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创新设计必修3配套ppt课件2-3-1,2-3-2


2.3

变量间的相关关系

2.3.1 变量之间的相关关系
2.3.2 两个变量的线性相关
【课标要求】 1.理解两个变量的相关关系的概念. 2.会作散点图,并利用散点图判断两个变量之间是否具 有相关关系. 3.会求回归直线方程. 【核心扫描】 1.求回归直线的方程.(重点) 2.准确理解变量的相关关系.(易混点)

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自学导引
1.两个变量的线性相关 (1)散点图:将样本中n个数据点(xi,yi)(i=1,2,…,n)描在平面 直角坐标系中得到的图形. (2)正相关与负相关 左下角 到_______ 右上角 的区域. ①正相关:散点图中的点散布在从_______ 左上角 到_______ 右下角 的区域. ②负相关:散点图中的点散布在从_______

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回归直线的方程 2. (1)回归直线:如果散点图中点的分布从整体上看大致在 _________ 一条直线 附近,就称这两个变量之间具有_________ 线性相关 关 系,这条直线叫做回归直线. (2)回归方程与最小二乘法 假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数 据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),用Q=(y1-bx1-a)2+ (y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2表示点到直线y=bx+a的“ 整体距离”,当Q最小时,a,b的值可由下列公式给出:

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? n n ? ? ? xi- x ?? yi- y ? ?xiyi-n x y ? i=1 i =1 ? b= = , ?^ n n ? 2 ? ? xi- x ? ?xi2-n x 2 ? i=1 i=1 ? ? ? a = y -^ b x. ?^ 1n 1n 其中 x = ?xi, y = ?yi, ni=1 ni=1 这样,回归方程的斜率为^ b ,截距为^ a ,回归方程为 ^ y =^ b x+^ a 通过上述求 Q 最小值而得到回归直线的 _________.

方法,即使得样本数据的点到回归直线的距离的 平方和最小 的方法叫做最小二乘法. ___________

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回归直线通过样本点的中心,对照平均数与样本数据 之间的关系,你能说说回归直线与散点图中各点之间的关 系吗?
提示 假设样本点为(x1,y1)(x2,y2),…,(xn,yn),记 x =

1n 1n xi, y = ?yi,则( x , y )为样本点的中心,回归直线一 ni? ni=1 =1 定过这一点,对于单变量样本数据而言,平均数是样本数 据的中心,类似地,对于双变量样本点而言,回归直线是 样本点的中心.

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名师点睛
1. 相关关系与函数关系的异同点 相同点:两者均是指两个变量的关系. 不同点:①函数关系是一种确定的关系.如匀速直线运动 中时间t与路程s的关系;相关关系是一种非确定的关 系.如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系. ②函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关 系,也可能是伴随关系.例如,有人发现,对于在校儿 童,鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系,然而学会新 词并不能使脚变大,而是涉及第三个因素——年龄,当儿 童长大一些,他们的阅读能力会提高,而且由于长大脚也 变大.
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2.回归直线方程问题 (1)回归直线方程^ y =^ b x+^ a 的理解 这里在 y 的上方加记号 “^ ”是为了区别实际值 y, 表示当 x 取值 xi(i= 1,2,…, n)时, y 相应的观察值为 yi,而直线上对应于 xi 的纵坐标是yi= a+ bxi. (2)求回归直线方程的原理 ——最小二乘法. 设 x、y 的一组观察值为(xi,yi)(i= 1,2,…,n),且回归直线方 程为y=^ a +^ b x. 当 x 取值 xi(i= 1,2,…,n)时,y 的观察值为 yi,对应回归直线 ^ ^ ^ ^ ^ 上的yi.取yi= a + b xi 差 yi-yi(i= 1,2,…, n)刻画了实际观察值 yi 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度.我们希望 y i 与 yi 的 n 个偏差构成的总偏差越小越好,这才说明所求的直线是 最贴近已知点的.
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^

^

^

一个自然的想法是将各个偏差加起来作为总偏差.可是,由于 偏差有正有负,直接相加会相互抵消,这样就无法反映这些数 据点的贴近程度,即这个总偏差不能用 n 个偏差之和 ? (yi-yi)
i=1 n n ^

来表示,通常是用偏差的平方和,即 Q= ? (yi- a- bxi)2 作为
i=1

总偏差,并使之达到最小 ( 类似的思想方法在定义方差时用 过 ).上式展开后,是一个关于 a、 b 的二次多项式,应用配方 法的知识可求出使 Q 取得最小值时 a、 b 的值,

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? n ? ?xiyi-n x y ? i=1 ? b= ?^ n 即? ?xi2-n x 2 ? i=1 ? ? ? a = y -^ b x ?^ 从而得到回归直线方程.

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题型一

变量间相关关系的判断

【例1】下列关系中,属于相关关系的是________. ①正方体的棱长与体积之间的关系; ②人的身高与视力的关系; ③自由落体的物体的质量与落地时间的关系; ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系. [思路探索] 确定两个变量是否有关系,若有关系,是确定 的,还是随机的,即可得到结果.

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解析 题号 判断 原因分析 正方体的棱长与体积的关系为 V=a3,确定性关系


② ③ ④

函数关系
不是相关关系

身高与视力无关,不具有函数 关系,也不具有相关关系

不是函数关系, 自由落体的物体的质量与落地 也不是相关关系 时间无关,不具有相关关系 相关关系 降雪量越大,交通事故发生率 越高,不确定性的关系

答案



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规律方法 (1)函数关系是一种确定性关系,如匀速直线 运动中路程s与时间t的关系;相关关系是一种非确定性关 系,如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系. (2)判断两个变量是否是相关关系的关键是看这两个变量 之间是否具有不确定性.

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【变式1】下列关系中,带有随机性相关关系的是________. ①正方形的边长与面积之间的关系;②水稻产量与施肥量 之间的关系;③人一生的身高与年龄之间的关系;④某餐 点热饮销售的数量与气温的关系. 解析 ①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系;② 水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系,但是 具有相关性,因而是相关关系;③人的身高与年龄之间的 关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达 到一定时期身高就不发生明显变化了,因而他们不具备相 关关系;④一般来说,气温越高,售出的热饮越少.因此 填②④. 答案 ②④
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题型二

求线性回归方程

【例2】某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如 下:
年收入 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10 x(万元) 年饮食支出 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3 y(万元) (1)根据表中数据,确定家庭的年收入和年饮食支出的相 关关系; (2)如果某家庭年收入为9万元,预测其年饮食支出. [思路探索] 画出散点图,判断其线性相关性,求出回归直 线方程.
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解 (1)由题意知,年收入x为解释变量,年饮食支出y为预 报变量,作散点图如图所示.

从图中可以看出,样本点呈条状分布,年收入和年饮食支 出有比较好的线性相关关系,因此可以用回归直线方程刻 画它们之间的关系.

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∵ x = 6, y = 1.83, ?xi = 406, ?xiyi= 117.7.
2 i=1 i =1 10

10

10

∴^ b=

i=1

?xiyi-10 x y ?xi2-10 x 2
10

≈ 0.172,

i =1

^ a = y -^ b x ≈ 1.83- 0.172× 6= 0.798. 从而得到回归直线方程为^ y = 0.172x+ 0.798. (2)某家庭年收入为 9 万元时,其年饮食支出约为 ^ y = 0.172× 9+ 0.798= 2.346(万元).
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规律方法 1.判断两个变量 x 和 y 间是否具有线性相关关 系,常用的简便方法就是绘制散点图,如果发现点的分布从 整体上看大致在一条直线附近, 那么这两个变量就是线性相 关的.否则,所求直线方程毫无意义. 2.求回归方程的步骤 (1)计算 x , y , ?xi , ?xiyi
2 i=1 i=1 n n

(2)计算^ b=

i =1

?xiyi-n x y ?xi2-n x 2
n

n

,^ a = y -^ b x

i =1

(3)写出方程^ y =^ b x+^ a
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【变式2】一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所 花费的时间,为此进行了10次试验,收集数据如下: 零件数 x(个) 加工时 间 y( 分 )

10 20 30 40 50 60

70

80

90

100

62 68 75 81 89 95 102 108 115 122

(1)画出散点图. (2)求加工时间y关于零件数x的回归直线方程.

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(1)画出散点图如图.

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由图可知y与x是线性相关的. (2)列表、计算:
序号 x y xy 1 10 62 2 20 68 3 30 75 4 40 81 5 50 89 6 60 95 7 70 102 8 80 108 9 90 115 10 100 122 ∑ 550 917

620 1 360

2 250 3 240 4 450 5 700 7 140

8 640 10 350 12 200 55 950

x2

100

400

900

1 600 2 500 3 600 4 900

6 400

8 100

10 000 38 500

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设所求的回归直线方程为^ y =^ b x+ ^ a, 由上表可得 x = 55, y = 91.7,

∴^ b=

i =1

?xiyi-10 x y ?xi2-10 x 2
10

n

55 950- 10× 55× 91.7 = ≈ 0.668; 2 38 500- 10× 55

i =1

^ a = y -^ b x = 91.7- 0.668× 55= 54.96. 即所求的回归直线方程为^ y = 0.668x+ 54.96.

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题型三

求回归直线方程并对总体进行估计

【例3】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程 中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组 对照数据. x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图. (2)请根据上表提供的数据, 用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性 回归方程^ y =bx+a; (3) 已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准 煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产 100 吨甲产品 的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
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审题指导

描 判 建立直角坐标系 ――→ 画散点图 ――→ 相关关系 点 断

―→ 求回归系数 ―→ 写回归方程

[规范解答] (1)散点图如图所示:

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(2)由散点图可以看出, 这些点大致分布在一条直线的附近, 可 3+4+5+6 求回归方程.由表中数据,用计算器计算得 x = = 4 2.5+3+4+4.5 4.5(吨), y = =3.5(吨), 4
i= 1 4

?xiyi=3×2.5+4×3+4×5+6×4.5=66.5(吨 2),
2 2 2 2 2 2 x = 3 + 4 + 5 + 6 = 86( 吨 ), ? i

4

i= 1

∴^ b=

i= 1

y ? x iy i - 4 x ·

4

^ a = y -^ b x =3.5-0.7×4.5=0.35, ∴^ y =0.7x+0.35.
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i= 1

?xi2-4 x 2

4

66.5-4×3.5×4.5 = =0.7, 86-4×4.52 (9 分)
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(3)现在生产100吨甲产品用煤 y=0.7×100+0.35=70.35(吨),∴90-70.35=19.65, ∴降低19.65吨标准煤. (12分)

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【题后反思】 (1)求线性回归方程的步骤: ①列表: xi, yi, xiyi. ②计算 x , y , ?xi , ?yi , ?xiyi.
2 2 i=1 ^ i=1 i=1 n n n

③代入公式计算b,a的值. ④写出回归方程y=bx+a. (2)求回归方程法的适用条件: 两个变量具有线性相关性.例如,本例告诉我们 x,y 具有相 关性.若题目没有说明相关性,则必须对两个变量进行相关 性判断.
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^

^

^

^

【变式3】假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费 用y(万元),有如下的统计资料:

使用年限x
维修费用y

2
2.2

3
3.8

4
5.5

5
6.5

6
7.0

由资料可知 y 与 x 具有相关关系. (1)求线性回归方程y=bx+a的回归系数a,b; (2)估计使用年限为 10 年时维修费用是多少?
^ ^ ^ ^ ^

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(1)先把数据列成表.
序号

1 2 2.2
4.4 4

2 3 3.8
11.4 9

3 4 5.5
22.0 16

4 5 6.5
32.5 25

5 6 7.0
42.0 36

xi yi
xiyi xi2

20 25
112.3 90

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由表可知 x = 4, y =5,由公式可得: 112.3-5× 4× 5 12.3 b= = = 1.23, 10 90-5× 42
^

a= y -b x = 5- 1.23× 4= 0.08. (2)由(1)可知回归直线方程是y=1.23x+ 0.08, ∴当 x=10 时,y= 1.23× 10+ 0.08= 12.3+0.08 =12.38(万元). 故估计使用年限为 10 年时,维修费用是 12.38 万元.
^ ^

^

^

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方法技巧

数形结合思想在相关关系中的应用

数形结合是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来思 考,也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来解决问 题的一种方法,它能使抽象问题具体化,复杂问题简单 化.本章的数形结合思想的应用是利用散点图判断相关关 系.

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【示例】某种产品的广告费支出x(单位:百万元)与销售额y(单 位:百万元)之间有如下对应数据: x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

(1)画出散点图; (2)如果 x 与 y 具有线性相关关系, 求回归直线方程, 并说 明b的意义.
^

[思路分析] 先画散点图,再求方程.

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(1)散点图如图所示.

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(2)由散点图知 x 与 y 具有线性相关关系. x = 5, y = 50, ?xiyi= 1 380, ?xi2= 145,
i =1 i=1 5 5 5

∴b=

^

i=1

?xiyi-5 x y ?xi2-5 x 2
^ 5

1 380- 5× 5× 50 = = 6.5, 145- 5× 52

i=1 ^

a= y -b x = 50- 6.5× 5= 17.5. 所求回归直线方程为y= 6.5x+ 17.5. b表示广告费每增加 100 万元,销售额平均增加 650 万元.
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^

^

方法点评 利用散点图判断两个变量之间是否具有线性相 关关系,体现了数形结合思想的作用,而用回归直线方程 进行估计又体现了函数与方程思想的应用.

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