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2014新课标高中数学公式最全、最新整理(已排版)精装


高中数学公式及知识点
一、函数、导数
1、函数的单调性 (1)设 x1、x2 ? [a, b], x1 ? x2 那么

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是增函数; f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是减函数. (2)设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数; 若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数.
2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,则 f ( x) 是偶函数; 对于定义域内任意的 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,则 f ( x) 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称。 3、函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) ,相应的切线方 程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) . 4、几种常见函数的导数
' ① C ? 0 ;② ( x n ) ' ? nxn?1 ;

③ (sin x) ' ? cos x ;④ (cosx) ' ? ? sin x ; ⑦ (log a x ) ?
'

⑤ (a x ) ' ? a x ln a ;⑥ (e x ) ' ? e x ; 5、导数的运算法则 (1) (u ? v)' ? u ' ? v' .

1 1 ' ;⑧ (ln x ) ? x ln a x

(2) (uv)' ? u 'v ? uv' .

(3) ( ) ?
'

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2

6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数 y ? f ? x ? 的极值的方法是:解方程 f ? ? x ? ? 0 .当 f ? ? x0 ? ? 0 时: (1) 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值; (2) 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值. 分数指数幂 (1) a n ?
m n

a m ( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).(2) a

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).
?

根式的性质 (1) ( n a )n ? a .(2)当 n 为奇数时, a ? a ;当 n 为偶数时, a ?| a |? ?
n n
n n

?a, a ? 0 . ??a, a ? 0

有理指数幂的运算性质

ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) .(2) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q) . r r r (3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q) .
(1) 指数式与对数式的互化式: loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . 对数的换底公式 : log a N ? 对数恒等式: a
log a N

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a

? N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , N ? 0 ).
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n 推论 log a m b ?

n log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , N ? 0 ). m
y
y
y

常见的函数图象
y
y

k<0
o

k>0
x
o

a<0
x

2 -1
o1

1 y=x+ x
x

y=ax
0<a<1 1
o x

y=logax
0<a<1

a>1
o

a>0

y=kx+b

-2

1 a>1

x

y=ax2+bx+c

二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
8、同角三角函数的基本关系式

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , tan ? =

sin ? . cos ?

9、正弦、余弦的诱导公式 k? ? ? 的正弦、余弦,等于 ? 的同名函数,前面加上把 ? 看成锐角时该函数的符号;

k? ?

?

2

? ? 的正弦、余弦,等于 ? 的余名函数,前面加上把 ? 看成锐角时该函数的符号。

10、和角与差角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? . sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式); tan(? ? ? ) ? 1 tan ? tan ? cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? .

a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 的象限决定, tan ? ?
11、二倍角公式

b ). a

1 ? cos 2? ; 2 公式变形: 1 ? cos 2? 2 sin 2 ? ? 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? ; 2 2 cos2 ? ? 1 ? cos 2? , cos2 ? ?
12、三角函数的周期 函数 y ? sin(? x ? ? ) , x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) , x∈R(A,ω , ? 为常数, 且 A≠0)的周期 T ? 函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ? 三角函数的图像: y

sin 2? ? sin ? cos ? . 2 tan ? tan 2? ? . 1 ? tan 2 ?

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? .

2? ; |? |

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0)的周期 T ?

? . |? |

y=sinx


1

y=cosx
π 3π/2 2π

y
1

-π/2 -2π -3π/2

o
-1

π/2

x

-2π -3π/2



-π/2

o
-1

π/2

π

3π/2



x

13、 函数 y ? sin(? x ? ? ) 的周期、最值、单调区间、图象变换 14、辅助角公式: y ? a sin x ? b cos x ? 15.正弦定理 :

a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) 其中 tan ? ?

b a

a b c ? ? ? 2 R (R 为 ?ABC 外接圆的半径). sin A sin B sin C
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? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ? a : b : c ? sin A : sin B : sin C
16.余弦定理

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
17.面积定理

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2
(1) S ? 18、三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) ? 19、 a 与 b 的数量积(或内积) a ? b ?| a | ? | b | cos? 20、平面向量的坐标运算 (1)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . (2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = x1 x2 ? y1 y 2 . (3)设 a = ( x, y ) ,则 a ? 21、两向量的夹角公式 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2

x2 ? y2

cos ? ?

a ?b ? | a |?|b |

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x ? y12 ? x2 ? y2 2 1

( a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ).

22、向量的平行与垂直 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 *平面向量的坐标运算 (1)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a + b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a - b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . (4)设 a = ( x, y ), ? ? R ,则 ? a = (? x, ? y ) . (5)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a · b = ( x1 x2 ? y1 y2 ) .

a // b ? b ? ? a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 .

a ? b(a ? 0) ? a ? b ? 0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

三、数列
23、数列的通项公式与前 n 项的和的关系

n ?1 ?s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? an ? ? s ? s , n ? 2 ? n n?1
24、等差数列的通项公式

? an ).

an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;
n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n . 2 2 2 2 a an ? a1q n ?1 ? 1 ? q n (n ? N * ) ; q sn ?

25、等差数列其前 n 项和公式为 26、等比数列的通项公式

27、等比数列前 n 项的和公式为
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? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q . ? na , q ? 1 ?na , q ? 1 ? 1 ? 1 四、不等式 x? y ? xy ,当 x ? y 时等号成立。 28、已知 x, y 都是正数,则有 2 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; 1 2 (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 s . 4 五、解析几何
29、直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) (4)截距式 a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(3)两点式 30、两条直线的平行和垂直 若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; 31、平面两点间的距离公式 ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 .

d A, B ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
32、点到直线的距离

d?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).
2 2 2

33、 圆的三种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r .
2 2 (2)圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).
2 2

(3)圆的参数方程 ?

? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ?
2 2 2

* 点与圆的位置关系:点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种 若d ?

(a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内.

34、直线与圆的位置关系
2 2 2 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 . 弦长= 2 r 2 ? d 2
其中 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

.

35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质

? x ? a cos? x2 y 2 c b2 2 2 2 a ? c ? b ? ? 1( a ? b ? 0) , ,离心率 ,参数方程是 ? . e ? ? 1 ? 2 2 2 a b a a ? y ? b sin ? c x2 y2 b 2 2 2 双曲线: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0), c ? a ? b ,离心率 e ? ? 1 ,渐近线方程是 y ? ? x . a a a b
椭圆:
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抛物线: y 2 ? 2 px ,焦点 (

p p ,0) ,准线 x ? ? 。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离. 2 2

36、双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为

x2 y2 x2 y 2 b 渐近线方程: ? ? 1 ? ?0? y?? x. ? a a 2 b2 a2 b2 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 , a b a b
p .(抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。 ) 2

焦点在 y 轴上). 37、抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦半径 | PF |? x 0 ? 38、过抛物线焦点的弦长 AB ? x1 ?

p p ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2

六、立体几何
39.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 40.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 41.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 42.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 43.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。 44.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直;(3) 转化为两平面的法向量平行。 45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆柱侧面积= 2?rl ,表面积= 2?rl ? 2?r 圆椎侧面积= ?rl ,表面积= ?rl ? ?r
2 2

1 1 V柱体 ? Sh( S 是柱体的底面积、h 是柱体的高) . V锥体 ? Sh( S 是锥体的底面积、h 是锥体的高) . 3 3 4 3 2 球的半径是 R ,则其体积 V ? ? R ,其表面积 S ? 4? R . 3
46、若点 A ( x1 , y1 , z1 ) ,点 B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )
2 2 2

47、点到平面距离的计算(定义法、等体积法) 48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质:侧棱平行且相等,与底面垂直。 正棱锥的性质:侧棱相等,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

七、概率统计
49、平均数、方差、标准差的计算

x1 ? x 2 ? ? x n 1 2 2 2 2 方差: s ? [( x1 ? x) ? ( x 2 ? x) ? ? ( x n ? x) ] n n 1 标准差: s ? [(x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ?( xn ? x) 2 ] n
平均数: x ? 50、回归直线方程
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n ? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? ? i ?1 ?b ? ? n 2 y ? a ? bx ,其中 ? ? xi ? x ? ? ? i ?1 ? ?a ? y ? bx

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx 2

.

51、独立性检验 K 2 ?

n(ac ? bd) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

52、古典概型的计算(必须要用列举法 、列表 法 、树状 图 的方法把所有基本事件表示出来,不重复) ... .. . .. .

八、复数
53、复数的除法运算

a ? bi (a ? bi)(c ? di) (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i . ? ? c ? di (c ? di)(c ? di) c2 ? d 2
54、复数 z ? a ? bi 的模 | z | = | a ? bi | = a 2 ? b2 . 55、复数的相等: a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R ) 56、复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值) | z | = | a ? bi | = a 2 ? b2 . 57、复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ;(2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ;(4) (a ? bi ) ? (c ? di ) ?

ac ? bd bc ? ad ? i(c ? di ? 0) . c2 ? d 2 c2 ? d 2

58、复数的乘法的运算律 对于任何 z1 , z2 , z3 ? C ,有交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 .结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) . 分配律: z1 ? ( z2 ? z3 ) ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 .

?? cos? ? x 九、参数方程、极坐标化成直角坐标 55、 ? ?? sin ? ? y
十、命题、充要条件

?? 2 ? x 2 ? y 2 ? ? y ?tan? ? ( x ? 0) x ?

充要条件(记 p 表示条件, q 表示结论) (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件.(2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 12.真值表 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 非p 假 假 真 真 p或q 真 真 真 假 p且q 真 假 假 假
原命题 若 p则 q 互 否 否命题 若 ┐p则 ┐q 互 逆 互 为 为 互 否 逆命题 若 q则 p 互 否 逆否命题 若 ┐q则 ┐p



逆 否

互 逆

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