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上海市华师大二附中高三数学综合练习试卷(共十套)


上海市华师大二附中高三综合练习试卷(共十套)

上海市华师大二附中高三年级综合练习[1]
数学
一、填空题 (本大题满分 48 分) 本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对 得 4 分,否则一律得零分。 1 .函数 y ? f ( x)( x ? R) 图象恒过定点 (0,1) ,若 y ? f ( x) 存在反函数 y ?

f
?1

( x) ,则

y? f

?1

( x) ? 1 的图象必过定点



2 . 已 知 集 合 A ? y y ? 2 ? 1, x ? R , 集 合 B ? y y ? ? x ? 2 x ? 3 , x ? R , 则 集 合
x

?

?

?

2

?

?x x ? A且x ? B? ?
。 3. 若角 ? 终边落在射线 3x ? 4 y ? 0( x ? 0) 上, 则 tan?? ? arccos(?

? ?

2 ? )? ? 2 ?



4 . 关 于 x 的 方 程 x ? (2 ? i ) x ? 1 ? mi ? 0(m ? R) 有 一 实 根 为 n , 则
2

1 ? m ? ni



5.数列 ?a n ?的首项为 a1 ? 2 ,且 an?1 ? (a1 ? a2 ? ? ? an )(n ? N ) ,记 S n 为数列 ?a n ? 前 n 项 和,则 S n ?
?x ? ? 6. (文)若 x, y 满足 ? x ? ? ?x ? ? ?x ?
n

1 2


y?5 y ? 1 ,则目标函数 s ? 3x ? 2 y 取最大值时 x ? y?3 y ? ?1



1? ? (理)若 ? 3 x ? ? (n ? N ) 的展开式中第 3 项为常数项,则展开式中二项式系数最大的是 x? ?
第 项。

7. 已知函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? 2? ) , 若对任意 x ? R 有 f ( x) ? f ( 成立,则方程 f ( x) ? 0 在 ?0, ? ?上的解为 。

5 ?) 12

8.某足球队共有 11 名主力队员和 3 名替补队员参加一场足球比赛,其中有 2 名主力和 1

名替补队员不慎误服违禁药物,依照比赛规定,比赛后必须随机抽取 2 名队员的尿样化 验,则能查到服用违禁药物的主力队员的概率为 9.将最小正周期为 左平移 。 (结果用分数表示)

? 个单位,得到偶函数图象,则满足题意的 ? 的一个可能值为 4

? ?x ? ? ) ? sin(?x ? ? )(? ? 0, ? ? 2? ) 的图象向 的函数 g ( x) ? cos( 2


10.据某报《自然健康状况》的调查报道,所测血压结果与相应年龄的统计数据如下表,观 察表中数据规律,并将最适当的数据填入表中括号内。 年龄(岁) 收缩压 (水银柱/毫 米) 舒张压 (水银柱/毫 米) 11.若函数 f ( x ) ? min ?3 ? log 1 x, log 2 x ? ,其中 min ?p, q? 表示 p, q 70 73 75 78 80 73 85 ?? 110 115 120 125 130 135 145 ?? 30 35 40 45 50 55 60 65 ??

? ?

? ?

4

两者中的较小者,则 f ( x) ? 2 的解为



12.如图, P1 是一块半径为 1 的半圆形纸板,在 P1 的左下端剪去一个半 径为

1 的半圆得到图形 P2 ,然后依次剪去一个更小的半圆(其直径是前一个被剪掉半 2

圆 的 半 径 ) 可 得 图 形 P3 , P4 ,?, Pn ,? , 记 纸 板 Pn 的 面 积 为 S n , 则

lim S n ?
n??



二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对 得 4 分,不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分。 13.已知 a, b, c 满足 c ? b ? a且ac ? 0 ,则下列选项中不一定能成立的是( A、 ab ? ac B、 c(b ? a) ? 0 C、 cb ? ca
2 2



D、 ac(a ? c) ? 0

14.下列命题正确的是(



A、若 lim a n ? A , lim bn ? B ,则 lim
n?? n??

an A ? (bn ? 0) 。 n ?? b B n

B、函数 y ? arccos x(?1 ? x ? 1) 的反函数为 y ? cos x, x ? R 。 C、函数 y ? x
m 2 ? m ?1

(m ? N ) 为奇函数。

D、函数 f ( x) ? sin 2 x ? ( ) 15.函数 f ( x) ? A、 0 ? a ? 1

2 3

x

?

1 1 ,当 x ? 2004 时, f ( x) ? 恒成立。 2 2
) D、 a ? 1

a ? x2 为奇函数的充要条件是( x ?1 ?1
B、 0 ? a ? 1 C、 a ? 1

16 .不等式 loga x ? s in 2 x(a ? 0且a ? 1) 对任意 x ? (0, ( ) A、 (0,

?
4

) 都成立,则 a 的取值范围为

?
4

)

B、 (

?
4

,1)

C、 (

?

,1) ? (1, ) 4 2

?

D、 (0,1)

三、解答题 (本大题满分 86 分) 本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 17. (本题满分 12 分)

?ABC 中角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c ,若 a ? 2 3, c ? 2, 1 ?
S。

tgA 2c ? ,求 ?ABC 的面积 tgB b

18. (本题满分 12 分) 设 复 数 z1 ? x ? yi( x, y ? R, y ? 0) , 复 数 z 2 ? cos? ? i sin ? (? ? R) , 且

z12 ? 2 z1 ? R, z1 在复平面上所对应点在直线 y ? x 上,求 z1 ? z 2 的取值范围。

19. (本题满分 14 分) 已知关于 x 的不等式

ax ? 5 ? 0 的解集为 M 。 x2 ? a

(1)当 a ? 4 时,求集合 M ; (2)若 3 ? M且5 ? M ,求实数 a 的取值范围。

20. (本题满分 14 分) 如图,一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ,当Ⅰ、Ⅱ分别 输入正整数 m, n 时,输出结果记为 f (m, n) , 且计算装置运算原理如下: ①若Ⅰ、Ⅱ分别输入 1,则 f (1,1) ? 1 ;②若Ⅰ输入固定的正整数,Ⅱ输入的正整数增 大 1,则输出结果比原来增大 3;③若Ⅱ输入 1,Ⅰ输入正整数增大 1,则输出结果为原来 3 倍。试求: (1) f (m,1) 的表达式 (m ? N ) ; (2) f (m, n) 的表达式 (m, n ? N ) ; (3)若Ⅰ,Ⅱ都输入正整数 n ,则输出结果 f (n, n) 能否为 2006?若能, 求出相应的 n ;若不能,则请说明理由。

21. (本题满分 16 分) 对数列 ?a n ?,规定 ??an ?为数列 ?a n ?的一阶差分数列,其中 ?a n ? a n ?1 ? a n (n ? N ) 。 对 自 然 数

k , 规 定

?? a ?
k n



?a n ?



k 阶 差 分 数 列 , 其 中

?k a n ? ?k ?1 a n ?1 ? ?k ?1 a n ? ?(?k ?1 a n ) 。
(1)已知数列 ?a n ?的通项公式 a n ? n ? n(n ? N ), ,试判断 ??an ?, ? a n 是否为等差
2 2

?

?

或等比数列,为什么? (2)若数列 ?a n ? 首项 a1 ? 1 ,且满足 ? a n ? ?a n ?1 ? a n ? ?2 (n ? N ) ,求数列 ?a n ? 的
2 n

通项公式。 (3) (理) 对 (2) 中数列 ?a n ?, 是否存在等差数列 ?bn ? , 使得 b1C n ? b2 C n ? ? ? bn C n ? a n
1 2 n

对一切自然 n ? N 都成立?若存在,求数列 ?bn ? 的通项公式;若不存在,则请说明 理由。

22. (本题满分 18 分) 已知函数 f ( x) 是定义在 ?? 2,2?上的奇函数, 当 x ? [?2,0) 时, f ( x) ? tx ? 常数) 。 (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)当 t ? [2,6] 时,求 f ( x) 在 ?? 2,0? 上的最小值,及取得最小值时的 x ,并猜想 f ( x) 在 ?0,2?上的单调递增区间(不必证明) ; (3)当 t ? 9 时,证明:函数 y ? f ( x) 的图象上至少有一个点落在直线 y ? 14 上。

1 3 x (t 为 2

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[1] 参考答案 1. ?1,1? 7. 2. ?2,???

1 3. ? 7
9.

1 1 4. ? i 2 2
10.140,88

?3? 5. 2 ? ? ? ?2?
11.

n ?1

6. (文) 4 ; (理) 5 12.

?
6

or

2? 3
14.C

8.

25 91
15.B

? 4
16.B

x ? 4or0 ? x ? 4

? 3

13. C

sin? A ? B ? 2 sin C tgA 2c 1 17.解:由 1 ? 及正弦定理,得 cos A cos B ? ,即 cos A ? , (其余 ? sin B tgB b sin B 2 cos B
略) 。 18.解: ?

? z1 2 ? 2 z1 ? R ?Re z1 ? Im z1

? x 2 ? y 2 ? 2 xyi ? 2 x ? 2 yi ? R ?2 xy ? 2 y ? 0 ?? ?? ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0

? x ? y ? 1 ? z1 ? 1 ? i ,
z1 ? z 2

?

?1 ? cos? ?2 ? ?1 ? sin ? ?2

?? ? ? 3 ? 2 2 sin? ? ? ? 4? ?



z1 ? z 2 ?

?

2 ? 1, 2 ? 1 。

?

19.解: (1) a ? 4 时,不等式为

4x ? 5 ?5 ? ? 0 ,解之,得 M ? ?? ?,?2 ? ? ? ,2 ? ; 2 x ?4 ?4 ?

? 3a ? 5 ?0 ? ?3 ? M ? 9?a (2) a ? 25 时, ? ?? ?5 ? M ? 5a ? 5 ? 0 ? ? 25 ? a
不等式为

5 ? ?a ? 9ora ? ? 5? 3 ? a ? ?1, ? ? ?9,25 ? , a ? 25 时, ? ? 3? ? ?1 ? a ? 25

25 x ? 5 ?1 ? ? 0 , 解得 M ? ?? ?,?5? ? ? ,5 ? ,则 3 ? M且5 ? M ,∴ a ? 25 满 2 x ? 25 ?5 ?
? 5? ? 3?

足条件,综上,得 a ? ?1, ? ? ?9,25? 。 20.解: (1) f ?m,1? ? 3 f ?m ? 1,1? ? 3 f ?m ? 2,1? ? ? ? 3
2 m ?1

f ?1,1? ? 3m?1 ,




2



f ?m, n ? ? f ?m, n ? 1? ? 3 ? f ?m, n ? 2? ? 3 ? 2 ? ? ? f ?m,1? ? 3?n ? 1? ? 3m?1 ? 3?n ? 1? ,
( 3 )

f ?n, n ? ? 3 n ?1 ? 3?n ? 1?





f ?7,7 ? ? 36 ? 18 ? 7 4? 2 7 0 0 ,6

f ?8,8? ? 37 ? 21 ? 2208 ? 2006 ,∴ f (n, n) 输出结果不可能为 2006。
21.解: (1)?a n ? a n ?1 ? a n ? ?n ? 1? ? ?n ? 1? ? n ? n ? 2n ? 2 ,∴ ??an ?是首项为 4,
2 2

?

?

公差为 2 的等差数列。 ? a n ? 2?n ? 1? ? 2 ? ?2n ? 2? ? 2 ,∴ ? a n 是首项为 2,公差为 0
2 2

?

?

的等差数列;也是首项为 2,公比为 1 的等比数列。 ( 2) ? a n ? ?a n ?1 ? a n ? ?2 ,即
2 n

?a n?1 ? ?a n ? ?a n?1 ? a n ? ?2 n ,即 ?a n ? a n ? 2 n ,∴ a n ?1 ? 2a n ? 2 n ,∵ a1 ? 1 ,∴

a 2 ? 4 ? 2 ? 21 , a3 ? 12 ? 3 ? 2 2 , a4 ? 32 ? 4 ? 2 3 ,猜想: a n ? n ? 2 n ?1 ,
证明:ⅰ)当 n ? 1时, a1 ? 1 ? 1 ? 2 ;ⅱ)假设 n ? k 时, a k ? k ? 2
0
k ?1

; n ? k ? 1 时,

a k ?1 ? 2a k ? 2 k ? k ? 2 k ? 2 k ? ?k ? 1? ? 2 ?k ?1??1 结 论 也 成 立 , ∴ 由 ⅰ ) 、ⅱ)可知,

a n ? n ? 2 n ?1 。
(3) b1C n ? b2 C n ? ? ? bn C n ? a n ,即 b1C n ? b2 C n ? ? ? bn C n ? n ? 2
1 2 n 1 2 n 1 2 3 n n ?1

, ,

∵ 1C n ? 2C n ? 3C n ? ? ? nCn ? n C n ?1 ? C n ?1 ? C n ?1 ? ? ? C n ?1 ? n ? 2
0 1 2 1 2 n

?

n ?1

?

n ?1

∴存在等差数列 ?bn ? , bn ? n ,使得 b1C n ? b2 C n ? ? ? bn C n ? a n 对一切自然 n ? N 都 成立。

1 1 (? x) 3 ? ?tx ? x 3 , ∵ 2 2 1 函数 f ( x) 是定义在 ?? 2,2? 上的奇函数,即 f ?? x ? ? ? f ?x ? ,∴ ? f ?x ? ? ?tx ? x 3 ,即 2 1 1 f ( x) ? tx ? x 3 , 又 可 知 f ?0? ? 0 , ∴ 函 数 f ( x) 的 解 析 式 为 f ( x) ? tx ? x 3 , 2 2
22.解: (1) x ? ?0,2?时,? x ? ?? 2,0? , 则 f (? x) ? t (? x) ?

x ? ?? 2,2? ;
(2) f ? x ? ? x? t ?

? ?

1 2? 1 x ? ,∵ t ? [2,6] , x ? ?? 2,0? ,∴ t ? x 2 ? 0 , 2 ? 2
3



? f ?x ??2

1 2 1 2? ? 2 2 ? x ? t ? x ? t ? x ? 8t 3 1 1 ? ? 2 2 ? ? ? x2 ?t ? x2 ? ? ? ,∴ x 2 ? t ? x 2 , 3 27 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ?

即 x2 ?

6t 2 6 2t 6t (? ? ?? 2,0?) 时, f min ? ? t t 。 ,x ? ? 3 3 3 9
? ? 6t ? ?。 3 ?
任 取

猜想 f ( x) 在 ?0,2?上的单调递增区间为 ?0, ( 3 )

t ?9





? 2 ? x1 ? x2 ? 2





? 1 2 2 ? f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ? ?x1 ? x 2 ??t ? x1 ? x1 x 2 ? x 2 ? ? 0 , ∴ f ? x ? 在 ?? 2,2? 上单调递增, ? 2 ?
即 f ?x ? ? ? f ?? 2?, f ?2??,即 f ?x ? ? ?4 ? 2t ,2t ? 4? , t ? 9 ,∴ 4 ? 2t ? ?14,2t ? 4 ? 14 , ∴ 14 ? ?4 ? 2t ,2t ? 4? ,∴当 t ? 9 时,函数 y ? f ( x) 的图象上至少有一个点落在直线

?

?

y ? 14 上。

上海市华师大二附中高三年级综合练习[2]
数学
一、填空题 (本大题满分 48 分) 本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对 得 4 分,否则一律得零分。 1、 不等式 ?1 ? x ? 1 ? x ? 0 的解为__________。

?

?

? ?0 ? x ? 1 ? 2、 (文)条件 ?0 ? y ? 1 下,函数 p ? log 2 ?2 x ? y ? 的最小值为__________。 5 ? 3 ?x ? y ? 2 ?
( 理 ) 若 ?x ? 1? ? x n ? ? ? ax3 ? bx 2 ? ? ? 1, n ? N * , 且 a ︰ b ? 3 ︰ 1 , 则
n

?

?

n ? __________。
g?1 ? x ? , 则 3、 设 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 , f ?x ? ? l o 3

f ?? 2? ? __________。
4、 将函数 y ?

1 的图像向左平移一个单位后得到 y ? f ?x ? 的图像, 再将 y ? f ?x ? 的图 x?a

像绕原点旋转 180 ? 后仍与 y ? f ?x ? 的图像重合,则 a ? __________。 5、 设 数 列 ?a n ? 、 ?bn ? 均 为 等 差 数 列 , 且 公 差 均 不 为 0 , lim

an ?3 , 则 n?? b n

lim

b1 ? b2 ? ? ? bn ? __________。 n ?? n ? a3n

6、 一人口袋里装有大小相同的 6 个小球,其中红色、黄色、绿色的球各 2 个。如果任意取 出 3 个小球,那么其中恰有 2 个小球同颜色的概率是__________(用分数表示) 。 7、 设 a ? b ? c, n ? N ,且
*

1 1 n 恒成立,则 n 的最大值为__________。 ? ? a ?b b?c a ?c

8、 图中离散点是数列 ?a n ?的图像,如 ?1,4 ? 是第一点,表示 a1 ? 4 ,则从第一点起的前 46 个点的纵坐标之和为__________。 9、 若奇函数 y ? f ?x ??x ? 0? ,当 x ? ?0,?? ? 时, f ?x ? ? x ? 1 ,则不等式 f ?x ? 1? ? 0 的 解_________。

10、已知 b 克糖水中含有 a 克糖 ?b ? a ? 0? ,再添加 m 克糖 ?m ? 0 ?(假设全部溶解)糖水 变甜了,试根据这一事实提炼一个不等式___________________。 11、已知命题“已知函数 y ? log a x 与其反函数的图像有交点,且交点的横坐 标 是 x 0 , 0 ? a ? 1 , 且 0 ? x0 ? 1 ” 是 假 命 题 , 请 说 明 理 由 ____________________________________________。 12、直角坐标平面内,我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点。现有一 系 列 顶 点 都 为 整 点 的 等 腰 直 角 三 角 形

?OA1 B1 , ?OA2 B2 , ?OA3 B3 ,?, ?OAn Bn ,?,其中点 O 是坐标原点,直角顶点 An 的坐
标为 ?n, n ? n ? N

?

*

? ,点 B 在 x 轴正半轴上,则第 n 个等腰直角三角形 ?A B 内(不包
n n n

括边界)整点的个数为__________。

二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对 得 4 分,不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分。 13、设 A 、 B 、 I 均为非空集合,且满足 A ? B ? I ,则下列各式中错误的是( (A)U A ? B ? I (B)U A ? U B ? I )
U

(C) A ? U B ? ? (D)U A ? U B ?

B

14、若函数 f ? x ? 、 g ? x ? 的定义域和值域都是 R ,则“ f ?x ? ? g ?x ?, x ? R ”成立的充要条 件是( ) (B) 有无数多个实数 x , 使得 f ?x ? ? g ?x ? (D)不存在实数 x ,使得 f ?x ? ? g ?x ?

(A) 存在 x0 ? R , 使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? (C)对任意 x ? R ,都有 f ?x ? ?

1 ? g ?x ? 2

15 、 等 比 数 列 ?a n ? 中 , a1 ? 512 , 公 比 q ? ?

1 , 用 ?n 表 示 它 的 前 n 项 之 积 : 2
) (D) ? 8

? n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ,则 ? 1 、 ? 2 、?中最大的是(
(A) ?11 (B) ? 10 (C) ? 9

16、某地 2004 年第一季度应聘和招聘人数排行榜前 5 个行业的情况列表如下: 行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易

应聘人数 行业名称 招聘人数

215830 计算机 124620

200250 营销 102935

154676 机械 89115

74570 建筑 76516

65280 化工 70436 )

根据表中的数据,将各行业按就业形势由差到好排列,其中排列正确的是( (A)计算机,营销,物流 (C)营销,贸易,建筑 (B)机械,计算机,化工 (D)机械,营销,建筑,化工

三、解答题 (本大题满分 86 分) 本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 17、 (本题满分 12 分) 已知关于 t 的方程 t ? zt ? 4 ? 3i ? 0?z ? C ? 有实数解,
2

(1)设 z ? 5 ? ai?a ? R ? ,求 a 的值。 (2)求 z 的取值范围。

18、 (本题满分 12 分) 行驶中的汽车,在刹车时由于惯性的作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距 离称为刹车距离。在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离 s (米)与汽车车速 v (千米/ 小时)满足下列关系式 s ?

nv v2 ? ( n 为常数, n ? N ) ,我们做过两次刹车试验,有 100 400

关数据如图所示,其中 6 ? s1 ? 8,14 ? s 2 ? 17 。 (1)求 n 的值; (2)要使刹车距离不超过 12.6 米,则行驶的最大速度应为多少?

19、 (本题满分 14 分) 记函数 f ? x ? ? 的定义域为 B , (1)求 A : (2)若 A ? B ,求 a 、 b 的取值范围。

2?

x?7 的定义域为 A , g ?x ? ? lg??2 x ? b??ax ? 1???b ? 0, a ? R ? x?2

20、 (本题满分 14 分)

已知 f ? x ? 是定义在 R 上的增函数,且记 g ?x ? ? f ?x ? ? f ?1 ? x ? 。 (1) 设 f ?x ? ? x , 若数列 ?a n ?满足 a1 ? 3, a n ? g ?a n ?1 ? , 试写出 ?a n ?的通项公式及前 2m 的和 S 2 m : (2)对于任意 x1 、 x2 ? R ,若 g ?x1 ? ? g ?x2 ? ? 0 ,判断 x1 ? x2 ? 1 的值的符号。

21、 (本题满分 17 分)

ax ?1 ?a ? 0, a ? 1? 。 设 f ?x ? ? 1? ax
(1)求 f ? x ? 的反函数 f (2)讨论 f
?1 ?1

?x ? :

?x ? 在 ?1. ? ? ? 上的单调性,并加以证明:
?1

( 3 )令 g ?x ? ? 1 ? lo ga x ,当 ?m, n? ? ?1,????m ? n? 时, f

?x ? 在 ?m, n? 上的值域是

?g ?n?, g ?m??,求 a

的取值范围。

22、 (本题满分 17 分) 已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 2, n ? a n ?1 ? S n ? n?n ? 1? , (1)求数列 ?a n ?的通项公式: (2) 令 Tn ?

Sn Tn ? Tn ?1 ; , ①当 n 为何正整数值时, ②若对一切正整数 n , 总有 Tn ? m , 2n

求 m 的取值范围。

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[2] 参考答案 1、 ?? ?,?1? ? ?? 1,1? 7、 4 8、 5359 2、 (文)-1 (理) 11 9、 ?? ?,0? ? ?1,2? 10、 3、 ? 1 4、 ? 1 5、

a a?m ? b b?m

1 18

6、

3 5
12、

11、 a ?

2 , x0 ? 2

?n ? 1?2
13、B 14、D 15、C 16、B
2

17 、 解 : ( 1 ) 设 实 数 解 为 t , 由 t ? ?5 ? ai?t ? 4 ? 3i ? 0



?t ? 1ort ? 4 ?t 2 ? 5t ? 4 ? 0 ? ?? ? 3 a? ?? at ? 3 ? 0 ? t ?


a ? 3ora ?
2

3 4





2



z?

t 2 ? 4 ? 3i 4 3 ?t? ? i t t t



9 25 ? 4? z ? ?t ? ? ? 2 ? t 2 ? 2 ? 8 ? 3 2 , t? t t ?
∴ z ? 3 2 ,?? 。

?

?

40 n 1600 ? 6? ? ?8 ?5 ? n ? 10 ? ? ? 100 400 ? ?5 18、解: (1) ? 95 ? n ? 6 , ?n? ? ?14 ? 70 n ? 4900 ? 17 14 ?2 ? 100 400 ?

3v v 2 ? ? 12 .6 ? v 2 ? 24v ? 5040 ? 0 ? ?v ? 84 ??v ? 60 ? ? 0 ? 0 ? v ? 60 , (2) s ? 50 400
∴行驶的最大速度应为 60 千米/小时。 19、解: (1) A ? ? x 2 ?

? ?

x?7 ? ? x?3 ? ? 0? ? ? x ? 0? ? ?? ?,?2? ? ?3,?? ? , x?2 ? ? x?2 ?

(2) ?2 x ? b ??ax ? 1? ? 0 ,由 A ? B ,得 a ? 0 ,则 x ?

b 1 orx ? ? ,即 2 a

1? ?b ? ? B ? ? ? ?,? ? ? ? ,?? ? , a? ?2 ? ?

b ? 1 0? ?3 ? ? ? ?a ? 2 ?? 。 2 ? ?? 2 ? ? 1 ? 0 ? ?0 ? b ? 6 ? a ?

20 、 解 : ( 1 ) an ? g ?a n ?1 ? ? f ?a n?1 ? ? f ?1 ? an ?1 ? ? an ?1 ? ?1 ? an?1 ? ? 2an ?1 ? 1 , 则

a n ? 1 ? 2?a n?1 ? 1? , a1 ? 1 ? 2 ,即数列 ?a n ? 1?是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列,
∴ an ? 2 ? 1 , S 2m ?
n

2 2 2m ? 1 ? 2m ? 2 2 m?1 ? 2m ? 2 ; 2 ?1

?

?

(2)若 x1 ? x2 ? 1 ? 0 ,则 x1 ? 1 ? x2 , x2 ? 1 ? x1 ,∵ f ? x ? 是定义在 R 上的增函数 ∴ f ?x1 ? ? f ?1 ? x2 ?, f ?x2 ? ? f ?1 ? x1 ? ,则 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?1 ? x2 ? ? f ?1 ? x1 ? ∴ f ?x1 ? ? f ?1 ? x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?1 ? x2 ? ? 0 , 即 g ?x1 ? ? g ?x2 ? ? 0 , 与 g ?x1 ? ? g ?x2 ? ? 0 矛 盾, ∴ x1 ? x2 ? 1 ? 0 21、解: (1) f
?1

?x ? ? log a

x ?1 ?x ? 1或x ? ?1? x ?1

(2)设 1 ? x1 ? x 2 ,∵ ∴ 0 ? a ?1 时 , f
?1

x1 ? 1 x 2 ? 1 2?x1 ? x 2 ? ? ? ?0 x1 ? 1 x 2 ? 1 ?x1 ? 1??x 2 ? 1?
f
?1

?x1 ? ?

?x2 ? , ∴

f

?1

?x ? 在 ?1. ? ? ? 上 是 减 函 数 : a ? 1 时 ,

f

?1

?x1 ? ?

f

?1

?x2 ? ,∴ f ?1 ?x ? 在 ?1. ? ? ? 上是增函数。
?1

(3)当 0 ? a ? 1 时,∵ f ∴?

?x ? 在 ?1. ? ? ? 上是减函数,
x ?1 x ?1 ? 1 ? log a x 得 ? ax ,即 ax 2 ? ?a ? 1?x ? 1 ? 0 , x ?1 x ?1

? ?f ? ?f

?m ? ? g ?m ? ,由 log a ?1 ?n ? ? g ?n ?
?1

? ?? ? 0 ? 可知方程的两个根均大于 1 ,即 ? f ?1? ? 0 ? 0 ? a ? 3 ? 2 2 ,当 a ? 1 时,∵ f ?1 ? a ? ?1 ? 2a

?1

?x ? 在

?1. ? ? ? 上是增函数,∴ ? ?

?m ? ? g ?n ? ?m ? 1 ? amn ? an ?? 。 ? a ? ?1 (舍去) ?1 n ? 1 ? amn ? am ? ? ? ? ? f n ? g m ? ?
?f
?1



上,得 0 ? a ? 3 ? 2 2 。 22、解: (1)令 n ? 1, 1 ? a2 ? a1 ? 1 ? 2 ,即 a 2 ? a1 ? 2 ,

由?

?n ? a n ?1 ? S n ? n?n ? 1? ? n ? an?1 ? ?n ? 1?an ? an ? 2n ? an?1 ? an ? 2?n ? 2? , ??n ? 1? ? a n ? S n ?1 ? n?n ? 1?

∵ a 2 ? a1 ? 2 ,∴ a n ?1 ? a n ? 2 n ? N 列, ∴ a n ? 2n , (2)① Tn ?

?

*

?,即数列 ?a ?是以 2 为首项、 2 为公差的等差数
n

S n n?n ? 1? ?n ? 1??n ? 2? ,即 n ? 2?n ? N * ? , ? ? Tn ?1 ? n n 2 2 2 n?1

②∵ T1 ?

S1 3 3 ? 1, T2 ? T3 ? ,又∵ n ? 2 时,Tn ? Tn ?1 ,∴各项中数值最大为 ,∵对一 2 2 2

切正整数 n ,总有 Tn ? m ,∴ m ?

3 。 2

上海市华师大二附中高三综合练习 高三年级数学综合练习[3]
编辑:冯志勇 一、填空题 (本大题满分 48 分) 本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对 得 4 分,否则一律得零分。 ﹡ 1.已知集合 M ? {x || x |? 2, x ? R } , N ? {x | x ? N } ,那么 M ? N ? . 2.在 ?ABC 中, “A? 条件. 2 x 3.若函数 y ? a 在 [?1, 0] 上的的最大值与最小值的和为 3 ,则 a ?

? ”是“ 3 ”的 sin A ?
3



4.设函数 f ( x) ?

2? x 1 1? x ?1 ?1 的反函数为 f ( x) ,则函数 y ? f ( x) 的图象 ? ( ) x ? log 2 2? x 2 1? x

n

与 x 轴的交点坐标是

5. 设数列 {an } 是等比数列,S n 是 {an } 的前 n 项和, 且 Sn ? t ? 3 ? 2 , 那么 t ?



? 2 , x ? (?2, 2) ,则 x ? . x? )? 4 2 ? 1, x ? 0 7.若函数 f ( x) ? ? ,则不等式 x ? f ( x) ? x ? 2 的解集是 ? ?1, x ? 0
6.若 sin(
2

?



8.现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏.小明背对小亮,让小亮按下列四个步骤操作:第一 步:分发左、中、右三堆牌,每堆牌不少于两张,且各堆牌的张数相同;第二步:从左 边一堆拿出两张,放入中间一堆;第三步:从右边一堆拿出一张,放入中间一堆;第四 步:左边一堆有几张牌,就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆.这时,小明准确地说 出了中间一堆牌现有的张数.你认为中间一堆牌的张数是 . 9.若无穷等比数列 {an } 的所有项的和是 2,则数列 {an } 的一个通项公式是

an ?



10.已知函数 y ? f ( x) 是偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 ;当 x ? [?3, ?1 ] 时,记 f ( x) 的 x 最大值为 m ,最小值为 n ,则 m ? n ? . ? 11.已知函数 f ( x) ? sin x , g ( x) ? sin( ? x) ,直线 x ? m 与 f ( x) 、 g ( x) 的图象分别交 2 于 M 、 N 点,则 | MN | 的最大值是 . 12.已知函数 f ( x) ? log 1 (3 ? 1) ?
x 3

1 a?b abx 为偶函数, g ( x) ? 2 x ? x 为奇函数,其中 a 、 2 2


b 为常数,则 (a ? b) ? (a 2 ? b 2 ) ? (a3 ? b3 ) ? ? ? (a100 ? b100 ) ?

二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号, 选对得 4 分,不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律 得零分。 13.若集合 S ? {a, b, c}( a 、b、 c ? R )中三个元素为边可构成一个三角形,那么该三角形 一定不可能 是 ( ) ... A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 ) 14.函数 f ( x) 对任意实数 x 都有 f ( x) ? f ( x ? 1) ,那么 f ( x) 在实数集 R 上是( A.增函数 B.没有单调减区间 C.可能存在单调增区间,也可能不存在单调增区间 D.没有单调增区间

15. 已知农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成. 2003 年某地区农民人均收入为 3150 元(其中工资性收入为 1800 元,其他收入为 1350 元) ,预计该地区自 2004 年起的 5 年内,农民的工资性收入将以 6 %的年增长率增长,其他收入每年增加 160 元.根据以 上数据,2008 年该地区农民人均收入介于( ) A.4200 元~4400 元 B.4400 元~4600 元 C.4600 元~4800 元 D.4800 元~5000 元 16.已知函数 y ? f ( x) 的图象如右图,则函数 y ? f (

?
2

? x) ? sin x 在 [0, ? ] 上的大致图象为
( )
y

f ( x)
1
? π 2
O

?1

π 2

x

三.解答题(本大题满分 86 分,共有 6 道大题,解答下列各题必须写出必要的步骤) 17. (本题满分 12 分) 解关于 x 的不等式 log a [4 ? ( x ? 4)a] ? 2 log a ( x ? 2) ,其中 a ? ( 0 ,1) .

18. (本题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x ? cos ? x (? ? 0) 的最小正周期 T ?

? .
2

(Ⅰ) 求实数 ? 的值; (Ⅱ) 若 x 是 ?ABC 的最小内角,求函数 f ( x) 的值域.

19. (本题满分 14 分) 运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米, 按交通法规限制 50 ? x ? 100(单 x2 位:千米/小时) .假设汽油的价格是每升 2 元,而汽车每小时耗油 (2 ? ) 升,司机的工 360 资是每小时 14 元. (Ⅰ)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (Ⅱ) 当 x 为何值时, 这次行车的总费用最低, 并求出最低费用的值. (精确小数点后两位)

20. (本题满分 14 分) 集合 A 是由具备下列性质的函数 f ( x) 组成的: (1) 函数 f ( x) 的定义域是 [0, ??) ; (2) 函数 f ( x) 的值域是 [?2, 4) ; (3) 函数 f ( x) 在 [0, ??) 上是增函数.试分别探究下列两小题: (Ⅰ)判断函数 f1 ( x) ?

1 x ? 2( x ? 0) ,及 f 2 ( x) ? 4 ? 6 ? ( ) x ( x ? 0) 是否属于集合 A?并简 2

要说明理由. (Ⅱ)对于(I)中你认为属于集合 A 的函数 f ( x) ,不等式 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) , 是否对于任意的 x ? 0 总成立?若不成立,为什么?若成立,请证明你的结论.

21. (本题满分 16 分)
* 1 n2 . ? ? 1( n ? N ) x y (Ⅰ)当 n ? 3 时,求 x ? y 的最小值及此时的 x 、 y 的值;

已知: x ? N , y ? N ,且
*
*

? (Ⅱ)若 n ? N ,当 x ? y 取最小值时,记 an ? x , bn ? y ,求 an , bn ;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,试求 lim 值. 注: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2 2

Tn 的 n ?? n ? S n

1 n(n ? 1)(2n ? 1) . 6

22. (本题满分 18 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax ? x ( a ? R, a ? 0) . 1 (Ⅰ)当0< a < 时, f (sin x) ( x ? R)的最大值为 5 ,求 f ( x) 的最小值. 2 4 (Ⅱ)如果 x ?[0,1]时,总有| f ( x) | ? 1 .试求 a 的取值范围.
2

(Ⅲ)令 a ? 1 ,当 x ? [n, n ?1] ( n ? N ) 时, f ( x) 的所有整数值的个数为 g ( n) ,求数列

?

{

g ( n) } 的前 n 项的和 Tn . 2n

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[3] 参考答案
1. {1, 2} 7. (??,1] 13.D 2.充分不必要 8. 5 . 14.C 3.

1 2


4. (2, 0) . 5. 3 . 10.1 . 11. 2 .

6. 0,1 . 12. ?1 .

9. ( ) 15.B

1 2

n ?1

16.A ∴

17 . 解 : ∵ ( 0 ? a ? 1) , 4a ? 4 ? x? ∴ ? a ? ? ? x?2

log a [4 ? ( x ? 4)a] ? 2 log a ( x ? 2)

? 4 ? ( x ? 4) a ? 0 ? x?2?0 ? ? 4 ? ( x ? 4) a ? ( x ? 2) 2 ?

∴不等式的解集为 {x 2 ? x ? 4} 。

18. 解: (Ⅰ) 因为 f ( x) ? 所以 T ?

2? ? ? , ? ? ?2. 2? 2

3 1 ? 1 sin 2? x ? (1 ? cos 2? x) ? sin(2? x ? ) ? , 2 2 6 2

(Ⅱ) 因 为 x 是 ?ABC 的 最 小 内 角 , 所 以 x ? (0,

?

? 1 ] , 又 f ( x) ? sin(4 x ? ) ? , 所 以 3 6 2

1 f ( x )? [ ? 1, . ] 2
130 x2 14 ?130 19.解: (Ⅰ)设行车所用时间为 t ? 130 (h) , y ? ? 2 ? (2 ? )? , x ? [50.100]. x 360 x x 所以,这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 y ? 130 ?18 ? 2 ?130 x, x ? [50.100].
x 360

(或: y ? 2340 ? 13 x, x 18 ( Ⅱ )

x ? [50.100 ] )

y?

130 ? 18 2 ? 130 ? x,即x ? 18 10 ? 56.88 时,上述不等式中等号成立 x 360 答:当 x 约为 56.88km/h 时,这次行车的总费用最低,最低费用的值约为 82.16 元.
20. 解: (1)函数 f1 ( x) ?

130 ? 18 2 ? 130 ? x ? 26 10 ? 82.16 x 360







x ? 2 不属于集合 A. 因为 f1 ( x) 的值域是 [?2, ??) ,所以函数

f1 ( x) ? x ? 2 不属于集合 A.(或?当x ? 49 ? 0时, f1 (49) ? 5 ? 4 ,不满足条件.) 1 ② 函 f 2 ( x) ? 4 ? 6 ? ( ) x ( x ? 0) 在集合 A 中, 因为: ① 函数 f 2 ( x) 的定义域是 [0, ??) ; 2 数 f 2 ( x) 的值域是 [?2, 4) ;③ 函数 f 2 ( x) 在 [0, ??) 上是增函数. 1 x 1 (2) f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) ? 6 ? ( ) (? ) ? 0 , 2 4 ? 不等式f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) 对于任意的 x ? 0 总成立.
21.解: (Ⅰ)? 当且仅当 (Ⅱ)? 当且仅当

1 9 ? ? 1, x y

? x ? y ? ( x ? y )(

1 9 y 9x ? ) ? 10 ? ? ? 16 , x y x y

?x?4 ?x?4 y 9x ,即 ? 时,取等号. 所以,当 ? 时, x ? y 的最小值为 16 . ? x y ? y ? 12 ? y ? 12
1 n2 y n2 x 1 n2 ? (n ? 1) 2 , ? ? 1 , ? x ? y ? ( x ? y )( ? ) ? n 2 ? 1 ? ? x y x y x y

? x ? n ?1 y n2 x ? ,即 ? 时,取等号. 所以, an ? n ? 1 , bn ? n(n ? 1) . x y ? y ? n(n ? 1) 1 (Ⅲ)因为 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n(n ? 3) , 2 2 2 2 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (1 ? 1 ) ? (2 ? 2 ) ? (3 ? 3 ) ? ? ? (n ? n2 ) n(n ? 1) 1 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? (12 ? 22 ? ? ? n2 ) ? ? n(n ? 1)(2n ? 1) 2 6 Tn 2 1 ? . 所以 lim ? n(n ? 1)(n ? 2) n ?? n ? S 3 3 n 1 1 5 22. 解:⑴ 由 0 ? a ? 知 ? ? ?1 故当 sin x ? 1时 f ( x) 取得最大值为 , 2 2a 4 5 1 1 2 1 2 即 f ?1? ? a ? 1 ? ? a ? ? f ?x ? ? x ? x ? ?x ? 2? ? 1 ,所以 f ( x) 的最小值为 ? 1 ; 4 4 4 4 2 2 ⑵ 由 f ? x ? ? 1 得 ax ? x ? 1, ? 1 ? ax ? x ? 1 对于任意 x ? ?0,1?恒成立,
当 x ? 0 时, f ?x ? ? 0 使 f ? x ? ? 1 成立;
2 ? 1 1 ?1 1? 1 ? a? 2 ? ?? ? ? ? x ? x 2? 4 x 当 x ? 0 时,有 ? ? 2 1 1 1 1 1 ? ? ?a ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? x 4 x ? x 2? ?

① ②
2

1 1 ?1 1? 对于任意的 x ? ?0,1? 恒成立;? x ? ?0,1?? ? 1 ,则 ? ? ? ? ? 0 ,故要使①式成立, 4 x ? x 2?

?1 1? 1 则有 a ? ?2 , 综上所述: ? ? ? ? ?2 , ? 2 ? a ? 0; ? x 2? 4 1 2 ⑶ 当 a ? 1 时, f ?x ? ? ax ? x ,则此二次函数的对称轴为 x ? ? ,开口向上, 2 故 f ? x ? 在 ?n, n ? 1?上为单调递增函数,且当 x ? n, n ? 1 时, f ?n?, f ?n ? 1? 均为整数,
则有 a ? 0 , 又 a ? 0?a ? 0 ; 又??

2

g ? n ? 2n ? 3 5 7 9 2n ? 1 2n ? 3 ? g ?n ? ? 的通项公式为 n ? n ,故 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? n n ? 2 2 2 2 2 2 2 ? 2 ? 1 5 7 9 2n ? 1 2n ? 3 又 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ② ? n?1 2 2 2 2 2n 2 1 5 1 1 ? 2n ? 3 7 2n ? 7 ? 1 由①—②得 Tn ? ? 2? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n ?1 ? ? n ?1 . 2 2 2 2 2 ? 2 2 ?2 2n ? 7 ?Tn ? 7 ? 2n
则数列 ?

故 g ?n ? ? f ?n ? 1? ? f ?n ? ? 1 ? ?n ? 1? ? ?n ? 1? ? n ? n ? 1 ? 2n ? 3
2 2

?n ? N ? ,
?



上海市华师大二附中 2010 届高三上学期综合练习[4] 高三年级数学
编辑:刘瑞兰 审核:仝艳娜 一、填空题 (本大题满分 48 分) 本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对 得 4 分,否则一律得零分。

?1 ? i ? 1. 复数 Z ? ? ? ? ___________. ?1? i ? 2. 函数 y ? 3 sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期是____________. 3. 函数 y ? log 2 ( x ? 1) ? 1 (x>0)的反函数是_____________. 4. 某学校的某一专业从 8 名优秀毕业生中选派 5 名支援中国西部开发建设, 其中甲同学必 须被选派的概率是____________. 1 5. 已 知 f ( x) ? 的 反 函 数 f ?1 ( x) 图 像 的 对 称 中 心 坐 标 是 (0, 2), 则 a 的 值 为 x?a __________. x?2 6. 不等式 ax ? b ? 0 解集为(1, +∞), 则不等式 ? 0 的解集为___________. ax ? b 2 7. 已知等差数列{an}前 n 项和为 Sn. 若 m>1, m∈N 且 a m?1 ? a m?1 ? a m ? 0 S 2m?1 ? 38 , 则 m 等于____________. 8. 将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中, 每个宿舍至少安排 2 名学生, 那么互不相同的分 配方案共有________种. 2a ? 3 9. 函数 f ( x) 是定义在 R 上以 3 为周期的奇函数, 若 f (1) ? 1 , f (2) ? . 则实数 a 的 a ?1 取值范围是________________. 10. 已知等差数列{an}公差不为 0, 其前 n 项和为 Sn, 等比数列{bn}前 n 项和为 Bn, 公比为 ? Sn B ? ? n? q, 且|q|>1, 则 lim ? ? ? =___________________. y n ?? na ? n bn ? 11. 函数 y ? f ( x ? 1) 的图象如图所示,它在 R 上单调递减,现有如下结论: 1 1 1 ⑴ f (0) ? 1 ;⑵ f ( ) ? 1 ;⑶ f ?1 (1) ? 0 ;⑷ f ?1 ( ) ? 0 。 2 2 O 其中正确的命题序号为______________.(写出所有正确命题序号) 12. 已知 n 次多项式 Pn ( x) ? a 0 x n ? a1 x n ?1 ? ? ? ? ? a n ?1 x ? a n . 如果在一种计算中 , 计算
k x0 (k=2,3,4,??, n)的值需要 k ? 1 次乘法, 计算 P3 ( x0 ) 的值共需要 9 次运算(6 次乘 法, 3 次加法). 那么计算 Pn ( x0 ) 的值共需要__________次运算.下面给出一种减少运算 次数的算法 : P0 ( x0 ) ? a 0 , Pk ?1 ( x) ? xPk ( x) ? a k ?1 (k ? 0,1,2,? ? ?, n ? 1) , 利用该算法 , 计算 P3 ( x0 ) 的值共需要 6 次运算, 计算 Pn ( x0 ) 的值共需要__________次运算.

100

1

X

二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对 得 4 分,不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分。

M ? {( x, y) | y ? 1 ? x 2 , x, y ? R} , 则 N ? ?( x, y) | x ? 1, y ? R? , M ?N ?( ) A. A={(1, 0)} B. {y|0≤y≤1} C. {1, 0} D. φ n 14. 设数列{an}前 n 项和 S n ? Aq ? B ,则 A+B=0 是使{an}成为公比不等于 1 的等比数列的 ( )
13. 集 合

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 15. 2002 年 8 月在北京召开了国际数学家大会, 会标如图示,它是由四个相同的直角三角形 与中间的小正方形拼成的一个大正方形, 若直角三角形中较小的锐角为θ ,大正方形面 1 积是 1, 小正方形面积是 , 则 sin 2 ? ? cos 2 ? 的值是( ) 25 7 24 7 A. 1 B. C. D. ? 25 25 25 16 .设 [x] 表示不超过 x 的最大整数 ( 例如: [5 . 5]=5 , [ 一 5 . 5] =- 6) ,则不等式 的解集为( [ x ]2 ? 5[x ]? 6? 0 A. (2,3) B. [2,4] ) C. [2,3] D. (2,3]

三、解答题 (本大题满分 86 分) 本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 17. (本题满分 12 分) 设复数 z ? cos? ? i sin ? , ? ?[0, ? ] , ? ? ?1 ? i ,求 | z ? ? | 的取值范围。

18.(本题满分 12 分) 命题甲: a ? R, 关于 x 的方程 | x |? ax ? 1(a ? 0) 有两个非零实数解; 命题乙: a ? R, 关于 x 的不等式 (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 2 ? 0 的解集为空集; 当甲、乙 中有且仅有一个为真命题时, 求实数 a 的取值范围.

19.(本题满分 12 分) 已知△ABC 中, sin A ? (sin B ? cos B) ? sin C ? 0 , sin B ? cos 2C ? 0 , C 的大小。

求:角 A、B、

20.(本题满分 14 分) 如图,一个水轮的半径为 4 m,水轮圆心 O 距离水面 2 m,已知水轮每分钟转动 5 圈, 如果当水轮上点 P 从水中浮现时(图中点 p0)开始计算时间。 (1)将点 p 距离水面的高度 z(m)表示为时间 t(s)的函数; (2)点 p 第一次到达最高点大约需要多少时间?

21.(本题满分 18 分) 设函数 f ( x) 在 (??,??) 上满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , f (7 ? x) ? f (7 ? x) 且在闭区间[0, 7]上只有 f (1) ? f (3) ? 0 . ⑴试判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性; ⑵试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间 [?2005,2005] 上的根的个数, 并证明你的结论.

22.(18 分)

a11,a12,??a18 a21,a22,??a28 ??????? a81,a82,??a88 64 个正数排成 8 行 8 列, 如上所示: 在符合 aij (1 ? i ? 8,1 ? j ? 8) 中, i 表示该数所在的

行数,j 表示该数所在的列数。已知每一行中的数依次都成等差数列,而每一列中的数依次 1 1 都成等比数列(每列公比 q 都相等)且 a11 ? , a 24 ? 1 , a32 ? 。 2 4 1 ⑴若 a 21 ? ,求 a12 和 a13 的值。 4 36 ⑵ 记 第 n 行 各 项 之 和 为 An ( 1 ≤ n ≤ 8 ) , 数 列 {an} 、 {bn} 、 {cn} 满 足 a n ? ,联 An b 2 2 ? c7 ? 100 ,求 c1 ? c2 ? ? ? ?c7 的 ,c n ? n ,且 c1 mbn?1 ? 2(an ? mbn ) (m 为非零常数) an 取值范围。 ⑶对⑵中的 a n ,记 d n ? 项的项数。

200 (n ? N ) ,设 Bn ? d1 ? d 2 ? ? ? d n (n ? N ) ,求数列 {B n } 中最大 an

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[4] 参考答案
1、 1; 7、10; 2n. 13、A; 2、 π;

5 ; 4、 ; 5、 ( x) ? 2 x ?1 ? 1 (x>1) (??,?1) ? (2,??) ; ? 2 ; 6、 8 n(n ? 3) q 2 1 8、112; 9、 (?1, ) ; 10、 ? ; 11、⑵,⑶,⑷; 12、 ; 2 q ?1 2 3
3、f
?1

14、B;

15、D;

16、B

17、略解: | z ? ? |?[ 2 ? 1, 5 ] 18、解:当甲真时,设 y ?| x | 和y ? ax ? 1 (a ? 0) ,即两函数图象有两个交点. 则 0 ? a ?1 ?a 2 ? 1 ? 0 当乙真时, a ? 1 时 满足 或 ? 也满足 ? ??0 则?

7 ? a ?1 9

a ? 1或a ? 0 ? ? ? 0 ? a ?1 7 ? ∴当甲乙有但仅有一个为真命题时,即 ? 或? 7 a ? 1或a ? ? ? ? a ?1 ? 9 ? ? ? 9 7 ∴ a ? [? ,0] ? {1} 9 19、解: sin A ? (sin B ? cos B) ? sin C ? 0 得 sin A ? sin B ? sin A ? cos B ? sin C ? sin( A ? B) ∴ sin A ? sin B ? cos A ? sin B ∵ sin B ? 0 ∴ tgA ? 1 又 0<A<π
则 A?

?
4

, 即C ?

3? ?B 4

由 sin B ? cos 2C ? 0 得 sin B ? cos 2(

3? ? B) ? 0 4 即 sin B ? sin 2B ? 0 亦即 sin B ? (1 ? 2 cos B) ? 0 1 ? 5? ∴ cos B ? 得 B ? , 从而 C ? ′ 12 2 3

则所求的角 A ?

?
4

, B?

?
3

, C?

5? . 12

20、解: (1)如图建立直角坐标系,设角 ? (? op 每分钟内所转过的角为 ( sin ? =-

?

1 ? ? ? ,即 ? = ,故所求的函数关系式为 z=4sin ( t ? ) +2 2 6 6 6

5 ? 2? ? ? )= t ,得 z=4sin ( t ? ? ) ? 2 ,当 t=0 时,z=0,得 60 6 6

2

? ? ? 0) 是以 ox 为始边,op0 为终边的角,

(2)令 z=4sin (

?

t ? ) +2=6,得 sin ( t ? ) =1,取 t ? ? ,得 t=4,故点 6 6 6 6 6 6 2

?

?

?

?

?

?

P 第一次到达最高点大约需要 4S。 21、解⑴由 f (2 ? x) ? f (2 ? x)得f (?1) ? f (5) ∵在 x ?[0,7] 上只有 f (1) ? f (3) ? 0 ∴ f (5) ? 0 ∴ f (?1) ? f (1), 且f (?1) ? ? f (1) 故 f ( x) 为非奇非偶函数。

? f (2 ? x) ? f (2 ? x) ? f ( x) ? f (4 ? x) ⑵由 ? 得 ? ? f (7 ? x ) ? f ( 7 ? x ) ? f ( x) ? f (14 ? x) ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f ( x) ? f ( x ? 10) ∴ f ( x) 是以 10 为周期的函数. 又 f (3) ? f (1) ? 0 ∴ f (11) ? f (13) ? f (?7) ? f (?9) ? 0 ∴ f ( x) ? 0 在[0, 10]和 [?10,0] 上各有 2 个根. 从而方程在 [?2000,2000] 上有 800 个根, 而 [?2005,?2000] 上没有根, 在[2000, 2005]上有 2 个根. 故方程 f ( x) ? 0 在 [?2005,2005] 上共有 802 个根. a a 1 22、解:⑴∵ q ? 21 ? , ∴ a14 ? 24 ? 2 a11 2 q
∵ a11 , a12 , a13 , a14 成等差 ∴ a12 ? 1, a13 ?

3 2

⑵设第一行公差为 d,

1 1 ? 2 2 ?a 32 ? a12 q ? ( 2 ? d ) ? q ? 4 ? 1 ? a 24 ? a14 ? q ? ( ? 3d ) ? q ? 1 2 ?

1 1 ,q ? ′ 2 2 1 1 1 1 1 ∵ a n1 ? a11 ? ( ) n?1 ? ( ) n a n8 ? a18 ? ( ) n?1 ? 4 ? ( ) n?1 ? 8( ) n 2 2 2 2 2 a n1 ? a n8 1 n ∴ An ? ∴ a n ? 2 n (1 ? n ? 8, n ? N ) ? 8 ? 36 ? ( ) 2 2 b ?1 bn 1 ∵ mbn?1 ? 2(an ? mbn ) ∴ n ? ? 2 n ?1 2 n m b 1 而 cn ? n ∴ c n ?1 ? c n ? ∴ {cn } 是等差数列 an m (c ? c7 ) ? 7 故 c1 ? c 2 ? ? ? ? ? c7 ? 1 2 2 2 2 2 2 ? c7 ) ? 200 ∵ (c1 ? c7 ) ? c1 ? c7 ? 2c1 ? c7 ? 2(c1
解出: d ?

∴ ? 10 2 ? c1 ? c7 ? 10 2 ∴ c1 ? c 2 ? ? ? ? ? c7 ?[?35 2 ,35 2 ]

1 ⑶∵ d n ? 200 ? ( ) n 是一个正项递减数列 2 ∴ d n ? 1时Bn ? Bn?1 , d n ? 1时Bn ? Bn?1
1 n ? ? 200( 2 ) ? 1 ? dn ?1 ∴ {B n } 中最大项满足 ? ?? 1 ?d n ?1 ? 1 ?200( ) n ?1 ? 1 2 ? 解出:6.643<n≤7.643 ∵ n ? N , ∴n=7,即 {B n } 中最大项的项数为 7 项.

上海市华师大二附中高三综合练习
高三年级数学 [5]
编辑:胡泊 审核:王静 一、填空题 (本大题满分 48 分) 本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对 得 4 分,否则一律得零分。
x 1、已知集合 A= x y ? lg( x ? 2) ,B= y y ? 2 ,则 A ? B=

?

? ?

?



5 ,则 cos 2 ? = 5 2 3、方程 lg x - 2lgx - 3 ? 0 的解是
2、若 sin ? = x

。 。 。

4、已知函数 f(x)的图象与函数 y ? 3 的图象关于直线 y=x 对称,则 f(9)= 5、复数 z ?

6、 在数列 ?a n ?中 a 1 = -13,且 3a n =3a n ?1 -2,则当前 n 项和 s n 取最小值时 n 的值是 所取两数 m>n 的概率是_
7

5 的共轭复数 z = 3 ? 4i

。 。

7.集合 A ? ?2, 4, 6, 8,10? , B ? ?1, 3, 5, 7, 9? ,在 A 中任取一元素 m 和在 B 中任取一元素 n,则 。 。
3 2 4

8、在△ABC 中三边之比 a:b:c=2:3: 19 ,则△ABC 中最大角=

9、 (理)在 (1 ? ax) 的展开式中, x 的系数是 x 和 x 的系数的等差中项,若实数 a ? 1 , 那么 a ? 。 (文)某工程由下列工序组成,则工程总时数为 天。

1 1 1 , , ,?中找出一个无穷等比的子数列(由原数列中部分项按原 2 4 8 1 a1 来次序排列的数列) ,使它所有项的和为 ,则此子数列的通项公式为 。 7 a2 a3 11、在 R 上定义运算△:x△y=x(1 -y) 若不等式(x-a)△(x+a)<1,对任意实数
10、试在无穷等比数列 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 12、已知数列 ?an ? , a n 。

? 2?( )

1 n ,把数列 3

. . . . . . . . . . 二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对 得 4 分,不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分。 13、若复数 z ? cos? ? i sin? 所对应的点在第四象限,则 ? 所在的象限是( ) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 14、函数 y=cos 2x 的图象的一个对称中心是( ) (A)(

图所示.记 A(m, n ) 表示第 m 行,第 n 列的项,则 A(10,8) =

?an ? 的各项排成三角形状,如 a 7

a4
a8

a5

a6

。. . .

a9

a 10
. . . . .

? , 0) 2
x

(B) (

? , 0) 4

(C) (-

? , 0) 2

(D) (0,0)

15、函数 y= 2 ? 2 (



(A)在(- ? ,+ ? )上单调递增。 (B)在 ?? ?,1? 上是减函数,在 ?1 ,? ?? 上是增函数。 (C)在 ?? ?,1? 上是增函数,在 ?1 ? ? ? 上是减函数。 (D)在 ?? ?,0? 上是减函数,在上 ?0,? ? ? 是增函数。 16、某人骑自行车沿直线匀速旅行,先前进了 a 千米,休息了一段时间,又沿原路返回 b 千 米( b ? a) ,再前进 c 千米,则此人离起点的距离 s 与时间 t 的关系示意图是( )

(A)

(B)

(C)

(D)

三、解答题 (本大题满分 86 分) 本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 17、 (本题满分 12 分) 设 z 为虚数,且满足 ? 1 ? z ?

1 ? 2,求 z 。 z

18、 (本题满分 13 分)

已知向量 a ? ?2 sin x, cos x? , b ? 3 cos x,2 cos x ,定义函数 f(x)= a ? b ? 1 。 (1)求函数 f(x)的最小正周期。 (2)x ? R 时求函数 f(x)的最大值及此时的 x 值。

?

?

19、 (本题满分 13 分) 在不等边△ABC 中, 设 A、 B、 C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 sin A ,sin B ,sin C 依次成等差数列,给定数列
2 2 2

cos A cos B cosC , , . a b c

(1)试根据下列选项作出判断,并在括号内填上你认为是正确选项的代号( ) . A.是等比数列而不是等差数列 B.是等差数列而不是等比数列 C.既是等比数列也是等差数列 D.既非等比数列也非等差数列 (2)证明你的判断.

20、 (本题满分 14 分) 某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水 60 吨,同时蓄水池 又向居民小区不间断供水, t 小时内供水总量为 120 6t 吨, ( 0 ? t ? 24 ) (1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨? (2)若蓄水池中水量少于 80 吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的 24 小时内, 有几小时出现供水紧张现象。

21、 (本题满分 16 分) 设 有

f ( x) ?

x ,方 a( x ? 2)
1 1

f( 程 x) ? x
0 4







,





f ( xn ) ? xn?1 (n ? N * ), 且f ( x1 ) ?

. 0

(1)求数列{xn}的通项公式;
2 4 ? 4013 x n a 2 ? an , 且bn ? n ?1 (n ? N * ) ,求和:Sn=b1+b2+?+bn; xn 2a n ?1 a n m * (3)是否存在最小整数 m,使得对任意 n∈N ,有 f ( x n ) ? 成立,若存在,求出 m 2008

(2)若 a n ?

的值,若不存在,说明理由.

22、(本题满分 18 分) 设函数 f(x)=ax 2 +bx+1(a,b 为实数),F(x)= ?

(1)若 f(-1)=0 且对任意实数 x 均有 f(x) ? 0 成立,求 F(x)表达式。 (2)在(1)的条件下,当 x ? ?? 2,2? 时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围。 (3) (理)设 m>0,n<0 且 m+n>0,a>0 且 f(x)为偶函数,求证:F(m)+F(n)>0。

? f ( x ) ( x ? 0) ? ? f ( x ) ( x ? 0)

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[5] 参考答案
1、 x x ? 2 7、 0.6 13、A

?

?
2? 3

2、

3 5

3、 0.1或1000

4、2

5、

3 4 ? i 5 5
11、(?

6、20

8、

1 ? 2 10(文) 9、 (理)

10、an ?

1 8n

1 3 , ) 2 2

12、2 ? ( )

1 3

53

14、B 15、B 16、C

17、解:设 z ? a ? bi, (a, b ? R且a ? 0, b ? 0) ,则 z ? 由已知得 z ?

1 a b ?a? 2 ? (b ? 2 )i , 2 z a ?b a ? b2

? ), 6 2? ? ? ? ? (1)T= =? , (2)f(x)=2sin(2x+ ),∴当 2x+ = +2k ? (k ? Z),即 x= +k ? ? 6 6 2 6 ? (k ? Z)时,f(x)取最大值为 2,∴当 x= +k ? (k ? Z)时 f(x) max =2 。 6
18、解:f(x)= a ? b -1=2 3 sinx?cosx+2cos 2 x-1= 3 sin2x+cos2x=2sin(2x+ 19、 解: (1) B (2) 因为 sin A 、 所以 2 sin B ? sin A ? sin C , sin C 成等差数列, sin B 、
2 3 2 2 2 2

1 b 2 2 =0,∴ a ? b ? 1 ,∴ z =1。 ? R ,∴ b ? 2 2 z a ?b





2b ? a ? c
2 2

2





c o B s a2 ? c2 ? b2 ? , b 2a b c

cos A b 2 ? c 2 ? a 2 ? a 2abc



cos C a 2 ? b 2 ? c 2 ? . c 2abc

2 cos B cos A cos C cos A cos B cosC ,即 、 、 成等差数列.若其为等比数列, ? ? b a c a b c cos A cos B cosC 有 ,所以 tan A ? tan B ? tan C , A ? B ? C ,与题设矛盾 ? ? a b c 20、解: (1)设 t 小时后蓄水池中的水量为 y 吨,则 y ? 400 ? 60t ? 120 6t ;
显然
2 令 6t = x ;则 x ? 6t ,即 y ? 400 ? 10 x ? 120 x ? 10( x ? 6) ? 40 ;
2 2

∴当 x ? 6 ,即 t ? 6 时, y min ? 40 ,即从供水开始到第 6 小时时,蓄水池水量最少,只有 40 吨。

(2)依题意 400 ? 10 x 2 ? 120 x ? 80 ,得 x 2 ? 12 x ? 32 ? 0 ,解得, 4 ? x ? 8 ,即

8 32 32 8 ;由 ?t? ? ? 8 ,所以每天约有 8 小时供水紧张。 3 3 3 3 1 2x 21、解: (1)因方程 f(x)=x 有唯一解,可求 a= 从而得到 f ( x) ? . 2 x?2 2 x1 1 1 2 f ( x1 ) ? ,即 ? ? x1 ? 1004 x1 ? 2 1004 2007
4 ? 6t ? 8 ,

2 xn 1 1 1 ? x n ?1 xn ? 0 ? ? ? xn ? 2 x n ?1 x n 2 1 1 1 数列{ }是首项为 ,公差为 的等差数列, xn x1 2 1 2 ? (n ? 1) x1 1 1 ? (n ? 1) ? ? 故 = , 2 2 x1 x n x1 2 x1 2 ? 所以数列{xn}的通项公式为 x n ? . (n ? 1) x1 ? 2 n ? 2006 1 1 1 (2) 将 xn 代入 an 可求得 an=2n-1, 所以 bn ? 1 ? ( ? ) . ? Sn ? n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 m (3)? f ( x n ) ? x n ?1 ? 对n ? N * 恒成立, 2008 m 2 2 1 2 ? 只要 ?( ) max 即可, 而( ) max ? ? . 2008 n ? 2007 n ? 2007 1 ? 2007 2008 m 2 即要 ? ,? m ? 2 ,故存在最小的正整数 m=3. 2008 2008 22、 解: (1) ?f(-1)=0 ∴ b ? a ? 1 由 f(x) ? 0 恒成立 知△=b 2 -4a=(a+1) 2 -4a=(a-1) 2 ? 0 ( x ? 0) ?( x ? 1) ∴a=1 从而 f(x)=x 2 +2x+1 ∴F(x)= ? , 2 ?? ( x ? 1) ( x ? 0) 又由已知f ( x n ) ? x n ? 1;
2 2

(2)由(1)可知 f(x)=x +2x+1 ∴g(x)=f(x)-kx=x +(2-k)x+1,由于 g(x)在 ?? 2,2? 上是

2?k 2?k ? ?2 或? 2 ,得 k ? -2 或 k ? 6 , 2 2 (3)?f(x)是偶函数,∴f(x)=f(x),而 a>0∴ f ( x) 在 ?0,??? 上为增函数
单调函数,知对 于 F(x) , 当 x>0 时 -x<0 , F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x) , 当 x<0 时 -x>0 , F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x), ∴F(x)是奇函数且 F(x)在 ?0,? ? ? 上为增函数, ?m>0,n<0,由 m>-n>0 知 F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n) ∴F(m)+F(n)>0 。

上海市华师大二附中高三综合练习
高三年级数学 6]
编辑:李小平 审核:王斌 一、填空题 (本大题满分 48 分) 1、已知集合 A={x|y=lg(x–3)},B={x|y= 5 ? x },则 A∩B= 2、定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数,则 f(0)的值为 3、设函数 f(x)=lgx,则它的反函数 f –1(x)= 。 4、函数 y=sinxcosx 的最小正周期 T= 。 5、若复数 z1=3–i,z2=7+2i,(i 为虚数单位),则|z2–z1|= 6、Δ ABC 中,若∠B=30 ,AB=2 3 ,AC= 3 ,则 BC=
o

。 。

。 。

7、无穷等比数列{an}满足:a1=2,并且 lim (a1+a2+?+an)=
n ??

8、关于 x 的方程 2x= 2 ? a 只有正实数的解,则 a 的取值范围是
2 2

a ?1

8 ,则公比 q= 3




9、如果直线 y = x+a 与圆 x +y =1 有公共点,则实数 a 的取值范围是 。 10、袋中有相同的小球 15 只,其中 9 只涂白色,其余 6 个涂红色,从袋内任取 2 只球,则 取出的 2 球恰好是一白一红的概率是 。 11、函数 f (n) =
n2 ? a n

( n ? N*)为增函数,则 a 的范围为


? a+b ?

12.设函数 f ? x ? 的定义域是 D, 任意的a, b ? D ,有 f ? a ? ? f ? b ? ? f ? 1+ab ? , f ? x ? 的反 ? ? 函数为 H ? x ? ,已知 H ? a ? , H ? b ? ,则 H ? a ? b ? =_____ ______。 (用 H ? a ? , H ? b ? 表示) ; 二、选择题 (本大题满分 16 分) 13.已知数列{an}的通项公式是 an=2n–49 (n?N),那么数列{an}的前 n 项和 Sn 达到最小值时 的 n 的值是 ( ) (A) 23 (B) 24 (C) 25 (D) 26 14.在△ ABC 中,若 (A) 直角三角形

a b c ,则 ?ABC 是( ? ? cos A cos B cos C
(B) 等边三角形 (C) 钝角三角形

) (D) 等腰直角三角形

? 5? 15.设 x=sin?,且?? [? , ] ,则 arccosx 的取值范围是 ( ) 6 6 2? 2? ? 2? (A) [0, ?] (B) [ , ] (C) [0, ] (D) [ ,?] 3 3 3 3

16.设非零实常数 a、b、c 满足 a、b 同号,b、c 异号,则关于 x 的方程 a .4x+b.2x+c=0( (A)无实根 (B)有两个共轭的虚根 (C)有两个异号的实根 (D)仅有一个实根 三.解答题(本大题满分 86 分) 17.(本题满分 12 分) 某中学,由于不断深化教育改革,办学质量逐年提高。2006 年 至 2009 年高考考入一流大学人数如下: 年 份 2006 116 2007 172 2008 220 2009 260
人数

)

高考上线人数

30 250 0 20 15 0 10 0 5 0 0

以年份为横坐标, 当年高考上线人数为纵坐标建立直角坐标系,

1

2

3

4

年份

(2006) (2007) (2008)(2009)

由所给数据描点作图 (如图所示) , 从图中可清楚地看到这些点基本上分布在一条直线附近, 因此,用一次函数 y ? ax ? b 来模拟高考上线人数与年份的函数关系,并以此来预测 2010 年高考一本上线人数.如下表: 年 份 2006 1 116
y1 ? a ? b

2007 2 172
y 2 ? 2a ? b

2008 3 220
y3 ? 3a ? b

2009 4 260
y 4 ? 4a ? b

年份代码 x 实际上线人数 模拟上线人数

为使模拟更逼近原始数据,用下列方法来确定模拟函数。
/ 设 S ? y1 ? y1

?

? ? ?y
2

2

/ ? y2

? ? ?y
2

3

? y 3/

? ? ?y
2

4

/ / / / / ? y4 , y1 、 y 2 、 y 3 、 y 4 表示各年实际

?

2

上线人数, y1 、 y 2 、 y 3 、 y 4 表示模拟上线人数,当 S 最小时,模拟函数最为理想。试根 据所给数据,预测 2010 年高考上线人数。

18.(本题满分 12 分) 在复数范围内解方程 z ? ( z ? z )i ?
2

3?i (i 为虚数单位) 2?i

19.(本题满分 14 分) 已知不等式 x2–3x+t<0 的解集为{x|1<x<m, m?R} (1)求 t, m 的值; (2)若 f(x)= –x2+ax+4 在(–∞,1)上递增,求不等式 log a (–mx2+3x+2–t)<0 的解集。

20.(本题满分 14 分) 某企业准备在 2006 年对员工增加奖金 200 元,其中有 120 元是基本奖金。预计在今后 的若干年内,该企业每年新增加的奖金平均比上一年增长 8%。另外,每年新增加的奖金中, 基本奖金均比上一年增加 30 元。那么,到哪一年底, (1)该企业历年所增加的奖金中基本奖金累计(以 2006 年为累计的第一年)将首次不少于 750 元?

(2)当年增加的基本奖金占该年增加奖金的比例首次大于 85%?

21.(本题满分 16 分) 已知 Sn 是正数数列{an}的前 n 项和,S12,S22、??、Sn2 ??,是以 3 为首项,以 1 为 公差的等差数列;数列{bn}为无穷等比数列,其前四项之和为 120,第二项与第四项之和为 90。 (1)求 an、bn; (2)从数列{

1 1 }中能否挑出唯一的无穷等比数列,使它的各项和等于 2 。若能的话,请 bn S6

写出这个数列的第一项和公比?若不能的话,请说明理由。

22.(本题满分 18 分) 函数 f(x)=

x (a,b 是非零实常数),满足 f(2)=1,且方程 f(x)=x 有且仅有一个解。 ax ? b

(1)求 a、b 的值; (2)是否存在实常数 m,使得对定义域中任意的 x,f(x)+f(m–x)=4 恒成立?为什么? (3)在直角坐标系中,求定点 A(–3,1)到此函数图象上任意一点 P 的距离|AP|的最小值。

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[6] 参考答案
1、{x|3<x≤5} 2、0 9、– 2 ≤a≤ 2 3、y=10x, x?R 10、 4、?

18 35

11、2

1 1 8、 <a<2 4 2 H ?a ? ? H ? b? 12、 H ? a+b ? ? 1? H ?a ? ? H ?b?
5、5 6、3 7、

13、B 14、B 15、C 16、D

17、解: S ? ?a ? b ? 116?2 ? ?2a ? b ? 172?2 ? ?3a ? b ? 220?2 ? ?4a ? b ? 260?2
? 4b 2 ? 2?10a ? 768?b ? ?a ? 116?2 ? ?2a ? 172?2 ? ?3a ? 220?2 ? ?4a ? 260?2

当b ?

2?768 ? 10a ? 8

即 5a ? 2b ? 384

① 时 ,S 有最小值,其中最小值为:

M= ?a ? 116?2 ? ?2a ? 172?2 ? ?3a ? 220?2 ? ?4a ? 260?2 ?

?10a ? 768?2
4

? 30a 2 ? 2 ? 2160a ? 1162 ? 1722 ? 2202 ? 2602 ? 25a 2 ? 3840a ? 3842

? 5a 2 ? 480a ? 11584

当且仅当 a ? 48 时,M 有最小值。∴ a ? 48 代入①得 b ? 72 。∴ y5 ? 5 ? 48 ? 72 ? 312 。 18、原方程化简为 z ? ( z ? z )i ? 1 ? i ,设 z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1–i,所
2

3 3 1 1 ,y= ± , 所以原方程的解是 z= – ± i。 2 2 2 2 ?1 ? m ? 3 ?m ? 2 19、(1) 由条件得: ? ,所以 ? , ?1 ? m ? t ?t ? 2
以 x2+y2=1 且 2x = –1,解得 x= –

a2 a 2 a (2)因为 f(x)= –(x– ) +4+ 在(–∞,1)上递增,所以 ≥1,a≥2 ,log a (–mx2+3x+2–t)= log a 4 2 2
3 ? 2 0? x? ? 1 3 ? ?2 x ? 3 x ? 0 ? 2 (–2x +3x)<0=log a 1,所以 ? ,所以 ? ,所以 0<x< 或 1<x< 。 2 2 2 ? ?2 x ? 3 x ? 1 ? 0 ? x ? 1或x ? 1 ? 2 ? 20、 (1)设基本奖金形成数列{an}, 由题意可知{an}是等差数列, (或 a1=120,, d=30, 或 an =120+30
2

(n–1)), Sn=a1n+

1 n(n–1)d ,则 Sn=120n+15n(n–1) =15n2+105n=15(n2+7n), 2

令 15n2+105n

≥750,即 n2+7n–50≥0,而 n 是正整数, ∴n≥5。到 2010 年底该企业历年所增加的工资中基 本工资累计将首次不少于 750 元。6 分 (2) 设新增加的奖金形成数列 {bn} ,由题意可知 {bn} 是等比数列, ( 或 b1=200 , q=1.08 ,或 bn=bn–1q) , 则 bn=200· (1.08)n–1 , 由 题 意 可 知 an>0.85 bn , 有 120+30 n–1 (n–1)>200·(1.08) · 0.85。 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数 n=5, 到 2010 年 底,当年增加的基本奖金占该年增加奖金的比例首次大于 85% 。 21、(1){Sn}是以 3 为首项,以 1 为公差的等差数列;所以 Sn2=3+(n–1)=n+2 因为 an>0,所以 Sn= n ? 2 (n?N),当 n≥2 时,an=Sn–Sn–1= n ? 2 – n ? 1 ,又 a1=S1= 3 , 所 以 an= ?

? ? 3

n ?1

? ? n ? 2 ? n ?1 n ? 1 3 ? ?b1 ? 3 ?b1 q ? b1 q ? 90 ,所以 ? ,所以 bn=3n(n?N), ? 2 q ? 3 ? ? ?b1 ? b1 q ? 30 1 1 n 1 1 (2) =( ) ,设可以挑出一个无穷等比数列{cn},首项为 c1=( )p,公比为( )k,(p、k?N), bn 3 3 3 1 ( )p 1 1 1 1 1 1 它的各项和等于 2 = ,则有 3 ? ,所以( )p= [1–( )k], 当 p≥k 时 3p–3p–k=8, 1 8 3 8 3 S6 8 1 ? ( )k 3
即 3p–k(3k–1)=8, 因为 p、k?N,所以只有 p–k=0,k=2 时,即 p=k=2 时,数列{cn}的各项和

(n?N) , 设 {bn} 的 首 项 为 b1 , 公 比 为 q , 则 有

1 。当 p<k 时,3k–1=8.3k–p,因为 k>p 右边含有 3 的因数,而左边非 3 的倍数,不存在 2 S6 1 1 1 p、k?N,所以唯一存在等比数列{cn},首项为 ,公比为 ,使它的各项和等于 2 。 9 9 S6 x 22、(1)由 f(2)=1 得 2a+b=2,又 x=0 一定是方程 =x 的解, ax ? b 1 所以 =1 无解或有解为 0,若无解,则 ax+b=1 无解,得 a=0,矛盾,若有解为 0,则 ax ? b


b=1,所以 a= (2)f(x)=

1 。 2

2x ,设存在常数 m,使得对定义域中任意的 x,f(x)+f(m–x)=4 恒成立, x?2 2m 取 x=0 , 则 f(0)+f(m–0)=4 , 即 =4 , m= –4( 必 要 性 ) , 又 m= –4 时 , m?2 2x 2(?4 ? x) f(x)+f(–4–x)= =??=4 成立(充分性) ,所以存在常数 m= –4,使得对定义 ? x?2 ?4? x?2
域中任意的 x,f(x)+f(m–x)=4 恒成立, (3)|AP|2=(x+3)2+(

x?2 2 ) ,设 x+2=t,t≠0, x?2 t?4 2 2 8 16 16 4 4 4 则|AP|2=(t+1)2+( ) =t +2t+2– + 2 =(t2+ 2 )+2(t– )+2=(t– )2+2(t– )+10 t t t t t t t 4 4 ? 1 ? 17 ? 5 ? 17 =( t– +1)2+9, 所以当 t– +1=0 时即 t= ,也就是 x= 时,|AP| min = 3 。 2 2 t t

上海市华师大二附中高三综合练习
高三年级数学 [7]
编辑:于鹏弟 审核:龚琼 一、填空题 (本大题满分 48 分) 本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对 得 4 分,否则一律得零分。

x ?1 ?1 ? 1 ? 的反函数是 y ? f ( x ) ,则 f ? ? ? __________。 x?2 ? 3? 2 2.方程 lg x ? 2lg x ? 3=0 的解集是__________。 3? ?a ? 3.在等比数列 n 中, a4 a7 ? ,则 sin ? a3a8 ? =__________。 2 a 3 ? i z1 ?a ? R ? ,且 ? ? 2 ,则 4.已知 z1 、 z 2 是实系数一元二次方程的两虚根,? ? z2 a 的取值范围为 ______ (用区间表示) 。 n 5. lim( ) n ? __________。 n ?? n ? 2007
1.若函数 f ( x) ?

?

?

6.在 ?ABC 中, AB ? 4,B ?

?

3

, ?ABC 的面积为 3 ,则 AC ? __________。

7.某班有 50 名学生,其中 15 人选修 A 课程,另外 15 人选修 B 课程,其它人不选任何课 程,从中任选两名学生,则他们选修不同课程的学生概率为__________。

1 1 8 .设 {x} 表 示离 x 最 近 的整 数, 即若 m ? ? x ? m ? , 则 {x} = m . 下列 关于函 数 2 2
f ( x) ? x ? {x} 的四个命题中正确的是
①函数 y ? f ( x) 的定义域是 R,值域是 ?0, ? ; 2 ②函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 。

? 1? ? ?

1 15 31 ? 13 17 29 ?

3 11 19 27 ?

5 9 21 25 ?

7 23 ?

③函数 y ? f ( x) 是周期函数,最小正周期是 1;

k (k ? Z ) 对称; 2

④函数 y ? f ( x) 是偶函数。 ? 9. (理)若 x ? y ? ,则 sinx?siny 的最小值为__________。 3 ( 文 ) sin(

, ? 在第三象限,则 ? - ? )cos ? -cos( ? - ? )sin ? = 4

7

cos ? =_____________。 10.将正奇数按如下规律填在 5 列的数表中:则 2007 排在该表的第 行,第 列(行是从上往下数,列是从左往右数) 11.已知函数 f ( x) ? a ? x 2 ? ax ? b (a,b 为实常数),若 f(x)的值域为[0,+∞),则常数 a,b 应满足的条件__________。 12.对于集合 N={1, 2, 3,?, n}及其它的每一个非空子集,定义一个“交替和”如下:按照递 减的次序重新排列该子集,然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是 9–6+4–2+1=6,集合{5}的交替和为 5。当集合 N 中的 n=2 时,集合 N={1, 2}的所有非空子集为{1},{2},{1, 2},则它的“交替和”的总和 S2=1+2+(2–1)=4, 请你尝试对 n=3、n=4 的情况,计算它的“交替和”的总和 S3、S4,并根据其结果猜测 集合 N={1, 2, 3,?, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和 Sn= 。

二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对 得 4 分,不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分。 13.下列函数表示同一函数的是( )

f ( x) ? (a ) 与 g ( x ) ? a x ( a>0 ) g ( x) ? x 2 ? x ? (2 x ? 1) 0
A.
2x

1 2

B. f ( x) ? x 2 ? x ? 1 与

C. f ( x) ? x ? 2 ? x ? 2 与 g ( x) ? x 2 ? 4 D. f ( x) ? lg x 2 与 g ( x) ? 2 lg x 14. 设 p, q 均为实数, 则 “q ? 0” 是 “方程 x 2 ? px ? q ? 0 有一个正实根和一个负实根” 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条 件 15.已知函数 f ( x) ? sin(?x ?

?
2

) ? 1 ,则下列命题正确的是(



A. f ( x) 是周期为 1 的奇函数 C. f ( x) 是周期为 1 的非奇非偶函数
2

B. f ( x) 是周期为 2 的偶函数 D. f ( x) 是周期为 2 的非奇非偶函数

?x ? x ? 0? 16.函数 f ( x) ? ? ,则集合 x f ? f ? x ? ? ? 0 元素的个数有( ? 4sin x 0 ? x ? ? ? ? ? ? A、2 个 B 3个 C 4个 D 5个

?

?



三、解答题 (本大题满分 86 分) 本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 17. (本题满分 12 分) 设 O 为坐标原点, 已知向量 OZ1 、 OZ 分别对应复数 z1 、z 2 ,z1 ?
2

???? ?

3 ? (10 ? a 2 )i , a?5

z2 ?

2 ? (2a ? 5)i(其中a ? R), 若z1 ? z 2 是实数,求 z 2 的值。 1? a

18. (本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ?4 x ? b ,不等式 | f ( x) |? 6 的解集为(-1,2) 。 (1)求 b 的值; (2)解不等式

4x ? m ? 0. f ( x)

19. (本题满分 14 分) 设 A ? x x 2 ? 4 x ? 0 , B ? x x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 1 ? 0 。

?

?

?

?

(1)若 A ? B ? B ,求 a 的值; (2)若 A ? B ? B ,求 a 的值。

20. (本题满分 14 分) 已知 x、y 之间满足 (1)方程

x2 y 2 ? ? 1? b ? 0 ? 。 4 b2

x2 y 2 1? ? 2 ? 1? b ? 0 ? 表示的曲线经过一点 ? ? 3, ? ,求 b 的值; 4 b 2? ? x2 y2 (2)动点(x,y)在曲线 ? ? 1 (b>0)上变化,求 x2?2 y 的最大值; 4 b2 x2 y 2 ? ? 1? b ? 0 ? 能否确定一个函数关系式 y ? f ? x ? , (3) 由 如能, 求解析式; 如不能, 4 b2 再加什么条件就可使 x、y 之间建立函数关系,并求出解析式。

21. (本题满分 16 分) 政府决定用“对社会的有效贡献率”对企业进行评价用 an 表示某企业第 n 年投入的治 理污染的环保费用,用 bn 表示该企业第 n 年的产值设 a1 ? a (万元) ,以后治理污染的环保 费用每年都比上一年增加 2a (万元) ;又设 b1 ? b (万元,且企业的产值每年比上一年的平 均增长率为 10% ,用 Pn ?

anbn 表示企业第 n 年“对社会的有效贡献率” 。 100ab

(1)求该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率” ; (2)试问:从第几年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于 20% ?

22. (本题满分 18 分) 函数 y ? f (x), x ? R 满足 f (x ? 1) ? af ? x ?,a是不为0的常数 ,当 0 ? x ? 1时, f(x)=x(1-x) , (1)若函数 y ? f (x), x ? R 是周期函数,写出符合条件 a 的值; (2)求 n ? x ? n+1(n ? 0,n ? Z)时, 求 y ? f (x) 的表达式 y ? f n ? x ? ;

? ? ? 上的值域是闭区间,求 a 的取值范围。 (3)若函数 y ? f (x) 在 ? 0,

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[7] 参考答案
1.1;2. ?100, ? ;3. ?1 ;4. ?? 1,1? ;5. e

? ?

1? 10 ?

2007

;6. 13 ;7.

9 ; 49

?a<0 ?a=0 3 ? 或 ? 5a 2 ;12.n?2n–1; 8.①②③; 9. ? ;10.第 251 行第 5 列;11. ? 4 ? b ? 0 ? b= ? 4
13.A; 14.C; 15.B; 16.D;

3 3 2 17.解:由 z1 ? ? (10 ? a 2 )i, ? z1 ? z2 ? ? ? [(a 2 ? 10) ? (2a ? 5)]i , a?5 a ? 5 1? a ? a 2 ? 2a ? 15 ? 0, 解得a ? ?5, 或a ? 3, 又分母不为零,? a ? 3 ? z 2 ? ?1 ? i z 2 ? 2 .
?b ? 6 ? 4 ? ?1 18.解: (1)∵ f ( x) ? 6 的解集为(-1,2), ∴ ? ? ?b ? 6 ? 2 ? ? 4
(2) 由 得 b=2;

m ?? 1? m 1 1 m m 1 4x ? m ? 即 m ? ?2 时, ? x ? ? ,②当 ? ? , ? 0 得 ? x ? ?? x ? ? ? 0 ,当 ? ? , 4 ?? 2? ? 4x ? 2 4 2 2 4 4 2 ?

即 m ? ?2 时,无解,③当 ?

m 1 m 1 ?1 m? ? ,即 m ? ?2 时,? ? x ? ,∴当 m ? ?2 时,解集为 ? ,? ? 4 2 4 2 ?2 4 ?
? m 1? , ? . ? 4 2?
2 ? ?a ? 1 ? 0 ? a ?1。 2 ? a ? 8 a ? 7 ? 0 ?

当 m ? ?2 时,解集为空集, 当 m ? ?2 时,解集为 ? ?

19.解: (1) A ? B ? B ? A ? B , A ? ?0,?4?,∴ ?

或B ? ?? 4? , B ? ? 时 , ( 2 ) A ? B ? B ? B ? A , 即 B ? ?或B ? A或B ? ?0?
? ? 4?a ? 1? ? 4 a 2 ? 1 ? 0 ? a ? ?1 ;
2

?

?

B ? A 时, a ? 1 ; B ? ?0? 时, a ? ?1 ;

B ? ?? 4? 时, a ? ? 。 综上得
2

a ? ?? ?,?1? ? ? 1? 。

20.解: (1) ( 2

3 1 ? 2 ? 1? b ? 0 ? ? b ? 1 , 4 4b x2 y 2 ) 根 据 ? ? 1? b ? 0 ? 4 b2
2



? y2 ? x 2 ? 4 ?1 ? 2 ? ? b ?

? y2 ? 4? b2 ? b2 ? x 2 ? 2 y ? 4 ? 1 ? 2 ? ? 2 y ? ? 2 ? y ? ? ? ? 4 ? ?b ? y ? b ? , b ? 4? 4 ? b ?



b2 ? b时,即b ? 4时 ? x 2 ? 2 y ? ? 2b ? 4 , max 4



? 2b ? 4, ?b ? 4? b2 b2 ? b时,即0 ? b ? 4时 ? x 2 ? 2 y ? ? ? 4 , ? ? x 2 ? 2 y ? ? ? ? b2 max max 4 4 ?0 ? b ? 4? ? ? 4, ?4

(3)不能,如再加条件 xy ? 0 就可使 x、y 之间建立函数关系,

? x2 ?? 1 ? 2 , ? x ? 0? b 解析式 y ? ? (不唯一,也可其它答案) ? 2 x ? ? 1 ? b2 , ? x ? 0 ? ? 21. (1)因为 a1 ? a, b1 ? b ,根据题意: a2 ? a1 ? 2a ? 3a , b2 ? b1 ?1 ? 10%? ? 1.1b ,
a1b1 ab 3a ?1.1b ? 1% , P2 ? 2 2 ? ? 3.3% ,该企业第一年和第二年的“对社会的有 100ab 100ab 100ab 效贡献率”分别为 1% 和 3.3% ;

所以 P 1 ?

⑵因为 an ? a1 ? 2a ? n ? 1? ? ? 2n ? 1? a 所以 Pn ?

?n ? N ? , b
*

n

? b1 ? ?1 ? 10% ?

n ?1

? 1.1n ?1 b

?n ? N ?
*

,

? 2n ? 1? a ?1.1n ?1 b

100ab Pn ?1 2n ? 1 2 ? ? n ?1 证法 1: ? ? ? ?1.1 ? ?1 ? ? ?1.1 ? 1 , Pn ? 0 , 则 Pn ? f ? n ? ? ? 2n ? 1?1.1 % 为增函数; Pn 2n ? 1 ? 2n ? 1 ?

? ? 2n ? 1?? 1.1n ?1% ,下证: Pn ? f ? n ? ? ? 2n ? 1?1.1n ?1% 为增函数:

证法 2: Pn ?1 ? Pn ? ? ? ? 0.2n ? 2.1? ?1.1n ?1% ? 0 ,∴ Pn?1 ? Pn ,则 Pn ? f ? n ? ? ? 2n ? 1?1.1n ?1% 为增 函数,再验证: P7 ? 13 ?1.16 % ? 23.01% ? 20% , P6 ? 11?1.15% ? 17.71% ? 20% ,故,从第 七年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于 20% . 22. (1) a ? 1时,T=1 , a ? -1时,T=2 , (2) n ? x ? n+1(n ? 0,n ? Z)时 ,

f n ? x ? ? af n ?1 ? x ? 1? ? a 2 f n ?1 ? x ? 2 ? ? ? ? a n f1 ? x ? n ? ? f n ? x ? ? a n ? x ? n ?? n ? 1 ? x ?
(3)? f n ? x ? ? a
n

?? ? x ? n ?? n ? 1 ? x ?,

当 a ? 1 时 f ? x ? ? ? ??,+? ? 舍去,

1 n 1 n a ? fn ? x ? ? a , 4 4

? 1? 当 a ? 1时 f ? x ? ? ? 0, ? 符合,

? 4? ? 1 1? 当 a ? ?1 时 f ? x ? ? ? ? , ? 符合, ? 4 4? ? 1? 当 0<a ? 1 时 f ? x ? ? ? 0, ? 符合, ? 4?

当 -1<a ? 0 时 f ? x ? ? ? 0, ? 符合,

? a ? ? ?1, 0 ? ? ? 0,1?

? 1? ? 4?

上海市华师大二附中高三综合练习
高三年级数学 [8]
编辑:王宁宁 审核:张红霞 一、填空题 (本大题满分 48 分) 本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对 得 4 分,否则一律得零分。 1、 函数 y ? 2 的反函数是
x

2、 复数 z 满足 ?1 ? 2i ?z ? 5 ,则 z ? 3、方程 2
?x 2

。 。 。 。

? x ? 2 实数解的个数为 4、不等式 x ? 3 ? x ? 1 ? 3 ? x 的解集是

5、 已知 sin ? cos? ? 0 , 点 P?x, y ? 是角 ? 终边上的点, 且

x y

?

5 , 则a tn ? ? 12



6、某地自行车的牌照号码由六个数字组成,号码中每个数字可以是 0 到 9 这十个数字中的 任一个。 那么某人的一辆自行车牌照号码中六个数字中 5 恰好出现两次的概率是 (精 确到 0.0001 ) 。 7、在 ?ABC 中, 2 sin A ?

3 cos A ,则 ?A ? 。 1 2 2 2 2 8、在无穷等比数列{an}中, a1 ? 1, q ? , 记Tn ? a2 等于__________。 ? a4 ? a6 ? ? ? a2 n , 则 lim Tn n?? 2 z 9、 已知 z1 , z 2 为复数, (3 ? i ) z1 为实数, z 2 ? 1 ,且 z 2 ? 5 2 ,则 z 2 = 。 2?i 10、对长为 800 m 、宽为 600 m 的一块长方形地面进行绿化,要求四周种花卉,花卉带的宽
度相等,中间种草,并且种草的面积不小于总面积的一半,则花卉带的宽度范围为 (用区间表示) 。 11、如果 f ? x ? 是定义在 ?? 3,3? 上的奇函数,且当 0 ? x ? 3 时, f ? x ? 的图象如图所示。则 12 、在公差为 d (d ? 0) 的等差数列 ?a n ? 中,若 S n 是 ?a n ? 的前 n 项和,则数列 相应地在公比为 q(q ? 1) 的等比数列 ?bn ? 中,若 Tn 是数列 ?bn ? 的前 n 项积,则 有 。 不等式 f ?x ? ? cos x ? 0 的解是 。

S 20 ? S10 , S 30 ? S 20 , S 40 ? S 30 也成等差数列,且公差为 100 d ,类比上述结论,

二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对 得 4 分,不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分。 13、若 P ? y y ? x , x ? R , Q ? y y ? x ? 1, x ? R ,则 P ? Q 等于(
2 2

?

?

?

?



A. P 14、与函数 y ? 10 A. y ? x ? 1

B. Q
lg( x ?1)

C. ? )

D. 无法计算

的图象相同的函数是( B. y ? x ? 1

x2 ?1 C. y ? x ?1

D.

? x ?1 ? y?? ? ? ? ? x ?1 ?

2

15、以下有四个命题:

①一个等差数列{a n }中, 若存在 a k +1>a k >O(k∈N), 则对于任意自然数 n>k, 都有 a n >0; ②一个等比数列{a n }中,若存在 a k <0,a k +1<O(k∈N),则对于任意 n∈N,都有 a n <0; ③一个等差数列{a n }中,若存在 a k <0,a k ?1 <0(k∈N),则对于任意 n∈N,都有 a n <O; ④一个等比数列{a n }中,若存在自然数 k,使 a k ?a k ?1 <0,则对于任意 n∈N,都有 a n .a n ?1 <0; 其中正确命题的个数是( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 15、已知 f ( x ) 在 x ? [a, b] 上的最大值为 M ,最小值为 m ,给出下列五个命题: ①若对任何 x ? [a, b] 都有 p ? f ( x ) ,则 p 的取值范围是 ( ??, m ] ; ②若对任何 x ? [a, b] 都有 p ? f ( x ) ,则 p 的取值范围是 ( ??, M ] ; ③若关于 x 的方程 p ? f ( x ) 在区间 [a , b] 上有解, 则 p 的取值范围是 [m , M ] ; ④若关于 x 的不等式 p ? f ( x ) 在区间 [a , b] 上有解, 则 p 的取值范围是 ( ??, m ] ; ⑤若关于 x 的不等式 p ? f ( x ) 在区间 [a , b] 上有解, 则 p 的取值范围是 ( ??, M ] ; 其中正确命题的个数为( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 三、解答题 (本大题满分 86 分) 本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 17、 (本题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ?3x ? a(6 ? a) x ? b 。
2

(1)解关于 a 的不等式 f (1) ? 0 . (2)当不等式 f(x)>0 的解集为(-1,3)时,求实数 a, b 的值.

18、 (本题满分 12 分) 已知方程 x ? kx ? 100 ? 0, k ? C 。
2

(1)若 1 ? i 是它的一个根,求 k 的值; (2)若 k ? N * ,求满足方程的所有虚数的和。

19、 (本题满分 14 分) 关于 x 的方程 x ? x sin 2? ? sin? cot? ? 0 的两根为 ? , ? ,且 0 ? ? ? 2? ,若数列
2

1,

1

?

?

?1 1? 1 ?1 1? ,? ? ? , ?? , ? ? ? ?? ? ? ? ? 的前 100 项和为 0,求 ? 的值。 ? ?? ? ? ? ?

2

n

20、 (本题满分 14 分) 某港口水的深度 y(米)是时间 t (0 ? t ? 24, 单位 : 时)的函数, 记作y ? f (t ) ,下面是某 日水深的数据: T(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经长期观察,y=f(t)的曲线可以近似地看成函数 y ? A sin ?t ? b 的图象。 (1)试根据以上数据,求出函数 y ? f (t ) 的近似表达式; (2) 一般情况下, 船舶航行时, 船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为是安全的 (船 舶停靠时,船底只需下碰海底即可) ,某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5 米, 如果该船希望在同一天内安全进出港, 请问, 它至多能在港内停留多长时间 (忽 略进出港所需的时间) 。

21、 (本题满分 16 分) 已 知 等 差 数 列 ?a n ? 中 , 公 差 d ? 0 , 其 前 n 项 和 为 S n , 且 满 足

a 2 ? a3 ? 45, a1 ? a 4 ? 14 ,
(2)通过 bn ? 数列;

(1)求数列 ?a n ?的通项公式;

Sn 构造一个新的数列 ?bn ? ,是否存在一个非零常数 c ,使 ?bn ? 也为等差 n?c

(3)求 f (n) ?

bn (n ? N *) 的最大值。 (n ? 2005 ) ? bn ?1

22、 (本题满分 18 分)

?2(1 ? x) ,(0 ? x ? 1) f { f [? f ( x)?]} ,已知 f ( x) ? ? 设 n 为正整数,规定: f n ( x) ? ? . ?????? ? x ? 1 ,(1 ? x ? 2) n个f
(1)解不等式: f ( x) ≤ x ; (2)设集合 A ? {0,1,2},对任意 x ? A ,证明: f 3 ( x) ? x ; (3)探求 f 2006 ( ) ; (4)若集合 B ? { x | f12 ( x) ? x , x ? [0,2]},证明: B 中至少包含有 8 个元素.

8 9

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[8] 参考答案
1、 y ? log 2 x?x ? 0? 2、1 ? 2i 3、 2 4、?1,3? 5、?

?(5 ? 5i)
10 、

12 ? 6、0.0984 7、 5 3

8、

4 15
12

9、

?0,100 ?

11



? ? ?? ? ?? 3,?2? ? ? ? ? ,0 ? ? ? ,2 ?
? 2 ? ?2 ?



T20 T30 T40 , , 也成等比数列, 且公比为q 100 T10 T20 T30 13、B 14、D 15、D 16、B 2 17、 解: (1) f(1)= -3+a(6-a)+b = ?a ? 6a ? b ? 3 , ∵ f(1)>0 △=24+4b,当 b≤-6 时,△≤0,∴ f(1)>0 的解集为 φ ;


∴ ?a ? 6a ? b ? 3 ? 0 ,
2

?x | 3 ?

b>-6





3? b

?6

a ?

3 ?

b? ? ∴ 6 f(1)>0









b ?6 ? a ? 3? b ? 6
2

?
2

(2)∵ 不等式 -3x +a(6-a)x +b>0 的解集为(-1,3), ∴ f(x)>0 与不等式(x+1)(x-3)<0 同解,∵ 3x a(6-a)x-b<0 解集为(-1,3)
a (6 ? a ) ? 2? ? ? ?a ? 3 ? 3 ? 3 ∴ ? ,解之得 ? ? ?b ? 9 ?3 ? b ? 3 ?

18、解: (1) 51 ? 49i 19、解: S

(2)190
100

100

?? 1 1 ?100 ?1 1? ? ? ? ? 1 ? ? ?1 ?? ?? ? ? 1 1 ? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ? 0 ? ?? ? ? ? ?1 ? ? ?1 , ? ? ?? ?1 1? 1 1 ? ? ?1 ? ?? ? ? ? ? ?1 ?? ? ? ? ?

∵ ? ? ? ? ? sin 2? , ?? ? ? sin? cot? ? ? cos? , ∴ 2 s i n ? ? ?1 ? s i n ? ??

7? 11? 。 或 6 6 n?n ? 1? ? ? 20、解: (1) y ? 50 n ? 98 ? ?12 n ? ? 4? ? ?2n 2 ? 40 n ? 98?n ? N *? 。 2 ? ? 2 (2) 令 y ? 0, 即 n ? 20 n ? 49 ? 0 ? 10 ? 51 ? n ? 10 ? 51 ? 3 ? n ? 17 , ∴从 2002

1 , ∵ 2

0 ? ? ? 2? ,∴ ? ?

年开始,该汽车开始获利。
2

(3) y ? ?2?n ? 10 ? ? 102 ,即 n ? 10 时, y max ? 102 ,∴此时共获利 102 ? 20 ? 122 万 元。 21、解: (1)∵等差数列 ?a n ?中,公差 d ? 0 , ∴?

?a 2 ? a3 ? 45 ?a 2 ? a3 ? 45 ?a 2 ? 5 ?? ?? ? d ? 4 ? a n ? 4n ? 3 。 ?a1 ? a 4 ? 14 ?a 3 ? 9 ?a 2 ? a3 ? 14

1? ? 2n? n ? ? S n?1 ? 4n ? 3? 1? 1 2? ? ( 2 ) Sn ? ,令 c ? ? ,即得 ? 2n? n ? ? , bn ? n ? ? 2 2? n?c n?c 2 ? bn ? 2n , 1 数列 ?bn ? 为等差数列,∴存在一个非零常数 c ? ? ,使 ?bn ? 也为等差数列。 2
( 3 )

1 1 ? , 2005 n? ? 2006 2 2005 ? 2006 n ∵ 45 ? 2005 ? 2005 ? 44 ? 89 ? 2 2005 ? 7921 ? 8020 ? 0 ,即 45 9 45 ? 2005 ? 2005 ? 44 , ∴ n ? 45 时, f ?n ? 有最大值 。 ? 2050 ? 46 18860 f ( n) ?

bn n ? ? (n ? 2005 ) ? bn ?1 ?n ? 2005 ??n ? 1?

?

?

22、解: (1)①当 0≤ x ≤1 时,由 2(1 ? x) ≤ x 得, x ≥ .∴ ≤ x ≤1. ②当 1< x ≤2 时,因 x ?1 ≤ x 恒成立.∴1< x ≤2. 由①,②得, f ( x) ≤ x 的解集为{ x | ≤ x ≤2}. (2)∵ f (0) ? 2 , f (1) ? 0 , f (2) ? 1 , ∴当 x ? 0 时, f 3 (0) ? f ( f ( f (0))) ? f (? f (2)) ? f (1) ? 0 ; 当 x ? 1 时, f 3 (1) ? f ( f ( f (1))) ? f ( f (0)) ? f (2) ? 1 ; 当 x ? 2 时, f 3 (2) ? f ( f ( f (2))) ? f ( f (1)) ? f (0) ? 2 . 即对任意 x ? A ,恒有 f 3 ( x) ? x .
2 3

2 3

2 3

(3) f1 ( ) ? 2(1 ? ) ?

8 9

8 9

2 8 8 2 14 8 8 14 14 5 , f 2 ( ) ? f ( f ( )) ? f ( ) ? , f 3 ( ) ? f ( f 2 ( )) ? f ( ) ? ?1 ? , 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

8 8 5 5 8 f 4 ( ) ? f ( f 3 ( )) ? f ( ) ? 2(1 ? ) ? ,?? 9 9 9 9 9

一般地, f 4k ?r ( ) ? f r ( ) ( k,r ? N) .
?

8 9

8 9

8 8 14 f 2006 ( ) ? f 2 ( ) ? . 9 9 9
2 3 2 2 2 2 2 2 ,∴ f n ( ) ? .则 f12 ( ) ? .∴ ? B . 3 3 3 3 3 3

(4)由(1)知, f ( ) ?

由(2)知,对 x ? 0 ,或 1,或 2,恒有 f 3 ( x) ? x ,∴ f12 ( x) ? f 4?3 ( x) ? x .则 0,1, 2?B . 由(3)知,对 x ? , ,
5 ?B . 9

8 9

2 9

14 9



5 9

,恒有 f12 ( x) ? f 4?3 ( x) ? x ,∴ , ,

8 9

2 9

14 9



综上所述, ,0,1,2, , ,

2 3

8 9

2 9

14 9



5 ? B .∴ B 中至少含有 8 9

个元素.

上海市华师大二附中高三年级综合练习[9]
数学
一、填空题(本大题满分 48 分)本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对 得 4 分,否则一律得零分。 1、方程 9 ? 7 ? 3 ? 18 ? 0 的解是
x x



x 2、已知集合 A ? x y ? lg( x ? 2) , B ? y y ? 2 ,则 A ? B ?

?

?

?

?

。 。

, 2, 3, ?) ,则 a 5 ? 3、若数列 ? an ? 的前 n 项和 Sn ? n ? 10n(n ? 1
2

4、从 5 名候选同学中选出 3 名,分别保送北大小语种(每个语种各一名同学) :俄罗斯语、 阿拉伯语与希伯莱语,其中甲、乙二人不愿学希伯莱语,则不同的选法共有 种。 5、复数 1 ?

1? i 2 ( i 是虚数单位)是方程 x ? 2 x ? c ? 0 的一个根, 则实数 c ? 1? i



6、在 △ABC 中,角 A ,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a ? 1 , c ? 3 , C ?

π ,则 3

A?



7 、如图,正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 中, AA 1 ? 2 AB ,则异面直线 A 1 B 与 AD1 所成角 为 。

? ? ? ) sin ? ? 8、 (理)若 sin(? ? ? ) cos? ? cos(
则 tan(? ?

2 2 , ? 在第三象限, 3

D1

C1 B1

?
4

)?

。 。

A1

(文)已知 ? ∈( 9、 (理) ? x ?
2

3 ? ? , ? ),sin ? = ,则 tan (? ? ) ? 5 4 2
n

? ?

1? ? 的展开式中,常数项为15 ,则 n ? x?

D


C

A

B

? ?0 ? x ? 1 ? ?0 ? y ? 1 (文)若 x, y 满足条件 ? 下,则目标函数 u ? 2 x ? y 的最大值为__________。 3 ?x ? y ? 2 ?
10 、已知函数 f ( x) ? 2 的反函数为 f
x ?1

( x) , 若 f

?1

(a) ? f

?1

(b) ? 4 , 则

1 1 ? 的最小值 a b





11、 若不等式 (?1) a ? 2 ?
n

(?1) n?1 对于任意正整数 n 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 n



12、为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况,调查部门在某学校进行了如 下的随机调查:向被调查者提出两个问题: (1)你的学号是奇数吗?(2)在过路口的 时候你是否闯过红灯?要求被调查者背对调查人抛掷一枚硬币, 如果出现正面, 就回答 第(1)个问题;否则就回答第(2)个问题。被调查者不必告诉调查人员自己回答的是 哪一个问题,只需要回答“是”或“不是” ,因为只有被调查本人知道回答了哪个问题, 所以都如实做了回答。 如果被调查的 600 人 (学号从 1 到 600) 中有 180 人回答了 “是” , 由此可以估计在这 600 人中闯过红灯的人数是 。

二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对 得 4 分,不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分。 13、已知向量 a ? (?5,6), b ? (6,5) ,则 a 与 b ( A.垂直 B.不垂直也不平行 ) D.平行且反向 )

C.平行且同向
2

14、设 p,q 是两个命题: p : log 1 (| x | ?3) ? 0,q : x ?
2

5 1 x ? ? 0 ,则 p 是 q 的( 6 6

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

15、 已知农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成. 2005 年某地区农民人均收入为 3150 元(其中工资性收入为 1800 元,其他收入为 1350 元) ,预计该地区自 2006 年起的 5 年 内,农民的工资性收入将以 6 %的年增长率增长,其他收入每年增加 160 元。根据以上 数据,2010 年该地区农民人均收入介于 ( ) B.4400 元~ 4600 元 D.4800 元~ 5000 元

A.4200 元~ 4400 元 C.4600 元~ 4800 元

16、已知函数 y ? f ( x) 的图象如下左图,则函数 y ? f (

?
2

? x) ? sin x 在 [0, ? ] 上的大致图象
为 ( )

y

f ( x)
1
? π 2
O

?1

π 2

x

三、解答题(本大题满分 86 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 17、 (本题满分 12 分) 已知 z ? C , (1 ? i ) z ? (1 ? i ) z ? 2 ( i 是虚数单位) ,求 z 的最小值。

18、 (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos?x( 3 sin ?x ? cos?x) ? 1, (? ? 0) 的最小正周期是 ? ,求函数

f ( x) 的值域以及单调递减区间。

19、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分。 已知函数 f ( x) ? (1)求 m 的值; (2)请讨论它的单调性,并给予证明。

2 1 ? mx 是奇函数。 ? log 2 x 1? x

20、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分。 某段城铁线路上依次有 A、B、C 三站,AB=5km,BC=3km,在列车运行时刻表上,规定列 车 8 时整从 A 站发车,8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟,8 时 12 分到达 C 站,在实际运行 中,假设列车从 A 站正点发车,在 B 站停留 1 分钟,并在行驶时以同一速度 vkm / h 匀速行 驶, 列车从 A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误 差。 (1)分别写出列车在 B、C 两站的运行误差; (用含 v 的表达式表示,并以分钟为单位) (2)若要求列车在 B,C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟,求 v 的取值范围。

21、 (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分, 第 3 小题满分 8 分。
2 已知公比为 q(0 ? q ? 1) 的无穷等比数列 ?an ? 各项的和为 9,无穷等比数列 a n 各项的

? ?

和为

81 。 5

(1)求数列 ?an ? 的首项 a1 和公比 q ; (2)对给定的 k (k ? 1,2,3,?, n) ,设 T ( k ) 是首项为 ak ,公差为 2ak ? 1 的等差数列,求 T (2) 的前 2007 项之和; (3) (理)设 bi 为数列 T (i ) 的第 i 项, Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn : ①求 S n 的表达式,并求出 S n 取最大值时 n 的值。 ②求正整数 m(m ? 1) ,使得 lim
n ??

Sn 存在且不等于零。 nm

(文)设 bi 为数列 T (i ) 的第 i 项, Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn :求 S n 的表达式,并求正整数

m(m ? 1) ,使得 lim

Sn 存在且不等于零。 n ?? n m

22、 (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 8 分。 (理)已知函数 y ? f ( x), x ? R 满足 f ( x ? 1) ? af ( x) , a 是不为 0 的实常数。 (1)若函数 y ? f ( x), x ? R 是周期函数,写出符合条件 a 的值;

? ? ? 上的值域是闭 (2)若当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x(1 ? x) ,且函数 y ? f (x) 在区间 ? 0,
区间,求 a 的取值范围; (3)若当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 3 ? 3
x ?x

,试研究函数 y ? f (x) 在区间 ?0,??? 上是否可能

是单调函数?若可能,求出 a 的取值范围;若不可能,请说明理由。 (文)已知函数 y ? f ( x), x ? R 满足 f ( x ? 1) ? af ( x) , a 是不为 0 的实常数。 (1)若当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x(1 ? x) ,求函数 y ? f ( x), x ? ?0,1?的值域; (2)在(1)的条件下,求函数 y ? f ( x), x ? ?n, n ? 1?, n ? N 的解析式;

(3)若当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 3 ,试研究函数 y ? f (x) 在区间 ?0,??? 上是否可能是单
x

调函数? 若可能,求出 a 的取值范围;若不可能,请说明理由。

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[9] 参考答案 1、 x ? 2 ;2、 ?2,??? ;3、 ? 1;4、 36 ;5、 2 ;6、 8、 (理) ?

4 ? ;7、 arccos ; 5 6

9?4 2 1 5 1 3? ? ; (文) ;9、 (理) 6 ; (文) ;10、 ;11、 ?? 2, ? ;12、60; 7 2? 7 2 2 ?

13、 A ;14、 A ;15、 B ;16、 A 17、 (12' ) 设 z ? a ? bi(a, b ? R) , 则 (1 ? i)(a ? bi) ? (1 ? i)(a ? bi) ? 2 , 解得:a ? b ? 1 ;

1 1 ? z ? a 2 ? b 2 ? (1 ? b) 2 ? b 2 ? 2(b ? ) 2 ? ; 2 2

2 1 3 1 。 ?当 b ? ? ,即 z ? ? i 时, z min ? 2 2 2 2
18、 (12' ) f ( x) ?

3 c o s 2?x ? 1 n s i 2?x ? ? 1 ?n ( s i 2 2

2?x ?

?
6

)?

1 ; 2

? T ? ? ,?

? 1 2? ? 1 3? ? ? ,? ? ? 1 ; ? f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 的值域为 ?? , ? ; 6 2 2? ? 2 2?
? 2x ?

? 2k? ?

?
2

?
6

? 2k? ?

? 5? ? 3? ? , k ? Z ,? x ? ?k? ? , k? ? ?, k ? Z , 3 6 ? 2 ?

? 5? ? ? 1 ? ? f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 的单调递减区间是 ?k? ? , k? ? ?, k ? Z 。 3 6 ? 6 2 ?
19、 (7'+7' ) (1)? f ( x) 是奇函数,? f (? x) ? f ( x) ? 0 ;

2 1 ? mx 2 1 ? mx ; ? log 2 ) ? ( ? log 2 ) ? 0 ,解得: m ? 1 ,其中 m ? ?1 (舍) x 1? x x 1? x 2 1? x 经验证当 m ? 1 时, f ( x) ? ? log 2 ( x ? ?? 1,0? ? ?0,1?) 确是奇函数。 x 1? x
即 (? (2)先研究 f ( x) 在(0,1)内的单调性,任取 x1、x2∈(0,1) ,且设 x1<x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ?( 由

1 ? x1 2 1 ? x2 2 ? log 2 ? ? log 2 x1 1 ? x1 x 2 1 ? x2 2 2 2 2 ? ) ? [log 2 ( ? 1) ? log 2 ( ? 1)], x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1

2 2 2 2 ? ? 0, log 2 ( ? 1) ? log 2 ( ? 1) ? 0, x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1

得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0,即 f ( x) 在(0,1)内单调递减; 由于 f ( x) 是奇函数,其图象关于原点对称,所以函数 f ( x) 在(-1,0)内单调递减。 20、 (6' +8' ) (1) 列车在 B, C 两站的运行误差 (单位: 分钟) 分别是: | (2)由于列车在 B,C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟,

300 480 ? 7| 和 | ? 11| 。 v v

300 480 (*) ? 7|?| ? 11| ? 2 v v 300 300 480 300 ①当 0 ? v ? 时, (*)式变形为 ; ?7? ? 11 ? 2 ,解得 39 ? v ? 7 v v 7 300 480 300 480 300 480 ②当 时, (*)式变形为 7 ? ; ?v? ? ? 11 ? 2 ,解得 ?v? 7 11 v v 7 11 480 ?00 480 480 195 ③当 v ? 时, (*)式变形为 7 ? ; ? 11 ? ? 2 ,解得 ?v? 11 v v 11 4
所以 | 综上所述, v 的取值范围是 ?39,

? ?

195 ? 。 4 ? ?

? a1 ?a1 ? 3 ?1 ? q ? 9 ? ? 21、 (4'+4'+8' ) (1)依题意可知, ? 2 ?? 2。 q ? a 81 1 ? ? ? 3 ? 2 ? 5 ?1 ? q
(2)由(1)知, a n ? 3 ? ? ?

?2? ?3?

n ?1

,所以数列 T

( 2)

的的首项为 t1 ? a 2 ? 2 ,公差 d ? 2a2 ? 1 ? 3 ,

1 S 2007 ? 2007 ? 2 ? ? 2007 ? 2006 ? 3 ? 6043077 ,即数列的前 2007 项之和为 6043077 。 2
?2? (3) (理) bi = ai ? ?i ? 1??2ai ? 1? = ?2i ? 1?ai ? ?i ? 1? = 3?2i ? 1?? ? ?3? ? 2 ? n?n ? 1? ① S n ? 45 ? ?18 n ? 27 ?? ? ? ; 2 ?3?
n i ?1

? ?i ? 1? ;

由?

?bn ? bn ?1 ,解得 n ? 2 , ?bn ? bn ?1

计算可得 b1 ? 3, b2 ? 5, b3 ?

14 29 4 53 , b4 ? , b5 ? , b6 ? ? ? 0 , 3 9 3 81

因为当 n ? 2 时, bn ? bn ?1 ,所以 S n 当 n ? 5 时取最大值。

Sn 45 18 n ? 27 ? 2 ? n?n ? 1? ? ② lim m = lim m ? , ? ? m n ?? n n?? n n 2n m ?3?
n

当 m ? 2 时, lim

n??

Sn Sn 1 =- ,当 m ? 2 时, lim m =0,所以 m ? 2 。 m n ? ? 2 n n
?2? ?3?
i ?1

(文) bi = ai ? ?i ? 1??2ai ? 1? = ?2i ? 1?ai ? ?i ? 1? = 3?2i ? 1?? ?

? ?i ? 1? ;

? 2 ? n?n ? 1? S n ? 45 ? ?18n ? 27 ?? ? ? ; 2 ?3?
n

Sn 45 18 n ? 27 ? 2 ? n?n ? 1? ? = lim m ? , lim m ? ? m n ?? n n?? n n 2n m ?3?
n

当 m ? 2 时, lim

Sn Sn 1 = - ,当 时, =0,所以 m ? 2 。 lim m ? 2 n?? n m n?? n m 2

22、 (4'+6'+8' ) (理) (1) a ? 1时,T=1 , a ? -1时,T=2 ;

n + 1 n ( n 0 , Z ? ) (2) 当 n ?x ?

?

时 , f n ? x ? ? af n ?1 ? x ? 1? ? a 2 f n ?1 ? x ? 2 ? ? ? ? a n f1 ? x ? n ? ,
1 n 1 n a ? f n ( x) ? a ; 4 4

? f n ? x ? ? a n ? x ? n ?? n ? 1 ? x ? ,? ?
当 a ? 1 时 f ? x ? ? ? ??,+? ? 舍去;

当 a ? 1 时 f ? x ? ? ? 0, ? 符合,当 a ? ?1时 f ? x ? ? ? ? , ? 符合; 4 4 4 当 0 ? a ? 1 时 f ? x ? ? ? 0, ? 符合,当 ? 1 ? a ? 0 时 f ? x ? ? ? 0, ? 符合;

? 1? ? ?

? 1 1? ? ?

? 1? ? 4?

? 1? ? 4?

? a ? ? ?1, 0 ? ? ? 0,1? 。

n + 1 n ( n 0 , Z ? ) (3) 当 n ?x ?

?

时 , f n ? x ? ? af n ?1 ? x ? 1? ? a 2 f n ?1 ? x ? 2 ? ? ? ? a n f1 ? x ? n ? ,

? f n ( x) ? a n (3 x ?n ? 3n? x ) ;
易证函数 f n ( x) ? a (3
n x ?n

? 3n? x ), x ? ?n, n ? 1?, n ? 0, n ? Z 当 a ? 0 时是增函数,

此时? f n ( x) ? ?2a ,
n

? ?

10 n ? a , 3 ? ?

? ? ? 上是是单调增函数,则必有 2a n?1 ? 若函数 y ? f (x) 在区间 ? 0, ? ? ? 上不是单调函数; 显然当 a ? 0 时,函数 y ? f (x) 在区间 ? 0,
所以 a ?

5 10 n a ,解得: a ? ; 3 3

5 。 3
1 2
2

(文) (1)? f ( x) ? ?( x ? ) ?

1 ? 1? , x ? ?0,1?,? f ( x) ? ?0, ? 。 4 ? 4?

(2)当 n ? x ? n+1(n ? 0,n ? Z) 时 ,

f n ? x ? ? af n ?1 ? x ? 1? ? a 2 f n ?1 ? x ? 2 ? ? ? ? a n f1 ? x ? n ? ,
? f n ? x ? ? a n ? x ? n ?? n ? 1 ? x ? 。

n + 1 n ( n 0 , Z ? ) (3) 当 n ?x ?
? f n ( x) ? a n ? 3 x ? n ;
显然 f n ( x) ? a ? 3
n x?n

?

时 , f n ? x ? ? af n ?1 ? x ? 1? ? a 2 f n ?1 ? x ? 2 ? ? ? ? a n f1 ? x ? n ? ,

, x ? ?n, n ? 1?, n ? 0, n ? Z 当 a ? 0 时是增函数,
n

此时? f n ( x) ? a ,3a
n

?

?,
n ?1

? ? ? 上是是单调增函数,则必有 a 若函数 y ? f (x) 在区间 ? 0,

? 3a n ,解得: a ? 3 ;

? ? ? 上不是单调函数; 显然当 a ? 0 时,函数 y ? f (x) 在区间 ? 0,
所以 a ? 3 。

上海市华师大二附中高三年级综合练习[10]
数学
一、填空题(本大题满分 48 分)本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对 得 4 分,否则一律得零分。 1、已知集合 A={(x,y)|y=sinx, x ?(0,2π )},B={(x,y)|y= a , a ?R},则集合 A∩B 的子集个数量多有 个.
?1

2、若函数 f ( x) = 2 log 1 x 的值域是[-1,1],则函数 f
2

( x) 的值域为

.

3、(文)若 ?

? x ? 2,y ? 2 ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的取值范围是 ? x? y?2

.

(理)将曲线 ?

? x ? cos? (? ? R) ,上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标缩小到 ? y ? sin ?
.

原来的

1 倍后,得到的曲线的焦点坐标为 2

4、在等差数列 ?a n ?中,中若 a1 ? 0 , S n 为前 n 项之和,且 S 7 ? S17 ,则 S n 为最小时的 n 的值为 .
3

5 、 函 数 f ( x) ? sin 2 x ? 4 sin x cos x 的 图 象 上 相 邻 二 条 对 称 轴 之 间 的 距 离 是 .

6、 设 e1 和 e 2 是互相垂直的单位向量, 且 a ? 3e1 ? 2e2 , b ? ?3e1 ? 4e2 , 则a ?b = 7、若复数 z 满足 z ? 1 ? z ? 1 ? 2 ,则 z ? i ? 1 的最小值是 .

?

?

?

?

? ?

?

?

? ?

.

8、在正三棱锥 S - ABC 中, D 为 AB 中点,且 SD 与 BC 所成角为 45? ,则 SD 与底面 所成角的正弦值为
2 2

.
2 2

9 、 一 动 圆 与 两 圆 (x+4) +y =25 和 (x-4) +y =4 都 外 切 , 则 动 圆 圆 心 M 的 轨 迹 方 程 是 .

10 、 f ( x) 是 偶 函 数 , 且 f ( x) 在 (0 , +∞) 上 是 增 函 数 , 若 x ? [

1 ,1] 时 , 不 等 式 2

f (ax ? 1) ? f ( x ? 2) 恒成立,则实数 a 的取值范围是

.

11、在三位数中,如果十位数字比个位和百位数字都小,则称这个三位数为凹数,如 402,745 等,那么各数位无重复数字的三位凹数共有 个.

12、对于正整数 n 和 m(m<n)定义 nm ! =(n-m)(n-2m)(n-3m)┈(n-km)其中 k 是满足 n>km 的最 大整数,则

18 4 ! =________. 20 6 !

二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对 得 4 分,不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分。 13、在 ? ABC 中,

sin B sin A < 是 A>B 成立的( a b



A.必要不充分条件 C.充分必要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

14、甲命题:平面 α ? 平面 β ,平面 β ? 平面 γ ,则平面 α //平面 γ ;乙命题:平面 α 上不共线的三点到平面 β 的距离相等,则 α //β .则( A.甲真乙真 B.甲真乙假 C.甲假乙真 )

D.甲假乙假 ) y y

15、函数 y ? log a (| x | ?1)( a ? 1) 的图象大致是( y y

O

x

O

x

-1 O

1

x

-1

O

1

x

A. 16、已知 a,b,c ? R,若 A.a,b,c 同号 C.b,c 同号,a 不能确定

B.

C.

D. )

b c b c ? ? 1 ,且 ? ? ?2 ,则下列结论成立的是( a a a a
B.b,c 同号,a 与它们异号 D.a,b,c 的符号都不能确定

三、解答题(本大题满分 86 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 17、 (本题满分 12 分) 已知 sin θ (1+ctgθ )+cos θ (1+tgθ )=2,
2 2

? ? (0,2π ),求 tan? 的值

18、 (本题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面是边长为 a 的正三角形,侧面 ABB1 A1 是菱形且垂 直于底面, ? A1 AB =60°,M 是 A1 B1 的中点. (1)求证:BM ? AC; (2)求二面角 B ? B1C1 ? A1 的正切值;

(3)求三棱锥 M ? A1CB 的体积.

19、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分。 已知点 F(1,0),直线 l :x=2,设动点 P 到直线 l 的距离为 d,已知|PF|=

2 d 且 2

2 3 ?d ? . 3 2
(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若 PF ? OF =

1 ,求向量 OP 与 OF 的夹角。 3

20、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分。 某工厂去年某产品的年产量为 100 万只, 每只产品的销售价为 10 元, 固定成本为 8 元. 今 年,工厂第一次投入 100 万元(科技成本) ,并计划以后每年比上一年多投入 100 万元(科 技成本) ,预计产量年递增 10 万只,第 n 次投入后,每只产品的固定成本为 g ( n) ?

k n ?1

(k>0, k 为常数,n ? Z 且 n≥0) , 若产品销售价保持不变, 第 n 次投入后的年利润为 f (n) 万元. (1)求 k 的值,并求出 f (n) 的表达式; (2)问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?

21、 (本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 10 分。 已知函数 f ( x) ? 3x ? bx ? 1 是偶函数, g ( x) ? 5x ? c 是奇函数,正数数列 ?a n ?满足
2

a n ? 1, f ( a n ? a n ?1 ) ? g( a n ?1 a n ? a n ) ? 1
(1) 求 ?a n ?的通项公式; (2)若 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,求 lim S n .
n ??

2

22、 (本题满分 18 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 10 分。 直角梯形 ABCD 中∠DAB=90°,AD∥BC,AB=2,AD= 焦点且经过点 D. (1)建立适当坐标系,求椭圆 C 的方程; (2) (文)是否存在直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点,且线段 MN 的中点为 C,若存在,求 l 与直线 AB 的夹角,若不存在,说明理由. (理)若点 E 满足 EC ?

3 1 ,BC= .椭圆 C 以 A、B 为 2 2

1 AB ,问是否存在不平行 AB 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 2

两点且 | ME |?| NE | ,若存在,求出直线 l 与 AB 夹角的范围,若不存在,说明理由.

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[10] 参考答案 1、4 2、[

2 , 2] 2

3、[2,6] , (±

15 ,0) 4、12 2

5、

? 4

6、-1

3 7、1 8、 3
13、C 14、D

4x 2 4 y 2 9、 =1(x>0) 9 55
15、B 16、A

10、[-2,0]

11、240 12、

15 2

17、 tan? ? 1 18、 (1)略 (2)所求二面角的正切值是 2 (3) V ? 19、(1)所求的点 P 轨迹方程为

1 3 a 16

x2 1 4 ? y2 ? 1 ( ? x ? ) 2 2 3

(2)向量 OP 与 OF 的夹角为 arccos

2 11 11

20、 (1)由 g (n) ?

k ,当 n=0 时,由题意,可得 k=8, n ?1 8 n ?1 ) ? 100 n .

所以 f (n) ? (100 ? 10n) (10 ?

(2)由 f (n) ? (100 ? 10 n)(10 ?

8 n ?1 9 n ?1

) ? 100 n ? 1 000 ? 80

(

n ? 10 n ?1

) ? 1 000 ? 80( n ? 1 ?

) ? 1 000 ? 80 ? 2 9 ? 520 .

当且仅当 n ? 1 ? 万元

9 n ?1

,即 n=8 时取等号,所以第 8 年工厂的利润最高,最高为 520

21、解: (1) f ( x) ? 3x ? 1
2

g ( x) ? 5 x
a n ?1 2 2 ? , a n ? ( ) n ?1 an 3 3

(a n?1 ? a n )(3a n?1 ? 2a n ) ? 0 ,
(2) lim s n ?
n ??

1 2 1? 3

?3

22、解析: (1)如图,以 AB 所在直线为 x 轴,AB 中垂线为 y 轴建立直角坐标系, ? A(-1, 0) ,B(1,0)

x2 y2 ? ?1 ∴ 椭圆 C 的方程是: 4 3
(2( )文) 存在, l 与 AB 的夹角是 arctan

1 3 .(理) l 与 AB 的夹角的范围是 (0 , arctan ] . 2 2




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