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高中数学函数知识点总结(经典收藏)


高中数学函数知识点总结 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性” 。

如:集合 A = {x | y = lg x} B = {y | y = lg x} C = {( x, y ) | y = lg x} A、B、C , , ,
中元素各表示什么? A 表示函数 y=lgx 的定义域,B 表示的是值域,而 C 表示的却是函数上的点的轨迹 2 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。

如:集合A = x| x 2 ? 2 x ? 3 = 0 ,B = {x| ax = 1}

{

}

若B ? A,则实数a的值构成的集合为
1? ? (答: ??1, 0, ?) 3? ?
显然, 这里很容易解出 A={-1,3}.而 B 最多只有一个元素。 B 只能是-1 或者 3。 故 根据条件, 可以得到 a=-1,a=1/3. 但 是, 这里千万小心,还有一个 B 为空集的情况,也就是 a=0,不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质:

(1)集合 {a 1,a 2 ,……,a n }的所有子集的个数是 2 n ;
要知道它的来历:若 B 为 A 的子集,则对于元素 a1 来说,有 2 种选择(在或者不在) 。同样,对于元素 a2, a3,…… an,都有 2 种选择,所以,总共有 2 种选择, 即集合 A 有 2 个子集。 当然,我们也要注意到,这 2 种情况之中,包含了这 n 个元素全部在何全部不在的情况,故真子集个数为 2 非空真子集个数为 2
n n n n n

?1,

?2

( 2 )若A ? B ? A I B = A,A U B = B;
(3)德摩根定律:

CU (A U B) = (CU A) I(CU B),CU (A I B) = (CU A) U(CU B)
有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)

如:已知关于x的不等式
的取值范围。
( ∵ 3 ∈ M , ∴ a· 3 ? 5 < 0 32 ? a a· 5 ? 5 ≥ 0 52 ? a

ax ? 5 < 0的解集为M,若 3 ∈ M且 5 ? M,求实数a x2 ? a

5? ? ? a ∈ ?1, ? U (9 , 2 5 ) ) 3? ?

∵ 5 ? M , ∴

1

注意, 有时候由集合本身就可以得到大量信息, 做题时不要错过; 如告诉你函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0) 在 ( ?∞,1) 上 单调递减,在 (1, +∞ ) 上单调递增,就应该马上知道函数对称轴是 x=1.或者,我说在上 ,也应该马上可以想到 m, n 实际上就是方程 的 2 个根 5、熟悉命题的几种形式、

可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或” (∨),“且” (∧) 和“非”?). (
若p ∧ q为真,当且仅当 p、q均为真 若p ∨ q为真,当且仅当 p、q至少有一个为真 若?p为真,当且仅当 p为假
命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。 ) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 6、熟悉充要条件的性质(高考经常考)

A = {x | x 满足条件 p} , B = {x | x 满足条件 q} ,
若 若 若 若 ;则 ;则 ;则

p 是 q 的充分非必要条件 ? A _____ B ; p 是 q 的必要非充分条件 ? A _____ B ;
;则

p 是 q 的充要条件 ? A _____ B ;

p 是 q 的既非充分又非必要条件 ? ___________ ;

7. 对映射的概念了解吗?映射 f:A→B,是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对 应能构成映射? (一对一,多对一,允许 B 中有元素无原象。 ) 注意映射个数的求法。如集合 A 中有 m 个元素,集合 B 中有 n 个元素,则从 A 到 B 的映射个数有 nm 个。 如:若

A = {1,2,3,4} , B = {a, b, c} ;问: A 到 B 的映射有
个,若 A

个, B 到 个。 个。

A 的映射有

个; A 到

B 的函数有
函数

= {1,2,3} ,则 A 到 B 的一一映射有

y = ? (x ) 的图象与直线 x = a 交点的个数为

8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型?

例:函数 y =

x(4 ? x) lg(x ? 3)
2

的定义域是

(答: (0, 2) U(2 , 3) U(3, 4))

2

函数定义域求法: 分式中的分母不为零; 偶次方根下的数(或式)大于或等于零; 指数式的底数大于零且不等于一; 对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。 正切函数

y = tan x
y = cot x

π ? ? ? x ∈ R,且x ≠ kπ + , k ∈ Ζ ? 2 ? ?

余切函数

(x ∈ R,且x ≠ kπ , k ∈ Ζ )

反三角函数的定义域

函数 y=arcsinx 的定义域是 [-1, 1]

, 值域是

, 函数 y=arccosx 的定义域是 [-1, 1] , 值域是 [0, π] ,

函数 y=arctgx 的定义域是 R ,值域是

.,函数 y=arcctgx 的定义域是 R ,值域是 (0, π) .

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的范围,再取他们的交集,就 得到函数的定义域。 10. 如何求复合函数的定义域?

如:函数f ( x) 的定义域是 a,b ,b > ? a > 0,则函数F(x) = f ( x) + f (? x) 的定
义域是_____________。

[

]

(答: a, ? a )
y = f (x ) 的定义域为 [m, n] ,求 y = f [g (x)] 的定义域,可由 m ≤ g ( x ) ≤ n 解

[

]

复合函数定义域的求法: 已知 出 x 的范围,即为

y = f [g (x)] 的定义域。




若函数

?1 ? y = f (x ) 的定义域为 ? ,2? ,则 f (log 2 x) 的定义域为 ?2 ?
y = f (x )
的定义域为

分析:由函数

?1 ? ? 2 ,2 ? ? ?

可知:

1 ≤x≤2 2

;所以

y = f (log 2 x)

中有

1 ≤ log 2 x ≤ 2 。 2
解:依题意知:

1 ≤ log 2 x ≤ 2 2

解之,得 ∴

2≤x≤4

f (log 2 x) 的定义域为 x | 2 ≤ x ≤ 4

{

}

11、函数值域的求法 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 3

例 求函数 y= 2、配方法

1 的值域 x

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例、求函数 y= x -2x+5,x ∈ [-1,2]的值域。
2

3、判别式法 对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简, 不必拘泥在判别式上面 下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂
b 型 : 直 接 用 不 等 式 性 质 k+x2 bx b. y = 2 型 ,先 化 简 , 再 用 均 值 不 等 式 x + mx + n x 1 1 例 : y = = ≤ 1 2 1+x2 x+ x x 2 + m ′x + n ′ c.. y = 型 通 常 用 判 别 式 x2 + mx + n 2 x + mx + n d. y = 型 x + n 法 一 : 用 判 别 式 a. y = 法 二 : 用 换 元 法 , 把 分 母 替 换 掉 例 : y = 4、反函数法 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 求函数 y=
2 x2 + x + 1 ( x+1) ? x+1) 1 ( + = x + 1 x + 1

=( x + 1 )+

1 ? 1 ≥ 2 ? 1 = 1 x + 1

3x + 4 值域。 5x + 6

5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所说的单调性,最常用的就是 三角函数的单调性。



ex ?1 2sin θ ? 1 2sin θ ? 1 求函数 y= x ,y= ,y= 的值域。 1 + sin θ 1 + cos θ e +1
e x ? 1 ? e x + 1 2 s in θ ? y = 1 + s in θ 2 s in θ ? y = 1 + cosθ 2 s in θ ? y c o y = 4 + y
2

1 + y > 0 1 ? y 1 1 + y ? | s i n θ |= | |≤ 1 , 2 ? y 1 ? 2 s i n θ ? 1 = y (1 + c o s θ ) e
x

=



= 1 + y 1 + y 4 + y
2

s i n (θ + x ) = 1 + y , 即 s i n (θ + x ) = 1 + y 4 + y
2

又 由

s i n (θ + x ) ≤ 1 知

≤ 1

解 不 等 式 , 求 出 y, 就 是 要 求 的 答 案

4

6、函数单调性法 通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容 例求函数 y=

2

x ?5

+ log

3

x ? 1 (2≤x≤10)的值域

7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发 挥作用。 例 求函数 y=x+

x ? 1 的值域。

8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这 类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。 例:已知点 P(x.y)在圆 x +y =1 上,
2 2

y 的取值范围 x+2 (2)y-2x的取值范围 y 解:(1)令 = k , 则y = k ( x + 2), 是一条过(-2,0)的直线. x?2 (1) d ≤ R(d 为圆心到直线的距离,R为半径) (2)令y-2x = b, 即y ? 2 x ? b = 0, 也是直线d d ≤ R
例求函数 y=

( x ? 2)

2

+

( x +8)

2

的值域。

解:原函数可化简得:y=∣x-2∣+∣x+8∣ 上式可以看成数轴上点 P(x)到定点 A(2) ,B(-8)间的距离之和。 由上图可知:当点 P 在线段 AB 上时, y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时, y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10 故所求函数的值域为:[10,+∞) 例求函数 y= 解 y= :

x


2

? 6 x + 13 +

2

x

2

2

+ 4 x + 5 的值域
变 形
2




2



( x ?3) + (0? 2)

+

( x + 2) + (0+1)

上式可看成 x 轴上的点 P(x,0)到两定点 A(3,2) ,B(-2,-1) 的距离之和,

5

由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时,y min =∣AB∣= 故所求函数的值域为[ 。 43 ,+∞)

(3+ 2) + (2+1)
2

2

=

43 ,

注:求两距离之和时,要将函数 9 、不等式法 利用基本不等式 a+b≥2

ab ,a+b+c≥3 3 abc (a,b,c∈

R

+

) ,求函数的最值,其题型特征解析式是

和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例:

x2 +

2 (x > 0) x 1 1 + ≥ 3 x x
3

=x2 +

x2 ×

1 1 × = 3 x x
3

(应 用 公 式 a+b+c ≥ 3

a b c时 , 注 意 使 3者 的 乘 积 变 成 常 数 )

x 2( 3 - 2 x ) ( 0 < x < 1 . 5 ) x + x+3-2x 3 = x ? x ?( 3 - 2 x ) ≤ ( ) = 1 3 a + b + c 3 ) 时 , 应 注 意 使 3者 之 和 变 成 常 数 ) (应 用 公 式 abc ≤ ( 3
倒数法 有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况



求函数 y=

x+2 的值域 x+3

x + 2 x + 3 x + 2 ≠ 0时 , 1 x + 2 + 1 = = y x + 2 y = x + 2 = 0时 , y = 0 1 ∴ 0 ≤ y ≤ 2

x + 2 +

1 x + 2

≥ 2 ? 0 < y ≤

1 2

多种方法综合运用 总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考 虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。

12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗? 切记:做题,特别是做大题时, 一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错 误,与到手的满分失之交臂

如:f

(

x + 1 = e x + x,求f ( x).

)

令t = x + 1,则t ≥ 0

∴x = t 2 ? 1
6

∴f ( t ) = e t

2

?1

+ t2 ?1
+ x 2 ? 1 ( x ≥ 0)

∴f ( x) = e x

2

?1

13. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗? (①反解 x;②互换 x、y;③注明定义域)

?1 + x ? 如:求函数 f ( x) = ? 2 ?? x ?
?x ? 1 ? ( 答 : f ?1 ( x ) = ? ?? ? x ?

(x ≥ 0) 的反函数 (x < 0)

( x > 1) ) (x < 0)
x ? 1 + 1( x ≥ 1) 的反函数是(

在更多时候,反函数的求法只是在选择题中出现,这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题: (2004.全国理)函数 A.y=x2-2x+2(x<1) C.y=x2-2x (x<1)

y=

B



B.y=x2-2x+2(x≥1) D.y=x2-2x (x≥1)

当然,心情好的同学,可以自己慢慢的计算,我想, 一番心血之后,如果不出现计算问题的话,答案还是可以做 出来的。可惜,这个不合我胃口,因为我一向懒散惯了,不习惯计算。下面请看一下我的思路: 原函数定义域为 x〉=1,那反函数值域也为 y>=1. 排除选项 C,D.现在看值域。原函数至于为 y>=1,则反函数定义域 为 x>=1, 答案为 B. 我题目已经做完了, 好像没有动笔(除非你拿来写*书) 。思路能不能明白呢? 14. 反函数的性质有哪些? 反函数性质: 1、 2、 3、 反函数的定义域是原函数的值域 (可扩展为反函数中的 x 对应原函数中的 y) 反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的 y 对应原函数中的 x) 反函数的图像和原函数关于直线=x 对称(难怪点(x,y)和点(y,x)关于直线 y=x 对称 ①互为反函数的图象关于直线 y=x 对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性;

③设y = f(x) 的定义域为A,值域为C,a ∈ A,b ∈ C,则f(a) = b ? f ?1 ( b) = a
∴ f ?1 [ f ( a )] = f ?1 ( b ) = a , f f ?1 ( b ) = f ( a ) = b
由反函数的性质,可以快速的解出很多比较麻烦的题目,如 (04. 上海春季高考)已知函数 15

[

]

f ( x) = log 3 (

4 + 2 ) ,则方程 f x

?1

( x) = 4 的解 x = __________.

. 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负)

判断函数单调性的方法有三种: (1)定义法: 根据定义,设任意得 x1,x2,找出 f(x1),f(x2)之间的大小关系

7

可以变形为求

f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) 的正负号或者 与 1 的关系 x1 ? x2 f ( x2 )

(2)参照图象: ①若函数 f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数 f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有相同的单调性; (特例:奇函 数) ②若函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称,则函数 f(x)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的单调性。 (特例: 偶函数) (3)利用单调函数的性质: ①函数 f(x)与 f(x)+c(c 是常数)是同向变化的 ②函数 f(x)与 cf(x)(c 是常数),当 c>0 时,它们是同向变化的;当 c<0 时,它们是反向变化的。 ③如果函数 f1(x),f2(x)同向变化,则函数 f1(x)+f2(x)和它们同向变化; (函数相加) ④如果正值函数 f1(x),f2(x)同向变化,则函数 f1(x)f2(x)和它们同向变化;如果负值函数 f1(2)与 f2(x)同向变 化,则函数 f1(x)f2(x)和它们反向变化; (函数相乘) ⑤函数 f(x)与
1 在 f(x)的同号区间里反向变化。 f ( x)

⑥若函数 u=φ(x),x[α,β]与函数 y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或 u∈[φ(β),φ(α)]同向变化,则在[α, β]上复合函数 y=F[φ(x)]是递增的; 若函数 u=φ(x),x[α, β]与函数 y=F(u), u∈[φ(α), φ(β)]或 u∈[φ (β),φ(α)]反向变化,则在[α,β]上复合函数 y=F[φ(x)]是递减的。 (同增异减) ⑦若函数 y=f(x)是严格单调的,则其反函数 x=f (y)也是严格单调的,而且,它们的增减性相同。 f(g) 增 增 减 减 g(x) 增 减 增 减 f[g(x)] 增 减 减 增 f(x)+g(x) 增 / / 减
-1

f(x)*g(x) 都是正数
增 / / 减

如:求y = log 1 ? x 2 + 2 x 的单调区间
2

(

)

(设u = ? x 2 + 2 x,由u > 0则 0 < x < 2
且 log 1 u ↓ ,u = ?( x ? 1) + 1,如图:
2 2

u

O

1

2

x

当x ∈ (0,1]时,u ↑ ,又 log 1 u ↓ ,∴y ↓
2

当x ∈[1, 2) 时,u ↓ ,又 log 1 u ↓ ,∴y ↑
2

∴……)

8

16. 如何利用导数判断函数的单调性?

在区间(a,b)内,若总有f '( x) ≥ 0则f ( x) 为增函数。(在个别点上导数等于

零,不影响函数的单调性),反之也对,若f '( x) ≤ 0呢? 如:已知a > 0,函数f ( x) = x 3 ? ax在[1, + ∞)上是单调增函数,则a的最大
值是__________。

? a ?? a? (令f ' ( x) = 3x 2 ? a = 3? x + ?? x ? ? ≥0 3?? 3? ?

则x ≤ ?

a a 或x ≥ 3 3 a ≤ 1,即a ≤ 3 3

由已知f ( x) 在[1, + ∞) 上为增函数,则
∴a 的最大值为 3) 17. 函数 f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称)

若f ( ? x) = ? f ( x) 总成立 ? f ( x) 为奇函数 ? 函数图象关于原点对称 若f ( ? x) = f ( x) 总成立 ? f ( x) 为偶函数 ? 函数图象关于y轴对称
注意如下结论: (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘 积是奇函数。

( 2 )若f(x) 是奇函数且定义域中有原点,则f(0) = 0。
a· 2 x + a ? 2 如:若f ( x) = 为奇函数,则实数a = 2x + 1

(∵f ( x) 为奇函数,x ∈ R,又 0 ∈ R,∴f (0) = 0
即 a· 2 0 + a ? 2 = 0,∴a = 1) 20 + 1 2x , 4x + 1

又如:f ( x) 为定义在 ( ?1,1) 上的奇函数,当x ∈ (0,1) 时,f ( x) =

求f ( x) 在( ?1,1)上的解析式。
(令x ∈ (?1, 0),则 ? x ∈ (0,1),f ( ? x) = 2?x 4?x + 1

9

2 ?x 2x 又f ( x) 为奇函数,∴f ( x) = ? ? x =? 4 +1 1 + 4x
? 2x ?? x ? 4 + 1 又 f (0) = 0, ∴ f (x) = ? x ? 2 ?4x + 1 ?
判断函数奇偶性的方法 一、 定义域法

x ∈ ( ? 1, 0 ) x = 0 x ∈ (0 , 1 )



一个函数是奇(偶)函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关 于原点对称,则函数为非奇非偶函数. 二、 奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,计算
这种方法可以做如下变形 f(x)+f(-x) =0 f(x)-f(-x)=0 f(x) = 1 f(-x) f(x) = ?1 f(-x) 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数

f (? x ) ,然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.

三、

复合函数奇偶性

f(g) 奇 奇 偶 偶

g(x) 奇 偶 奇 偶

f[g(x)] 奇 偶 偶 偶

f(x)+g(x)

f(x)*g(x) 偶 奇 奇 偶

奇 非奇非偶 非奇非偶 偶

18. 你熟悉周期函数的定义吗?

(若存在实数T(T ≠ 0),在定义域内总有f (x + T) = f ( x) ,则f ( x) 为周期
函数,T 是一个周期。 )

如:若f ( x + a) = ? f ( x) ,则

(答:f ( x) 是周期函数,T = 2a为f ( x) 的一个周期)
我们在做题的时候, 经常会遇到这样的情况: 告诉你 f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来, 这时说这个函数周期 2t. 推

导:

? ? => f ( x) = f ( x + 2t) , f ( x + t) + f ( x + 2t) = 0 ?

f (x) + f (x + t) = 0

同时可能也会遇到这种样子: f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思: 函数 f(x)关于直线对称, 对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得到。比如,f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线 x=a 对称。

10

又 如 : 若 f ( x )图 象 有 两 条 对 称 轴 x = a , x = b 即 f ( a + x ) = f ( a ? x ), f ( b + x ) = f ( b ? x ) ? f ( x) = f (2 a ? x)? => ? ? = > f (2 a ? x ) = f (2b ? x ) ? f ( x) = f (2b ? x) ? 令 t = 2 a ? x , 则 2 b ? x = t + 2 b ? 2 a , f (t ) = f (t + 2 b ? 2 a ) 即 f (x) = f (x + 2b ? 2a) 所 以 , 函 数 f ( x )以 2 | b ? a | 为 周 期 (因 不 知 道 a , b 的 大 小 关 系 , 为 保 守 起 见 ,我 加 了 一 个 绝 对 值

19. 你掌握常用的图象变换了吗?

f ( x) 与f ( ? x) 的图象关于 y轴 对称 f ( x) 与 ? f ( x) 的图象关于 x轴 对称

联想点(x,y),(-x,y) 联想点(x,y),(x,-y) 联想点(x,y),(-x,-y)

f ( x) 与 ? f ( ? x) 的图象关于 原点 对称

f ( x) 与f ?1 ( x) 的图象关于 直线y = x 对称

联想点(x,y),(y,x) 联想点(x,y),(2a-x,y) 联想点(x,y),(2a-x,0)

f ( x) 与f (2a ? x) 的图象关于 直线x = a 对称

f ( x) 与 ? f (2a ? x) 的图象关于 点(a,0) 对称

左移a (a>0) 个单位 y = f ( x + a ) 将y = f ( x) 图象 ? ??????? → ? 右移a (a>0) 个单位 y = f ( x ? a ) 上移b( b>0) 个单位 y = f ( x + a ) + b ? ??????? → ? 下移b( b>0) 个单位 y = f ( x + a ) ? b
(这是书上的方法,虽然我从来不用, 但可能大家接触最多,我还是写出来吧。对于这种题目,其实根本不用这 么麻烦。你要判断函数 y-b=f(x+a)怎么由 y=f(x)得到,可以直接令 y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系, 就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。 ) 注意如下“翻折”变换:

f (x) ? ? | f (x) | 把 x轴 下 方 的 图 像 翻 到 上 面 → f ( x ) ? ? f ( | x |) 把 y 轴 右 方 的 图 像 翻 到 上 面 →
如:f ( x) = log 2 ( x + 1)

作出y = log 2 ( x + 1) 及y = log 2 x + 1 的图象

y y=log 2 x

O

1

x

11

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?

(1)一次函数:y = kx + b ( k ≠ 0) (k 为斜率,b 为直线与 y 轴
的交点)
y=b

(k<0)

y

(k>0)

k k ( 2 )反比例函数:y = ( k ≠ 0)推广为y = b + (k ≠ 0)是中心O' (a,b) O x x?a
的双曲线。

O ’(a,b) x x=a

b? 4ac ? b 2 ? ( 3)二次函数y = ax + bx + c (a ≠ 0) = a ? x + ? + 图象为抛物线 ? 2a ? 4a
2 2

? b 4ac ? b 2 ? b 顶点坐标为 ? ? , ? ,对称轴x = ? 4a ? 2a ? 2a
开 口 方 向 : a > 0, 向 上 , 函 数 y 4ac ? b 2 = 4a = 4ac ? b 4a
2

m in

a < 0,向下,y max
根的关系:x = x1 + x 2 = ? ?b ± 2a

b c , x1 × x 2 = , | x1 ? x 2 | = a a |a|

二次函数的几种表达形式: f ( x ) = a x 2 + b x + c (一 般 式 ) f ( x ) = a ( x ? m ) 2 + n (顶 点 式 , ( m , n ) 为 顶 点 f ( x ) = a ( x ? x1 ) ( x ? x 2 ) ( x1 , x 2 是 方 程 的 2 个 根 ) f ( x ) = a ( x ? x 1 ) ( x ? x 2 ) + h (函 数 经 过 点 ( x 1 , h ) ( x 2 , h )

应用:
①“三个二次” (二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程

ax 2 + bx + c = 0,? > 0时,两根x 1 、x 2 为二次函数y = ax 2 + bx + c的图象与x轴 的两个交点,也是二次不等式ax 2 + bx + c > 0 ( < 0) 解集的端点值。
②求闭区间[m,n]上的最值。
y

(a> 0 )

O

k

x1

x2

x

12

区 间 在对 称 轴 左 边( n < ? 区 间 在 区 间 在 f m in 也可 以

b ) f m a x = f ( m ), f m in = f ( n ) 2a b 对 称 轴 右 边( m > ? ) f m a x = f ( n ), f m in = f ( m ) 2a b 对 称 轴 2边 ( n < ? < m) 2a 4ac ? b2 = , f m a x = m ax ( f ( m ), f ( n )) 4a 比 较 m , n 和 对 称 轴 的 关 系 ,距 离 越 远 , 值 越 大

(只 讨 论 a > 0的 情 况 )
③求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

?? ≥ 0 ? b ? 如:二次方程ax 2 + bx + c = 0的两根都大于k ? ?? >k ? 2a ?f ( k ) > 0 ?

一根大于k,一根小于k ? f ( k ) < 0 ?? ≥ 0 ? b ? <n ?m < ? 在区间(m,n)内有2根 ? ? 2a ? f (m) > 0 ? ? f (n) > 0 ?
在区间(m,n)内有1根 ? f (m) f (n) < 0

(4 )指数函数:y = a x (a > 0,a ≠ 1) (5)对数函数y = log a x(a > 0,a ≠ 1)
由图象记性质! (注意底数的限定! )

y (0<a<1) 1 O 1 x
y

y=ax(a>1) y=logax(a>1)

k ( 6)“对勾函数” y = x + (k > 0) x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的 么? (均值不等式一定要注意等号成立的条件) 20. 你在基本运算上常出现错误吗?

(0<a<1)

区别是什

? k
O

k

x

指数运算:a 0 = 1 ( a ≠ 0) ,a ? p =
m ? m n

1 ( a ≠ 0) ap

a n = n a m (a ≥ 0) ,a

=

1
n

am

(a > 0)

对数运算: a ( M × N ) = log a M + log a N ( M > 0,N > 0 ) log

13

log a

M = log a M ? log a N, log a N

n

M=

1 log a M n

对数恒等式:a loga x = x
对数换底公式: a b = log log a x = 1 log x a log c b n ? log a m b n = log a b log c a m

21. 如何解抽象函数问题? (赋值法、结构变换法)

如:(1)x ∈ R,f ( x) 满足f ( x + y) = f ( x) + f ( y) ,证明f ( x) 为奇函数。 (先令x = y = 0 ? f (0) = 0再令y = ? x,……) (2 )x ∈ R,f ( x) 满足f ( xy) = f ( x) + f ( y) ,证明f ( x) 是偶函数。
(先令x = y = ? t ? f [( ? t )( ? t )] = f ( t·t )

∴f ( ? t ) + f ( ? t ) = f ( t ) + f ( t ) ∴f ( ? t ) = f ( t ) ……)
( 3)证明单调性:f ( x 2 ) = f ( x 2 ? x 1 ) + x 2 = ……
(对于这种抽象函数的题目,其实简单得都可以直接用死记了 1、 2、 3、 代 y=x, 令 x=0 或 1 来求出 f(0)或 f(1) 求奇偶性,令 y=—x;求单调性:令 x+y=x1

[

]

几类常见的抽象函数 1. 正比例函数型的抽象函数 f(x)= (k≠0)---------------f(x±y)= (x)±f(y) ( )= )=kx( ≠ ) )=f( ) ( ) ( ± )= 2. 幂函数型的抽象函数 f(x)= a----------------f(xy)= f(x)f(y) ( ( )= )=x ;f( ( )= ( ) ( ) ; 指数函数型的抽象函数 f(x)= x------------------- f(x+y)= (x)f(y) (x-y)= ( )= )=a )=f( ) ( ) ;f( - )= ( + )= ; 对数函数型的抽象函数

x f ( x) )= y f ( y)

3.

f ( x) f ( y)

4.

)=f( )+ )+f( ) ;f( f(x)= ax(a>0 且 a≠1)-----f(x·y)= (x)+ (y) ( ( )= )=log ( ≠ ) ( · )= ;

x )= y

f(x)- (y) ( )- )-f( )

14

5.

三角函数型的抽象函数 f(x)= ( )= )=tgx-------------------------- f(x+y)= ( + )=

f ( x) + f ( y ) 1 ? f ( x) f ( y )

f(x)= ( )= )=cotx------------------------ f(x+y)= ( + )=

f ( x) f ( y ) ? 1 f ( x) + f ( y )

,且当 x>0 时,f(x)>0,f(-1)= -2 求 f(x) 例 1 已知函数 f(x)对任意实数 x、y 均有 f(x+y)=f(x)+f(y) 在区间[-2,1]上的值域. 分析:先证明函数 f(x)在 R 上是增函数(注意到 f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1);再根据 ) 区间求其值域. ,且当 x>0 时,f(x)>2,f(3)= 5,求 例 2 已知函数 f(x)对任意实数 x、y 均有 f(x+y)+2=f(x)+f(y) 不等式 f(a2-2a-2)<3 的解. 分析:先证明函数 f(x)在 R 上是增函数(仿例 1) ;再求出 f(1)=3;最后脱去函数符号. ,且 f(-1)=1,f(27)=9,当 0≤x<1 例 3 已知函数 f(x)对任意实数 x、y 都有 f(xy)=f(x)f(y) 时,f(x)∈[0,1]. (1) (2) (3) 判断 f(x)的奇偶性; 判断 f(x)在[0,+∞]上的单调性,并给出证明; 若 a≥0 且 f(a+1)≤
3

9 ,求 a 的取值范围.

分析: (1)令 y=-1; (2)利用 f(x1)=f( (3)0≤a≤2. 例 4 设函数 f(x)的定义域是(-∞,+∞) ,满足条件:存在 x1≠x2,使得 f(x1)≠f(x2) ;对任何 x 和 y, f(x+y)=f(x)f(y)成立.求: (1) (2) f(0) ; 对任意值 x,判断 f(x)值的符号.

x1 x2

·x2)=f(

x1 x2

)f(x2) ;

分析: (1)令 x= y=0; (2)令 y=x≠0.

f ( x) f ( y)

,使下列三个条件:①f(x)>0,x∈N;②f(a+b)= f(a)f(b) ,a、b∈N;③f(2) 例 5 是否存在函数 f(x) =4.同时成立?若存在,求出 f(x)的解析式,若不存在,说明理由. 分析:先猜出 f(x)=2x;再用数学归纳法证明. 例 6 设 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足 f(x·y)=f(x)+f(y) ,f(3)=1,求: (1) (2) f(1) ; 若 f(x)+f(x-8)≤2,求 x 的取值范围. (2)利用函数的单调性和已知关系式. ,那么 g(a+b)=g(a) ·g(b) 例 7 设函数 y= f(x)的反函数是 y=g(x).如果 f(ab)=f(a)+f(b) 15

分析: (1)利用 3=1×3;

是否正确,试说明理由. 分析:设 f(a)=m,f(b)=n,则 g(m)=a,g(n)=b, 进而 m+n=f(a)+f(b)= f(ab)=f [g(m)g(n)]…. 例 8 已知函数 f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件: ① x1、x2 是定义域中的数时,有 f(x1-x2)=

f ( x1 ) f ( x 2 ) + 1 ; f ( x 2 ) ? f ( x1 )

② ③ 试问: (1) (2) (3)

f(a)= -1(a>0,a 是定义域中的一个数) ; 当 0<x<2a 时,f(x)<0.

f(x)的奇偶性如何?说明理由; 在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?说明理由. 先证明 f(x)在(0,2a)上是增函数,再证明其在(2a,4a)上也是增函数.

分析: (1)利用 f [-(x1-x2)]= -f [(x1-x2)],判定 f(x)是奇函数; 对于抽象函数的解答题,虽然不可用特殊模型代替求解,但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题,对应 的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此,针对不同的函数要进行适当变通,去寻求特殊模型,从而更好地 解决抽象函数问题. (x≠0)满足 f(xy)=f(x)+f(y) , 例 9 已知函数 f(x) (1) (2) (3) 求证:f(1)=f(-1)=0; 求证:f(x)为偶函数; 若 f(x)在(0,+∞)上是增函数,解不等式 f(x)+f(x-

1 )≤0. 2

分析:函数模型为:f(x)=loga|x|(a>0) (1) (2) (3) 先令 x=y=1,再令 x=y= -1; 令 y= -1; 由 f(x)为偶函数,则 f(x)=f(|x|).

·f(y) ,且当 x<0 时,f(x)>1, 例 10 已知函数 f(x)对一切实数 x、y 满足 f(0)≠0,f(x+y)=f(x) 求证: (1) (2) 当 x>0 时,0<f(x)<1; f(x)在 x∈R 上是减函数. (2)受指数函数单调性的启发:由 f(x+y)=f(x)f(y)可得 f(x-y)= 进而由 x1<x2,有 练习题: 1.已知:f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数 x、y 都成立,则( (A)f(0)=0 (C)f(0)=0 或 1 (B)f(0)=1 (D)以上都不对 ) )

分析: (1)先令 x=y=0 得 f(0)=1,再令 y=-x;

f ( x1 ) =f(x1-x2)>1. f ( x2 )

2. 若对任意实数 x、y 总有 f(xy)=f(x)+f(y) ,则下列各式中错误的是( (A)f(1)=0 (B)f(

1 )= x

f(x)

16

(C)f(

x )= y

f(x)-f(y)

(D)f(xn)=nf(x) (n∈N)

3.已知函数 f(x)对一切实数 x、y 满足:f(0)≠0,f(x+y)=f(x)f(y) ,且当 x<0 时,f(x)>1,则当 x >0 时,f(x)的取值范围是( (A) (1,+∞) (C) (0,1) ) (B) (-∞,1) (D) (-1,+∞)

4.函数 f(x)定义域关于原点对称,且对定义域内不同的 x1、x2 都有 f(x1-x2)=

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,则 f(x)为( 1 + f ( x1 ) f ( x 2 )



(A)奇函数非偶函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (A)奇函数非偶函数 (C)既是奇函数又是偶函数 参考答案: 参考答案: 1.A . 2.B . 3 .C

(B)偶函数非奇函数 (D)非奇非偶函数 ) (B)偶函数非奇函数 (D)非奇非偶函数 4.A . 5.B .

5.已知不恒为零的函数 f(x)对任意实数 x、y 满足 f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)],则函数 f(x)是(

2

2U 2
2

23. 你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为α,半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗?

(l = α ·R,S 扇 =
道圆锥展开图面积的求法)

1 1 l·R = α ·R 2 ) 2 2

(和三角形的面积公式很相似, 可以比较记忆.要知

R 1 弧度 O R

17


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