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河北省衡水中学2013-2014学年高一下学期期中考试


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2013—2014 学年度第二学期期中考试 高一年级理科数学试卷
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ 卷(选择题

60 分)

A. 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案 的序号填涂在答题卡上)

1. sin(?210 ) 等于(
?



A.

1 2

B.

3 2

C.-

1 2

D. -

3 2


2.从三件正品、一件次品中随机取出两件,则取出的产品全是正品的概率是( 1 1 1 A. B. C. D. 无法确定 4 2 8
3. 已知点 P( tan ? , cos ? )在第四象限,则角 ? 在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 )

D.第四象限

4. 某公司现有普通职员160 人,中级管理人员 30 人,高级管理人员10 人,要从公司抽取

m 个人进行身体健康检查,如果采用分层抽样的方法,其中高级管理人员仅抽到 1 人,
那么 m 的值为( A.1 ) B.3 C.16 D.20

5.一组数据中的每一个数据都乘以 2,再减去 80,得到一组新数据,若求得新数据的平均数是
1.2,方差是 4.4,则原来数据的平均数和方差分别是( A.40.6,1.1 B.48.4,4.4 C.81.2,44.4 ) D.78.8,75.6

6. 某商品的销售量 y (件)与销售价格 x (元/件)存在线性相关关系,根据一组样本数

? ? ?10 x ? 200, 则下列结论正 据 ( xi , yi )(i ? 1, 2,…,n) ,用最小二乘法建立的回归方程为 y
确的是( )

A. y 与 x 具有正的线性相关关系

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B.若 r 表示变量 y 与 x 之间的线性相关系数,则 r ? ?10 C.当销售价格为 10 元时,销售量为 100 件 D.当销售价格为 10 元时,销售量为 100 件左右
7.读程序 甲: i=1 S=0 WHILE i<=1000 S=S+i i=i+l WEND PRINT S END 乙: i=1000 S=0 DO S=S+i i=i-1 Loop UNTIL i<1 PRINT S END ( )

对甲乙两程序和输出结果判断正确的是 A.程序不同,结果不同 C.程序相同,结果不同

B.程序不同,结果相同 D.程序相同,结果相同

8. 函数 f ( x ) ? 4 sin( 4x ? A.周期为 ? 的奇函数 C.周期为

5? ) 是( 2



B.周期为 ? 的偶函数 D.周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2

9. 已知 sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ?
A. ?

? ? 2 ? ( ? ? ? ?) ,则 sin( ? ? ) ? cos( ? ? ) ? ( 2 2 3 2
C.

)

7 9

B. ?

4 3

4 3
?1 ? ? ?

D. ?

4 3


10. 已知角 ? 的终边与单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 交于点 P ? , y ? ,则 sin( 2 A. ?
3 2

?
2

??) ? (

B. ?

1 2

C. 1

D.

1 2

11. 已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的图像关于直线 x ?

5? 对称,则实数 a 的值为( 3



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A. ? 3

B. ?

3 3

C. 2

D.

2 2

12. 在 ?ABC 中, ?ABC ? 600 , AB ? 2, BC ? 6 ,在 BC 上任取一点 D,使 ?ABD 为
钝角三角形的概率为( A. ) C.

2 3

B.

1 3

1 2

D.

2 5
共90分)

第Ⅱ 卷(非选择题

B. 填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上)

13. 阅读如图所示的程序框图,则输出的 S ? ___________. 14. 已知 sin ? ? 2 cos ? ,则

sin ? ? cos ? 的值是 sin ? ? cos ?

.

15. 函数 f(x)=sin( ? x ?

?
3

), x ? (0, ? ) 的单调增区间为_________.

16. 在区间 ? -3 , 3? 上随机取一个数 x ,使得函数 f ? x ? ? 1? x ? x ? 3 ?1 有意义的概率为____
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤,写在答题纸的相应位置)

17.(本题 10 分) 已知 f (? ) ?

sin(? ? ? ) cos(2 ? ? ?)sin( ?? ? cos(?? ? ? ) cos(?? ? 3? ) 2

3? ) 2

(1)化简 f (? ) ;

(2)若 cos ? ? 2sin ? ? ? 5 ,求 f (? ) 的值.

18.(本题12分)已知函数 f (x ) ? 2 sin( 2x ? ⑴求 最小正周期;

?
3

)。

⑵求

在区间

上的最大值和最小值及取得最值时 的值。

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19. (本题 12 分)某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况,得出如下该种产品日需 求量的频率分布直方图.

(1)求图中 a 的值,并估计日需求量的众数; (2)某日,经销商购进 130 件该种产品,根据近期市场行情,当天每售出 1 件能获利 30 元, 未售出的部分, 每件亏损 20 元. 设当天的需求量为 x 件( 100 ? x ? 150 ), 纯利润为 S 元. (ⅰ)将 S 表示为 x 的函数; (ⅱ)根据直方图估计当天纯利润 S 不少于 3400 元的概 率.
20. (本题 12 分)我市某校高三年级有男生 720 人,女

生 480 人, 教师 80 人, 用分层抽样的 提供了被调查人答卷情况的部分信息. 同意 男生 女生

方法从中抽取 16 人, 进行新课程改革的问卷调查,

设其中某项问题的选择分为“同意”与“不同意”两种,且每人都做了一种选择,下面表格中

不同意 5 3

合计

教师
(1)求 的值;

1

(2)若面向高三年级全体学生进行该问卷调查,试根据上述信息,估计高三年级学生选 择“同意”的人数; (3) 从被调查的女生中选取2人进行交谈, 求选到的两名女生中, 恰有一人 “同意”一人“不 同意”的概率. 21. (本题12分)已知关于 x 的一元二次函数 机 取 一 个 数 a 和 b 得 到 数 对 ,分别从集合 P 和 Q 中随 。( 1 ) 若

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, 列举出所有的数对 C. 若 , 上是增函数的概率。

, 并求函数 ,求函数

有零点的概率; 在区间

22. (本题12分)已知函数 f ( x) ? 2x2 ? 3x ? 1 , g ( x) ? A sin( x ?

?
6

) ,( A ? 0 )

(1)当 0 ≤ x ≤

? 时,求 y ? f (sin x) 的最大值; 2

(2)若对任意的 x1 ? ?0,3? ,总存在 x2 ? ?0,3? ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 A 的取值范围; (3) 问 a 取何值时, 不等式 f (sin x ) ? a ? sin x 在 ?0,2? ? 上恒成立?高一理科数学答

案 ABCDA

DBDCD

BC

13.15

14.3

15.(

5? ,? ) 6

16.

2 3

17. (1)

3? ? ) sin ? cos ? sin(? ? ) 2 ? 2 f (? ) ? 3? ? cos(?? ? ? ) cos(?? ? ) cos ? cos(? ? ) 2 2 ? cos ? 5 5 ? sin ? ? ? cos ? ;(2) cos? ? ? , f (? ) ? 18. 解: (Ⅰ)因为 f(x) sin ? 5 5 sin(? ? ? ) cos(2? ? ? )sin(?? ?
所以 (Ⅱ) 因为 , 所以 所

以 ,当

,所以 即 时,

,当
19.



时,

解:(1)由直方图可知:(0.013+0.015+0.017+ a +0.030)× 10=1,∴a ? 0.025 ∵
120 ? 130 估计日需求量的众数为 125 件. ? 125, ∴ 2

(2)(ⅰ )当 100 ? x ? 130 时, S ? 30 x ? 20(130 ? x) ? 50 x ? 2600, 当 130 ? x ? 150 时,
?50 x ? 2600,100 ? x ? 130 S ? 30 ? 130 ? 3900, ∴S ? ? (ⅱ )若 S ? 3400 由 50x ? 2600 ? 3400 得 130 ? x ? 150 ?3900, 由直方图可知当 120 ? x ? 150 时的频率是 x ? 120 ,∵100 ? x ? 150 ,∴120 ? x ? 150 .∴
(0.030 ? 0.025 ? 0.015) ? 10 ? 0.7 ,∴ 可估计当天纯利润 S 不少于 3400 元的概率是 0.7.

20. 解: (1)男生抽:

人,女生抽:
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人,教师抽:



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∴ 数约为 意”的 2 人为 访谈共

解得: 人(或 ,“不同意”的 4 人为 人)

(2)高三年级学生“同意”的人 (3)记被调查的 6 名女生中“同 有 15 种结果。记 包含 (2) ={选

。则从被调查的 6 名女生中选取 2 人进行

到的两名女生中恰有一人“同意”一人“不同意”}则 Cc 共 9 种结果。∴

21. (1)

解析: (1)由已知得, 有的有序数列有 , 零点 有6对 , , , , , , , , , , , , , , , 即 , , , , 要使 , ,共有 18 对

所 , 有 共

满足条件的有序数对有 (2)要使

单调递增,

可看成是平面区域 而满足条件是在平面区域

中的所有点 中的所有点

22.(1)当 t ? 0 时, ymax ? 1 (2) A ? 10 或 A ? ?20 ;(3)a>5 ;

解析:(1) y ? f (sin x) ? 2sin 2 x ? 3sin x ? 1 设 t ? sin x, x ? [0,

?
2

] ,则 0 ? t ? 1

∴ y ? 2(t 2 ?

3 3 1 t ) ? 1 ? 2(t ? ) 2 ? ∴ 当 t ? 0 时, ymax ? 1 2 4 8

(2)当 x1 ? [0,3] ∴ f ( x1 ) 值域为 [ ? ,10] 当 x2 ?[0,3] 时,则 ?

?

1 ? 1 ? sin( x2 ? ) ? 1 ① 当 A ? 0 时, g ( x2 ) 值域为 [? A, A] ② 当 A ? 0 时, g ( x2 ) 值域为 2 6 2

1 8

?
6

? x2 ?

?
6

? 3?

?
6



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[ A, ?

1 A] 而依据题意有 f ( x1 ) 的值域是 g ( x2 ) 值域的子集则 2

? ?A ? 0 ? ?10 ? A ? 1 1 ?? ? ? A 2 ? 8

? ?A ? 0 ? 1 ? 或 ?10 ? ? A ∴A ? 10 或 A ? ?20 2 ? ? 1 ? ?A ? ? 8
(3)f (sin x ) ? a ? sin x 化为 2 sin 2 x ? 2 sin x ? 1 ? a 在 [0, 2? ) 上恒成立,令 t ? sin x 则 t∈[ ?1,1] y ? 2t 2 ? 2t ? 1 ? 2(t ? ) 2 ?

1 2

1 1 ? [ ,5] 所以 a>5. 2 2

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