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2016届高三理科数学试题(56)


2016 届高三理科数学试题(56)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.“ p 或 q 是假命题”是“非 p 为真命题”的( ) A.充分而不必要条件 C.充要条件 2.已知集合 A ? {x B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? ? x ?1

? ? ? 0}, B ? ? x y ? log 1 (? x ? 4) ? ,则 (CR A) ? B ? ( x ?3 2 ? ? ? ?
B. ? 3 ? C. x 3 ? x ? 4



A.

?

?

?

D. x 1 ? x ? 4
x

?

?


3.函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度,所得图象与 y ? e 关于 y 轴对称,则 f(x)=( A.

e x ?1

B.

e x ?1

C.

e ? x ?1


D.

e ? x ?1

4.若存在正数 x 使 2x ( x ? a) ? 1 成立,则 a 的取值范围是( A. (??, ??) B. (?2, ??) C. (0, ??)

D. (?1, ??) )

5.由曲线 xy ? 1 及直线 y ? x, y ? 2 围成的平面图形的面积是(

A.

7 8

B. 2 ? ln 2

3

C. 2 ? ln 2

3

25
D. 8

6.已知函数 f ( x) ? ln( 1 ? 9 x 2 ? 3x) ? 1 ,则 f (lg 2) ? f (lg ) ? ( 2 A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2

1



7.函数 y ? ln cos x ? ? 2 ? x ? 2 ? 的图象是( ? ? y

? π

π?

) y y

π ? 2

x O A.

π ? 2

O B.

π 2

x

π ? 2

O C.

π 2

x

π ? 2

O D.

π 2

x

8.若函数 f ( x) ?

? x 2 ? 2x ? 3 ,则 f ( x) 的单调递增区间是(



1

A. ?? 1,1?

B. (??,1)
2

C. ?1,3?

D. (1,??)

9.已知函数 f ( x) ? log2 ( x ? ax ? 3a) 在区间 ?2,??? 上是增函数,则实数 a 的取值范围是 ( A. )

?? ?, 4?

B. ?? 4,4?

C.

?? 4,2?

D. ?? ?, ? 4? ? ?2, ? ?? )

10.已知函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是( A. (??,0) 11.设函数 y ? x 与 y ? 2
3

B. ( 0 , )
2? x

1 2

C. (0,1)

D. (0,??) )

的图象的交点为

( x0,y0 ) ,则 x0 所在的区间是(
3) C. (2, 4) D. (3,

1) A. (0,

, 2) B. (1

12. 设定义在 R 上的函数 f ( x) 是最小正周期为 2? 的偶函数, f ' ( x ) 是 f ( x) 的导函数,当

x ? [0, ? ] 时, 0 ? f ( x) ? 1 ;当 x ? (0, ? ) 且 x ?

?
2

时, ( x ? )

?
2

) f ' ( x) ? 0 ,则函数

y ? f ( x) ? sin x 在 x ?[?2? ,2? ] 上的零点个数为(
A .2 B .4 C.5

D. 8

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡中的横线上.

4x ? b 那么 a ? b 的值是_______ 2 x 是奇函数, 1 f ? x ? 2? ? f 1 ? ?5, 则 14.函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? ,若 ? ? f ? f ?5?? ?
13.设 f ( x) ? lg(10 ? 1) ? ax 是偶函数,g ( x) ?
x

_______ .

15.设曲线 y ? x

(n ? N*) 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,令 an ? lg xn , 则 a1 ? a2 ? ? ? a99 的值为_______ .
n?1

16.已知 (1)若 (2)直线 (3)在区间 (4)函数 ,则 是函数

,给出以下四个命题: ; 图象的一条对称轴; 是增函数; 的图象向右平移 . 个单位而得到.

上函数 的图象可由

其中正确命题的序号为_______

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2

17. (本大题满分 10 分) 已知锐角 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对应边分别为 a、b、c ,且

2a s i n A ? (2b ? c) s i n B ? (2c ? b) s i n C
(1)求角 A 的大小; (2)求 2 cos B ? cos C 的取值范围

18. (本大题满分 12 分) 若函数 f ( x) ? 3 x ? ax ? bx ? 4 在 x ? ?2 和 x ? 1 处取的极值.
3 2

1

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)讨论方程 f ( x) ? k 实数解的个数.

19. (本大题满分 12 分) 已知 (1)求 (3)若 是定义在 , 上的偶函数,且 时, 的表达式; .

;(2)求函数

,求 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分) 已知集合 A ? x ( x ? 2)[x ? (3a ? 1)] ? 0 , B ? ? x (1)当 a ? 2时,求A ? B ;

?

?

?

? x ? 2a ? 0 ? 2 ? x ? (a ? 1) ?

(2)求使 B ? A 的实数 a 的取值范围。

3

21.(本题 12 分) 函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0, ? ? 1,当 x ?

?
2

) 在同一个周期内,当 x ?

?
4

时 y 取最大值

7? 时, y 取最小值 ?1。 12

(1)求函数的解析式 y ? f ( x). (2)函数 y ? sin x 的图象经过怎样的变换可得到 y ? f ( x) 的图象? (3)若函数 f ( x) 满足方程 f ( x) ? a(0 ? a ? 1), 求在 [0,2? ] 内的所有实数根之和.

22.(本大题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ?

a , g ( x) ? f ( x) ? ax ? 6 ln x 其中 a∈R. x

(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 g(x)在其定义域内为增函数,求正实数 a 的取值范围;

(Ⅲ)设函数 h( x) ? x 2 ? mx ? 4 ,当 a=2 时,若 ?x1 ? (0,1) ,

?x2 ? [1,2] ,总有 g ( x1 ) ? h( x2 ) 成立,求实数 m 的取值范围.

4

参考答案
一、 选择题: 题号 1 2 答案 A B 二、填空题: 1 13. 2 15. ? 2 三、解答题: 17. (本小题满分 10 分) 解:(1)由 2a sin A ? (2b ? c) sin B ? (2c ? b) sin C ,根据正弦定理化简得 3 D 4 D 5 B 6 D 7 A 8 A 9 B 10 B 11 B 12 B

14. ?

1 5

16. (2) (4)

2a 2 ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c 整理得 bc ? b2 ? c 2 ? a 2
cos A ?
A?

b2 ? c2 ? a 2 1 ? ,又 A 为三角形的内角 2bc 2

?
3

2? ? ? B) = 3 sin( B ? ) (2) 2 cos B ? cos C = 2 cos B ? cos( 3 3

?B ?

? ? ? 3 2? 2? 2? ?? ? ? , 3? ,( ? B) ? ? B ? ? , ? ? 3 sin(B ? ) ? ? ? ? 3 ? 2 3 3 3 ?6 2? ?

? 3 ? ? ? 2 cos B ? cosC ? ? , 3 ? 2 ? ? ?

18. (本小题满分 12 分)
解: (1) ? f ?( x) ? x ? 2ax ? b
2

根据题意得 f ?(?2) ? 0 ,f ?(1) ? 0 解得 a ?

1 ,b ? 2 2

? f ( x) ?

1 3 1 2 x ? x ? 2x ? 4 3 2 1 3 1 2 (2)? f ( x) ? x ? x ? 2 x ? 4 3 2
令 f ?( x) ? 0解得x ? ?2或x ? 1

? f ?( x) ? x 2 ? x ? 2 ? ( x ? 2)(x ? 1)

f ?( x) ? 0解得 ? 2 ? x ? 1

5

? y ? f ( x)在(??,?2)上递增,在(- 2,1)上递减,在( 1, ? ?)上递增。 22 17 又 ? f (?2) ? , f (1) ? 3 6

? 当k ?

22 17 或k ? , 方程有一个解 3 6 17 22 当k ? 或k ? , 方程有两解 6 3 17 22 当 ?k? , 方程有三解 6 3

19. (本小题满分 12 分)

(1) (2)令 ,则




时,

时,

(3)∵ 数. 由于



上为减函数,∴



上为增函





20. (本小题满分 12 分) T 7? ? ? 2? 2? ?? ? 3 ? ? T? ? 解:(1)根据题意得: ? 2 12 4 3 3 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 3 ? ? ? ? ? 2k? 又 ? ? ? f ( x) ? s i n3 (x ? ) 2 4 4 2 4 1 (2)函数 y ? sin x 的图象上每个点的纵坐标不变, 横坐标变为原来的 , 得到函数 y ? sin 3x. 3 ? ? 再将图像向右平移 个单位,可得函数 f ( x) ? sin( 3x ? )的图像。 12 4 ? 2? ?0,2? ?含三个周期, x1 ? x2 ? 2 ? ? ? ? , (3) 函数 f ( x) ? sin( 3 x ? )的周期为 4 3 4 2
6

x3 ? x 4 ? 2 ?
之和为

11? . 2 21.(本小题满分 12 分)

11? 11? 19? 19? ? x5 ? x 6 ? 2 ? ? 12 6 12 6

所以在 [0,2? ] 内的所有实数根

(1)解: a ? 2 时

A ? (2,7)

B ? (4,5)

? A ? B ? ?4,5?

(2)当 3a ? 1 ? 2 即 a ?
A ? (3a ? 1,2)

1 3

B ? (2a, a 2 ? 1)

要使 B ? A

2a ? 3a ? 1且a 2 ? 1 ? 2

解得 a ? ?1
1 当 3a ? 1 ? 2且a ? 1 即 a ? 且a ? 1 3

A ? (2,3a ? 1)

B ? (2a, a 2 ? 1)

要使 B ? A

2a ? 2且a 2 ? 1 ? 3a ? 1

解得 1 ? a ? 3
B ??

当 a ? 1时

A ? (2,4)

满足题意

综上:使 B ? A 的实数 a 的取值范围为 a ? ?1或1 ? a ? 3 22.(本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),且



①当 a≥0 时,f′(x)>0,f(x)在(x,+∞)上单调递增; ②当 a<0 时,由 f′(x)>0,得 x>﹣a;由 f′(x)<0,得 x<﹣a; 故 f(x)在(0,﹣a)上单调递减,在(﹣a,+∞)上单调递增. (Ⅱ)g(x)=ax﹣ ﹣ = ,g(x)的定义域为(0,+∞), ,

因为 g(x)在其定义域内为增函数,所以? x∈(0,+∞),g′(x) ≥0, ∴ax2﹣5x+a≥0,∴a(x2+1)≥5x,即 ,∴ .

7



,当且仅当 x=1 时取等号,所以 a ,

. ,

(Ⅲ)当 a=2 时,g(x)=2x﹣ 由 g′(x)=0,得 x= 或 x=2. 当 时,g′(x)≥0;当 x

时,g′(x)<0. ,

所以在(0,1)上,

而“? x1∈(0,1),? x2∈[1,2],总有 g(x1)≥h(x2)成立”等价 于 “g(x)在(0,1)上的最大值不小于 h(x)在[1,2]上的最大值” 而 h(x)在[1,2]上的最大值为 max{h(1),h(2)},

所以有 解得 m≥8﹣5ln2,

,∴

,∴



所以实数 m 的取值范围是[8﹣5ln2,+∞).

8


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