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2015年中考数学试题分类汇编:圆(含答案解析)


2015 中考分类圆解析 一.选择题 (2015?嘉兴)下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标,其中属于中心对称图形
的有()

(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 考点:中心对称图形. 分析:根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解. 解答:解:第一个图形是中心对称图形, 第二个图形不是中心对称图形, 第三个图形是中心对称图形, 第四个图形不是中心对称图形, 所以,中心对称图有 2 个. 故选:B. 点评:本题考查了中心对称图形的概念,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后 两部分重合.
.

1.(菏泽)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y= 3 x 经过点 A,作 AB⊥x 轴于点 B,将⊿ABO
绕点 B 逆时针旋转 60°得到⊿CBD,若点 B 的坐标为(2,0) ,则点 C 的坐标为 A

A.(?1, 3 ) C.(? 3 , 1)

B.(?2, 3 ) D.(? 3 , 2)

1.(福建龙岩)如图,等边△ABC 的周长为 6π,半径是 1 的⊙O 从与 AB 相切于 点 D 的位置出发,在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动,又回到与 AB 相切 于点 D 的位置,则⊙O 自转了( A.2 周
A O D

) C.4 周 D.5 周

B.3 周

B

C

2.(兰州)如图,经过原点 O 的⊙P 与 x 、 y 轴分别交于 A、B 两点,点 C 是劣弧 上一点,则∠ACB= A. 80° B. 90° C. 100° D. 无法确定

3.(兰州)如图,⊙O 的半径为 2,AB,CD 是互相垂直的两条直径,点 P 是⊙O 上任意一点(P 与 A,B,C,D 不重合) ,过点 P 作 PM⊥AB 于点 M,PN⊥CD 于点 N,点 Q 是 MN 的中点,当点 P 沿着圆周转过 45°时,点 Q 走过的路径 长为 A.

? 4

B.

? 2

C.

? 6

D.

? 3

4.(广东) 如题 9 图, 某数学兴趣小组将边长为 3 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心,AB 为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细),则所得的扇形 DAB 的面积为 A.6 B.7 C.8 D.9

【答案】D. 【解析】显然弧长为 BC+CD 的长,即为 6,半径为 3,则 S扇形 ? ? 6 ? 3 ? 9 . 5.(广东梅州)如图,AB 是⊙O 的弦,AC 是⊙Or 切线,A 为切点,BC 经过圆心. 若∠B=20°,则∠C 的大小等于() A.20° B.25° C. 40° D.50°
A B O C
1 2

考点:切线的性质.. 分析:连接 OA,根据切线的性质,即可求得∠C 的度数. 解答:解:如图,连接 OA,

∵AC 是⊙O 的切线, ∴∠OAC=90°, ∵OA=OB, ∴∠B=∠OAB=20°, ∴∠AOC=40°, ∴∠C=50°. 故选:D. 点评:本题考查了圆的切线性质,以及等腰三角形的性质,掌握已知切线时常用 的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键. 6.(汕尾)如图,AB 是⊙ O 的弦,AC 是⊙ O 的切线,A 为切点,BC 经过圆心。 若∠B=20°,则∠C 的大小等于 A.20° B.25° C.40° D.50°

?A ? 22.5? , OC ? 4 , 7. (贵州安顺) 如上图⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD , 垂足是 E , CD 的长为( )[来源:学科网] A. 2 2 B.4 C. 4 2 D.8

C B D A

E

O

8.(河南)如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为 1 个单位长度的半圆 O1,

O2,O3,…组成一条平滑的曲线,点 P 从原点 O 出发,沿这条曲线向右运动, 速度为每秒

? 个单位长度,则第 2015 秒时,点 P 的坐标是() 2

A.(2014,0)B.(2015,-1) C. (2015,1)D. (2016,0)

y P O2 O O1 O3 第8题 9.(湖南常德)如图,四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形,已知∠BOD=100°,
则∠BCD 的度数为: A、50° B、80° C、100° D、130° 【解答与分析】圆周角与圆心角的关系,及圆内接四边形的对角互补 :答案为 D
A O
1000

x

B C
第6题图

D

10.(常德)若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比,则这称这两个扇形相似。如图,
k 如果扇形 AOB 与扇形 A1 01 B1 是相似扇形,且半径 OA : O1 A 1 ? k ( 为不等于 0 的常数)。那
么下面四个结论: ①∠AOB=∠ A1 01 B1 ;②△AOB∽△ A1 01 B1 ;③
2

AB ?k; A1 B1

④扇形 AOB 与扇形 A1 01 B1 的面积之比为 k 。成立的个数为: A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个

【解答与分析】这是一个阅读,扇形相似的意义理解,由弧长公式= ① ②③正确,由扇形面积公式

n ? 2? r 可以得到: 360

n ? ? r 2 可得到④正确 360



B1
B O A O1

A1

11.(湖南株洲)如图,圆 O 是△ABC 的外接圆,∠A=68°,则∠OBC 的大小是
A、22° B、26° C、32° D、68° 【试题分析】 本题考点为:通过圆心角∠BOC=2∠A=136°,再利用等腰三角形 AOC 求出∠OBC 的度数 答案为:A
A

O B C

第6题图

12(黔西南州)如图2,点P在⊙O外,PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点,∠P=50°,则
∠AOB等于 A.150° B.130°C.155° D.135°

13.(青岛)如图,正六边形 ABCDEF 内接于⊙O,若直线 PA 与⊙O 相切于点 A,则∠PAB=
( ) B.35° C.45° D.60°

A.30°

14.(临沂)如图 A,B,C 是 e O 上的三个点,若 ?AOC ? 100o ,
则 ?ABC 等于

(A) 50°. (C) 100°.

(B) 80°. (D) 130°.

O A B (第 8 题图) C

15(上海)如图,已知在⊙O 中,AB 是弦,半径 OC⊥AB,垂足为点 D,要使四边形 OACB
为菱形,还需要添加一个条件,这个条件可以是() A、AD=BD; C、∠CAD=∠CBD; B、OD=CD; D、∠OCA=∠OCB.

O A
【答案】B

D C

B

【解析】因 OC⊥AB,由垂径定理,知 AD=BD,若 OD=CD,则对角线互相垂直且平分,所 以,OACB 为菱形。

16(深圳)如图,AB 为⊙O 直径,已知为∠DCB=20o,则∠DBA 为()

A、 50 o 【答案】D

B、 20o

C、 60o

D、 70o

【解析】AB 为⊙O 直径,所以,∠ACB=90o,∠DBA=∠DCA= 70o 17(成都)如图,正六边形 ABCDEF 内接于圆 O ,半径为 4 ,则这个正六边形的边心距 OM 和 弧 BC 的长分别为 ? (A) 2 、 (B) 2 3 、 ? 3 2? 4? (C) 3 、 (D) 2 3 、 3 3
F E A O D M B C

【答案】 :D 【解析】在正六边形中,我们连接 OB 、 OC 可以得到 ?OBC 为等边三角形,边长等于半 径 4 。因为 OM 为边心距,所以 OM ? BC ,所以,在边长为 4 的等边三角形中,边上 的高 OM =2 3 。弧 BC 所对的圆心角为 60? ,由弧长计算公式:

BC ?

60? 4? ? 2? ? 4 ? ,选 D。 ? 360 3

18(泸州)如图,PA、PB 分别与⊙O 相切于 A、B 两点,若∠ C= 65°,则∠ P 的 度 数为 A. 65° B. 130° C. 50° D. 100°
A O C B
第8题图

P

考点:切线的性质.

.

分析:由 PA 与 PB 都为圆 O 的切线,利用切线的性质得到 OA 垂直于 AP,OB 垂直

于 BP,可得出两个角为直角,再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的 2 倍, 由已知∠C 的度数求出∠AOB 的度数,在四边形 PABO 中,根据四边形的内角和定 理即可求出∠P 的度数. 解答:解:∵PA、PB 是⊙O 的切线, ∴OA⊥AP,OB⊥BP, ∴∠OAP=∠OBP=90°, 又∵∠AOB=2∠C=130°, 则∠P=360°﹣(90°+90°+130°)=50°. 故选 C.
点评:本题主要考查了切线的性质,四边形的内角与外角,以及圆周角定理,熟练运用性质 及定理是解本题的关键.

19(四川自贡) 如图, AB 是⊙O 的直径,弦 CD ? AB, ?CDB ? 30o,CD ? 2 3 ,则
阴影部分的面积为 ? 2? A. 2? B. ? C. D. 3 3
C A B

( )

O D

考点:圆的基本性质、垂径定理,勾股定理、扇形的面积公式、轴对称的性质等.

分析:本题抓住圆的相关性质切入把阴影部分的面积转化到一个扇形中来求.根 据圆是轴对称图形和垂径定理,利用题中条件可知 E 是弦 CD 的中点, B 是弧 CD

的中点;此时解法有三: 解法一,在弓形 CBD 中,被 EB 分开的上面空白部分和下面的阴影部分的面积是 相等的,所以阴影部分的面积之和转化到扇形 COB 来求;解法二,连接 OD,易证 △ ODE ≌△ OCE ,所以阴影部分的面积之和转化到扇形 BOD 来求;解法三,阴 C 影部分的面积之和是扇形 COD 的面积的一半.
O 略解: ∵ AB 是⊙O 的直径, AB ? CD D ∴ E 是弦 CD 的中点, B 是弧 CD 的中点(垂径定理) ∴在弓形 CBD 中,被 EB 分开的上下两部分的面积是相等的(轴对称的性质) ∴阴影部分的面积之和等于扇形 COB 的面积. A

E

B

∵ E 是弦 CD 的中点, CD ? 2 3 ∴ CE ? CD ? ? 2 3 ? 3 ∵ AB ? CD ∴
?OEC ? 90o OC 2 ? OE 2 ? CE 2 ∴ ?COE ? 60o , OE ? OC . 在 Rt△ OEC 中, 根据勾股定理可知:
2 1 ? 即 OC 2 ? ? ? OC ? ? ? 3 ? . 2 2

1 2

1 2

1 2

?

?

解得: OC ? 2 ; S 扇形 COB = 积之和为 ? .故选 D.
2 3

60 o ? ? ? OC 2 60 o ? ? ? 2 2 2 ? ? ? .即 阴影部分的面 o o 3 360 360

20.(云南)如图,AB是⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB于E,则下列结 论中不成立 ... 的是( ) B.CE﹦DE C.∠ACB﹦90° D.CE﹦BD

A.∠A﹦∠D
C A OE D B

21(杭州)圆内接四边形 ABCD 中,已知∠A=70° ,则∠C=(
A. 20° 【答案】D. 【考点】圆内接四边形的性质. 【分析】∵圆内接四边形 ABCD 中,已知∠A=70°, ∴根据圆内接四边形互补的性质,得∠C=110°. 故选 D. B. 30° C. 70°

) D. 110°

22(嘉兴).如图,?ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点 C 为圆心的圆与 AB 相切,则☉C


半径为(▲) (A)2.3 (C)2.5

(B)2.4 (D)2.6

考点:切线的性质;勾股定理的逆定理. 分析:首先根据题意作图,由 AB 是⊙C 的切线,即可得 CD⊥AB,又由在直角△ABC 中,
.

∠C=90° , AC=3, BC=4, 根据勾股定理求得 AB 的长, 然后由 S△ABC= AC?BC= AB?CD, 即可求得以 C 为圆心与 AB 相切的圆的半径的长. 解答:解:在△ABC 中, ∵AB=5,BC=3,AC=4, 2 2 2 2 2 2 ∴AC +BC =3 +4 =5 =AB , ∴∠C=90° , 如图:设切点为 D,连接 CD, ∵AB 是⊙C 的切线, ∴CD⊥AB, ∵S△ABC= AC?BC= AB?CD, ∴AC?BC=AB?CD, 即 CD= = , = ,

∴⊙C 的半径为 故选 B.

点评:此题考查了圆的切线的性质,勾股定理,以及直角三角形斜边上的高的求解方法.此 题难度不大,解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用.

二.填空题 1.(安顺)如图,在□ABCD 中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以点 A 为圆心,AD 的长为 1 半径画弧交 AB 于点 E,连接 CE,则阴影部分的面积是_________(结果保留 π ) .3﹣ π 3
D A
30°

C

E

B

2.(孝感)已知圆锥的侧面积等于 60? cm2,母线长 10cm,则圆锥的高是 cm.8 3. (常德) 一个圆锥的底面半径为 1 厘米,母线长为 2 厘米,则该圆锥的侧面积是

厘米2 (结果保留π ) 。
【解答与分析】此题考的是圆锥侧面积的求法公式:

1 1 lr ? ? 2 ? (2? ? 1) ? 2? 2 2

4.(常德)已知 A 点的坐标为(-1,3) ,将 A 点绕坐标原点顺时针 90°,
则点 A 的对应点的坐标为 【解析】此题考点为坐标点的变换规律,作出草图如右 可知△BCO≌△EDO,故可知 BC=OE,OC=DE 答案为: (3,1)
y

B D C O E
x

5.(湖南衡阳)圆心角为 120°的扇形的半径为 3,则这个扇形的面积为 3? (结果保留 ? ) . 6. (2015?益阳) 如图, 正六边形 ABCDEF 内接于⊙O, ⊙O 的半径为 1, 则
的长为 .

考点: 弧长的计算;正多边形和圆. 分析: 求出圆心角∠AOB 的度数,再利用弧长公式解答即可. 解答: 解:∵ABCDEF 为正六边形, ∴∠AOB=360° × =60° , 的长为 = .

故答案为:



点评: 此题将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合,构思巧妙,利用了正六边形的性质.

7. (江西) 如图, 点 A, B, C 在⊙O 上, CO 的延长线交 AB 于点 D, ∠A=50° , ∠B=30° ,
则∠ADC 的度数为.

A D O B
第10题
全面积为__________.12π

C

解析:∵∠A=50°, ∴∠BOC=100°, ∴∠BOD=80°, ∴∠ADC=∠B+∠BOD=30°+ 80°=110°

8.(呼和浩特)一个圆锥的侧面积为 8π,母线长为 4,则这个圆锥的

9.(黔西南州)如图6,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,若∠AOC=80°,则 ∠B= .40°

10.(黔西南州)已知圆锥的底面圆半径为 3,母线长为 5,则圆锥的侧面积是.15? 11.(黔西南州)如图8,AB是⊙O的直径,CD为⊙O的一条弦,CD⊥AB于点E,已知CD=4, 5 AE=1,则⊙O 的半径为. 2

A O

E

M D

A O
中 两 组 对 边 的延 长 线

P 13.12. (青岛) 如图,圆内接四边形 ABCD B B F 分别相交于点 E, F, ∠ E=30°, N且∠ A= 55°,
第9题

C
第10题

则∠ F=.

14. (东营) 如图, 水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是 1m, 其中水面的宽 AB 为 0.8m,
则排水管内水的深度为 0.8 m.
A B

第 15 题图

15(泸州)用一个圆心角为 120°,半径为 6 的扇形作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆
的半径是. 考点:圆锥的计算. 分析:易得扇形的弧长,除以 2π 即为圆锥的底面半径.
.

解答:解:扇形的弧长=

=4π,

∴圆锥的底面半径为 4π÷2π=2. 故答案为:2. 点评: 考查了扇形的弧长公式; 圆的周长公式; 用到的知识点为: 圆锥的弧长等于底面周长.

16.(四川自贡)已知, AB 是⊙O 的一条直径 ,延长 AB 至 C 点,使 AC ? 3BC , CD 与
⊙O 相切于 D 点,若 CD ? 3 ,则劣弧 AD 的长为 .
D A O B C

13题
考点:圆的基本性质、切线的性质、直角三角形的性质、勾股 定理、弧长公式等. 分析:本题劣弧 AD 的长关键是求出圆的半径和劣弧 AD 所对的 圆心角的度数.在连接 OD 后,根据切线的性质易知 ?ODC ? 90o ,圆的半径和圆心角的度数 可以通过 Rt△ OPC 获得解决. D 略解:连接半径 OD.又∵ CD 与⊙O 相切于 D 点 ∴ OD ? CD ∴ ?ODC ? 90o 1 A C ∵ AC ? 3BC AB ? 2OB ∴ OB ? BC ∴ OB ? OC 又 OB ? OD B O 2 1 OD 1 ∴ OD ? OC ∴在 Rt△ OPC cos ?DOC ? ∴ ?DOC ? 60o ? 13题 2 OC 2 ∴ ?AOD ? 120o ∴在 Rt△ OPC 根据勾股定理可知: OD2 ? DC 2 ? OC 2 ∵ CD ? 3

∴ OD 2 ?

? 3?

2

? ? 2OD ?

2

解得: OD ? 1 故应填

则劣弧 AD 的长为

120o ? ? ? OD 120 o ? ? ? 1 2? ? ? . 3 180o 180o

2? 3

17 (绍兴) .如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,先以点 A 为圆心,AD 的长为半径画弧, 再以 AB 边的中点为圆心, AB 长的一半为半径画弧, 则两弧之间的阴影部分面积是__ 2? ____
(结果保留 ? )
A

D

B 16题图

C

三.解答题 1. (福建龙岩) 如图, 已知 AB 是⊙O 的直径, AB=4, 点 C 在线段 AB 的延长线上, 点 D 在⊙O 上,连接 CD,且 CD=OA,OC= 2 2 . 求证:CD 是⊙O 的切线.

证明:连接 OD,由题意可知 CD=OD=OA= ∴OD2+CD2=OC2 ∴△OCD 为直角三角形,则 OD⊥CD

1 AB=2 2

又∵点 D 在⊙O 上,∴CD 是⊙O 的切线
? 的中点 P 作⊙O 的直径 PG 2.(广东 ) ⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 是直径,过 BC

交弦 BC 于点 D,连接 AG, CP,PB. (1) 如题 24﹣1 图;若 D 是线段 OP 的中点,求∠BAC 的度数; (2) 如题 24﹣2 图, 在 DG 上取一点 k, 使 DK=DP, 连接 CK, 求证: 四边形 AGKC 是平行四边形; (3) 如题 24﹣3 图;取 CP 的中点 E,连接 ED 并延长 ED 交 AB 于点 H,连接 PH,求证:PH⊥AB.

【解析】(1)

? ? PC ? , ∵AB 为⊙O 直径, BP

∴PG⊥BC,即∠ODB=90°, ∵D 为 OP 的中点, ∴OD= OP ? OB , ∴cos∠BOD=
OD 1 ? , OB 2

1 2

1 2

∴∠BOD=60°, ∵AB 为⊙O 直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠ODB, ∴AC∥PG, ∴∠BAC=∠BOD=60°; (2) 由(1)知,CD=BD, ∵∠BDP=∠CDK,DK=DP, ∴△PDB≌△CDK, ∴CK=BP,∠OPB=∠CKD, ∵∠AOG=∠BOP, ∴AG=BP, ∴AG=CK ∵OP=OB, ∴∠OPB=∠OBP, 又∠G=∠OBP, ∴AG∥CK, ∴四边形 AGCK 是平行四边形; (3) ∵CE=PE,CD=BD, ∴DE∥PB,即 DH∥PB ∵∠G=∠OPB, ∴PB∥AG, ∴DH∥AG,

∴∠OAG=∠OHD, ∵OA=OG, ∴∠OAG=∠G, ∴∠ODH=∠OHD, ∴OD=OH, 又∠ODB=∠HOP,OB=OP, ∴△OBD≌△HOP, ∴∠OHP=∠ODB=90°, ∴PH⊥AB. 3.(广东梅州)如图,直线 l 经过点 A(4,0) ,B(0,3) . (1)求直线 l 的函数表达式; (2)若圆 M 的半径为 2,圆心 M 在 y 轴上,当圆 M 与直线 l 相切时,求点 M 的 坐标.
y

O

x

考点:切线的性质;待定系数法求一次函数解析式.. 分析: (1)把点 A(4,0) ,B(0,3)代入直线 l 的解析式 y=kx+b,即可求出结 果. (2)先画出示意图,在 Rt△ABM 中求出 sin∠BAM,然后在 Rt△AMC 中,利用锐 角三角函数的定义求出 AM,继而可得点 M 的坐标. 解答:解: (1)∵直线 l 经过点 A(4,0) ,B(0,3) , ∴设直线 l 的解析式为:y=kx+b, ∴ ∴ .

∴直线 l 的解析式为:y=﹣ x+3; (2)∵直线 l 经过点 A(4,0) ,B(0,3) , ∴OA=4,OB=3, ∴AB=5, ①如图所示,此时⊙M 与此直线 l 相切,切点为 C, 连接 MC,则 MC⊥AB, 在 Rt△ABM 中,sin∠BAM= = ,

在 Rt△AMC 中,∵sin∠MAC= ∴AM= = =4,



∴点 M 的坐标为(0,0) . ②此时⊙M'与此直线 l 相切,切点为 C', 连接 M'C',则 M'C'⊥AB, ∴∠M′C′B=∠MCB=90°, 在△M′C′B 与△CMB 中, , ∴BM'=BM=3, ∴点 M'的坐标为(0,6) . 综上可得:当⊙M 与此直线 l 相切时点 M 的坐标是(0,0) , (0,6) .

点评:本题考查了用待定系数法求函数的解析式,切线的性质,解答本题的关键 是画出示意图,熟练掌握切线的性质及锐角三角函数的定义,难度一般. 4.(广东梅州 ) 在 Rt△ABC 中,∠A=90°,AC=AB=4, D,E 分别是 AB,AC 的中 点. 若等腰 Rt△ADE 绕点 A 逆时针旋转, 得到等腰 Rt△AD1E1, 设旋转角为 α (0<α ≤180°) ,记直线 BD1 与 CE1 的交点为 P. (1)如图 1,当 α=90°时,线段 BD1 的长等于,线段 CE1 的长等于; (直接填写 结果) (2)如图 2,当 α=135°时,求证:BD1= CE1,且 BD1⊥CE1; (3)①设 BC 的中点为 M,则线段 PM 的长为;②点 P 到 AB 所在直线的距离的最 大值为. (直接填写结果)
C
C

E ( D1)

E D1 P

A

D

B

E1

A

D

B

E1

考点:几何变换综合题.. 分析: (1)利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出 BD1 的长和 CE1 的 长; (2) 根据旋转的性质得出, ∠D1AB=∠E1AC=135°, 进而求出△D1AB≌△E1AC (SAS) , 即可得出答案; (3)①直接利用直角三角形的性质得出 PM= BC 得出答案即可; ②首先作 PG⊥AB,交 AB 所在直线于点 G,则 D1,E1 在以 A 为圆心,AD 为半径的 圆上,当 BD1 所在直线与⊙A 相切时,直线 BD1 与 CE1 的交点 P 到直线 AB 的距离 最大, 此时四边形 AD1PE1 是正方形,进而求出 PG 的长. 解答:解: (1)∵∠A=90°,AC=AB=4,D,E 分别是边 AB,AC 的中点, ∴AE=AD=2, ∵等腰 Rt△ADE 绕点 A 逆时针旋转,得到等腰 Rt△AD1E1,设旋转角为 α(0< α≤180°) , ∴当 α=90°时,AE1=2,∠E1AE=90°, ∴BD1= 故答案为:2 =2 ,2 ,E1C= ; =2 ;

(2)证明:当 α=135°时,如图 2, ∵Rt△AD1E 是由 Rt△ADE 绕点 A 逆时针旋转 135°得到, ∴AD1=AE1,∠D1AB=∠E1AC=135°, 在△D1AB 和△E1AC 中 ∵ ,

∴△D1AB≌△E1AC(SAS) , ∴BD1=CE1,且∠D1BA=∠E1CA, 记直线 BD1 与 AC 交于点 F, ∴∠BFA=∠CFP, ∴∠CPF=∠FAB=90°, ∴BD1⊥CE1; (3)解:①∵∠CPB=∠CAB=90°,BC 的中点为 M, ∴PM= BC, ∴PM= 故答案为:2 =2 ; ,

②如图 3,作 PG⊥AB,交 AB 所在直线于点 G, ∵D1,E1 在以 A 为圆心,AD 为半径的圆上, 当 BD1 所在直线与⊙A 相切时,直线 BD1 与 CE1 的交点 P 到直线 AB 的距离最大, 此时四边形 AD1PE1 是正方形,PD1=2,则 BD1= 故∠ABP=30°, 则 PB=2+2 , 故点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值为:PG=1+ 故答案为:1+ . =2 ,



点评: 此题主要考查了几何变换以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切 线的性质等知识,根据题意得出 PG 的最长时 P 点的位置是解题关键. 5.(安顺)如图,等腰三角形 ABC 中,AC=BC=10,AB=12。以 BC 为直径 作⊙O 交 AB 于点 D,交 AC 于点 G,DF⊥AC,垂足为 F,交 CB 的延长线于点 E。 (1)求证:直 线 EF 是⊙O 的切线; A (2)求 cos ?E 的值。
D E (1) (6 分)证明:连接 OD、CD。 ∵BC 是直径,∴CD⊥AB ∵AB=BC. ∴D 是 AB 的中点。又 O 为 CB 的中点, ∴OD∥EF,EF,是⊙O 的切线。 (2) (6 分) 解: 连 BG。 ∵BC 是直径, ∴∠BGC=90°。 · O F G C

B

在 Rt△BCD 中, DC ?

AC 2 ? AD2 ? 102 ? 62 ? 8 .
? BG ? AB ? CD 12 ? 8 48 ? ? . AC 10 5

∵ AB ? CD ? 2 S ?ABC ? AC ? BG ∵BG⊥AC,DF⊥AC ∴BG∥EF, ∴∠E=∠CBG,
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

∴ cos ?E ? cos ?CBG ?

BG 24 ? BC 25

6.(河南)如图,AB 是半圆 O 的直径,点 P 是半圆上 不与点 A、B 重合的一个动点,延长 BP 到点 C,使 PC=PB,D 是 AC 的中点,连接 PD,PO. (1)求证:△ CDP∽△POB; (2)填空: ① 若 AB=4,则四边形 AOPD 的最大面积为; ② 连接 OD,当∠PBA 的度数为时,四边形 BPDO 是菱形. C

D

P

A
(1)略; (2)①最大面积为 4. ② 60°

O

B

7.(湖北滨州)如图,⊙O 的直径 AB 的长为 10,弦 AC 的长为 5,∠ACB 的平分线 交⊙O 于点 D. (1)求弧 BC 的长; (2)求弦 BD 的长.

解: (1)连接 OC. 在 Rt△ABC 中,

∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°.

∵cos∠BAC=

AC 5 1 ? ? ,∴∠BAC=60°, AB 10 2 120 ? ? ? 5 10 ? ?. 180 3

∴∠BOC=2∠BAC =120°. ∴弧 BC 的长为

(2)连接 OD.∵CD 平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD, ∴∠AOD=∠BOD, ∴AD=BD, ∴∠BAD=∠ABD=45°. 在 Rt△ABD 中,BD=
(其它解法,酌情判分)

2 2 AB ? ? 10 ? 5 2 . 2 2

8.(常德)已知如图,以 Rt△ABC 的 AC 边为直径作⊙O 交斜边 AB 于点 E,连接 EO 并延
长交 BC 的延长线于点 D,点 F 为 BC 的中点,连接 EF (1)求证:EF 是⊙O 的切线; (2)若⊙O 的半径为 3,∠EAC=60° ,求 AD 的长。

A E O B F C D

【解答与分析】本题考点,主要是切线的判定,中位线的性质,以及特殊直角三角形的边 角关系和勾股定理。 即:∠FEO=90° A E ∴FE 为⊙O 的切线
O B F C D

证明: (1)连接 FO 易证 OF∥AB ∵AC⊙O 的直径 ∴CE⊥AE ∵OF∥AB ∴OF⊥CE ∴OF 所在直线垂直平分 CE ∴FC=FE,OE=OC ∴∠FEC=∠FCE,∠0EC=∠0CE ∵Rt△ABC ∴∠ACB=90° 即:∠0CE+∠FCE=90° ∴∠0EC+∠FEC=90°

(2) ∵⊙O 的半径为 3 ∴AO=CO=EO=3

A E O F C D

B

∵∠EAC=60° ,OA=OE ∴∠EOA=60° ∴∠COD=∠EOA=60° ∵在 Rt△OCD 中,∠COD=60° ,OC=3 ∴CD= 3 3 ∵在 Rt△ACD 中,∠ACD=90° , CD= 3 3 ,AC=6 ∴AD= 3 7

9. (湖南衡阳) 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(3,2) 、B(3,5) 、
C(1,2) . (1)在平面直角坐标系中画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1; (2)把△ABC 绕点 A 顺时针旋转一定的角度,得图中的△AB2C2, 点 C2 在 AB 上. ①旋转角为多少度? ②写出点 B2 的坐标. 解: (1)△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1 如图所示; (2)①由图可知,旋转角为 90°; ②点 B2 的坐标为(6,2) .

10.(湖南衡阳)如图,AB 是⊙O 的直径,点 C、D 为半圆 O 的三等分点,过点 C 作 CE⊥AD,交
AD 的延长线于点 E. (1)求证:CE 为⊙O 的切线; (2)判断四边形 AOCD 是否为菱形?并说明理由. 解: (1)证明:连接 OD,∵点 C、D 为半圆 O 的三等分点, ∴∠BOC= 又∠BAD=

1 ∠BOD 2

1 ∠BOD 2

∴∠BOC=∠BAD ∴AE∥OC ∵AD⊥EC ∴OC⊥EC ∴CE 为⊙O 的切线. (2)四边形 AOCD 是菱形;理由如下: ∵点 C、D 为半圆 O 的三等分点 ∴∠AOD=∠COD=60° ∵OA=OD=OC ∴△AOD 和△COD 都是等边三角形 ∴OA=AD=DC=OC=OD ∴四边形 AOCD 是菱形.

11.(无锡)已知:如图,AB 为⊙O 的直径,点 C、D 在⊙O 上,且 BC=6cm,AC=8cm,
∠ABD=45?. (1)求 BD 的长; (2)求图中阴影部分的面积.

A D O

B

C

解 :

(1)∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB=90?.

∵BC=6 cm,AC=8cm,∴AB=10cm.∴OB=5cm. 连 OD, ∵OD=OB, ∴∠ODB=∠ABD=45 ?. ∴∠BOD=90?. ∴BD= OB2+OD2=5 2 cm. 25π-50 2 90 1 (2)S 阴影= π·52- ×5×5= cm . 360 2 4

12(江西)⊙O 为△ABC 的外接圆,请仅用无刻度的直尺 ,根据下列条件分别在图 1,图 ........
2 中画出一条弦 ,使这条弦将△ABC 分成面积相等的两部分(保留作图痕迹,不写作法). . (1)如图 1,AC=BC; (2)如图 2,直线 l 与⊙O 相切与点 P,且 l∥BC.

P

l

A

O

A

O B
图2

C
图1

B

C

解析:如右图所示. 图 1,∵AC=BC,∴ AC = BC , ∴点 C 是 AB 的中点,连接 CO, 交 AB 于点 E,由垂径定理知, 点 E 是 AB 的中点,
A

)

)

D O E C
图1

P

l

)

A

O B E D C

B

F

图2

延长 CE 交⊙O 于点 D, 则 CD 为所求作的弦; 图 2,∵l 切⊙O 于点 P, 作射线 PO,交 BC 于点 E,则 PO⊥l, ∵l∥BC , ∴PO⊥BC, 由垂径 定理知,点 E 是 BC 的中点,连接 AE 交⊙O 于 F,则 AF 为所求作的弦.

13. (呼和浩特) )如图, ⊙O 是△ABC 的外接圆, P 是⊙O 外的一点, AM 是⊙O 的直径, ∠PAC=∠ABC
(1) 求证:PA 是⊙O 的切线; (2) 连接 PB 与 AC 交于点 D,与⊙O 交于点 E,F 为 BD 上的一点, BD FD CD ⌒ 若 M 为 BC 的中点,且∠DCF=∠P,求证: = = . PD ED AD

证明:(1) 连接 CM ∵∠PAC=∠ABC,∠M=∠ABC ∴∠PAC=∠M ∵AM 为直径 ∴∠M+∠MAC=90° ∴∠PAC+∠MAC=90° 即:∠MAP=90° ∴MA⊥AP ∴PA 是⊙O 的切线 (2) 连接 AE ⌒ ∵M 为 BC 中点, AM 为 ∴AM⊥BC ∵AM⊥AP ∴AP∥BC ∴△ADP∽△CDB ∴ BD CD = PD AD

A E O F B M C D

P

⊙O 的直径

∵AP//BC ∴∠P=∠CBD ∵∠CBD=∠CAE ∴∠P=∠CAE ∵∠P=∠DCF ∴∠DCF=∠CAE ∵∠ADE=∠CDF ∴△ADE∽ △CDF ∴ CD FD = DA ED

BD FD CD ∴ = = PD ED AD

14.(黔西南州)如图9所示,点O在∠APB的平分线上,⊙O与PA相切于点C.
(1)求证:直线PB与⊙O相切 (2)PO的延长线与⊙O交于点E,若⊙O的半径为3,PC=4. 求弦CE的长.

(1)证明:过点O作OD⊥PB,连接OC. ∵AP与⊙O相切, ∴OC⊥AP. 又∵OP平分∠APB, ∴OD=OC. ∴PB是⊙O的切线. (2)解:过C作CF⊥PE于点F. 在Rt△OCP中,OP= OP ? CP ? 5
2 2

1 1 OC ? CP ? OP ? CF 2 2 12 ∴ CF ? 5
∵ S ?OCP ?
2 2 在Rt△COF中, OF ? CO ? CF ?

9 5

∴ FE ? 3 ?

9 24 ? 5 5

在Rt△CFE中, CE ? CF 2 ? EF 2 ?

12 5 5

14(东营)已知在△ABC 中,∠B=90o,以 AB 上的一点 O 为圆心,以 OA 为半径的圆交 AC
于点 D,交 AB 于点 E. (1)求证:AC·AD=AB·AE; (2)如果 BD 是⊙O 的切线,D 是切点,E 是 OB 的中点,当 BC=2 时,求 AC 的长.
C

D

A

O

E
C

B

(1)证明:连接 DE

(第 21 题图) D

A

O

E

B

∵AE 是直径 ∴∠ADE=90o ∴∠ADE=∠ABC 在 Rt△ADE 和 Rt△ABC 中,∠A 是公共角 故△ADE∽△ABC………………………………2 分 则

AD AE ? ,即 AC·AD=AB·AE…………4 分 AB AC

(2)解:连接 OD ∵BD 是圆 O 的切线 则 OD⊥BD……………………………………………………………………5 分 在 Rt△OBD 中,OE=BE=OD ∴OB=2OD ∴∠OBD=30o…………………………………………………………………6 分 同理∠BAC=30o………………………………………………………………7 分 在 Rt△ABC 中 AC=2BC=2×2=4……………………………………………8 分

15(泸州)如图,△ ABC 内 接 于 ⊙O,AB=AC,BD 为⊙O 的弦,且 AB∥CD,过点 A 作⊙
O 的切线 AE 与 DC 的延长线交于点 E,AD 与 BC 交于点 F。 (1)求证:四边形 ABCE 是平行四边形; A (2)若 AE=6,CD=5,求 OF 的长。
B F C O E

D

考点:切线的性质;平行四边形的判定. 分析: (1)根据切线的性质证明∠EAC=∠ABC,根据等腰三角形等边对等角的性质和等量 代得到 ∠EAC=∠ACB ,从而根据内错角相等两直线平行的判定得到 AE∥BC ,结合已知 AB∥CD 即可判定四边形 ABCD 是平行四边形; (2)作辅助线,连接 AO,交 BC 于点 H,双向延长 OF 分别交 AB,CD 于点 N,M,根 据切割线定理求得 EC=4,证明四边形 ABDC 是等腰梯形,根据对称性、圆周角定理和垂 径定理的综合应用证明△OFH∽△DMF∽△BFN,并由勾股定理列式求解即可. 解答: (1)证明:∵AE 与⊙O 相切于点 A, ∴∠EAC=∠ABC, ∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB, ∴∠EAC=∠ACB, ∴AE∥BC, ∵AB∥CD, ∴四边形 ABCE 是平行四边形;
.

(2)解:如图,连接 AO,交 BC 于点 H,双向延长 OF 分别交 AB,CD 与点 N,M, ∵AE 是⊙O 的切线, 2 由切割线定理得,AE =EC?DE,

∵AE=6,CD=5, ∴6 =CE(CE+5) ,解得:CE=4, (已舍去负数) , 由圆的对称性,知四边形 ABDC 是等腰梯形,且 AB=AC=BD=CE=4, 又根据对称性和垂径定理,得 AO 垂直平分 BC,MN 垂直平分 AB,DC, 设 OF=x,OH=Y,FH=z, ∵AB=4,BC=6,CD=5, ∴BF= BC﹣FH=3﹣z,DF=CF= BC+FH=3+z, 易得△OFH∽△DMF∽△BFN, ∴ , ,
2



,① ②,

①+②得: ①÷②得:

, ,


2 2 2





∵x =y +z , ∴ ∴x= ∴OF= ,

, .

点评:本题考查了切线的性质,圆周勾股定理,等腰三角形的性质,平行的判定,平行四边 形的判定和性质,等腰梯形的判定和性质,垂径定理,相似判定和性质,勾股定理,正确得 作出辅助线是解题的关键.

16. (杭州)如图 1,⊙O 的半径为 r(r>0),若点 P′在射线 OP 上,满足 OP′ ?OP=r2,则称点 P′是点 P 关于⊙O 的“反演点”,如图 2,⊙O 的半径为 4,点

B 在⊙O 上, ∠BOA=60°, OA=8, 若点 A′、 B′分别是点 A, B 关于⊙O 的反演点,
求 A′B′的长.
B O P' 图1 O 图2 A

P

【答案】解:∵⊙O 的半径为 4,点 A′、B′分别是点 A,B 关于⊙O 的反演点,

点 B 在⊙O 上, OA=8, ∴ OA? ? OA ? 42 , OB? ? OB ? 42 ,即 OA? ? 8 ? 42 , OB? ? 4 ? 42 . ∴ OA? ? 2, OB? ? 4 .∴点 B 的反演点 B′与点 B 重合. 如答图,设 OA 交⊙O 于点 M,连接 B′M, ∵OM=OB′,∠BOA=60°,∴△OB′M 是等边三角形. ∵ OA? ? A?M ? 2 ,∴B′M⊥OM. ∴
A? B?
2


2 B ?4

Rt ?OB ' M
2 ? O2 2 A .? 2




3?


?











? O

【考点】新定义;等边三角形的判定和性质;勾股定理. 【分析】先根据定义求出 OA? ? 2, OB? ? 4 ,再作辅助线:连接点 B′与 OA 和⊙O

的交点 M,由已知∠BOA=60°判定△OB′M 是等边三角形,从而在 Rt ?OB ' M 中, 由勾股定理求得 A′B′的长. 17(2015 年浙江丽水 8 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 分别与 BC,AC
交于点 D,E,过点 D 作⊙O 的切线 DF,交 AC 于点 F. (1)求证:DF⊥AC; (2)若⊙O 的半径为 4,∠CDF=22.5°,求阴影部分的面积.

【答案】解:(1)证明:如答图,连接 OD, ∵OB=OD,∴∠ABC=∠ODB. ∴AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. ∴∠ODB=∠ACB.∴OD∥AC. ∵DF 是⊙O 的切线,∴DF⊥OD ∴DF⊥AC. (2)如答图,连接 OE, ∵DF⊥AC,∠CDF=22.5°,∴∠ABC=∠ACB=67.5°. ∴∠BAC=45°. ∵OA=OB,∴∠AOE=90°. ∵⊙O 的半径为 4,∴ S阴影 ? S扇形OAE ? S?AOC ?

90 ? ? ? 4 1 ? ? 4? 4 ? ? ?8 . 360 2

【考点】等腰三角形的性质;平行的判定;切线的性质;三角形内角和定理;扇形和三角形 面积的计算;转换思想的应用. 【分析】(1)要证 DF⊥AC,由于 DF 是⊙O 的切线,有 DF⊥OD,从而只要 OD∥AC 即可, 根据平行的判定,要证 OD∥AC 即要构成同位角或内错角相等,从而需作辅助线连接 OD, 根据等腰三角形等边对等角的性质由∠ABC=∠ODB 和∠ABC=∠ACB 即可得. (2)连接 OE,则 S阴影 ? S扇形OAE ? S?AOC ,证明△AOE 是等腰直角三角形即可求得

S扇形OAE 和 S ?AOC .

安徽岳西县城关中学 李庆社(246600)


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