(2n ? 1), a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an?1 ? (n ?1)(2n ?1) ,两式相

16

减得 an ? 4n ?1,(n ? 2) ,而 a1 ? 3 ,?an ? 4n ?1,(n ? N ? ) (2) cn ?

an 4n ? 1 3 3 ? ? 2? , cn ?1 ? 2 ? , 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 3 3 cn ?1 ? cn ? ? ? 0,? cn ?1 ? cn 2n ? 1 2n ? 3

(3)由(2)知 c1 ? 1 是数列 ?cn ? 的最小项. 当 x ? ? 时,对于一切非零自然数 n ,都有 f ( x) ? 0 , 即 ?x ? 4x ?
2

an ? cn ,?? x 2 ? 4 x ? c1 ? 1 ,即 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 , 2n ? 1

解得 x ? 2 ? 3 或 x ? 2 ? 3 ,? 取 ? ? 2 ? 3 . 17. 解: (1)

1 2 - an- 1 1 1 1 2 = = - 1 ,则 - 1 = ( - 1) 2n- 1 则 an = 1 + 2n an a1 an an- 1 an- 1
1 1 1 1 1 1 = = an- 1 , 因此,an > an- 1 > 2 an- 2 > ? n- 1 a1 n n- 1 2 2 2 2+ 2 2(1 + 2 ) 2

(2) 由于 an >

1 a1 + a2 + ? + an ? (1 3
1 1 < n n 1+ 2 2

1 1- n 1 1 1 2 + ? + n- 1 ) = ? 2 2 3 1- 1 2

2 1 (1- n ) 3 2

又 an =

1 2 1 1 1 1 5 所以从第二项开始放缩: a1 + a2 + ? + an < + 2 + ? + n < + 2 = 3 2 2 3 1- 1 6 2 2 1 5 (1- n ) ? S n 因此 3 2 6
?1 ? ? x( x ? 0) 18.解:(1) F ( x) ? ? x , ?e x ? x( x ≤ 0) ?
当 x ? 0 时, F ( x) ?

1 ? x ≥ 2 ,即 x ? 1 时, F ( x) 最小值为 2. x
x

当 x ≤ 0 时, F ( x) ? e ? x ,在 ?? ?,0? 上单调递增,所以 F ( x) ≤ F (0) ? 1. 所以 k ? 1 时, F ( x ) 的值域为 (??,1] ? [2, ??] .

17

1 ? ?k ? 2 ( x ? 0) (2)依题意得 F ( x) ? ? x ?e x ? k ( x ≤ 0) ?
'

①若 k ? 0 ,当 x ? 0 时, F ' ( x) ? 0 , F ( x ) 递减,当 x ≤ 0 时, F ' ( x) ? 0 , F ( x ) 递增. ②若 k ? 0 ,当 x ? 0 时,令 F ' ( x) ? 0 ,解得 x ?

1 , k

当0 ? x ?

1 1 时, F ' ( x) ? 0 , F ( x ) 递减,当 x ? 时, F ' ( x) ? 0 , F ( x ) 递增. k k
'

当 x ? 0 时, F ( x) ? 0 , F ( x ) 递增.
' ③若 ?1 ? k ? 0 ,当 x ? 0 时, F ( x) ? 0 , F ( x ) 递减.

当 x ? 0 时,解 F ( x) ? e ? k ? 0 得 x ? ln(?k ) ,
' x

当 ln(?k ) ? x ? 0 时, F ( x) ? 0 , F ( x ) 递增,
'

当 x ? ln(?k ) 时, F ( x) ? 0 , F ( x ) 递减.
' ' ④ k ≤ ?1 ,对任意 x ? 0 , F ( x) ? 0 , F ( x ) 在 ?? ?,0?, ?0,??? 上递减.

综上所述,当 k ? 0 时, F ( x ) 在 (??, 0] 或 (

1 1 , ??) 上单调递增,在 (0, ) 上单调递减; k k

当 k ? 0 时, F ( x ) 在 (??, 0] 上单调递增,在 (0, ??) 上单调递减; 当 ?1 ? k ? 0 时, F ( x ) 在 (ln(?k ), 0] 上单调递增,在 (??, ln(?k )) , (0, ??) 上 单调递减; 当 k ≤ ?1 时, F ( x ) 在 ?? ?,0?, ?0,??? 上单调递减.

? f ' (1) ? a ? b ? 1 ?b ? a ? 1 b 19. 解: (1) f ( x) ? a ? 2 , 则有 ? . , 解得? x ?c ? 1 ? 2a ? f (1) ? a ? b ? c ? 0
'

(2)由(1)得 f ( x) ? ax ?

a ?1 ? 1 ? 2a. x a ?1 ? 1 ? 2a 令 g ( x) ? f ( x) ? ln x ? ax ? x 1? a a( x ? 1)(x ? ) a ?1 1 ' a . g ( x) ? a ? 2 ? ? x x x2

? ln x

,

x ? [1,??).

g (1) ? 0,

18

①当 0 ? a ?

? g (1) ? 0 ,即 f ( x) ? ln x, 故 f ( x) ? ln x 在 [1,?? ) 不恒成立. 1 1? a ②当 a ? 时, ? 1 .若 x ? 1 , g ' ( x) ? 0, g ( x) 是增函数,∴ g ( x) ? g (1) ? 0 , 2 a 1 即 f ( x) ? ln x, 故 x ? 1时 f ( x) ? ln x .综上所述, a 的取值范围是 [ ,??) . 2 1 1 1 1 ) ? ln x. (3) 由(2)知, a ? 时,有 f ( x) ? ln x( x ? 1) .令 a ? ,则 f ( x) ? ( x ? 当 2 x 2 2 k ?1 1 k ?1 k 1 1 k ?1 ? ( ? ) 即 当 x ? 1 时 , 总 有 ( x ? ) ? ln x. 令 x ? , 则 ln 2 x k 2 k k ?1 k 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ), ln( k ? 1) ? ln k ? ( ? ), k ? 1,2,? ? ?, n . 将 上 述 n 个 不 等 式 累 加 得 2 k k ?1 2 k k ?1

1 1? a 1? a 时, , g ' ( x) ? 0, g ( x) 是减函数,∴ g (x) ? 1 .若 1 ? x ? a 2 a

ln ( ? 1) ? n

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ( ? ? ??? ? ) ? , 整理得1 ? ? ? ... ? ? ln(n ? 1) ? 2 2 3 n 2(n ? 1) 2 3 n 2(n ? 1)

2 2 20.解:(1)因为点 Qn 的坐标为 (an , an ) , Qn ?1 的坐标为 (an+1 , an?1 ) , 2 所以点 Pn ?1 的坐标为 (an+1 ,4an?1 ) ,则 4an?1 ? an , 故 an?1与an 的关系为 an ?1 ?
2 / (2)设切点为 (t , t ) ,则 y ? 2 x 得 2t ? 4 ,所以 t ? 2.

1 2 an . 4

解不等式 ?

?a2 ? 2, 得 2 ? a1 ? 2 2 . ? a1 ? 2

1 1 2 1 1 2 2 1 4 a2 ? ( a1 ) ? a1 .?2 ? a1 ? 2 2,? ? a3 ? 1. 4 4 4 4 64 1 a3 的取值范围是 ( ,1). 4 1 2 1 2 1 (3) 由 an ?1 ? an 得 lg an ?1 ? lg( an ) , 即 lg an ?1 ? 2 lg an ? lg , 故 4 4 4 1 1 lg an ?1 ? lg ? 2(lg an ? lg ) 4 4 1 1 3 lg a1 ? lg ? lg 3 ? lg ? lg ? 0 , 4 4 4 1 3 所 以 数 列 {lg an ? lg } 是 以 2 为 公 比 , 首 项 为 lg 的 等 比 数 列 , 4 4

a3 ?

lg an ? lg

3 n ?1 1 3 3 n ?1 a 3 n ?1 ? 2n ?1 lg ? lg( )2 , 即 lg n ? lg( ) 2 , 解得 an ? 4( ) 2 , 4 4 4 4 4 4

数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 4( )

3 4

2n ?1

.

19

21. 略解: (1)

f ? x1 ? ? f ? x2 ? 2

?

?1 1 2 ? x1 ? x22 ? ? ? x ? x1 2 ? 1 2

? a ? ? ? ln x1 ? ln x2 ? ? 2

?

1 2 ? x1 ? x22 ? ? x1x?xx2 ? a ln x1x2 . 2 1 2
2

x ?x 4 ?x ?x ? ?x ?x ? f ? 1 2 ??? 1 2 ? ? ? a ln 1 2 , 2 ? 2 ? ? 2 ? x1 ? x2
1 2 1 2 ? x ? x2 ? 2 2 而 ? x1 ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ? ? ? 1 ? , 2 4 ? 2 ?
2
2 2 又 ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ? 4 x1 x2 ,得 2

x1 ? x2 4 , ? x1 x2 x1 ? x2
x1 ? x2 2
, 由 于

x1 ? x2 2 x ?x a ln x1 x2 ? a ln 1 2 . 2


x1 x2 ?

,



ln x1 x2 ? ln

a?0

,



所以

1 2 4 ? x1 ? x22 ? ? x1x?x x2 ? a ln x1x2 ? ? x1 ? x2 ? ? x ? x ? a ln x1 ? x2 . ? ? 2 2 ? 2 ? 1 2 1 2
2

所以

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?x ?x ? ? f ? 1 2?. 2 ? 2 ?
2 a
f ' ? x1 ? ? f ' ? x2 ? ? x1 ? x2 2 ?

(2) f

'

? x ? ? 2 x ? x 2 ? x ,故

2 ? x1 ? x2 ? a ? 2 2 x1 x2 x1 x2

f ' ? x1 ? ? f ' ? x2 ? ? x1 ? x2 ? 2 ?

2 ? x1 ? x2 ? x x
2 2 1 2

?

a ? 1, x1 x2

下面证明: 2 ?

2 ? x1 ? x2 ? a ? ? 1 成立. 2 2 x1 x2 x1 x2

法 1: 2 ?

2 ? x1 ? x2 ? x x
2 2 1 2

?

a ? 2? x1 x2

?

4 x1 x2

?

3

?

a ? 2? x1 x2

?

4 x1 x2

?

3

?

4 . x1 x2

令t ?

1 3 2 ,则 u ?t ? ? 2 ? 4t ? 4t ?t ? 0? , x1 x2 2 ? x1 ? x2 ? a ? 2 ? 38 ? 1.即 2 ? ? ?1. ?? 2 2 x1 x2 x1 x2 ? 3 ? 27

可知 u ? t ? ? u ?

20

法 2: 2 ?

2 ? x1 ? x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? a ? ? 1 即 a ? x1 x2 ? 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2

由于 x1 x2 ? 令t ?

2 ? x1 ? x2 ? x1 x2

? x1 x2 ?

4 . x1 x2

x1 x2 ,则 u ? t ? ? t 2 ?

4 ? t ? 0 ? ,可知 u ? t ? ? u t

? 2? ? 3
3

3

4 ? 3 108 ? 4 ? a .

故 a ? x1 x2 ?

2 ? x1 ? x2 ? 成立. x1 x2
x2 ? a ? x的不动点为0和2 bx ? c

22. 解: (1)设

? a ? a?0 ? ?c ? 0 c ? ? 即? ∴? c 即b ? 1 ? 且c ? 0 2 ? 4 ? a ? 2 ?b ? 1 ? 2 ? ? 2b ? c ?
(2)∵c=2 ∴b=2 ∴ f ? x? ?
2

x2 ? x ? 1? , 2 ? x ? 1?

由已知可得 2Sn=an-an ??①,且 an ≠ 1.
2 当 n ≥ 2 时,2 Sn -1=an-1- an ?1 ??②,

①-②得(an+an-1)( an-an-1+1)=0, ∴an=-an-1 或 an=-an-1 =-1, 当 n=1 时,2a1=a1-a1 ? a1=-1,
2

若 an=-an-1,则 a2=1 与 an ≠ 1 矛盾.∴an-an-1=-1, ∴an=-n. ∴要证不等式, 只要证 ?1 ?

? ?

1? ? n?

?? n ?1?

1 ? 1? ? 1? ? 1? 即证 ?1 ? ? ? e ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? , e ? n? ? n? ? n?

?n

n

n ?1



只要证 n ln ?1 ? 考虑证不等式

? ?

1? 1 ? 1? ? 1? 1 ? ln ?1 ? ? ? . ? ? 1 ? ? n ? 1? ln ?1 ? ? ,即证 n? n ?1 ? n? ? n? n

x ? ln ? x ? 1? ? x (x>0) . (**) x ?1 x 令 g(x)=x-ln(1+x), h(x)=ln(x+1)- (x>0) . x ?1
∴ g ? x? =
'

x x ' , h ? x? = , 2 1? x x ? 1? ?
'

∵x>0, ∴ g ? x ? >0,

h' ? x ? >0,∴g(x)、h(x)在(0, +∞)上都是增函数,
21

∴g(x)>g(0)=0, h(x)>h(0)=0,∴x>0 时,

x ? ln ? x ? 1? ? x . x ?1
an

? 1 ? 1 令 x ? 则(**)式成立,∴ ? 1 ? ? n ? an ?
(3)由(2)知 bn=

an?1

1 ? 1 ? < < ?1 ? ? , e ? an ?

1 1 1 1 ,则 Tn= 1 ? ? ? ? ? ? ? ? . n 2 3 n



1 ? 1? 1 ? ln ?1 ? ? ? 中,令 n=1,2,3, ? ,2008,并将各式相加, n ?1 ? n? n
1 1 1 2 3 2009 1 1 1 ? ? ??? ? ? ln ? ln ? ? ? ? ? ln ? 1? ? ? ??? ? , 2 3 2009 1 2 2008 2 3 2008



即 T2009-1<ln2009<T2008. 23.解:(1)令 x1 ? x2 ? 0 ,得 f (0) ? f ( x0 ) ? 2 f (0) ,

? f ( x0 ) ? ? f (0) ??①,
令 x1 ? 1, x2 ? 0 得 f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? f (1) ? f (0) .

? f (1) ? ? f (0) ??②
由①、②,得 f ?x0 ? ? f ?1? .

? f ( x) 为单调函数,? x0 ? 1 .
(2)由(1)得 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1

? f (n ? 1) ? f (n) ? f (1) ? 1 ? f (n) ? 2 , f (1) ? 1 ,

1 . 2n ? 1 1 1 1 1 又? f (1) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? f (1) . 2 2 2 2 1 1 ? f ( ) ? 0, b1 ? f ( ) ? 1 ? 1. 2 2 1 1 1 1 1 1 ? f ( n ) ? f ( n?1 ? n?1 ) ? f ( n?1 ) ? f ( n?1 ) ? f (1) ? 2 f ( n?1 ) ? 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ?2bn?1 ? 2 f ( n?1 ) ? 2 ? f ( n ) ? 1 ? bn . ?bn ? ( )n?1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn ? ? ??? ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ) 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1) ? (2n ? 1) 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1
? f (n) ? 2n ? 1(n ? N ? ) ,? an ?

1 1 [1 ? ( )n ] 1 0 11 11 1 2 1 n ?1 1 n 1 1 3 1 2 n ?1 2 4 ? 2 [1 ? ( 1 ) n ] Tn ? ( ) ( ) ? ( ) ( ) ? ? ? ( ) ( ) ? ? ( ) ? ? ? ( ) ? 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 1? 4

22

4 2 1 2 1 2 1 1 ? Sn ? Tn ? (1 ? ) ? [1 ? ( )n ] ? [( )n ? ]. 3 3 2n ? 1 3 4 3 4 2n ? 1
1 0 ? 4n ? (3 ? 1)n ? Cnn 3n ? Cnn ?1 3n ?1 ? ? ? Cn 3 ? Cn ? 3n ? 1 ? 2n ? 1

4 2 1 1 ? Sn ? Tn ? [( )n ? ]? 0. 3 3 4 2n ? 1
24.解:(1)? f ( x) ?

4 ? Sn ? Tn 3

a x ( x ? 0) ,则 an ?1 ? f (an ) ? n , 1 ? an 1? x 1 1 1 1 ? ? 1 ,即 ? ? 1, 得 an?1 an an?1 an 1 1 1 ? n ? 1 ,即 an ? ∴数列 { } 是首项为 2、公差为 1 的等差数列,∴ . an an n ?1 1 (2)? [ f ( x)]? ? ,∴函数 f ( x) 在点 (n, f (n))(n ?N*)处的切线方程为: (1 ? x) 2 n 1 n n n2 y? ? ( x ? n) ,令 x ? 0 ,得 bn ? . ? ? 1 ? n (1 ? n)2 1 ? n (1 ? n) 2 (1 ? n) 2 b ? ? ?2 ? n ? ? n2 ? ? (n ? 1) ? (n ? )2 ? ? ? ,仅当 n ? 5 时取得最小值, 2 an an 2 4

? 5.5 ,解得 ? 11 ? ? ? ?9 ,故 ? 的取值范围为 (?11,?9) . 2 (3)? g ( x) ? f ( x)(1 ? x)2 ? x(1 ? x) ,故 cn?1 ? g (cn ) ? cn (1 ? cn ) , 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? c1 ? ? 0 ,故 cn ? 0 ,则 ,即 . ? ? ? 1 ? cn cn cn?1 cn?1 cn (1 ? cn ) cn 1 ? cn 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ ? ??? ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 1 ? c1 1 ? c2 1 ? cn c1 c2 c2 c3 cn cn?1 1 1 1 ? 2? ? 2. = ? c1 cn?1 cn?1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 26 又 ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? 1, 1 ? c1 1 ? c2 1 ? cn 1 ? c1 1 ? c2 1 ? 1 1 ? 3 3 7 21 2 4 1 1 1 故1 ? ? ??? ? 2. 1 ? c1 1 ? c2 1 ? cn
只需 4.5 ? ?

?

23


广东省广州市2013届高三英语考前训练试题(广州三模)新人教版

广东省广州市2013届高三英语考前训练试题(广州三模)新人教版 隐藏>> 2013 年广州市高三训练题 英语 本试卷共 10 页, 三大题, 满分 135 分。考试用时 120 分...

广东省广州市2013届高三数学毕业班综合测试(二)试题 文(广州二模)新人教版

广东省广州市2013届高三数学毕业班综合测试(二)试题(广州模)新人教版 隐藏...? 10.某校高三(1)班 50 个学生选择选修模块课程,他们在 A、B、C 三个...

广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题(一)数学文试题(纯word版)+参考答案

试卷类型:A 2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(文科) 2013.3试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷...

广东省广州市2013届高三第二次模拟理科数学2013.4

​二​次​​拟​理​科​数​学​2​0​1​3​....试卷类型:B 2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学(理科) 2013.4 ...

2013课标版数学考前综合试题一A

广东省广州市2013届高三数... 暂无评价 16页 免费...2013课标版数学考前综合试题一A2013课标版数学考前综合...(2,3) C. (3,4) D. (1,5) 11.(理) (...

2015广州三模文数试题

2015广州三模文数试题_数学_高中教育_教育专区。...2015 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料 (...x2 ) y2 4 3 ④ 同理可得直线 PN 的方程为 ...

2013年广州市高三理科数学调研测试、一模、二模试题分类整理

2013 年广州市高三理科数学调研测试、一模、二模试题分类整理 1.集合与常用逻辑用语 GZ-T 2.已知集合 A ? {0,1,2,3,4} ,集合 B ? {x | x ? 2n, ...

广州市2012年高三文科数学三模考试试题及答案

广州市2012年高三文科数学三模考试试题及答案_数学_高中教育_教育专区。高考高中学习 http://user.qzone.qq.com/1394287328 2012 届高三文科数学测试 2012 年 5 ...

广州市执信中学2014届高三数学(理)三模

广州市执信中学 2014 届高三数学(理)三模一、选择题: 1.已知全集 U=R,则正确表示集合 M= { x |x +2x>0}和 N= {-2,-1,0}关系的韦恩(Venn)图是(...

广州市执信中学2014届高三数学(理)三模

广州市执信中学 2014 届高三数学(理)三模一、选择题: 1.已知全集 U=R,则正确表示集合 M= { x |x +2x>0}和 N= {-2,-1,0}关系的韦恩(Venn)图是(...

广州市高职考前辅导班 | 广东省广州市 | 广东省广州市江高大宗 | 广东省广州市荔湾芳村 | 广东省广州市海珠区 | 广东省广州市嘉和公司 | 广东省广州市天河区 | 广东省广州市花都区 |