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【绝密】专题二、函数专题


考点 3 函数的概念及其性质 【1】 (A,新课标 I,文 10)已知函数

? 2 x ?1 ? 2, x ?1 ,且 f (a) ? ?3 ,则 f (6 ? a) ? f ( x) ? ? ?? log 2 ( x ? 1), x ? 1
A. ?

7 5 3 1 B. ? C. ? D. ? 4 4 4 4
<

br />【2】 (A,新课标 I,文 12)设函数 y ? f ( x) 的图像与 y ? 2x?a 的图像关于直线 y ? ?x 对 称,且

f (?2) ? f (?4) ? 1 ,则 a ?
A. -1 B. 1 C. 2 D. 4 【3】 (A,北京,文 3)下列函数中为偶函数的是 A. y ? x 2 sin x C. y ? | ln x|
x ? 0, x ? 0, 则 x ? 0.

B. y ? x 2 cos x D. y ? 2 x

【4】 (A,湖北,文 7)设 x ? R ,定义符号函数
? 1, ? sgn x ? ? 0, ? ?1, ?

A. | x | ? x | sgn x | C. | x | ? | x | sgn x

B. | x | ? x sgn | x | D. | x | ? x sgn x

【5】 (A,湖北,文 6)函数 f ( x) ? 4? | x | ?

lg

x 2 ? 5x ? 6 的定义域为 x ?3
A. (2, 3) C. (2, 3) ? (3, 4] B. (2, 4] D. (?1, 3) ? (3, 6]

【6】 (A,湖北,理 6)已知符号函数 sgn( x) ?

?1, x ? 0 ? ?0, x ? 0 , f ( x) 是 R 上的增函数, g ( x) ? f ( x) ? ?? 1, x ? 0 ?
f (ax) (a ? 1) ,则
A. sgn[ g ( x )] ? sgn x B. sgn[ g ( x )] ? ? sgn x C. sgn[ g ( x)] ? sgn[ f ( x )]

D. sgn[ g ( x )] ? ? sgn[ f (x )] 【7】 (A,广东,文 3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 A. y ? x ? sin 2 x
x C. y ? 2 ?

B. y ? x2 ? cos x D. y ? x2 ? sin x

1 2x

【8】 (A,广东,理 3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 A. y ? 1 ? x 2 C. y ? 2 ?
x

B. y ? x ?

1 x
x

1 2x

D. y ? x ? e

【9】 (A,安徽,文 4)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 A. y ? ln x C. y ? sin x B. y ? x ? 1
2

D. y ? cos x

【10】 (A,安徽,理 2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 A. y ? cos x C. y ? ln x B. y ? sin x D. y = x + 1
2

【11】 (A,福建,文 3)下列函数为奇函数的是 A. y ?

x

B. y ? e

x

C. y ? cos x

D. y ? e ? e
x

?x

【12】 (A,福建,理 2)下列函数为奇函数的是 A. y ?

x

B. y ? sin x D. y ? e ? e
x ?x

B.C. y ? cos x

【13】 (A,湖南,文 8 理 5)设函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ,则 f ( x) 是 A.奇函数,且在 (0,1) 上是增函数 B.奇函数,且在 (0,1) 上是减函数 C.偶函数,且在 (0,1) 上是增函数 D.偶函数,且在 (0,1) 上是减函数 【14】 (A,陕西,文 4)设 f ( x) ? ? A. ? 1 B.

? ?1 ? x , x ? 0, ,则 f ( f (?2)) ? x ? 2 , x ? 0 ?
D.

1 4

C.

1 2

3 2

【15】 (B,新课标Ⅱ,理 5)设函数 f ( x )

?1 ? log 2 ? 2 ? x ? , x ? 1 ? ,则 f (?2) ? f (log2 12) ? ? ? x ?1 2 , x ? 1 ? ?
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

【16】 (B,山东,文 10)设函数 f ( x) ? ? A. 1 B.

?3x ? b, x ? 1 ?2 , x ? 1
x

若 f ( f ( )) ? 4 ,则 b ?

5 6

1 2 【17】 (B,浙江,文 8)设实数 a, b, t 满足 a ? 1 ?
C. D.

7 8

3 4

sin b ? t ,若 t 确定,则
A. b 唯一确定 B. a 2 ? 2a 唯一确定
2

C. sin

b 2 唯一确定 D. a ? a 唯一确定 2

【18】 (B,浙江,文 5)函数 f ( x ) ? ( x ?

1 ) cos x x

(?? ? x ? ? 且 x ? 0) 的图象可能为
y
-π y
π

O

x



O

π x

A.
y

B.
y

-π O
π x



O

π

x

C. D. 【19】 (B,陕西,文 9)设 f ( x) ? x ? sin x ,则 f ( x) A.既是奇函数又是减函数 B 既是奇函数又是增函数 C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数 【20】 (B,陕西,文 10 理 9)设 f ( x) ? ln x,0 ? a ? b ,若 p ? f ( ab) ,q ? f (

a?b ), 2

r=

1 ( f (a) + 2 f (b)) ,则下列关系式中正确的是 A. q ? r ? p B. p ? r ? q

C. q ? r ? p

D. p ? r ? q

【21】 (C,新课标 I,理 12)设函数 f ( x) ? e x (2 x

?1) ? ax ? a ,其中 a ? 1 ,若存在唯一的整数 x 0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则 a 的取值范围是

3 3 , ) 2e 4 3 D. [ ,1) 2e 【22】 (C,新课标Ⅱ,文 12)设函数 f ( x )
A. [ ? B. [ ?

3 , 1 ) 2e 3 3 C. [ , ) 2e 4

1 ,则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立的 x 的取值范围是 1 ? x2 1 1 A. ( ,1) B. ( ??, ) U (1, ?? ) 3 3 1 1 1 1 C. (? , ) D. ( ??, ? ) U ( , ??) 3 3 3 3 【23】 (C,新课标Ⅱ,文 11 理 10)如图,长方形 ABCD 的边 AB ? 2 , BC ? 1 ,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC , CD 与 DA 运动, ?BOP ? x .将动点 P 到 A , B 两点距离之 f ( x) ,则 y ? f ( x) 的图像大致为 和表示为 x 的函数
? ln(1? | x |) ?
y y

D

y

P

y

C

π π 3π 4 2 4

π x

π π 3π 4 2 4

π

x

π π 3π 4 2 4

A

π

x

x

π π 3π 4 2 4

O

π

x

B

A. B. 【24】 (C,北京, 列叙述中正确 A.消耗 1 升 B.以相同速 汽油最多. C.甲车以 10 升汽油. D.某城市 件下,在该市用 【25】 (C, 天津,
O 40 15

第 23 题图

C. D. 理 8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消 的是

耗 1 升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下
燃油效率(km/L)

汽油,乙车最多可行驶 5 千米. 度行驶相同路程, 三辆车中, 甲车消耗
甲车

10 乙车 5 丙车

80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条

80

速度(km/h)

丙车比用乙车更省油. 文 8)已知函数

第 24 题图

? 2 ? x , x ? 2, ,函数 g ( x) ? 3 ? f (2 ? x) ,则函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的零点个数为 f ( x) ? ? 2 ?( x ? 2) , x ? 2 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【26】 (C,天津,理 8)已知函数 f ( x) ? ?

? 2 ? x , x ? 2,
2 ?( x ? 2) , x ? 2

,函数 g ( x) ? b ? f (2 ? x) ,其中

b ? R .若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是
A. ( ,?? ) B. (?? , ) C. (0, ) D. ( ,2) 【27】 (C,四川,理 9)如果函数 f ( x) ?

7 4

7 4

7 4

7 4

1 (m ? 2) x 2 2

1 ?(n ? 8) x ? 1 (m ? 0, n ? 0) 在区间 [ , 2] 上单调递减,那么 mn 的最大值为 2 81 A.16 B.18 C.25 D. 2 ?3x ? 1, x ? 1 【28】 (C,山东,理 10)设函数 f ( x) ? ? x ,则满足 f ( f (a)) ? 2 f ( a ) 的 a 的取值 2 , x ? 1 ?
范围是 A. [ ,1]

2 3

B. [0,1]

C. [ , ??)

2 3

D. [1, ??)

【29】 (C,浙江,理 7)存在函数 f ( x ) 满足:对于任意 x ?R 都有 A. f ? sin 2x ? ? sin x C. f ( x ? 1) ? x ? 1
2

B. f ?sin 2x ? ? x ? x
2

D. f ( x ? 2x) ? x ? 1
2
3

【30】 (A,新课标 I,文 14)已知函数 f ( x) ? ax

? x ? 1的图像在点 (1, f (1)) 的处的切线过点 (2,7) ,
则 a ?. 【31】 (A,新课标 I,理 13)若函数 f ( x ) ? x ln( x ?

a ? x 2 ) 为偶函数,则 a ? .
【32】 (A,上海,文 4)设 f
?1

( x) 为 f ( x ) ?

x ?1 的反函数,则 f (2) =. 2x ?1

【33】 (B,上海,理 10)设 f

?1

( x) 为 f ( x) ? 2x?2 ?

x , x ? [0, 2] 的反函数,则 y ? f ( x) ? f ?1 ( x) 的最大值为. 2 x 【34】 (B, 山东, 理 14) 已知函数 f ( x) ? a ? b(a ? 0, a ? 1) 的定义域和值域都是 [?1, 0] ,
则 a ? b =. 【35】 (B,浙江,文 12)已知函数 f ( x) ?

?x 2 , x ?1 ? ,则 f ( f (?2)) ? ______, f ( x ) 的最小值是. ? 6 x ? ? 6 , x ? 1 ? x ?
【36】 (B,福建,文 15) .若函数 f ( x) ? 2
x ?a

(a ? R) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且 f ( x) 在

[ m, ?? ) 单调递增,则实数 m 的最小值等于.

【37( 】B, 福建, 理 14) 若函数 f ? x ? ? ? 则实数 a 的取值范围是. 【38】 (C,北京,理 14)设函数

?? x ? 6, x ? 2, ( a ? 0 且 a ?1 ) 的值域是 ? 4, ?? ? , ?3 ? log a x, x ? 2,

?2 x ? a, x ? 1, f ( x) ? ? ?4( x ? a)( x ? 2a), x ? 1.
①若 a ? 1 ,则 f ( x) 的最小值为; ②若 f ( x) 恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是. 【39】 (C,江苏,文理 13)已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x ) ? ?

? ?0,0 ? x ? 1 ,则方程 2 x ? 4 ? 2 , x ? 1 ? ?

f ( x) ? g( x) ? 1 实根的个数为.
2 【40】 (A,上海,文 20)已知函数 f ( x) ? ax ?

1 ,其中 a 为常数. x

(1)根据 a 的不同取值,判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并说明理由; (2)若 a ? (1,3) ,判断函数 f ( x ) 在 [1, 2] 上的单调性,并说明理由. 【41】 (C,浙江,文 20)设函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b ,

(a, b ?R).

a2 ? 1 时,求函数 f ( x) 在 [ ?1,1] 上的最小值 g (a) 的表达式; 4 (Ⅱ)已知函数 f ( x ) 在 [ ?1,1] 上存在零点, 0 ?
(Ⅰ)当 b ?

b ? 2a ? 1 ,求 b 的取值范围.
【42】 (C,浙江,理 18)已知函数 f ( x) = x + ax + b
2

(a, b ? R) ,记 M (a, b) 是 | f ( x) | 在区间 [ ?1,1] 上的最大值.
(Ⅰ)证明:当 | a |? 2 时, M (a, b) ? 2 ; (Ⅱ)当 a , b 满足 M (a, b) ? 2 ,求 | a | + | b | 的最大值. 考点 4 指数函数、对数函数、幂函数 【1】 (A,重庆,文 3)函数 f ( x) ? log2 ( x ? 2 x ? 3) 的定义域是
2

A. ?? 3,1?

B. ?? 3,1? D. ?? ?,?3? ? ?1,???

1,??? C. ?? ?,?3? ? ?

【2】 (A,山东,文 3)设 a ? 0.60.6 , b ? 0.61.5 ,

c ? 1.50.6 ,则 a, b, c 的大小关系是
A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? a ? c D. b ? c ? a 【3】 (B,北京,理 7)如图,函数 f ( x) 的图象为折线 ACB,则不等式 f ( x) ? log2 ?x ? 1? 的 解集是 A. ?x ? 1 ? x ? 0? B. ?x ? 1 ? x ? 1? C. ?x ? 1 ? x ? 1? D. ?x ? 1 ? x ? 2?
A -1

y 2 C B 2 x

O

第 3 题图
x?m

【4】 (B, 天津, 文 7 理 7) 已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? 2 A. a ? b ? c C. a ? c ? b B. c ? a ? b D. c ? b ? a
1

? 1 ( m 为实数)为偶函数,

记 a ? f (log0.5 3) , b ? f (log2 5) , c ? f (2m) ,则 a, b, c 的大小关系为

【5】 (A,北京,文 10) 2 -3 , 3 2 , log2 5 三个数中最大的数是. 【6】 (A,四川,文 12) lg 0.01? log2 16 的值是__. 【7】 (A,安徽,文 11) lg

5 1 ? 2 lg 2 ? ( ) ?1 ? . 2 2

2 ? ____, 2log2 3?log4 3 ? . 2 【9】 (A,浙江,理 12)若 a ? log4 3 ,则
【8】 (A,浙江,文 9)计算: log2

2a ? 2? a ? .
【10】 (B,上海,文 8 理 7)方程 log2 (9x?1 ? 5)

? log2 (3x?1 ? 2) ? 2 的解为.
【11】 (C,四川,文 15 理 15)已知函数 f ( x) ? 2 ,
x

g ( x) = x2 + ax , a ? R .对于不相等的实数 x1 , x 2 ,设 m ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) , x1 ? x2

n?

g ( x1 ) ? g ( x2 ) .现有如下命题:①对于任意不相等的实数 x1 , x 2 ,都有 m ? 0 ;②对于 x1 ? x2

任意的 a 及任意不相等的实数 x1 , x 2 , 都有 n ? 0 ; ③对于任意的 a , 存在不相等的实数 x1 , x 2 , 使得 m ? n ;④对于任意的 a ,存在不相等的实数 x1 , x 2 ,使得 m ? ?n .其中的真命题有(写

出所有真命题的序号). 考点 5 函数模型及其应用 【1】 (C,北京,文 8)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时 的情况.注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内,该车每 100 千米 平均耗油量为
加油时间 2015 年 5 月 1 日 2015 年 5 月 15 日 加油量(升) 12 48 加油时的累计里程(千米) 35000 35600

A.6 升 B.8 升 C.10 升 D.12 升 【2】 (C,安徽,理 9)函 示,则下列结论成立的是 A. a ? 0, b ? 0, c ? 0 C. a ? 0, b ? 0, c ? 0 D. a ? 0, b ? 0, c ? 0
y M O N P x

数 f ( x) ?

ax ? b 的图像如图所 ( x ? c) 2

第 2 题图

B. a ? 0, b ? 0, c ? 0

【3】 (C,陕西,理 12)对二次函数 f ( x) = ax2 + bx

+ c ( a 为非零整数) ,四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则
错误的结论是 A. ?1是 f ( x) 的零点 B.1 是 f ( x) 的极值点 C.3 是 f ( x) 的极值 D.点 (2,8) 在曲线 y ? f ( x) 上
π 【4】 (A,湖北,文 13)函数 f ( x) ? 2sin x sin( x ? ) ? x2 的零点个数为. 2

【5】 (A,浙江,理 10)已知函数 f ( x) ?

2 ? ? x ? ? 3, x ? 1 ,则 f ( f (?3)) ? , f ( x ) 的最小值是. x ? 2 ?lg( x ? 1), x ? 1 ?
【6】 (B,湖北,文 17) a 为实数,函数 f ( x) ?

| x 2 ? ax | 在区间 [0,1] 上的最大值记为 g (a) . 当 a ? ________时, g (a) 的值最小.
【7】 (B,湖北,理 12)函数 f ( x) ? 4cos
2

x ? cos( ? x) 2 2

? 2 sin x? | ln(x ? 1) | 的零点个数为.
【8】 (B,四川,文 8 理 13)某食品的保鲜时间 y (单位:小时)与储藏温度 x (单 位: ? C )满足函数关系 y ? e kx?b (e ? 2.718?为自然对数的底数, k , b 为常数).若该食品
? 在 0 C 的保鲜时间是 192 小时,在 22? C 的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33? C 的保鲜

第 9 题图

时间是小时.
x 【9】 (B,湖南,文 14)若函数 f ( x ) ? 2 ? 2 ? b

有两个零点,则实数 b 的取值范围是. 【10】 (B, 湖南, 理 15) 已知函数 f ( x) ? ? 有两个零点,则 a 的取值范围是. 【11】 (C,安徽,文 14)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 y ? 2a 与函数 y ? x ? a ?1 的 图象只有一个交点,则 a 的值为. 【12】 (B,江苏,文理 17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区 的交通现状, 计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路, 记两条相互垂直的公路 为 l1 , l2 ,山区边界曲线为 C ,计划修建的公路为 l ,如图所示, M , N 为 C 的两个端点, 测得点 M 到 l1 , l2 的距离分别为 5 千米和 40 千米,点 N 到 l1 , l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米,以 l1 , l2 所在的直线分别为 x , y 轴,建立平面直角坐标系 xOy ,假设曲线 C 符合函数
3 ? ? x , x ? a, 若存在实数 b , 使函数 g ( x) ? f ( x) ? b 2 ? x , x ? a . ?

y?

a (其中 a , b 为常数)模型. x ?b (1)求 a , b 的值;
2

(2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点, P 的横坐标为 t .①请写出公路 l 长度的函数解析式

f (t ) ,并写出其定义域;②当 t 为何值时,公路 l 的长度最短?求出最短长度.
【13】 (C,安徽,文 21)已知函数 f ( x) ?

ax ( x ? r)2

(a ? 0, r ? 0) .
(1)求 f ( x) 的定义域,并讨论 f ( x) 的单调性; (2)若

a ? 400 ,求 f ( x) 在 (0,??) 内的极值. r

答案:
考点 3 函数的概念及其性质 【1】 (A,新课标 I,文 10) 、A 解析:当 a ? 1 时, 2a ?1 ? 2 ? ?3 ,不合题意; 当 a ? 1 时, ? log2 (a ? 1) ? ?3 ∴ a ? 7 故 f (6 ? a ) ? f (?1) ? 2?1?1 ? 2 ? ? 【2】 (A,新课标 I,文 12) 、C 解析:用 ? y , ? x 分别替代 x, y ,得

7 . 4

? x ? 2? y ? a 即 y ? ? log 2 (? x) ? a
又∵ f (?2) ? f (?4) ? 1 ∴ (? log2 2 ? a) ? (? log 2 4 ? a) ? 1 即 a ? 2 . 【3】 (A,北京,文 3) 、B 解析:根据偶函数的定义 f (? x) ? f ( x) ,A 选项为奇函数,B 选项为偶函数,C 选项 定义域为 (0, ??) 不具有奇偶性,D 选项既不是奇函数,也不是偶函数. 【4】 (A,湖北,文 7) 、D 解析:对于选项 A,右边 ? x | sgn x |? ?

? x, x ? 0 ? x, x ? 0 ,而左边 ?| x |? ? ,显然不正确; ?0, x ? 0 ?? x, x ? 0

对于选项 B,右边 ? x | sgn x |? ?

? x, x ? 0 ?x, x ? 0 ,而左边 ?| x |? ? ,显然不正确;对于选项 C,右 ?0, x ? 0 ?? x, x ? 0

? x, x ? 0 ?x, x ? 0 ? 边 ?| x | sgn x ? ?0, x ? 0 ,而左边 ?| x |? ? ,显然不正确;对于选项 D,右边 ?? x, x ? 0 ? x, x ? 0 ? ? x, x ? 0 ? ? x sgn x ? ?0, x ? 0 , ?? x , x ? 0 ?
而左边 ?| x |? ?

?x, x ? 0 ,显然正确,故选 D. ?? x, x ? 0

【5】 (A,湖北,文 6) 、C 解析:由函数 y ? f ( x) 的表达式可知,函数 f ( x) 的定义域应满足条件:

4? | x |? 0,

x2 ? 5x ? 6 ? 0 ,解之得 ?2 ? x ? 2, x ? 2, x ? 3 ,即函数 f ( x) 的定义域为 x ?3

(2, 3) ? (3, 4] ,故选 C .

【6】 (A,湖北,理 6) 、B 解析:由 f ( x) 在 R 上单调递增知:当 x ? 0 且 a ? 1 时, ax ? x ,则

g ( x) ? f ( x) ? f (ax) ? 0 ;
当 x ? 0 时, g ( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, ax ? x , g ( x) ? 0 .

?? 0, x ? 0 ? 综上, g ( x) ?? 0, x ? 0, sgn[ g ( x)] ? ? sgn x . ?? 0, x ? 0 ?
【7】 (A,广东,文 3) 、D 解析:对于 D,记 f ( x) ? x2 ? sin x ,则 f (? x) ? (? x) 2 ? sin(? x) ? x 2 ? sin x ,

f (? x) ? f ( x) ,且 f (? x) ? ? f ( x) ,所以非奇非偶.
【8】 (A,广东,理 3) 、D
x 解析:令 f ? x ? ? x ? e ,则 f ?1? ? 1 ? e , f (?1) ? ? 1 ? e ?1 ,即 f ? ?1? ? f ?1? ,

f ? ?1? ? ? f ?1? ,所以 y ? x ? e x 既不是奇函 数也不是偶函数,而 ABC 依次是偶函数、奇
函数、偶函数. 【9】 (A,安徽,文 4) 、D 解析:因为 y ? ln x 的定义域为 (0,??) ,是非奇非偶函数;函数 y ? x ? 1 是偶函数,
2

但不存在零点;函数 y ? sin x 是奇函数;函数 y ? cos x 是偶函数,且有无数个零点. 【10】 (A,安徽,理 2) 、A 解析: 因为 y ? ln x 的定义域为 (0,??) , 是非奇非偶函数; 函数 y ? x ? 1 是偶函数,
2

但不存在零点;函数 y ? sin x 是奇函数;函数 y ? cos x 是偶函数,且有无数个零点. 【11】 (A,福建,文 3) 、D 解析:函数 y ? 函数,故选 D. 【12】 (A,福建,理 2)D 解析:函数 y ?

x 和 y ? e x 是非奇非偶函数; y ? cos x 是偶函数; y ? e x ? e? x 是奇

x 是非奇非偶函数, y ? sin x
x ?x

和 y ? cos x 是偶函数, y ? e ? e 是奇函数,选 D.

【13】 (A,湖南,文 8 理 5) 解析:由题意得 f ( x) 定义域为 (?1,1) ,关于原点对称,又

f (? x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x)= ? f ( x) , ? f ( x) 为奇函数,又显然 f ( x) 在 (0,1) 上单调递增
【14】 (A,陕西,文 4) 、C 解析:? f (?2) ?

1 1 1 ,? f ( f (?2)) ? f ( ) ? . 4 4 2

【15】 (B,新课标Ⅱ,理 5) 、C 解析:由已知得 f (?2) ? 1 ? log2 4 ? 3 , log 2 12 ? 1 ,代入得 f (log2 12) ? 2log2 12?1 ?

2log2 12 ? 6 ,所以, f (?2) ? f (log2 12) ? 9 . 2
【16】 (B,山东,文 10) 、D

5 5 5 ? b ,则由 f ( f ( )) ? 4 进行分类讨论: 6 2 6 3 5 (I)当 b ? 时,由 3( ? b) ? 4 解得 b 不符合. 2 2
解析: f ( ) ? (II)当 b ?
?b 3 1 时,由 2 2 ? 4 得 b ? 满足. 2 2 5

【17】 (B,浙江,文 8) 、B
2 2 解析:因为 | a ? 1 |?| sin b |? t ,所以 (a ? 1) 2 ? sin 2 b ? t ,故当 t 确定时, t ? 1 确定,
2 则 a ? 2a 唯一确定.故选 B.

【18】 (B,浙江,文 5) 、D

1 解析: 因为 f (? x) ? ?( x ? ) cos x ? ? f ( x) , 故函数是奇函数, 所以排除 A,B; 取 x ?? , x

f (? ) ? (? ? ) cos ? ? ?(? ? ) ? 0 ,故选 D. ? ?
【19】 (B,陕西,文 9) 、B 解析: Q f (? x) ? ? f ( x) ,? f ( x) 为奇函数,又? f ?( x) ? 1 ? cos x ? 0 ,? f ( x) 为增 函数. 【20】 (B,陕西,文 10 理 9) 、B 解析:由题意知, p ? ln ab , q ? ln

1

1

a?b , 2

a?b 1 ? ab ,又因 (ln a ? ln b) ? ln ab .因为 0 ? a ? b ,所以由均值不等式得, 2 2 为函数 f ( x) ? ln x 为增函数,所以 p ? r ? q .

r?

【21】 (C,新课标 I,理 12) 、D 解析:设 知存在唯一的正整数 x 0 ,
y
1 2

g ( x) ? e x (2x ?1) , y ? ax ? a ,由题
y=ax-a
1
1 2

使得 g ( x0 ) 在直线

y ? ax ? a 的下方.

-1
x

o
-

1 x

y=e (2x-1) 2

-1

第 21 题图

∵ g ?( x) ? e x (2 x ? 1) ∴当 x ? ? 当x??

1 时, g ?( x) ? 0 . 2

1 时, g ?( x) ? 0 . 2
1

? 1 当 x ? ? 时, g ( x) min ? ?2e 2 2

当 x ? 0 时, g (0) ? ?1 ,直线 y ? ax ? a 恒过 (1,0) 且斜率为 a ,故 ? a ? g (0) ? ?1 且

g (?1) ? ?3e?1 ? ?a ? a ,解得

3 ? a ?1. 2e

【22】 (C,新课标Ⅱ,文 12) 、A

1 得, f ( x ) 为偶函数,且在 [0, ??) 为增函数, 1 ? x2 1 f ( x) ? f (2 x ? 1) 即 f (| x |) ? f (| 2 x ? 1|) ?| x |?| 2 x ?1| ,故 ? x ? 1 . 3
解析:由 f ( x) ? ln(1? | x |) ? 【23】 (C,新课标Ⅱ,文 11 理 10) 、B 解析:如图所示, 作椭圆,易知椭圆与 边上运动时, 由椭圆的
A O B D P C

以 A, B 为焦点, BC ? 1 为短半轴长

取得最小值, 故排除 C、

CD 相切于 CD 中点,当点 P 在 CD ? 定义得,当 x ? 时,| PA | ? | PB | 2 D 两项, 又当点 P 在 BC 边上运动时,

| PA | ? | PB |
段,故排除 A 选项,B 【24】 (C,北京,理 8)D
第 23 题图

? tan2 x ? 4 ? tan x ,轨迹不是线
正确.

解析: A 问的是纵坐标的最大值.B 消耗 1 升油甲走最远, 则反过来路程相同甲最省油.C 此时甲走过了 80 千米,消耗 8 升汽油.D 80km/h 以下丙燃油效率更高,更省油. 【25】 (C,天津,文 8) 、A 解析:法 1 ? f (2 ? x) ? ? 令: h( x) ? f ( x) ?

?2 ? x ? 2 , x ? 0
2 ?x ,

x?0

,

? x 2 ? 5 x ? 5, ? f (2 ? x) ? 3 ? ? ? 1, ? x 2 ? x ? 1, ?
令 h( x) ? 0 解得 x1 ?

x?2 0 ? x ? 2, x?0

5? 5 ?1? 5 , , x2 ? 2 2

? 共两个零点,选 A. 法 2 先画出 f ( x ) 的图像,令 h( x) ? ? f (2 ? x) ,

则 h( x) 的图像与 f ( x ) 的图像关于点 (1,0) 对称,画出 h( x) 的图像再将向上平移 3 个单位, 可 得 y ? g ( x) 的图像,可知 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图像有 2 个公共点,故选 A. 【26】 (C,天津,理 8) 、D 解析:法 1 ? y ? f ( x) ? g ( x) 恰有 4 个零点

? f ( x) ? f (2 ? x) ? b 恰有 4 个根.

?2 ? x ? 2 , x ? 0 ? f ( 2 ? x) ? ? 2 x?0 ?x , ? x 2 ? 5 x ? 8, x ? 2 ? 令 h( x) ? f ( x) ? f (2 ? x) ? ? 2, 0? x?2 ? x 2 ? x ? 2, x ? 0 ?
画出 h( x) 的图像与 y ? b 的图像可知,若有 4 个交点则

7 ?b?2. 4 法 2 先画出 f ( x ) 的图像,令 h( x) ? ? f (2 ? x) ,则 h( x) 的图像与 f ( x ) 的图像关于点

(1,0) 对称,画出 h( x) 的图像再将向上平移,由图像可知 b ? 0,b ? 1,b ? 2 ,故排除选项 A,B,C,
故选 D. 【27】 (C,四川,理 9) 、A 解析:若 m ? 2 ,则应有 n ? 8 ,此时 mn ? 16 ; 若 m ? 2 ,则应有函数 f ( x ) 的对称轴 ?

n ?8 ? 2 ,整理得 2m ? n ? 12 ,所以 m?2

1 ? 2m ? n 2 1 2m ? n 2 ? ( ) ? 18 ,当且仅当 2 m ? n ,即 m ? 3 , 2 2 n ? 6 时等号成立; mn ?
若 0 ? m ? 2 ,则应有函数 f ( x ) 的对称轴 x ? ? 于 m ? 0 ,所以 n ? 9 ,此时 mn ? 18 . 综上,当 m ? 3, n ? 6 时 mn 取得最大值 18. 【28】 (C,山东,理 10) 、B
?1 解析:法 1 利用特殊值法,令 a ? 0 ,则 f (0) ? ?1 , f (?1) ? ?4 ,而 2 ? ?4 ,说

n?8 1 ? ,整理得 m ? 2n ? 18 ,由 m?2 2

明 a ? 0 不满足题意,排除 B ; 令a ?

2 2 2 1 ,则 f ( ) ? 1 , f (1) ? 2 ,而 2 ? 2 ,说明 a ? 满足题意,排除 D ; 3 3 3

4 令 a ? 2 ,则 f (2) ? 4 , f (4) ? 16 ,而 2 ? 16 ,

说明 a ? 2 满足题意,排除 A ; 综上,故选 C .
a 法 2 利用分类讨论.若 a ? 1 ,则 f (a) ? 2 且 2 ? 1 ,所以 f ( f (a)) ?
a

f (2a ) ? 22 ? 2 f ( a) ,满足题意;


a

2 3a ?1 ? a ? 1 ,则 f ( a) ? 3a ? 1且 3a ? 1 ? 1 , 所以 f ( f ( a)) ? f (3a ? 1) ? 2 ? 2f ( a ), 3
2 ,则 f (a) ? 3a ? 1 且 3a ? 1 ? 1 ,所以 3

满足题意; 若a ?

f ( f (a)) ? f (3a ?1) ? 3(3a ? 1)-1 ,而 2 f ( a ) ? 23a ?1 ,
令 3a ? 1 ? t ,则 t ? 1 ,在此前提下,考察函数 y ? 3t -1 与 y ? 2t ,显然有 2t ? 3t ? 1 ,故不满 足题意. 【29】 (C,浙江,理 7) 、D 解析: 对于选项 A, 不妨取 x ? 不满足函数的定义故排除 A; 对于选项 B,不妨取 x ? ? 、 x ? 5? ,则 t ? sin 2 x 4 4
5? x? , x? 4 4

?
4

x? 、

5? , 则 t ? sin 2 x 4

? 5? x? , x? 4 4

? 1 时,f (t ) ? ?

2 , 2

?

? 1 时, f (t ) ?

?2
16

?

?或
4

f (t ) ?

25? 2 5? ,不满足函数的定义故排除 B; ? 16 4

对于选项 C,不妨取 x ? ?1 ,则 t ? x 2 ? 1 ? 2 时, f (t ) ? 0 或 f (t ) ? 2 ,不满足函数 的定义故排除 C;
2 对于选项 D,不妨将选项两边平方可得: f 2 ( x2 ? 2 x) ? x2 ? 2 x ? 1 ,令 t ? x ? 2 x ,

故有 f (t ) ? t ?1? f (t ) ? 0? ,因此 f (t ) ? t ? 1 .
2

【30】 (A,新课标 I,文 14) 、1
2 解析:由题,得 f ?( x) ? 3ax ? 1 ∴ f ?( x) ? 3a ? 1 又∵ f (1) ? a ? 2

∴切线的方程为 y ? (a ? 2) ? (3a ? 1)( x ? 1) 又∵切线过点 (2,7) ∴ 7 ? (a ? 2) ? (3a ? 1)(2 ? 1) 即 a ? 1 . 【31】 (A,新课标 I,理 13) 、1 解析:由题,得 y ? ln( x ? a ? x2 ) 是奇函数 所以 ln( x ? a ? x 2 ) ? ln(? x ? a ? x 2 )
2 2 = ln(a ? x ? x ) ? ln a ? 0 ,解得 a ? 1 .

【32】 (A,上海,文 4) 、?

2 3

解析:由

2 x 2 ? 2 得 x ? ? ,即 f ?1 (2) ? ? . 3 2x ?1 3

【33】 (B, 上海,理 10) 、4 解析: f ( x ) 在定义域 [0, 2] 上是增函数,故 f ?1 ( x) 也是增函数.因为

f ( x)max ? f (2) ? 2 ,所以 f ?1 ( x) 的最大值 f ?1 ( x)max ? 2 ,所以 y 的最大值为 4.
【34】 (B,山东,理 14) 、?

3 2

解析: 若 a ? 1, 则 f ( x) ? a x ? b 为定义域上的增函数, 即?

? f (?1) ? ?1 a ?? ; , 经检验, ? f (0) ? 0

1 ? ? f (?1) ? 0 ?a? 若 0 ? a ? 1 ,则 f ( x) ? a ? b 为定义域上的减函数,即 ? ,解得 ? 2 ,故 ? f (0) ? ?1 ? ?b ? ?2
x

3 a?b ? ? . 2
【35】 (B,浙江,文 12) 、?

1 ,2 6 ?6 2

2 解析: f (?2) ? (?2) ? 4 ,所以 f ( f (?2)) ? f (4) ? 4 ?

6 1 ? 6 ? ? .当 x ? 1 时, 4 2

f ( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ( x) ? 2 6 ? 6 ,当 x ?

6 , x ? 6 时取到等号. x

因为 2 6 ? 6 ? 0 ,所以函数的最小值为 2 6 ? 6 . 【36】 (B,福建,文 15) 、1 解析:由 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 得函数 f ( x) 关于 x ? 1 对称,故 a ? 1 ,则 f ( x) ? 2 由复合函数单调性得 f ( x) 在 [1, ?? ) 递增,故 m ? 1 ,所以实数 m 的最小值等于1 . 【37】 (B,福建,理 14) 、 (1, 2] 解析:当 x ? 2 ,故 ? x ? 6 ? 4 ,要使得函数 f ( x ) 的值域为 ? 4, ?? ? ,只需
x ?1



f1 ( x) ? 3 ? log a x ? x ? 2 ? 的值域包含于 ? 4, ?? ? ,故 a>1,所以 f1 ( x) ? 3 ? log a x ,所以
3 ? log a x ? 4 ,解得 1 ? a ? 2 ,所以 a 的取值范围是 (1, 2] .
【38】 (C,北京,理 14) 、-1, [ ,1) ? [2, + ? )

1 2

ì ? 2 - 1, x < 1, 解析:①当 a = 1 时, f ( x) = ? í
x

? ? ? 4( x - 1)( x - 2), x ? 1.

当 x < 1 时, f ( x) > - 1 . 当 x ? 1 时, f ( x ) 是开口向上的抛物线,当 x = 故 a = 1 时 f ( x ) 的最小值是-1. ②若 f ( x ) 在 x < 1 与 x ? 1 时与 x 轴各有一个交点 由函数 h( x) ? 2 x ? a 在 x ? 1 时与 x 轴有一个交点,知 a ? 0 ,并且当 x ? 1 时

3 时取得最小值-1. 2

h(1) ? 2 ? a ? 0 ,所以 0 ? a ? 2 .
由函数 g ( x) ? 4( x ? a)( x ? 2a) 在 x ? 1 时与 x 轴有一个交点,知当 x ? 1 时

g (1) = 4(1- a)(1- 2a)

1 1 ? 0 ,解得 #a 1 ,由①知 a = 1 时 g ( x) 有两个零点,所以 ? a ? 1 . 2 2 若 f ( x ) 在 x < 1 时与 x 轴没有交点, x ? 1 时与 x 轴有两个交点
由函数 h( x) ? 2 x ? a 在 x < 1 时与 x 轴没有交点知,当 x ? 1 时 h(1) ? 2 ? a ? 0 , a ? 2 . 由 g ( x) ? 4( x ? a)( x ? 2a) 在 x ? 1 时与 x 轴有两个交点知, g (1) = 4(1- a)(1- 2a) ? 0 且

3 g ( a) < 0 2 1 解得 a ? 或 a ? 1 . 2
综上, a 的取值范围是 [ ,1) ? [2, + ? ) . 【39】 (C,江苏,文理 13) 、4

1 2

?? ln x,0 ? x ? 1 ? 解析:设 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? ?? x 2 ? 2 ? ln x,1 ? x ? 2 ? x 2 ? 6 ? ln x, x ? 2 ?
利用导数知识画出

h( x ) ? ?1 各有 2 个实数
个数为 4. 【40】 (A,上海,文 20) 解析: (1) f ( x ) 的 对称. 若 a ? 0 ,则 f ( ? x ) ? ?

y 1 O -1 ln2-2 A 1

如图所示. h( x ) ? 1 以及 h( x ) 的图像, 根.所以方程 f ( x) ? g( x) ? 1 实根的

x

定义域为 (??,0) ? (0, ??) ,关于原点

第 39 题图

1 ? ? f ( x) , f ( x) 为奇函数. x

若 a ? 0 ,则 f (?1) ? a ? 1 , f (1) ? a ? 1,

f (?1) ? f (1) , f (?1) ? ? f (1) , f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数.
(2)设 1 ? x1 ? x2 ? 2 ,则

x ?x 1 1 2 ? ax2 ? ? a( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 1 2 x1 x2 x1 ? x2 a( x1 ? x2 ) x1 ? x2 ? 1 . ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 因为 a ? (1,3) , 1 ? x1 ? x2 ? 2 ,所以 a( x1 ? x2 ) x1 ? x2 ? 1 ? 0 , x1 ? x2 ? 0 ,从而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ax12 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 .
所以, f ( x ) 在 [1, 2] 上是单调增函数. 【41】 (C,浙江,文 20)

a2 a a ? 1 时, f ( x) ? ( x ? ) 2 ? 1 ,故对称轴为直线 x ? ? . 解析:(Ⅰ)当 b ? 2 2 4 2 a ? a ? 2. 当 a ? ?2 时, g (a) ? f (1) ? 4 a 当 ? 2 ? a ? 2 时, g ( a ) ? f ( ? ) ? 1 . 2 2 a ?a?2. 当 a ? 2 时, g (a) ? f (?1) ? 4
? a2 ? ? a ? 2, a ? ?2 ?4 综上, g (a) ? ? ?2?a?2. ?1, ? 2 ? a ? a ? 2, a ? 2 ? ?4
(Ⅱ) 设 s , t 为方程 f ( x) ? 0 的解, 且 ? 1 ? t ? 1, 则? 因此

? 2t 1 ? 2t ?s? (?1 ? t ? 1) . t?2 t?2 ? 2t 2 t ? 2t 2 2 ? 2t 2 1 t ? 2t 2 ? st ? ? 0 和? ? ? 9?4 5 , 当 0 ? t ? 1 时, , 由于 ? ? t?2 t?2 3 t?2 3 t?2 2 所以 ? ? b ? 9 ? 4 5 . 3
当 ? 1 ? t ? 0 时,

?s ? t ? ? a , 由于 0 ? b ? 2a ? 1 , st ? b ?

?3? b ? 0. 故 b 的取值范围是 [?3,9 ? 4 5 ] .
【42】 (C,浙江,理 18) 解析: (Ⅰ)由 f ( x) ? ( x ?

t ? 2t 2 ?2t 2 ?2t 2 t ? 2t 2 ,由于 ?2 ? ? st ? ? 0 和 ?3 ? ? 0 ,所以 t?2 t?2 t?2 t?2

a 2 a2 a ) ?b? ,得对称轴为直线 x ? ? .由 a ? 2 ,得 2 2 4

a ? 1 ,故 f ( x) 在 [ ?1,1] 上单调,所以 M (a, b) ? max{ f (1) , f (?1) } 2 显然 f (1) ? 1 ? a ? b , f (?1) ? 1 ? a ? b .由于 f (1) ? f (?1) M (a, b) ? max{ f (1) , f (?1) } ? 2 ?

f (1) ? f (?1) f (1) ? f (?1) ? ? a ? 2 ,故当 a ? 2 时, M (a, b) ? 2 . 2 2 ? ?3 ? a ? b ? 1 (Ⅱ)由于 M (a, b) ? 2 ,故 1 ? a ? b ? 2 , 1 ? a ? b ? 2 ,化简可得: ? ??1 ? a ? b ? 3 ? ? a ? b , ab ? 0 又因为 a ? b ? ? ,故 a ? b ? 3 . a ? b , ab ? 0 ? ?
又因为

b ? ?1 , 不妨取 a ? ?2 , 此时有 a ? b ? 3 , 且 f ( x) 在区间 [ ?1,1] 上有最大值 M (a, b) ? 2 .
所以 a ? b 的最大值为 3. 考点 4 指数函数、对数函数、幂函数 【1】 (A,重庆,文 3) 、D
2 解析:由 f ( x) ? log2 ( x 2 ? 2 x ? 3) 可得: x ? 2 x ? 3 ? 0 解得 x ? -3 或 x ? 1.

【2】 (A,山东,文 3) 、C 解析:根据函数 y ? 0.6 是定义域上的单调递减函数,可得 0.60.6 ? 0.61.5 ;另外借助
x

中间值 1,得 0.6 ? 1 ? 1.5 ,则 b ? a ? c . 【3】 (B,北京,理 7) 、C
0.6 0.6

解析:如图? x = 1 时,

y
2

C

f ( x) = log2 ( x + 1) .

? f ( x) ? log2 ( x ? 1) 解集为
-1. 【4】 (B,天津,文 7 理 7) 、B 解析:? f (?x) ? 2
x?m

A
-1

B O
2

x

?? 1,1? .注意 log2 ( x ? 1) 定义域不包括

第 3 题图
x?m

?1 ? 2

? 1 ? f ( x) .? x ? m ? x ? m ?m ? 0 .

x ? f ( x) ? 2 ? 1在 (0,??) 是增函数.又 a ? f (? log2 3) ? f (log2 3), c ? f (0) ,且 0 ? log2 3 ? log2 5 . ? c ? a ? b .

【5】 (A,北京,文 10) 、 log 2 5
1 ?1, 32 ? 3 ? 1, 8 log2 5 ? log2 4 ? 2 ? 3 ,所以 log 2 5 最大.
1

解析: 2 ?3 ?

【6】 (A,四川,文 12) 、2 解析: lg 0.01? log2 16 ? ?2 ? 4 ? 2 . 【7】 (A,安徽,文 11) 、- 1

5 ? lg 4 ? 2 ? ?1 . 2 1 【8】 (A,浙江,文 9) 、? ,3 3 2 1 ? 2 1 解析: log2 ? log2 2 2 ? ? 2 2
解析:原式 ? lg

2log2 3?log4 3 ? 2log2 3 ? 2log4 3 ? 3 ? 3 ? 3 3 .
【9】 (A,浙江,理 12) 、

4 3 3

解析: a ? log2 3 ,则 2a ? 2? a ? 3 ?

3 ? 3

4 3 . 3
【10】 (B,上海,文 8 理 7) 、2 解析:原方程即 log2 (9x?1 ? 5) ?

log2 4 ? (3x?1 ? 2) ,所以 9x?1 ? 5 ? 4 ? (3x?1 ? 2) .
令 t ? 3x ?1 ,则 t 2 ? 4t ? 3 ? 0 ,解得 t ? 3 或 t ? 1 ,所以 x ? 2 或 x ? 1 (舍). 【11】 (C,四川,文 15 理 15) 、①④ 解析:由定义 m ?

2 x1 ? 2 x2 , n ? x1 ? x2 ? a .若 x1 ? x 2 ,则由 f ( x) 在 R 上单调增, x1 ? x2

2 x1 ? 2 x2 ,所以 m ? 0 ,若 x1 ? x 2 ,则 2 x1 ? 2 x2 ,仍有 m ? 0 ,①正确;
由 n ? x1 ? x2 ? a 易知②错误; 令 m ? n ,有 整理得 2
x1

2 x1 ? 2 x2 ? x1 ? x2 ? a , x1 ? x2

2 ? 2 x2 ? x12 ? x2 ? a( x1 ? x2 ) ,

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) , 所以 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) . 令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2 ? x ? ax ,则题意转化为存在不相等的实数 x1 , x 2 ,使得
x 2

h( x1 ) ? h( x2 ) .
由 h? ( x) = 2 ln 2 - 2 x - a , h ??( x) ? 2(ln2) ? 2.
x

x

令 hⅱ ( x0 ) = 0 ,且 1 ? x0 ? 2 ,可得 h? ( x0 ) > 0 ,即 ( x0 ) 为极小值;若 a ? ?10000 ,则 h?

h? ( x) > 0 , h ? x ? 单调递增,不满足题意,③错误;
令 m ? ?n ,同③可得 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) , 设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2 ? x ? ax ,则
x 2

h?( x) ? 2x ln 2 ? 2 x ? a , hⅱ ( x) = 2x (ln 2)2 + 2
? 0 恒成立,h?( x) 单调递增且当 x ? ?? 时,h?( x) ? ?? , 当 x ? ?? 时,h?( x) ? ?? ,

所以 h ? x ? 先减后增,所以对于任意的 a ,存在不相等的实数 x1 , x 2 ,使得 h( x1 ) ? h( x2 ) , 即使得 m ? ?n 成立,④正确. 考点 5 函数模型及其应用 【1】 (C,北京,文 8) 、B 解析:因为第一次邮箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量
V ? 48 升.而这段时间内行驶的里程数 S ? 35600 ? 35000 ? 600 千米.所以这段时间内,该车每

100 千米平均耗油量为

48 ? 100 ? 8 升. 600

【2】 (C,安徽,理 9) 、C 解析:函数 f ( x)
y

在 x ? ?c 时无意义,结合图象知
M O N P x

c ? 0; 当 x ? ?? 时,

f ( x) ? 0 ,可知 a ? 0 ;又
b ? 0.
第 2 题图

b f (0) ? 2 ? 0 ,知 c
【3】 (C, 陕西, 理 12) 、 解析: 首先假设选

A 项 A,B,C 的结论是正确的,则

3 ? ?a ? ? 4 ? f (?1) ? 0 ?a ? b ? c ? 0 ? 3 ,这与 a 为非零整数矛盾,所以选项 A,B,C 中必有 ? ? ? ? f ?(1) ? 0 ? ?2a ? b ? 0 ? ?b ? 2 ? f (1) ? 0 ?a ? b ? c ? 3 ? ? ? 9 ? ?c ? 4 ?
一个错误;

?2 a ? b ? 0 ?a ? 5 ? ? 再假设选项 B,C,D 的结论是正确的,则 ?a ? b ? c ? 3 ? ?b ? ?10 ,这与 a 为非零 ?4a ? 2b ? c ? 8 ?c ? 8 ? ?
整数相符合,故选项 A 的结论是错误的,故选 A. 【4】 (A,湖北,文 13) 、2
π π 解析:函数 f ( x) ? 2sin x sin( x ? ) ? x2 的零点个数等价于方程 2sin x sin( x ? ) ? x2 ? 0 2 2

的根的个数,即函数 g ( x) ? 2sin x sin( x ?

?
2

) ? 2sin x cos x

? sin 2 x 与 h( x) ? x 2 的图象交点个数.
于是,分别画出其函数图象如图所示:

y y=x2 y=sin(2x) O

x

由图可知,函数 g ( x) 与 h( x) 的图象有 2 个交点. 【5】 (A,浙江,理 10) 、0, 2 2 ? 3 解析:根据函数的定义可知: f ( f (?3)) ? f (1) ? 0 ;当 x ? 1 时,

f ( x) ? x ?

2 ? 3 ? 2 2 ? 3 ;当 x ? 1 时, f ( x) ? lg( x2 ? 1) ? lg1 ? 0 ;故 f ( x)min x

? 2 2 ?3.
【6】 (B,湖北,文 17) 、2 2 ?2 解析:因为 f ( x) ?| x ? ax | ,分 3 种情况讨论:①当 a ? 0 时,函数
2

f ( x) ?| x 2 ? ax |? x 2 ? ax
在区间 [0,1] 上单调递增,所以 f ( x)max ? g (a) ? 1 ? a ; ②当 0 ? a ? 2 2 ? 2 时,此时 f ( ) ?

a 2

a2 , f (1) ? 1 ? a ,而 4

a2 (a ? 2) 2 ? (1 ? a) ? ? 2 ? 0 ,所以 f ( x)max ? g (a) ? 1 ? a ; 4 4
③当 a ? 2 2 ? 2 时, f ( x) max ? g (a) ?

a2 . 4

?1 ? a, a ? 2 2 ? 2 ? 综上可知 g (a ) ? ? a 2 ,所以 g (a ) 在 (- ? ,2 2 2] 上单调递减,在 ? ,a ? 2 2 ? 2 ?4

(2 2 ? 2,??) 上单调递增,所以 g (a)min ? g (2 2 ? 2) ,故 a ? 2 2 ? 2 时, g (a) 的值最
小. 【7】 (B,湖北,理 12) 、2 解析: f ( x) ? 2(cos x ? 1)sin x ?2sin x ?

| ln( x ? 1) | ? sin 2 x? | ln(x ? 1) | ,其零点个数就等价于函数 y ? sin 2 x 与函数
y ?| ln(x ? 1) | 图
函数 y ? f ( x) 的
y

象的交点个数,如图,有 2 个交点,故 零点个数是 2.
x

O

第 7 题图

【8】 (B,四川,文 8 理 13) 、24 解析:由题意, x ? 0 时, e b ? 192; x ? 22 时,
D

e

22 k ? b

? 48,所以

C B A

,所以 e

11k

?

1 .当 x ? 33 时, 2

y ? e 33k ?b ? 192? (e11k ) 3 ? 24 .
【9】 (B,湖南,文 14) 、0 ? b ? 2
x x 解析:若函数 f ( x ) ? 2 ? 2 ? b 有两个零点,可得方程 2 ? 2 =b 有两个根,从而函

x 数 y ? 2 ? 2 与函数

y
4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x

y ? b 的图像有两个交点,结合图像

可得 0 ? b ? 2 . 【10】 (B, 湖南, 理 15) 、 解析:由题意可知, 方程 x ? b ? x ? a ? 的
2

(??,0) ? (1,??)
问题等价于方程 x3 ? b ( x ? a ) 与 根的个数和为 2.

第 9 题图

? 1 3 ?b ? a ? 若两个方程各有一个根,则可知关于 b 的不等式组 ? b ? a 有解,解得 a ? 1 ; ? ?? b ? a ?
若方程 x ? b( x ? a) 无解,方程 x ? b( x ? a) 有 2 个根,则可知关于 b 的不等式组
3 2

? 1 ?b 3 ? a 有解,解得 a ? 0 . ? ? ?? b ? a
综上, a 的取值范围为 (??,0) ? (1,??) . 【11】 (C,安徽,文 14) 、-

1 2

解析:因为函数 y ? x ? a ?1 的图象是开口向上的折线,顶点在定直线 y ? ?1 上,而 直线 y ? 2a 与函数 y ? x ? a ?1 的图象只有一个交点,所以 2a ? ?1 , a ? 【12】 (B,江苏,文理 17) 解析:(1)由题意知,点 M , N 的坐标分别为 (5,40) , (20,20.5) .将其分别代入

1 . 2

y?

a , x ?b
2

? a ? 40 ? ?a ? 1000 ? 25 ? b 得? ,解得 ? . b?0 ? ? a ? 2 .5 ? 400 ? b ?
1000 1000 (5 ? x ? 20) ,则点 P 的坐标为 ( t , 2 ) ,设在点 P 处的切 2 x t 2000 线 l 交 x, y 轴分别于 A, B 点, y ? ? ? 3 ,则 l 的方程为 x 1000 3t 3000 2000 y ? 2 =? A ( , 0 ) B ( 0 , ). ,由此得 , ( x ? t ) 2 t2 t t3
(2) ①由(1)知, y ?

3 2 4 ? 106 故 f (t ) ? t ? , t ? [5,20] . 2 t4
②设 g (t ) ? t ?
2

16 ?106 4 ? 106 ? g ( t ) ? 2 t ? , 则 . t4 t5

令 g ?(t ) ? 0 ,解得 t ? 10 2 . 当 t ? (5,10 2 ) 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 是减函数; 当 t ? (10 2 ,20) 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 是增函数. 从而,当 t ? 10 2 时,函数 g (t ) 有极小值,也是最小值,所以 g (t ) min ? 300 ,此时,

f (t ) min ? 15 3 .
故当 t ? 10 2 时,公路 l 的长度最短,最短长度为 15 3 千米. 【13】 (C,安徽,文 21) 解析:(1)由题意知 x ? ?r ,所求的定义域为 (??,?r ) ? (?r ,??) .

f ( x) ?

ax ax ? 2 , 2 (x ? r) x ? 2rx ? r 2

f ?( x) ?

a( x 2 ? 2rx ? r 2 ) ? ax(2 x ? 2r ) ( x 2 ? 2rx ? r 2 ) 2
? ? a( x ? r )(x ? r ) , ( x ? r)4

所以,当 x ? ?r 或 x ? r 时, f ?( x) ? 0 , 当 ? r ? x ? r 时, f ?( x) ? 0 ,因此, f ( x) 的单调递减区间为 (??,?r ) , (r ,??) ;单调递 增区间为 (?r , r ) .

(2)由(1)的解答可知 f ?(r ) ? 0 , f ( x) 在 (0, r ) 上单调递增,在 (r ,??) 上单调递减,因 此, x = r 是 f ( x) 的极大值点,所以 f ( x) 在 (0,??) 内的极大值为

f (r ) ?

ar a 400 ? ? ? 100. 2 ( 2r ) 4r 4


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