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安徽省无为县四校2013届高三联考数学(文)试题


无为县四校 2013 届高三联考数学(文)试题
一. 选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 50 分. 共 在每小题给出的四个选项中. 只
有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x>1},B={x|-1<x<2},则 A∪B 等于( A.{x|-1<x<2} C.{x|-1<x<1} 2.下列有关命题的说法正确的是( ① | x |?

3 ? x ? 3或x ? ?3 ; ) B.{x|x>-1} D.{x|1<x<2} ).

②命题“a、b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是“a+b 不是偶数,则 a、b 都不是 偶数”; ③ " | x ? 1|? 2" 是 " x ? 3" 的充分不必要条件 ④若一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定是真. A.①④ B.②③ C.②④ D.③④ )

3.若 lg a ? lg b ? 0 (其中 a ? 1, b ? 1 ) ,则函数 f ( x) ? a x与g ( x) ? b x 的图象( A.关于 y 轴对称 C.关于直线 y=x 轴称 4. 函数 B.关于 X 轴对称 D.关于原点对称 的零点所在的一个区间是( C.(0,1) ) . D.(1,2)

f ? x ? ? ex ? x ? 2

A. (-2,-1)

B.(-1,0)

5. 在各项均为正数的数列 ?an ? 中, 对任意 m, n ?N? 都有 am?n ? a m ?an . a6 ? 64 , a9 等 若 则 于( ) A.256 B.510 C.512 D. 1024 )

6. 已知向量 a ? 1 n) ? (?1, n) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 | a |? ( (, , b A. 1 B. 2 C.4 D.2

?2 x ? y ? 5, ? 7. 某所学校计划招聘男教师x名,女教师y名,x和y须满足约束条 ? x ? y ? 2, 件则该 ? x ? 6. 校招聘的教师人数最多是( ) ?
A.10 B.8 C.6 D.12 8. 已知函数 y=cos(ω x+φ)(ω >0,|φ|<π )的部分图象如图所示,则( )

1 · ·

A.ω =1,φ=

2π 3

B.ω =1,φ=-

2π 3 2π 3 )

2π C.ω =2,φ= 3

D.ω =2,φ=-

9. 等比数列{ a n }中, a 3 ? 7 ,前 3 项之和 S3 ? 21 ,则数列{ a n }的公比为( A.1 B.1 或 ?
1 2

C. ? (

1 2

D.-1 或 )

1 2

10. 下列函数中,最小值为 4 的是 4 A. y ? x ? x C. y ? 2e x ? 2e ? x 二、填空题(每题 5 分,共 25 分)

B. y ? sin x ?

4 (0 ? x ? ? ) sin x

D. y ? log3 x ? 4 logx 3(0 ? x ? 1)

11. 函数 y= ?x 2 ? x ? 2 的定义域为______,值域为______. 12. 已知α ∈( π 3 π ,π ),sinα = ,则 tan(α + )等于 2 5 4

13. 在 ?ABC 中,已知 B ? 600 且 b ? 3 ,则 ?ABC 外接圆的面积是
14. 已知向量 a , b 满足 | a |? 1, | b |? 4 ,且 a ? b ? 2 ,则 a 与 b 的夹角为 15. 已知 f ( x) ? x ? 3 xf '(1) ,则 f '(1) 为
2

三、解答题(共 5 题,满分 75 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算 步骤) 。
16(本题满分 12 分) 1 设函数 f(x)=x3- ax2+3x+5(a>0). 2 (1)已知 f(x)在 R 上是单调函数,求 a 的取值范围;
2 · ·

(2)若 a=2,且当 x∈[1,2]时,f(x)≤m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

17(本题满分 12 分) 某单位用 2 160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层,每层 2 000 平方米的楼房, 经测算, 如果将楼房建为 x(x≥10)层, 则每平方米的平均建筑费用为 560 +48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?

18. (本题满分 12 分) 等比数列 {an } 中, a1 ? 2, a4 ? 16 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 4 项和第 16 项,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

19(本题满分 13 分)
3 · ·

? ? 12 ? 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,向量 m = ?1 ? sin A, ? , ? ? ? n =(cos2A,2sinA),且 m ∥ n . (1)求 sinA 的值; (2)若 b=2,△ABC 的面积为 3,求 a.

?

7?

20. (本题满分 13 分)

x 4k ? 1 x ? ? ),k∈Z,x∈R. )+cos( 2 2 2 (1)求 f (x)的最小正周期; (2)求 f(x)在[0,π )上的减区间;

已知函数 f(x)=cos(-

(3)若 f(α )=

? ? 2 10 ,α ∈(0, ),求 tan(2α + )的值. 2 4 5

21. (本题满分 13 分)
4 · ·

已知函数 f ( x) ?

x (2 ? x)e x , g ( x) ? . ex e2

(1) 求函数 f ( x) 的极值; (2)求证:当 x ? 1 时, f ( x) ? g ( x); (3)如果 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求证: f ( x1 ) ? f (2 ? x2 ).

5 · ·

无为县 2013 届高三四校联考 数学试卷答案(文科)

17、 【答案】设将楼房建为 x 层,则每平方米的平均购地费用为: 2 160×104 10 800 = (元). 2分 2 000x x 故每平方米的平均综合费用为: 10 800 225 y=560+48x+ =560+48(x+ ). 6分

x

x

当 x+

225

x

最小时,y 有最小值. 225

∵x>0,∴x+ 当且仅当 x=

x

≥2



225

x

=30,

8分 10 分 12 分

225

x

,即 x=15 时上式等号成立.

所以当 x=15 时,y 有最小值 2 000 元. 答:该楼房建为 15 层时,每平方米的平均综合费用最小.

6 · ·

【答案】 (Ⅰ)设 {an } 的公比为 q , 18、 由已知得 16 ? 2q3 ,解得 q ? 2 . 又 a1 ? 2 ,所以 an ? a1qn?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n . (Ⅱ)由(I)得 a 3 ? 8 , a5 ? 32 ,则 b4 ? 8 , b16 ? 32 . 设 {bn } 的公差为 d ,则有 ?
?b ? 2, ?b1 ? 3d ? 8, 解得 ? 1 ? d ? 2. ?b1 ? 15d ? 32,

3分 6分 8分 10 分

则数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ? nb1 ?

n(n ? 1) n(n ? 1) d ? 2n ? ? 2 ? n2 ? n. 2 2

12 分

12 ? ? 【答案】(1)∵ m ∥ n ,∴ cos2A=(1-sinA)·2sinA, 19、 7 ∴6(1-2sin2A)=7sinA(1-sinA)?5sin2A+7sinA-6=0, 3 ∴sinA= 或 sinA=-2(舍去). 5 1 3 (2)由 S△ABC= bcsinA=3,b=2,sinA= ,得 c=5, 2 5 4 又 cosA=± 1-sin2A=± , 5 ∴a2=b2+c2-2bccosA=4+25-2×2×5cosA=29-20cosA, 4 当 cosA= 时,a2=13?a= 13; 5 4 当 cosA=-5时,a2=45?a=3 5. 13 分

3分

6分

8分

10 分

【答案】(1)f(x)=cos(20、 =cos

x 4k ? 1 x ?? ) )+cos( 2 2 2

x ? x +cos(2kπ + ? ) 2 2 2 x x x ? =sin +cos = 2 sin( + ), 2 2 2 4

2分

7 · ·

所以,f(x)的最小正周期 T=

2? ? 4?. 1 2

4分

? x ? 3 +2kπ ≤ ? ? ? ? 2k? ,k∈Z 2 2 4 2 ? 5 得 ? 4k? ? x ? ? ? 4k?, k ? Z. 2 2 ? 5 令 k=0,得 ? x ? ?; 2 2

(2)由

【答案】⑴∵ f ( x) = 21、

x 1? x ,∴ f ?( x) = x . x e e

2分

令 f ?( x) =0,解得 x ? 1 .

x
f ?( x) f ( x)

(??,1)

1 0 极大值
1 e

(1, ??)

+ ↗

- ↘

8 · ·

9 · ·


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