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2013-2014学年高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型配套试题 新人教A版必修1


§3.2 3.2.1
一、基础过关

函数模型及其应用

几类不同增长的函数模型

1. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增 长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系,可 选用 A.一次函数 C.指数型函数 B.二次函数 D.对数

型函数 ( )

2. 某厂日产手套总成本 y(元)与手套日产量 x(双)的关系式为 y=5x+4 000,而手套出厂 价 格 为 每 双 ( ) B.400 双 D.800 双 ( ) 10 元 , 则 该 厂 为 了 不 亏 本 , 日 产 手 套 至 少 为

A.200 双 C.600 双

3. 下列函数中,随着 x 的增长,增长速度最快的是 A.y=50 C.y=0.4·2
x-1

B.y=1 000x 1 x D.y= e 1 000

4. 今有一组数据如下:

t v

1.99 1.5

3.0 4.40

4.0 7.5

5.1 12

6.12 18.01 ( )

现准备了如下四个答案, 哪个函数最接近这组数据 A.v=log2t C.v= 1 B.v=log t 2 D.v=2t-2

t2-1
2

5. 为了保证信息安全,传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下: 加密 发送 解密 明文― →密文― →密文― →明文 ― ― ― 已知加密为 y=a -2 (x 为明文, 为密文), y 如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”, 再发送,接受方通过解密得到明文“3”,若接受方接到密文为“14”,则原发的明文是 ______. 6. 一种专门侵占内存的计算机病毒,开机时占据内存 2KB,然后每 3 分钟自身复制一次,
x

1

复制后所占内存是原来的 2 倍, 那么开机后经过________分钟, 该病毒占据 64MB 内存(1MB =2 KB). 7. 用模型 f(x)=ax+b 来描述某企业每季度的利润 f(x)(亿元)和生产成本投入 x(亿元)的 关系.统计表明,当每季度投入 1(亿元)时利润 y1=1(亿元),当每季度投入 2(亿元)时 利润 y2=2(亿元),当每季度投入 3(亿元)时利润 y3=2(亿元).又定义:当 f(x)使[f(1) -y1] +[f(2)-y2] +[f(3)-y3] 的数值最小时为最佳模型. 2 (1)当 b= 时,求相应的 a 使 f(x)=ax+b 成为最佳模型; 3 (2)根据题(1)得到的最佳模型,请预测每季度投入 4(亿元)时利润 y4(亿元)的值. 8. 根据市场调查,某种商品在最近的 40 天内的价格 f(t)与时间 t 满足关系 f(t)=
2 2 2 10

?1t+11,0≤t<20, ? ?2 ?-t+41,20≤t≤40 ?

1 43 (t∈N),销售量 g(t)与时间 t 满足关系 g(t)= t + 3 3

(0≤t≤40,t∈N).求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值. 二、能力提升 9. 高为 H,满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面如右图所示,其底部碰了一个小洞,满缸水从洞 中流出, 若鱼缸水深为 h 时水的体积为 v, 则函数 v=f(h)的大致图象是 ( )

10.现测得(x,y)的两组对应值分别为(1,2),(2,5),现有两个待选模型,甲:y=x +1, 乙:y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用________作为函数 模型. 11.近几年由于北京房价的上涨,引起了二手房市场交易的火爆.房子几乎没有变化,但价 格却上涨了, 小张在 2010 年以 80 万元的价格购得一套新房子, 假设这 10 年来价格年膨 胀率不变,那么到 2020 年,这所房子的价格 y(万元)与价格年膨胀率 x 之间的函数关系 式是________.
2

2

12.某种商品进价每个 80 元,零售价每个 100 元,为了促销拟采取买一个这种商品,赠送一 个小礼品的办法,实践表明:礼品价值为 1 元时,销售量增加 10%,且在一定范围内, 礼品价值为(n+1)元时,比礼品价值为 n 元(n∈N )时的销售量增加 10%. (1)写出礼品价值为 n 元时,利润 yn(元)与 n 的函数关系式; (2)请你设计礼品价值,以使商店获得最大利润. 三、探究与拓展 13.某城市现有人口总数为 100 万人,如果年自然增长率为 1.2%,试解答以下问题: (1)写出该城市人口总数 y(万人)与年份 x(年)的函数关系式; (2)计算 10 年以后该城市人口总数(精确到 0.1 万人); (3)计算大约多少年以后,该城市人口将达到 120 万人(精确到 1 年); (4)如果 20 年后该城市人口总数不超过 120 万人,年自然增长率应该控制在多少? ( 参 考 数 据 1.012 ≈1.113,1.012 ≈1.127 , lg 1.2≈0.079 , lg 2≈0.301 0 , lg 1.012≈0.005,lg 1.009≈0.003 9)
9 10 *

3

答案 1.D 2.D 3.D 4.C 5.4 6.45 2 1 2 1 2 2 2 7. 解 (1)b= 时,[f(1)-y1] +[f(2)-y2] +[f(3)-y3] =14(a- ) + , 3 2 6 1 1 2 ∴a= 时,f(x)= x+ 为最佳模型. 2 2 3

x 2 8 (2)f(x)= + ,则 y4=f(4)= . 2 3 3
8. 解 据题意,商品的价格随时间 t 变化,且在不同的区间 0≤t<20 与 20≤t≤40 上,价 格随时间 t 的变化的关系式也不同,故应分类讨论.设日销售额为 F(t). 1 1 43 ①当 0≤t<20,t∈N 时,F(t)=( t+11)(- t+ ) 2 3 3 1 21 2 1 441 =- (t- ) + ( +946), 6 2 6 4 故当 t=10 或 11 时,F(t)max=176. 1 43 1 1 2 ②当 20≤t≤40,t∈N 时,F(t)=(-t+41)(- t+ )= (t-42) - , 3 3 3 3 故当 t=20 时,F(t)max=161. 综合①、②知当 t=10 或 11 时,日销售额最大,最大值为 176. 9.B 10.甲 11.80(1+x)
10

12.解 (1)设未赠礼品时的销售量为 m,则当礼品价值为 n 元时,销售量为 m(1+10%) . 利润 yn=(100-80-n)·m·(1+10%) =(20-n)m×1.1 (0<n<20,
n n

n

n∈N*).
(2)令 yn+1-yn≥0,即(19-n)m×1.1
n+1

-(20-n)m×1.1 ≥0.解得 n≤9.
n+1

n

所以 y1<y2<y3<?<y9=y10,令 yn+1-yn+2≥0,即(19-n)m×1.1 1.1
n+2

-(18-n)m×

≥0,

解得 n≥8.所以 y9=y10>y11>?>y19. 所以礼品价值为 9 元或 10 元时,商店获得最大利润. 13.解 (1)1 年后该城市人口总数为 y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%). 2 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+ 1.2%) . 3 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%) +100×(1+1.2%) ×1.2%=100×(1+ 1.2%) .
3 2 2 2

x 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)x.
(2)10 年后,人口总数为 100×(1+1.2%) ≈112.7(万人).
10

4

120 x (3)设 x 年后该城市人口将达到 120 万人,即 100×(1+1.2%) =120,x=log1.012 = 100 log1.0121.20≈16(年). (4)由 100×(1+x%) ≤120,得(1+x%) ≤1.2,两边取对数得 20lg(1+x%)≤lg 1.2= 0.079, 0.079 所以 lg(1+x%)≤ =0.003 95,所以 1+x%≤1.009,得 x≤0.9,即年自然增长率 20 应该控制在 0.9%.
20 20

5


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