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新人教A版数学选修1-1《3.3.2函数的极值与导数》导学案


河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.3.2 函数的极值与导数学案 新人教 A 版选修 1-1
【学习目标】 1.理解极大值、极小值的概念; 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值; 3.掌握求 可导函数的极值的步骤. 【重点难点】 求可导函数的极值的步骤 【学习内容】 学习过程 一、课前准 备 复习 1: 设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数, 如果在这个区间内 y ? ? 0 , 那么函数 y=f(x) 在 这个区间内为 函数;如果在这个区间 内 y ? ? 0 ,那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的 函数. 复习 2:用导数求函数单调区间的步骤:①求函数 f(x)的导数 f ?( x) . ②令 解 不等式,得 x 的范围就是递增区间.③令 解不等式,得 x 的范围,就是 递减区 间 . 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一: 问题 1:如下图, 函 数 y ? f ( x) 在 a, b, c, d , e, f , g , h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什 么关系? y ? f ( x) 在这些点的导数值是多少? 在这些点附近,y ? f ( x) 的导数的符号有什么 规律?

看出,函数 y ? f ( x) 在点 x ? a 的函数值 f (a) 比它在点 x ? a 附近其它点的函数值都 , f ?(a) ? ;且在点 x ? a 附近的左侧 f ?( x) 0,右侧 f ?( x) 0. 类似地,函数 y ? f ( x) 在点 x ? b 的函数值 f (b) 比它在点 x ? b 附近其它点 的函数值都 , f ?(b) ? ; 而且在点 x ? b 附近的左侧 f ?( x) 0,右侧 f ?( x) 0. 新知: 我们把点 a 叫做函数 y ? f ( x) 的极小值点, f (a) 叫做函数 y ? f ( x) 的 极小值;点 b 叫 做函数 y ? f ( x) 的极大值 点, f (b) 叫做函数 y ? f ( x) 的极大值. 极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的 ,刻画的是函数的 . 试试: (1)函数的极值 (填“是” , “不是” )唯一的. (2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值. (3)函数的极值点一定出现在区间的 (内,外)部,区间的端点

(能,不能)成为

极值点. 反思:极值点与导数为 0 的点的关系: 导数为 0 的点是否一定是极值点. 比如:函数 f ( x) ? x3 在 x=0 处的导数为 为 0 是点为极值点的 条件. ※ 典型例题

,但它

(是或不是)极值点.即 :导数

1 例 1 求函数 y ? x3 ? 4x ? 4 的极值. 3

变式 1:已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在点 x0 处取得极大值 5,其导函数 y ? f ?( x) 的图象经 过点 (1,0) , (2, 0) ,如图所示,求 (1) x0 的值(2)a,b,c 的值. y

o

1

2

x

小结:求可导函数 f(x)的极值的步骤:

变式 2:已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? 11 . (1)写出函数的递减区间; (2) 讨论函数的极大值和极小值,如有,试写 出极值; (3)画出 它的大致图象.

※ 动手试试 练 1. 求下列函数的极值: (1) f ( x) ? 6x2 ? x ? 2 ; (2) f ( x) ? x3 ? 27 x ; (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x3 ; (4) f ( x) ? 3x ? x3 .

练 2. 下图是导函数 y ? f ?( x) 的图象,试找出函数 y ? f ( x) 的极值点,并指出哪些是极大值 点,哪些是极小值 点.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 求可导函数 f(x)的极值的 步骤; 2. 由导函数图象画出原函数图象;由原函数图象画导函数图象. ※ 知识拓展 函数在某点处不可导,但有可能是该函数的极值点. 由些可见: “有极值但不一定可 导” 课后作业 )

1. 函数 y ? 2 ? x ? x 的极值情况是(
2 3

A.有极大值,没有极小值 B.有极小值,没有极大值 C.既有极大 值又有极小值 D.既无极大值也极小值 2. 三次函数当 x ? 1 时,有极大值 4;当 x ? 3 时,有极小值 0 ,且函数过原点,则此函数是 ( ) A. y ? x3 ? 6 x2 ? 9 x B. y ? x3 ? 6 x2 ? 9 x C. y ? x3 ? 6x2 ? 9x D. y ? x3 ? 6 x2 ? 9 x ) 3. 函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 在 x ? 1 时有极值 10,则 a、b 的值为( A. a ? 3, b ? ?3 或 a ? ?4, b ? 11 B. a ? ?4, b ? 1 或 a ? ?4, b ? 11 C. a ? ?1, b ? 5 D.以上都不正确 3 2 4. 函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 在 x ? ?3 时有极值 10,则 a 的值为

5. 函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? a(a ? 0) 的极大值为正 数,极小值为负数,则 a 的取值范围为

6.如图是导函数 y ? f ?( x) 的图象,在标记的点中,在哪一点处(1)导函数 y ? f ?( x) 有极大 值? (2)导函数 y ? f ?( x) 有极小值?(3)函数 y ? f ( x) 有极大值?(4)导函数 y ? f ( x) 有极 小值?

7. 求下列函数的极值: (1) f ( x) ? 6x2 ? x ? 2 ;

(2) f ( x) ? 48x ? x3 .

8.已知函数 f ( x) ? x( x ? c)2 在 x ? 2 处有极大值,求 c 的值.


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