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【史上最全】2011中考数学真题解析95


【史上最全】2011 中考数学真题解析

2011 全国中考真题解析 120 考点汇编

圆的基本性质
一、选择题 1. (2011?南通)如图,⊙O 的弦 AB=8,M 是 AB 的中点,且 OM=3,则⊙O 的半径等于 ( )

A、8

B、4

C、10

D、5

考点:垂径定理;勾股定理。 分析:连接 OA,即可证得△ OMD 是直角三角形,根据垂径定理即可求得 AM,根据 勾股定理即可求得 OA 的长.

解答:解:连接 OA,∵M 是 AB 的中点,∴OM⊥AB,且 AM=4,在直角△ OAM 中, 由勾股定理可求得 OA=5,故选 D. 点评: 本题主要考查了垂径定理, 以及勾股定理, 根据垂径定理求得 AM 的长, 证明△ OAM 是直角三角形是解题的关键. 2. (2011 四川凉山,9,4 分)如图,∠AOB=100° ,点 C 在⊙O 上,且点 C 不与 A、B 重 合,则∠ACB 的度数为( ) A O B A. 50
?

B. 80 或 50

?

?

C. 130

?

D. 50 或 130

?

?

考点:圆周角定理;圆内接四边形的性质. 专题:计算题.

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分析:利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半,求得圆周角的度数即可,注意点 C 可 能在优弧上也可能在劣弧上,分两种情况讨论. 解答:解:当点 C 在优弧上时,∠ACB=

1 1 ∠AOB= × 100° =50° , 2 2 1 1 当点 C 在劣弧上时,∠ACB= (360° -∠AOB)= × (360° -100° )=130° . 2 2
故选 D.

点评:本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质,本题还渗透了分类讨论思想,这 往往是学生的易错点.1. 3.(2011 江苏连云港,15,3 分)如图,点 D 为边 AC 上一点, 点 O 为边 AB 上一点,AD=DO.以 O 为圆心,OD 长为半径作半圆,交 AC 于另一点 E, 交 AB 于点 F,G,连接 EF.若∠BAC=22? ,则∠EFG=_____.

考点:圆周角定理;三角形的外角性质;等腰三角形的性质。 专题:几何图形问题。 分析: 连接 OE, 利用三角形的外角性质得出∠ODC 的度数, 再求出∠DOC, 从而求出∠EOG 的度数,再利用圆周角定理求出∠EFG 的度数. 解答:解:连接 EO, ∵AD=DO, ∴∠BAC=∠DOA=22° , ∴∠EDO=44° , ∵DO=EO, ∴∠OED=∠ODE=44° , ∴∠DOE=180° ﹣44° ﹣44° =92° , ∴∠EOG=180° ﹣92° ﹣22° =66° , ∴∠EFG= ∠EOG=33° ,

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故答案为:33° .

点评:此题主要考查了圆周角定理,三角形外交的性质的综合运用,做题的关键是理清角之 间的关系. 4. (2011?江苏宿迁,17,3)如图,从⊙O 外一点 A 引圆的切线 AB,切点为 B,连接 AO 并延长交圆于点 C,连接 BC.若∠A=26° ,则∠ACB 的度数为 .

考点:切线的性质;圆周角定理。 专题:计算题。 分析:连接 OB,根据切线的性质,得∠OBA=90° ,又∠A=26° ,所以∠AOB=64° ,再用三 角形的外角性质可以求出∠ACB 的度数. 解答:解:如图:连接 OB, ∵AB 切⊙O 于点 B, ∴∠OBA=90° , ∵∠A=26° , ∴∠AOB=90° ﹣26° =64° , ∵OB=OC, ∴∠C=∠OBC, ∵∠AOB=∠C+∠OBC=2∠C, ∴∠C=32° . 故答案是:32° .

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点评:本题考查的是切线的性质,利用切线的性质,结合三角形内角和求出角的度数. 5.(2011 重庆市,3,4 分)如图,AB 为⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,∠A=30° ,则∠B 的度 数为 A.15° B. 30° C. 45° D. 60°

C

A

O

B

3题图

考点:圆周角定理. 分析:根据直径所对的圆周角为 90° ,可得∠C 的度数,再利用三角形内角和定理进行计算. 答案:解:∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠C=90° , ∵∠A=30° , ∴∠B=180° -90° -30° =60° . 故选 D. 点评:此题主要考查了圆周角定理和三角形内角和定理,题目比较简单. 6. (2010 重庆, 6, 4 分) 如图, ⊙O 是△ABC 的外接圆, ∠OCB=40° 则∠A 的度数等于( ) A. 60° B. 50° C. 40° A O B 6 题图 C D. 30°

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考点:圆周角定理 分析:在等腰三角形 OCB 中,求得两个底角∠OBC、∠0CB 的度数,然后根据三角形的内 角和求得∠COB=100° ;最后由圆周角定理求得∠A 的度数并作出选择. 解答:解:在△OCB 中,OB=OC(⊙O 的半径) ,∴∠OBC=∠0CB(等边对等角) ; ∵∠OCB=40° ,∠C0B=180° ﹣∠OBC﹣∠0CB,∴∠COB=100° ;又∵∠A= 弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半) ,∴∠A=50° ,故选 B. 点评:本题考查了圆周角定理:同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半.解题时,借用了 等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理. 7. (2011 湖北荆州,12,3 分)如图,⊙O 是△ ABC 的外接圆,CD 是直径,∠B=40° ,则 ∠ACD 的度数是 50° .

1 ∠COB(同 2

考点:圆周角定理. 专题:计算题. 分析: 连接 AD, 构造直角三角形, 利用同弧所对的圆周角相等求得直角三角形的一个锐角, 再求另一个锐角即可. 解答:解:连接 AD, ∵CD 是直径, ∴∠CAD=90° , ∵∠B=40° , ∴∠D=40° , ∴∠ACD=50° , 故答案为 50° . 点评:此题主要考查的是圆周角定理的推论:半圆或直径所对的圆周角是 90° ;在同圆或等 圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等 8.(2011?河池)如图,A、D 是⊙O 上的两个点,BC 是直径,若∠D=35° ,则∠OAC 的度

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数是(



A、35°

B、55°

C、65°

D、70°

考点:圆周角定理。 分析:在同圆和等圆中,同弧所对的圆心角是圆周角的 2 倍,所以∠AOC=2∠D=70° ,而 △ AOC 中,AO=CO,所以∠OAC=∠OCA,而 180° ﹣∠AOC=110° ,所以∠OAC=55° . 解答:解:∵∠D=35° , ∴∠AOC=2∠D=70° , ∴∠OAC=(180° ﹣∠AOC)÷ 2=110° ÷ 2=55° . 故选 B. 点评:本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系.规律总结:解决与圆有关的角度的相关 计算时,一般先判断角是圆周角还是圆心角,再转化成同弧所对的圆周角或圆心角,利用同 弧所对的圆周角相等,同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解,特别地,当有一直径 这一条件时,往往要用到直径所对的圆周角是直角这一条件.

9.(2011, 台湾省, 27,5 分) 如图, 圆 O 为△ ABC 的外接圆, 其中 D 点在

上, 且 OD⊥AC. 已

知∠A=36° ,∠C=60° ,则∠BOD 的度数为何?( A、132 C、156 B、144 D、168



考点:圆周角定理。 专题:计算题。

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分析:连接 CO,由圆周角定理可求∠BOC,由等腰三角形的性质求∠BCO,可得∠OCA, 利用互余关系求∠COD,则∠OBD=∠BOC+∠COD. 解答:解:连接 CO,∠BOC=2∠BAC=2× 36° =72° , 在△ BOC 中,∵BO=CO, ∴∠BCO=(180° ﹣72° )÷ 2=54° , ∴∠OCA=∠BCA﹣54° =60° ﹣54° =6° , 又 OD⊥AC, ∴∠COD=90° ﹣∠OCA=90° ﹣6° =84° , ∴∠BOD=∠BOC+∠COD=72° +84° =156° . 故选 C.

点评: 本题考查了圆周角定理. 关键是将圆周角的度数转化为圆心角的度数, 利用互余关系, 角的和差关系求解. 10. (2011 山东济南,12,3 分)如图,O 为原点,点 A 的坐标为(3,0) ,点 B 的坐标为 (0,4) ,⊙D 过 A、B、O 三点,点 C 为 ? ,则 cosC 的 AB0 上一点(不与 O、A 两点重合) 值为( )

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A.

3 4

B.

3 5

C.

4 3

D.

4 5

考点:圆周角定理;坐标与图形性质;勾股定理;锐角三角函数的定义。 专题:计算题。 分析:连接 AB,利用圆周角定理得∠C=∠ABO,将问题转化到 Rt△ ABO 中,利用锐角三角 函数定义求解. 解答:解:如图,连接 AB,

由圆周角定理,得∠C=∠ABO, 在 Rt△ ABO 中,OA=3,OB=4,由勾股定理,得 AB=5, ∴ cos C ? cos ?ABO ? 故选 D. 点评:本题考查了圆周角定理,坐标与图形的性质,勾股定理及锐角三角函数的定义.关键 是运用圆周角定理将所求角转化到直角三角形中解题. 11. (2011?临沂,6,3 分)如图,⊙O 的直径 CD=5cm,AB 是⊙O 的弦,AB⊥CD,垂足 为 M,OM:OD=3:5.则 AB 的长是( )

OB 4 ? . AB 5

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A、2cm

B、3cm

C、4cm

D、2 21 cm

考点:垂径定理;勾股定理。 专题:探究型。 分析: 先连接 OA, 由 CD 是⊙O 的直径, AB 是⊙O 的弦, AB⊥CD, 垂足为 M 可知 AB=2AM, 再根据 CD=5cm,OM:OD=3:5 可求出 OM 的长,在 Rt△ AOM 中,利用勾股定理 即可求出 AM 的长,进而可求出 AB 的长. 解答:解:连接 OA, ∵CD 是⊙O 的直径,AB 是⊙O 的弦,AB⊥CD, ∴AB=2AM, ∵CD=5cm, ∴OD=OA=

1 1 5 CD= × 5= cm, 2 2 2

∵OM:OD=3:5, ∴OM=

3 OD= × = , 5

∴在 Rt△ AOM 中,AM= OA2 ? OM 2 = ( ) ? ( ) =2,
2 2

5 2

3 2

∴AB=2AM=2× 2=4cm. 故选 C.

点评:本题考查的是垂径定理及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答 此题的关键. 12. (2011 泰安,10,3 分)如图,⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC,若 AB= 6 ,则⊙O

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的半径为( A. 2

) B. 2 2 C.

2 2

D.

6 2

考点:垂径定理;勾股定理。 专题:探究型。 分析: 连接 OA, 设⊙O 的半径为 r, 由于 AB 垂直平分半径 OC, AB= 6 则 AD= OD=

AB 6 = , 2 2

r ,再利用勾股定理即可得出结论. 2

解答:解:连接 OA,设⊙O 的半径为 r, ∵AB 垂直平分半径 OC,AB= 6 ,

∴AD=

AB r 6 = ,OD= , 2 2 2

在 Rt△ AOD 中, OA2=OD2+AD2,即 r2=(

r 2 6 2 ) +( ), 2 2

解得 r= 2 . 故选 A.

点评:本题考查的是垂径定理及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答 此题的关键.

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∠AOB=100° B 重合, 13. 如图, , 点 C 在⊙O 上, 且点 C 不与 A、 则∠ACB 的度数为 ( A O B A. 50
?



B. 80 或 50

?

?

C. 130

?

D. 50 或 130

?

?

考点:圆周角定理;圆内接四边形的性质. 专题:计算题. 分析:利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半,求得圆周角的度数即可,注意点 C 可能在 优弧上也可能在劣弧上,分两种情况讨论. 解答:解:当点 C 在优弧上时,∠ACB=

1 1 ∠AOB= × 100° =50° , 2 2 1 1 当点 C 在劣弧上时,∠ACB= (360° -∠AOB)= × (360° -100° )=130° . 2 2
故选 D.

点评:本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质,本题还渗透了分类讨论思想,这往往 是学生的易错点. 14. (2011 成都,7,3 分)如图,若 AB 是⊙0 的直径,CD 是⊙O 的弦,∠ABD=58° ,则 ∠BCD=( )

A.116°

B.32°

C.58°

D.64°

考点:圆周角定理。 专题:几何图形问题。 分析:根据圆周角定理求得. :∠AOD=2∠ABD=116° (同弧所对的圆周角是所对的圆心角 的一半) .∠BOD=2∠BCD(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半) ;根据平角是 180° 知 ∠BOD=180° -∠AOD,∴∠BCD=32° .

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解答:解:连接 OD. ∵AB 是⊙0 的直径,CD 是⊙O 的弦,∠ABD=58° , ∴∠AOD=2∠ABD=116° (同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半) ; 又∵∠BOD= 180° -∠AOD ,∠BOD= 2∠BCD (同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一 半) ; ∴∠BCD=32° ; 故选 B.

点评:本题考查了圆周角定理.解答此题时,通过作辅助线 OD,将隐含在题中的圆周角与 圆心角的关系(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)显现出来. 15. (2011 四川达州, 6, 3 分) 如图, AB 是⊙O 的直径, 弦 CD⊥AB, 垂足为 E, 如果 AB=10, CD=8,那么线段 OE 的长为( )

A、5 C、3

B、4 D、2

考点:垂径定理;勾股定理。 专题:计算题。 分析:连接 OC,由垂径定理求出 CE 的长,再根据勾股定理得出线段 OE 的长. 解答:解:连接 OC ∵AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB, ∴CE=

1 CD, 2

∵CD=8,∴CE=4,

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∵AB=10, ∴由勾股定理得,OE= OC 2 ? CE 2 ? 52 ? 42 =3. 故选 C.

点评:本题考查了垂径定理、勾股定理以及圆中辅助线的做法,是重点知识,要熟练掌握. 16.(2011, 四川乐山, 6, 3 分) 如图, CD 是⊙O 的弦, 直径 AB 过 CD 的中点 M, 若∠BOC=40° , 则∠ABD=( )

A.40°

B.60°

C.70°

D.80°

考点:垂径定理;圆周角定理。 专题:计算题。

? 所对的圆心角与圆周角,根据圆周角定理可求∠BDC, 分析:∠BOC 与∠BDC 为 BC
由垂径定理可知 AB⊥CD,在 Rt△ BDM 中,由互余关系可求∠ABD.

? 所对的圆心角与圆周角, 解答:解:∵∠BOC 与∠BDC 为 BC
∴∠BDC=

1 ∠BOC=20° , 2

∵CD 是⊙O 的弦,直径 AB 过 CD 的中点 M, ∴AB⊥CD, ∴在 Rt△ BDM 中,∠ABD=90° ﹣∠BDC=70° . 故选 C.

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点评: 本题考查了垂径定理, 圆周角定理的运用. 关键是由圆周角定理得出∠BOC 与∠BDC 的关系. 17. (2011 四川泸州,7,2 分)已知⊙O 的半径 OA=10cm,弦 AB=16cm,P 为弦 AB 上的 一个动点,则 OP 的最短距离为( A、5cm B、6cm ) D、10cm

C、8cm

考点:垂径定理;垂线段最短;勾股定理. 分析:根据直线外一点到直线上任一点的线段长中垂线段最短得到当 OP 为垂线段时, 即 OP⊥AB, OP 的最短, 再根据垂径定理得到 AP=BP= 12AB= 12× 16=8, 然后根据勾股定理计算出 OP 即可. 解答:解:当 OP 为垂线段时,即 OP⊥AB,OP 的最短,如图, ∴AP=BP= 故选 B. 点评:本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧;也考查了 垂线段最短以及勾股定理. 18.

1 1 AB= × 16=8,而 OA=10,在 Rt△ OAP 中,OP=6(cm) . 2 2

9、如图,⊙O 是△ ABC 的外接圆,∠BAC=60° ,若⊙O 的半径 0C 为 2, 则弦 BC 的长为( A、1 B、 3 ) C、2 D、2

3

【答案】D
【考点】圆周角定理;垂径定理;解直角三角形.

【专题】计算题.
【分析】由圆周角定理得∠BOC=2∠BAC=120° ,过 O 点作 OD⊥BC,垂足为 D,由垂径定 理可知∠BOD=

1 ∠BOC=60° ,BC=2BD,解直角三角形求 BD 即可. 2

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【解答】

解:过 O 点作 OD⊥BC,垂足为 D,

? 所对的圆心角和圆周角, ∵∠BOC,∠BAC 是 BC
∴∠BOC=2∠BAC=120° , ∵OD⊥BC,∴∠BOD=

1 ∠BOC=60° ,BC=2BD, 2

在 Rt△ BOD 中,BD=OB?sin∠BOD=2×

3 = 3 ,∴BC=2BD=2 2

3 .故选 D.

【点评】 本题考查了圆周角定理, 垂径定理, 解直角三角形的运用. 关键是利用圆周角定理, 垂径定理将条件集中在直角三角形中,解直角三角形. 19. (2011?南充,9,3 分)在圆柱形油槽内装有一些油.截面如图,油面宽 AB 为 6 分米, 如果再注入一些油后,油面 AB 上升 1 分米,油面宽变为 8 分米,圆柱形油槽直径 MN 为 ( )

A、6 分米

B、8 分米

C、10 分米

D、12 分米

考点:垂径定理的应用。 分析:如图,油面 AB 上升 1 分米得到油面 CD,依题意得 AB=6,CD=8,过 O 点作 AB 的 垂线,垂足为 E,交 CD 于 F 点,连接 OA,OC,由垂径定理,得 AE= CF=

1 AB=3, 2

1 2 2 2 CD=4,设 OE=x,则 OF=x﹣1,在 Rt△ OAE 中,OA =AE +OE ,在 Rt△ OCF 2
2 2 2

中,OC =CF +OF ,由 OA=OC,列方程求 x 即可求半径 OA,得出直径 MN. 解答:解:如图,依题意得 AB=6,CD=8,过 O 点作 AB 的垂线,垂足为 E,交 CD 于 F 点,连接 OA,OC,

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由垂径定理,得 AE=

1 1 AB=3,CF= CD=4, 2 2
2 2

设 OE=x,则 OF=x﹣1, 在 Rt△ OAE 中,OA =AE +OE , 在 Rt△ OCF 中,OC =CF +OF , ∵OA=OC, ∴3 +x =4 +(x﹣1) , 解得 x=4, ∴半径 OA= 32 ? 42 =5, ∴直径 MN=2OA=10 分米. 故选 C.
2 2 2 2 2 2 2 2

点评:本题考查了垂径定理的运用.关键是利用垂径定理得出两个直角三角形,根据勾股定 理表示半径的平方,根据半径相等列方程求解. 20. (2011 四川攀枝花,8,3 分)下列各命题中,真命题是( A、对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 B、如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等,那么这两个三角形一定全等 C、角平分线上任意一点到这个角的两边的距离相等 D、相等的圆周角所对的弧相等 考点:圆周角定理;全等三角形的判定;角平分线的性质;正方形的判定;命题与定理。 分析: 根据圆周角定理以及角平分线的性质和正方形的判定以及全等三角形的判定分别进行 判断即可得出答案. 解答:解:A、对角线相等且互相垂直的四边形是正方形,根据正方形的判定方法对角线相 等且互相垂直且互相平分的四边形是正方形,故此选项错误; B.如果两个三角形有 两条边和一个角分别对应相等,那么这两个三角形一定全等,根据全等三角形的判定 方法,如果两个三角形有两条边和它们的夹角相等,那么这两个三角形一定全等,故 )

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【史上最全】2011 中考数学真题解析

此选项错误; C.角平分线上任意一点到这个角的两边的距离相等,根据角平分线的 性质得出,角平分线上任意一点到这个角的两边的距离相等,故此选项正确; D.相 等的圆周角所对的弧相等,根据在同圆或等圆内,相等的圆周角所对的弧才相等,故 此选项错误.故选:C. 点评: 此题主要考查了圆周角定理以及角平分线的性质和正方形的判定以及全等三角形的判 定等知识,正确的把握相关知识是解决问题的关键. 21. (2011 四川攀枝花, 9, 3 分) 如图, 已知⊙O 的半径为 1, 锐角△ ABC 内接于⊙O, BD⊥AC
1 于点 D,OM⊥AB 于点 M,OM= ,则 sin∠CBD 的值等于( 3



A、

3 2

B、

1 3

C、

2 2 3

D、

1 2

考点:圆周角定理;勾股定理;垂径定理;锐角三角函数的定义。 分 析 : 根 据 锐 角 △ ABC 内 接 于 ⊙O , BD⊥AC 于 点 D , OM⊥AB 于 点 M , 得 出 sin∠CBD=sin∠OBM 即可得出答案. 解答: 解: ∵⊙O 的半径为 1, 锐角△ ABC 内接于⊙O, BD⊥AC 于点 D, OM⊥AB 于点 M,
1 MO 1 OM= ,∴∠MOB=∠C,∴sin∠CBD=sin∠OBM= = ,则 sin∠CBD 的值等 OB 3 3 1 于 .故选:B. 3

点评:此题主要考查了垂径定理以及锐角三角函数值和圆周角定理等知识,根据题意得出 sin∠CBD=sin∠OBM 是解决问题的关键.

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【史上最全】2011 中考数学真题解析

22. (2011 四川雅安, 11,3 分) 已知△ ABC 的外接圆 O 的半径为 3, AC=4, 则 sinB= (



A.

1 3

B.

3 4

C.

4 5

D.

2 3

考点:圆周角定理;锐角三角函数的定义。 专题:推理填空题。 分析:作辅助线(连接 AO 并延长交圆于 E,连 CE) 构造直角三角形 ACE,在直角 三角形中根据锐角三角函数的定义求得角 E 的正弦值;然后由同弧所对的的圆周角相等知 ∠B=∠E;最后由等量代换求得∠B 的正弦值,并作出选择. 解答:解:连接 AO 并延长交圆于 E,连 CE. ∴∠ACE=90° (直径所对的圆周角是直角) ; 在直角三角形 ACE 中,AC=4,AE=6, ∴sin∠E=

AC 2 ? ; AE 3

又∵∠B=∠E(同弧所对的的圆周角相等) , ∴sinB=

2 . 3

故选 D.

点评:本题主要考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义.在求锐角三角函数值时, 一般是通过作辅助线构造直角三角形,在直角三角形中解三角函数的三角函数值即可. 23. (2011 四川雅安 11,3 分)已知△ ABC 的外接圆 O 的半径为 3,AC=4,则 sin B ? ( )

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A

1 3

B

3 4

C

4 5

D

2 3

考点:圆周角定理;锐角三角函数的定义。 专题:推理填空题。 分析:作辅助线(连接 AO 并延长交圆于 E,连 CE) 构造直角三角形 ACE,在直角三角 形中根据锐角三角函数的定义求得角 E 的正弦值;然后由同弧所对的的圆周角相等知 ∠B=∠E;最后由等量代换求得∠B 的正弦值,并作出选择. 解答:连接 AO 并延长交圆于 E,连 CE. ∴∠ACE=90° (直径所对的圆周角是直角) ; 在直角三角形 ACE 中,AC=4,AE=6, ∴sin∠E= = ;

又∵∠B=∠E(同弧所对的的圆周角相等) , ∴sinB= . 故选 D.

点评:本题主要考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义.在求锐角三角函数值时,一般是 通过作辅助线构造直角三角形,在直角三角形中解三角函数的三角函数值即可. 24. (2011?玉林,10,3 分)小英家的圆形镜子被打碎了,她拿了如图(网格中的每个小正 方形边长为 1)的一块碎片到玻璃店,配制成形状、大小与原来一致的镜面,则这个镜面的

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【史上最全】2011 中考数学真题解析

半径是(



A、2

B、 5

C、2 2

D、3

考点:垂径定理的应用;勾股定理。 专题:网格型。 分析:再网格中找两点 A、B(如图) ,根据 OC⊥AB 可知此圆形镜子的圆心在 OC 上,由 于 O 到 A、B 两点的距离相等,故 OA 即为此圆的半径,根据勾股定理求出 OA 的长即可. 解答:解:如图所示, 连接 OA、OB, ∵OC⊥AB,OA=OB ∴O 即为此圆形镜子的圆心, ∵AC=1,OC=2, ∴OA= 故选 B.

AC2 ? OC2 = 12 ? 22 = 5 .

点评: 本题考查的是垂径定理在实际生活中的运用, 根据题意构造出直角三角形是解答此题 的关键.

25. (2011 贵州毕节,12,3 分)如图,将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后, 圆弧恰好经过圆心 O,则折痕 AB 的长为( )

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A.2cm

B. 3 cm

C. 2 3 cm

D.2 5 cm

考点:垂径定理;勾股定理。 分析:在图中构建直角三角形,先根据勾股定理得 AD 的长,再根据垂径定理得 AB 的 长. 解答:解:作 OD⊥AB 于 D,连接 OA.根据题意得 OD=

1 OA=1cm,再根据勾股定 2

理得:AD=AD= 3 cm,根据垂径定理得 AB=2 3 cm.故选 C.

点评:注意由题目中的折叠即可发现 OD=

1 OA=1.考查了勾股定理以及垂径定理. 2

26. (2011 海南,13,3 分)如图,在以 AB 为直径的半圆 O 中,C 是它的中点,若 AC=2, 则△ ABC 的面积是( )

A.1.5

B.2

C.3

D.4

考点:圆周角定理;等腰直角三角形;圆心角、弧、弦的关系。 分析:利用圆周角定理推论可得∠C=90° ,根据 C 是半圆 O 中点,可得 AC=CB,再求三 角形的面积=

1 AC?BC. 2

解答:解:∵C 是半圆 O 中点, ∴AC=CB=2, ∵AB 为直径, ∴∠C=90° , ∴△ABC 的面积是:2× 2× =2.

1 2

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故选 B. 点评:此题主要考查了圆周角定理与三角形的面积公式,做题的关键是证出△ ACB 是等腰 直角三角形. 27. (2011 黑龙江牡丹江, 19, 3 分) 已知⊙O 的直径 AB=40, 弦 CD⊥AB 于点 E, 且 CD=32, 则 AE 的长为( A、12 ) B、8 C、12 或 28 D、8 或 32

考点:垂径定理;勾股定理。 分析:在直角△ OCE 中,利用勾股定理即可求得 OE 的长,则 AE=OA+OE 或 AE=OB ﹣OE,据此即可求解. 解答:解:∵弦 CD⊥AB 于点 E ∴CE= CD=16, 在直角△ OCE 中,OE= OC 2 ? CE 2 = 202 ? 162 =12, 则 AE=20+12=32, 或 AE=20﹣12=8, 故 AE 的长是 8 或 32. 故选 D.

点评:本题主要考查了垂径定理,正确理解应分两种情况讨论是解题关键.

28. (2011 浙江绍兴,5,4 分)如图,AB 为⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上.若∠C=16° ,则 ∠BOC 的度数是( )

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A.74°

B.48°

C.32°

D.16°

考点:圆周角定理。 专题:计算题。 分析:欲求∠BDC,又已知一圆心角,可利用圆周角与圆心角的关系求解. 解答:解:∵OA=OC, ∴∠A=∠C=16° , ∴∠BOC=∠A+∠C=32° . 故选 C. 点评:本题考查三角形外角的性质、圆心角、圆周角的应用能力. 29.(2011 浙江绍兴, 6, 4 分) 一条排水管的截面如图所示. 已知排水管的截面圆半径 OB=10, 截面圆圆心 O 到水面的距离 OC 是 6,则水面宽 AB 是( )

A.16

B.10

C.8

D.6

考点:垂径定理的应用。 专题:几何图形问题。 分析:先根据垂径定理得出 AB=2BC,再根据勾股定理求出 BC 的长,进而可得出答案. 解答:解:∵截面圆圆心 O 到水面的距离 OC 是 6, ∴OC⊥AB, ∴AB=2BC,

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在 Rt△ BOC 中,OB=10,OC=6, ∴BC= OB2 ? OC 2 ? 102 ? 62 ? 8 , ∴AB=2BC=2× 8=16. 故选 A. 点评:本题考查的是垂径定理的应用,熟知垂径定理及勾股定理是解答此题的关键.

30. (2011 湖州,9,3 分)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,C 是 AB 延长线上一点,BC=OB, CE 是⊙O 的切线, 切点为 D, 过点 A 作 AE⊥CE, 垂足为 E, 则 CD: DE 的值是 ( A. )

1 2

B.1

C.2

D.3

考点:切线的性质;相似三角形的判定与性质. 专题:计算题. 分析: 连接 OD, 设⊙O 的半径为 r, 可证得△ COD∽△CAE, 则 从而得出 CD:DE 的值. 解答:解:如图,连接 OD,∵AB 是⊙O 的直径,BC=OB,∴OA=OB=BC, ∵CE 是 ⊙O 的 切 线 , ∴OD⊥CE.∵AE⊥CE , ∴OD∥AE , ∴△COD∽△CAE , ∴

OC OD CD 2 ? ? ? , AC AE CE 3

CD OC CD 2 ? 2 .故选 C. ? ? ,∴ DE AC CE 3

点评:本题考查了切线的性质,相似三角形的判定和性质,是基础知识要熟练掌握.

31.(2011 浙江嘉兴,6,3 分)如图,半径为 10 的⊙O 中,弦 AB 的长为 16,则这条弦的

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弦心距为(



A.6

B.8

C.10

D.12

考点:垂径定理;勾股定理. 专题:计算题. 分析: 过 O 作 OD⊥AB 于 D, 则 OD 是弦 AB 的弦心距, 连接 OB, 根据垂径定理求出 BD=AD=8, 在 Rt△ OBD 中,根据勾股定理即可求出 OD. 解答:解:过 O 作 OD⊥AB 于 D,则 OD 是弦 AB 的弦心距,连接 OB, ∵OD⊥AB,OD 过圆心 O,∴BD=AD=

1 AB=8, 2

在 Rt△ OBD 中,由勾股定理得:OD= OB2 -BD2 = 102 -82 =6.故选 A.

点评:本题主要考查对垂径定理,勾股定理等知识点的理解和掌握,正确作辅助线并能求出 OD 的长是解此题的关键. . 32. (2011 浙江金华,10,3 分)如图,在平面直角坐标系中,过格点 A,B,C 作一圆弧, 点 B 与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是( )

y

A
1 0 1

B C
x

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A.点(0,3)

B.点(2,3)

C.点(5,1)

D.点(6,1)

考点:切线的性质;坐标与图形性质;勾股定理;垂径定理。 专题:网格型。 分析: 根据垂径定理的性质得出圆心所在位置, 再根据切线的性质得出, ∠OBD+∠EBF=90° 时 F 点的位置即可. 解答:解:∵过格点 A,B,C 作一圆弧, ∴三点组成的圆的圆心为:O(2,0) , ∵只有∠OBD+∠EBF=90° 时,BF 与圆相切, ∴当△ BOD≌△FBE 时, ∴EF=BD=2, F 点的坐标为: (5,1) , ∴点 B 与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是: (5,1) . 故选:C.

点评:此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质,得出△ BOD≌△FBE 时,EF=BD=2,即得出 F 点的坐标是解决问题的关键.

33.(2011 浙江丽水,10,3 分)如图,在平面直角坐标系中,过格点 A,B,C 作一圆弧, 点 B 与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是( )

A、点(0,3) C、点(5,1)

B、点(2,3) D、点(6,1)

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考点:切线的性质;坐标与图形性质;勾股定理;垂径定理。 专题:网格型。 分析: 根据垂径定理的性质得出圆心所在位置, 再根据切线的性质得出, ∠OBD+∠EBF=90° 时 F 点的位置即可. 解答:解:∵过格点 A,B,C 作一圆弧, ∴三点组成的圆的圆心为:O(2,0) , ∵只有∠OBD+∠EBF=90° 时,BF 与圆相切, ∴当△ BOD≌△FBE 时, ∴EF=BD=2, F 点的坐标为: (5,1) , ∴点 B 与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是: (5,1) . 故选:C.

点评:此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质,得出△ BOD≌△FBE 时,EF=BD=2,即得出 F 点的坐标是解决问题的关键. 34. (2011 浙江衢州,8,3 分)一个圆形人工湖如图所示,弦 AB 是湖上的一座桥,已知桥 AB 长 100m,测得圆周角∠ACB=45° ,则这个人工湖的直径 AD 为( )

A、 50 2m C、 150 2m

B、 100 2m D、 200 2m

考点:等腰直角三角形;圆周角定理。

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专题:证明题。 分析:连接 OB.根据圆周角定理求得∠AOB=90° ;然后在等腰 Rt△ AOB 中根据勾股定理求 得⊙O 的半径 AO=OB= 50 2m ,从而求得⊙O 的直径 AD= 100 2m . 解答:解:连接 OB. ∵∠ACB=45° ,∠ACB= ∴∠AOB=90° ; 在 Rt△ AOB 中,OA=OB(⊙O 的半径) ,AB=100m, ∴由勾股定理得,AO=OB= 50 2m , ∴AD=2OA= 100 2m ; 故选 B.

1 ∠AOB(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半) , 2

点评:本题主要考查了等腰直角三角形、圆周角定理.利用圆周角定理求直径的长时,常常 将直径置于直角三角形中,利用勾股定理解答. 35. (2011 浙江台州,10,4 分)如图,⊙O 的半径为 2,点 O 到直线 l 的距离为 3,点 P 是直线 l 上的一个动点,PQ 切⊙O 于点 Q,则 PQ 的最小值为( )

A. 13 考点:切线的性质.

B. 5

C.3

D.2

分析: 因为 PQ 为切线, 所以△ OPQ 是 Rt△ . 又 OQ 为定值, 所以当 OP 最小时, PQ 最小. 根 据垂线段最短,知 OP=3 时 PQ 最小.运用勾股定理求解. 解答: 解: 作 OP⊥l 于 P 点, 则 OP=3. 根据题意, 在 Rt△ OPQ 中, PQ= 32 ? 22 ? 5 . 故

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选 B.

点评: 此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点, 如何确定 PQ 最小时点 P 的位置 是解题的关键,难度中等偏上.

36.

10、如图,O 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点,⊙O 与边 AB, BC 都相切,点 E,F 分别在 AD,DC 上,现将△ DEF 沿着 EF 对折,折痕 EF 与⊙O 相切, 此时点 D 恰好落在圆心 O 处.若 DE=2,则正方形 ABCD 的边长是( A、3 B、4 C、 D、 )

【答案】C
【考点】切线的性质;勾股定理;正方形的性质;翻折变换(折叠问题). 【专题】计算题. . 【分析】延长 FO 交 AB 于点 G,根据折叠对称可以知道 OF⊥CD,所以 OG⊥AB,即点 G 是切点,OD 交 EF 于点 H,点 H 是切点.结合图形可知 OG=OH=HD=EH,等于⊙O 的半 径,先求出半径,然后求出正方形的边长.

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【解答】

解:如图:延长 FO 角 AB 与点 G,则点 G 是切点,

OD 交 EF 于点 H,则点 H 是切点. ∵ABCD 是正方形,点 O 在对角线 BD 上, ∴OG=OH=HD=HE=AE,且都等于圆的半径. 在等腰直角三角形 DEH 中,DE=2, ∴EH=DH= 2 =AE.∴AD=AE+DE= 2 +2.故选 C. 【点评】 本题考查的是切线的性质, 利用切线的性质, 结合正方形的特点求出正方形的边长. 37. (2011 浙江舟山,6,3 分)如图,半径为 10 的⊙O 中,弦 AB 的长为 16,则这条弦的 弦心距为( )

A.6

B.8

C.10

D.12

考点:垂径定理;勾股定理。 专题:计算题。 分析:过 O 作 OD⊥AB 于 D,则 OD 是弦 AB 的弦心距,连接 OB,根据垂径定理求出 BD =AD=8,在 Rt△ OBD 中,根据勾股定理即可求出 OD. 解答:解:过 O 作 OD⊥AB 于 D,则 OD 是弦 AB 的弦心距,连接 OB, ∵OD⊥AB,OD 过圆心 O, ∴BD=AD=

1 AB=8, 2

在 Rt△ OBD 中,由勾股定理得: OD= OB2 ? BD2 = 102 ? 82 =6.

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O A D
故选 A. 点评:本题主要考查对垂径定理,勾股定理等知识点的理解和掌握,正确作辅助线并能求出 OD 的长是解此题的关键. 38.(2011 清远,8,3 分)如图.点 A、B、C 在⊙O 上,若∠BAC=20° .则∠BOC 的度数 为( )

B

A.20° D.70° 考点:圆周角定理.

B.30°

C.40°

分析:根据圆周角定理,同同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,可得到∠BOC = 2∠BAC,即可得到答案. 解答:解:∵∠BAC=20° ,∴∠BOC=2∠BAC=40° .故选 C. 点评:此题主要考查了圆周角定理,题目比较基础,关键是找准同弧所对的圆周角与圆 心角.

39.(2011 广东珠海,3,3 分)圆心角为 60° ,且半径为 3 的扇形的弧长为( A.



π 2

B.π

C.

3 π 2

D.3π

考点:圆心角、弧长

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专题:圆的有关计算 分析:圆中 n° 的圆心角所对的弧长为 l= 解答:B 点评:弄清公式中所对应的量,带入计算即可. 40. (2011 安徽省芜湖市,8,4 分)如图,直径为 10 的⊙A 经过点 C(0,5)和点 O(0,0) , B 是 y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为( )

n ?R n ?R .n=60,R=3,解得 l= =π. 180 180

A、

1 2

B、

3 4 5 4

C、

3 2

D、

考点:圆周角定理;勾股定理;锐角三角函数的定义。 分析:根据圆周角定理得出∠B=∠CDO,得出∠OBC 的余弦值为∠CDO 的余弦值,再根据 CD=10,CO=5,得出 DO=5 3 ,进而得出答案. 解答:解:连接 CA 并延长到圆上一点 D,

∵直径为 10 的⊙A 经过点 C(0,5)和点 O(0,0) , ∴CD=10,CO=5, ∴DO=5 3 , ∵∠B=∠CDO, ∴∠OBC 的余弦值为∠CDO 的余弦值,

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∴cos∠OBC=cos∠CDO= 故选 C.

5 3 3 = . 10 2

点评:此题主要考查了圆周角定理以及勾股定理和锐角三角函数的定义,正确得出∠OBC 的余弦值为∠CDO 的余弦值是解决问题的关键.

? 的长是( 41. 如图,⊙半径是 1,A、B、C 是圆周上的三点,∠BAC=36° ,则劣弧 BC
A、



? 5

B、

2? 5

C、

3? 5

D、

4? 5

【答案】B 【考点】弧长的计算;圆周角定理. 【专题】计算题. 【分析】连 OB,OC,根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC=72° ,然后根据弧长公式计算

? 的长. 劣弧 BC

【解答】解:连 OB,OC,如图, ∵∠BAC=36° ,∴∠BOC=2∠BAC=72° ,

72 ? ? ?1 2? ? .故选 B. 180 5 n? R 【点评】本题考查了弧长公式: l ? .也考查了圆周角定理. 180

? 的长= ∴劣弧 BC

42. (2011 福建福州,9,4 分)如图,以 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 切小圆 于点 C,若∠AOB=120° ,则大圆半径 R 与小圆半径 r 之间满足( )

A. R= 3r

B.R=3r

C.R=2r

D. R=2 2r

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考点:切线的性质;含 30 度角的直角三角形;垂径定理. 分析:首先连接 OC ,根据切线的性质得到 OC⊥OB ,再根据等腰三角形的性质可得到 ∠COB=60° ,从而进一步求出∠B=30° ,再利用直角三角形中 30° 角所对的边等于斜边的一 半,可得到 R 与 r 的关系. 解答: 解: 连接 OC, ∵C 为切点, ∴OC⊥AB, ∵OA=OB, ∴∠COB= ∴OC=

1 ∠AOB=60° , ∴∠B=30° , 2

1 OB, 2

∴R=2r.故选 C.

点评: 此题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质, 运用切线的性质来进行计算或论证, 常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.

43. (2011 福建省三明市, 7,4 分) 如图, AB 是⊙O 的直径, C, D 两点在⊙O 上, 若∠C=40° , 则∠ABD 的度数为( )

A、40° C、80°

B、50° D、90°

考点:圆周角定理。 分析:要求∠ABD,即可求∠C,因为 CD 是⊙O 的直径,所以∠ADB=90° ,又∠C=40° ,故 ∠ABD 可求. 解答:解:AB 是⊙O 的直径, 则∠ADB=90° ,∠ABD=90° ﹣∠C=90° ﹣40° =50° . 故选 B.

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点评:本题利用了圆周角定理和直径对的圆周角是直角求解.

44. (2011 甘肃兰州,12,4 分)如图,⊙O 过点 B、C,圆心 O 在等腰 Rt△ ABC 的内部, ∠BAC=90° ,OA=1,BC=6.则⊙O 的半径为( A.6 B.13 C. 13 ) D. 2 13

A O B C

考点:垂径定理;垂线;三角形内角和定理;等腰三角形的判定与性质;勾股定理;等 腰直角三角形. 分析:延长 AO 交 BC 于 D,接 OB,根据 AB=AC,O 是等腰 Rt△ ABC 的外心,推出 AO⊥BC,BD=DC=3,AO 平分∠BAC,求出∠BAD=∠ABD=45° ,AD=BD=3,由勾股定理 求出 OB 即可. 解答:解:延长 AO 交 BC 于 D,连接 OB, ∵AB=AC,O 是等腰 Rt△ ABC 的外心,∴AO⊥BC,BD=DC=3,AO 平分∠BAC, ∵∠BAC=90° ,∴∠ADB=90° ,∠BAD=45° ,∴∠BAD=∠ABD=45° , ∴AD=BD=3,∴OD=3-1=2,由勾股定理得:OB=

13 .故选 C.

点评:本题主要考查对等腰三角形的性质和判定,等腰直角三角形的性质,三角形的内 角和定理,勾股定理,垂线,垂径定理等知识点的理解和掌握,求出 OD、BD 的长是解此 题的关键. 45.(2010 广东佛山,4,3 分)若⊙O 的一条弧所对的圆周角为 60° ,则这条弧所对的圆心 角是( A. 30 ? 考点圆周角定理 专题计算题。 分析因为同弧所对的圆周角等于它对圆心角的一半,所以这条弧所对圆周角为 36° . ) B. 60 ? C. 120? D.以上答案都不对

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解答解:∵一条弧所对的圆周角为 60° ,∴这条弧所对圆心角为:60° × 2=120° .故选 C. 点评此题考查了同弧所对的圆周角等于它对圆心角的一半的性质. 题目很简单, 解题时要细 心. 46. (2010 广东佛山,10,3 分)下列说法正确的是( A.“作线段 CD=AB”是一个命题; B.三角形的三条内角平分线的交点为三角形的内心; C.命题 “若 x=1,则 x =1”的逆命题是真命题; D.“具有相同字母的项称为同类项”是“同类项”的定义; 考点命题与定理;同类项;三角形的内切圆与内心 分析根据命题及真假命题的定义,逐个选项进行分析即可得出答案. 解答解:A、“作线段 CD=AB”不是命题,故本选项错误, B、三角形的三条内角平分线的交点为三角形的内心,正确, C、命题“若 x=1,则 x =1”的逆命题是若 x =1,则 x=1 是假命题,故本选项错误, D、同类项的定义是所含字母相同,并且相同字母的次数也分别相同的项叫做同类项,故本 选项错误.故选 B. 点评本题主要考查了命题及真假命题的定义,需要学生熟悉命题的定义、三角形内心性质、 逆命题的定义、同类项的定义,难度适中. 47. (2011 广东省茂名,10,3 分)如图,正方形 ABCD 内接于⊙O,⊙O 的直径为 2 分 米,若在这个圆面上随意抛一粒豆子,则豆子落在正方形 ABCD 内的概率是( )
2 2 2



A、 C、

2

?
1 2?

B、

? 2

D、 2?

考点:几何概率;正多边形和圆。

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分析:在这个圆面上随意抛一粒豆子,落在圆内每一个地方是均等的,因此计算出正方形和 圆的面积,利用几何概率的计算方法解答即可. 解答:解:因为⊙O 的直径为 2 分米,则半径为 平方分米; 正方形的边长为 (

2 2 2 ? 分米,⊙O 的面积为 π( )= 2 2 2

2 2 2 ) ? ( )2 =1 分米,面积为 1 平方分米; 2 2

因为豆子落在圆内每一个地方是均等的, 所以 P(豆子落在正方形 ABCD 内)= . 故选 A. 点评:此题主要考查几何概率的意义:一般地,对于古典概型,如果试验的基本事件为 n, 随机事件 A 所包含的基本事件数为 m,我们就用来描述事件 A 出现的可能性大小,称它为 事件 A 的概率,记作 P(A) ,即有 P(A)= 二、填空题 1. (2011 江苏南京,13,2 分)如图,海边立有两座灯塔 A、B,暗礁分布在经过 A、B 两 点的弓形(弓形的弧是⊙O 的一部分)区域内,∠AOB=80° .为了避免触礁,轮船 P 与 A、 B 的张角∠APB 的最大值为 40° .

m . n

考点:圆周角定理;三角形的外角性质。 分析:根据已知得出当 P 点在圆上时,轮船 P 与 A、B 的张角∠APB 的最大,根据圆周角定 理得出答案. 解答:解:∵海边立有两座灯塔 A、B,暗礁分布在经过 A、B 两点的弓形(弓形的弧是⊙O 的一部分)区域内,∠AOB=80° .

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∴当 P 点在圆上时,轮船 P 与 A、B 的张角∠APB 的最大, 此时为∠AOB=80° 的一半,为 40° . 故答案为:40° . 点评:此题主要考查了圆周角定理的应用,根据条件得出当 P 点在圆上时,轮船 P 与 A、B 的张角∠APB 的最大是解决问题的关键. 2. (2011 江苏无锡,18,2 分)如图,以原点 O 为圆心的圆交 x 轴于 A、B 两点,交 y 轴 的正半轴于点 C,D 为第一象限内⊙O 上的一点,若∠DAB=20° ,则∠OCD= 65 ° .

考点:圆周角定理;坐标与图形性质。 分析: 根据∠DAB=20° , 得出∠DOB 的度数, 再利用等腰三角形的性质得出∠OCD=∠CDO, 进而求出答案.

解答:解: ∴∠DOB=40° , ∴∠COD=90° ﹣40° =50° , ∵CO=DO, ∴∠OCD=∠CDO,

连接 DO,∵∠DAB=20° ,

∴∠OCD=(180° ﹣50° )÷ 2=65° . 故答案为:65. 点评: 此题主要考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质, 得出∠OCD=∠CDO 是解决问题 的关键. 3. (2011 江苏镇江常州,15,3 分)如图,DE 是⊙O 的直径,弦 AB⊥CD,垂足为 C,若

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【史上最全】2011 中考数学真题解析

AB=6,CE=1,则 OC=

4 ,CD= 9 .

考点:垂径定理;勾股定理. 专题:数形结合;方程思想. 分析:连接 OA 构成直角三角形,先根据垂径定理,由 DE 垂直 AB 得到点 C 为 AB 的中点, 由 AB=6 可求出 AC 的长,再设出圆的半径 OA 为 x,表示出 OC,根据勾股定理建立关于 x 的方程,求出方程的解即可得到 x 的值,即为圆的半径,通过观察图形可知,OC 等于半径 减 1,CD 等于半径加 OC,把求出的半径代入即可得到答案. 解答: 解:连接 OA, ∵直径 DE⊥AB,且 AB=6 ∴AC=BC=3, 设圆 O 的半径 OA 的长为 x,则 OE=OD=x ∵CE=1, ∴OC=x﹣1, 在直角三角形 AOC 中,根据勾股定理得: x ﹣(x﹣1) =3 ,化简得:x ﹣x +2x﹣1=9, 即 2x=10, 解得:x=5 所以 OE=5,则 OC=OE﹣CE=5﹣1=4,CD=OD+OC=9. 故答案为:4;9
2 2 2 2 2

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【史上最全】2011 中考数学真题解析

点评:此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握,注意利用圆的半径,弦的一半及弦心距所 构成的直角三角形来解决实际问题,做此类题时要多观察,多分析,才能发现线段之间的联 系. 4. (2011?宁夏,14,3 分)如图,点 A、D 在⊙O 上,BC 是⊙O 的直径,若∠D=35° ,则 ∠OAB 的度数是 35° .

考点:圆周角定理。 分析:根据圆周角定理即可求得∠AOC 的度数,再根据三角形的外角的性质以及等边对等 角,即可求解. 解答:解:∵∠AOC=2∠D=70° , 又∵OA=OB, ∴∠ABO=∠BAO, ∵∠AOC=∠ABO+∠BAO, ∴∠OAB=35° . 故答案是:35° . 点评:本题主要考查了圆周角定理,以及三角形的外角的性质,正确求得∠AOC 的度数是 解题的关键 5. 、如图,AB、AC 都是圆 O 的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为 M、N,如果 MN=3, 那么 BC= 6



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【史上最全】2011 中考数学真题解析

考点:三角形中位线定理;垂径定理. 专题:几何图形问题. 分析:由 AB、AC 都是圆 O 的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,根据垂径定理可知 M、N 为
AB、AC 的中点,线段 MN 为△ ABC 的中位线,根据中位线定理可知 BC=2MN.

解答:解:∵AB、AC 都是圆 O 的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,
∴M、N 为 AB、AC 的中点,即线段 MN 为△ ABC 的中位线, ∴BC=2MN=6. 故答案为:6.

点评: 本题考查了垂径定理, 三角形的中位线定理的运用. 关键是由垂径定理得出两个中点.
6.(2011 四川广安,19,3 分)如图所示,若⊙O 的半径为 13cm,点 P 是弦 AB 上一动点, 且到圆心的最短距离为 5 cm,则弦 AB 的长为________cm.

O

A

P

B

考点:垂径定理 专题:圆的有关计算 分析:连接 OA,当 OP⊥AB 时,OP 最短,此时 OP=5cm,且 AB=2AP.在 Rt△ AOP 中, AP ? OA ? OP ? 13 ? 5 ? 12 ,所以 AB=24.
2 2 2 2

解答:24 点评:根据 “ 垂线段最短 ” 可确定当点 P 到圆心的距离最短时 OP 与 AB 的位置关系: OP⊥AB.利用垂径定理进行计算时,若圆的半径为 r ,圆心到弦的距离为 d ,弦长为 a ,

?1 ? 根据勾股定理可知 ? a ? ? d 2 ? r 2 ,在这个关系式中,知任意两个量可求出第三个量. ?2 ?
7. (2011 天津, 15, 3 分) 如图, AD、 AC 分别是⊙O 的直径和弦, 且∠CAD=30° , OB⊥AD, 交 AC 于点 B,若 OB=5,则 BC 的长等于 5 .

2

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【史上最全】2011 中考数学真题解析

考点:圆周角定理;解直角三角形。 专题:计算题。 分析:在 Rt△ AOB 中,已知了 OB 的长和∠A 的度数,根据直角三角形的性质可求得 OA 的 长,也就得到了直径 AD 的值,连接 CD,同理可在 Rt△ ACD 中求出 AC 的长,由 BC=AC ﹣AB 即可得解. 解答:解:连接 CD; Rt△ AOB 中,∠A=30° ,OB=5,则 AB=10,OA= 5 3 ; 在 Rt△ ACD 中,∠A=30° , AD=2OA=10 3 , 则 AC=15; ∴BC=AC﹣AB=15﹣10=5. 故答案为 5.

点评:此题主要考查了直角三角形的性质和圆周角定理的应用,难度不大. ⌒ )的度数为 120° 8. (2011 新疆建设兵团,13,5 分)如图,∠BAC 所对的弧(图中 BC ,⊙O 的半径为 5, 则弦 BC 的长为 5 3.

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【史上最全】2011 中考数学真题解析

考点:圆周角定理;解直角三角形. 专题:探究型. ⌒ 可求出∠BOB=120° 分析:连接 OB、OB,过 O 点作 OD⊥BC 于点 D,由 BC ,再由垂径 1 定理可知 BD= BC,根据锐角三角函数的定义可求出 BD 的长,进而可得出 BC 的长. 2 解答:解:连接 OB、OB,过 O 点作,OD⊥BC 于点 D,

⌒ =120° ∵ BC , ∴∠BOC=120° , ∵OD⊥BC, 1 1 1 ∴BD= BC,∠BOD= ∠BOC= × 120° =60° , 2 2 2 3 5 3 在 Rt△ OBD 中,BD=OB?sin∠BOD=5× = , 2 2 5 3 ∴BC=2BD=2× =5 3. 2 故答案为:5 3. 点评:本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直 角三角形,利用锐角三角函数的定义解答是解答此题的关键. 9.(2011 重庆江津区,16,4 分)已知如图,在圆内接四边形 ABCD 中,∠B=30° ,则∠D = 150° .

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考点:圆内接四边形的性质。 分析:根据圆内接四边形对角互补,直接求出即可. 解答:解:∵圆内接四边形 ABCD 中,∠B=30° , ∴∠D=180° ﹣30° =150° . 故答案为:150° . 点评: 此题主要考查了圆内接四边形的性质, 灵活应用圆内接四边形的性质是解决问题的关 键. 10. (2011 重庆綦江, 13, 4 分) 如图, 已知 AB 为⊙O 的直径, ∠CAB=30° , 则∠D= 60° .

考点:圆周角定理。 专题:计算题。 分析:首先利用直径所对的圆周角是直角得到直角三角形,然后求得另一锐角的度数,从而 求得所求的角. 解答:解:∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ACB=90° , ∵∠CAB=30° , ∴∠B=60° , ∴∠D=60° , 故答案为:60° . 点评: 本题考查了圆周角定理, 解决本题的关键是利用直径所对的圆周角是直角得到直角三

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【史上最全】2011 中考数学真题解析

角形. 11. (2011 湖北咸宁,12,3 分)如图,梯形 ABCD 内接于⊙O,AD∥BC, ?DAB ? 49? , 则 ?AOC 的度数为 98° .

考点:圆周角定理;平行线的性质。

分析:如图,在

上取点 M,连接 AM,CM,根据题意推出∠AMC=131° ,然后根据

圆的内接四边形的性质,推出∠ABC 的度数,随即可求出∠M 的度数,即可推出∠AOC 的 度数.

解答:解:如图,在 ∵AD∥BC,∠DAB=49° , ∴∠ABC=131° , ∴∠M=49° , ∠AOC=98° . 故答案为:98° .

上取点 M,连接 AM,CM,

点评:本题主要考查圆周角定理、圆的内接四边形的性质、平行线的性质,关键在于做好辅 助线,求得∠M 的度数. 12. (2011?柳州)如图,A、B、C 三点在⊙O 上,∠AOB=80° ,则∠ACB 的大小( )

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A、40° C、80°

B、60° D、100°

考点:圆周角定理。 分析:认真观察图形,利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可直接得到答案. 解答:解:∵∠AOB=80° , ∴∠ACB= ∠AOB= × 80° =40° . 故选 A. 点评:本题考查了圆周角定理;应用圆周角定理时,注意在同圆或等圆中这一条件,本题比 较简单,属于基础题. 13. (2011?安顺)如图,点 E(0,4) ,O(0,0) ,C(5,0)在⊙A 上,BE 是⊙A 上的一 条弦.则 tan∠OBE= .

考点:圆周角定理;坐标与图形性质;锐角三角函数的定义。 分析: 根据同弧所对的圆周角相等, 可证∠ECO=∠OBE. 由锐角三角函数可求 tan∠ECO= ,

即 tan∠OBE= . 解答:解:连接 EC. 根据圆周角定理∠ECO=∠OBE. 在 Rt△ EOC 中,OE=4,OC=5, 则 tan∠ECO= .故 tan∠OBE= .

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点评:本题重点考查了同弧所对的圆周角相等及解直角三角形的知识. 注意锐角三角函数的概念:在直角三角形中,正弦等于对比斜;余弦等于邻比斜;正切等于 对比邻. 14. (2011?西宁) 如图, 在⊙O 中, AB、 AC 是互相垂直的两条弦, OD⊥AB 于点 D, OE⊥AC 于点 E,且 AB=8cm,AC=6cm,那么⊙O 的半径 OA 长为 5cm .

考点:垂径定理;勾股定理。 分析:首先由 AB、AC 是互相垂直的两条弦,OD⊥AB,OE⊥AC,易证得四边形 OEAD 是矩形,根据垂径定理,可求得 AE 与 AD 的长,然后利用勾股定理即可求得⊙O 的半径 OA 长.

解答:解: ∵OD⊥AB,OE⊥AC,

连接 OA,

∴AE= AC= × 6=3(cm) ,AD= AB= × 8=4(cm) ,∠OEA=∠ODA=90° , ∵AB、AC 是互相垂直的两条弦, ∴∠A=90° , ∴四边形 OEAD 是矩形, ∴OD=AE=3cm,

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【史上最全】2011 中考数学真题解析

在 Rt△ OAD 中,OA= 故答案为:5cm.

=5cm.

点评:此题考查了垂径定理,矩形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题难度不大,解题 的关键是注意数形结合思想的应用,注意特殊图形的性质的应用. 15. (2011 山东青岛,10,3 分)如图,已知 AB 是⊙O 的弦,半径 OA=6cm,∠AOB=120° , 则 AB= 6 3 cm.

考点:垂径定理;三角形内角和定理;等腰三角形的性质;含 30 度角的直角三角形;勾股 定理。 专题:计算题。 分析:过 O 作 OC⊥AB 于 C,根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠A,根 据含 30 度得直角三角形性质求出 OC,根据勾股定理求出 AC,根据垂径定理求出即可. 解答: 解:过 O 作 OC⊥AB 于 C, ∵OA=OB, ∴∠A=∠B, ∵∠AOB=120° , ∴∠A=∠B= ∴OC=

1 (180° ﹣∠AOB)=30° , 2

1 OA=3, 2

由勾股定理得:AC= OA2 ? OC 2 =3 3 , ∵OC⊥AB,OC 过圆心 O, ∴AC=BC, ∴AB=2AC=6 3 ,

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故答案为:6 3 .

点评:本题主要考查对三角形的内角和定理,勾股定理,等腰三角形的性质,垂径定理,含 30 度角的直角三角形等知识点的理解和掌握,能求出 OC.AC 的长是解此题的关键. 16. (2011 泰安,23,3 分)如图,PA 与⊙O 相切,切点为 A,PO 交⊙O 于点 C,点 B 是 优弧 CBA 上一点,若∠ABC=32° ,则∠P 的度数为 .

考点:切线的性质;圆周角定理。 分析:连接 OA,则△ PAO 是直角三角形,根据圆周角定理即可求得∠POA 的度数,进而根 据直角三角形的性质求解.

解答:解:连接 OA. ∴∠PAO=90° , ∵∠O=2∠B=64° , ∴∠P=90° -64° =26° . 故答案为:26° . 点评: 本题主要考查了切线的性质, 以及圆周角定理, 正确利用定理, 作出辅助线求得∠POA 的度数是解题的关键.

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17.
15、(2011 年山东省威海市,15,3 分)如图,⊙O 的直径 AB 与弦 CD 交于点 E,AE=5,BE=1, CD=4 . 2 ,则∠AED= 30°

考点:垂径定理;含 30 度角的直角三角形;勾股定理. 专题:推理填空题. 分析:连接 OD,过圆心 O 作 OH⊥CD 于点 H.根据垂径定理求得 DH=CH=

1 2

CD=2

2 ;然后根据已

知条件“AE=5,BE=1”求得⊙O 的直径 AB=6,从而知⊙O 的半径 OD=3,OE=2;最后利用勾股定理求得 OH=1,再由 30° 角所对的直角边是斜边的一半来求∠AED.

解答:解:连接 OD,过圆心 O 作 OH⊥CD 于点 H. ∴DH=CH=

1 2

CD(垂径定理);

∵CD=4 ∴DH=2

2, 2;

又∵AE=5,BE=1, ∴AB=6, ∴OA=OD=3(⊙O 的半径); ∴OE=2; ∴在 Rt△ ODH 中,OH= 在 Rt△ OEH 中,OH=

CD2 ? DH 2
OE,

=1(勾股定理);

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∴∠OEH=30° , 即∠AED=30° . 故答案是:30° . 点评:本题综合考查了垂径定理、含 30° 角的直角三角形、勾股定理.解答此题时,借助于辅助线 OH,将 隐含在题干中的已知条件 OH 垂直平分 CD 显现了出来,从而构建了两个直角三角形:Rt△ ODH 和 Rt△ OEH,然后根据勾股定理和含 30° 角的直角三角形的相关知识点来求∠AED 的度数.

18. (2011 四川广安,19,3 分)如图所示,若⊙O 的半径为 13cm,点 P 是弦 AB 上一动 点,且到圆心的最短距离为 5 cm,则弦 AB 的长为________cm.

O

A

P

B

考点:垂径定理 专题:圆的有关计算 分析:连接 OA,当 OP⊥AB 时,OP 最短,此时 OP=5cm,且 AB=2AP.在 Rt△ AOP 中, AP ? OA ? OP ? 13 ? 5 ? 12 ,所以 AB=24.
2 2 2 2

解答:24 点评:根据“垂线段最短”可确定当点 P 到圆心的距离最短时 OP 与 AB 的位置关系: OP⊥AB.利用垂径定理进行计算时,若圆的半径为 r ,圆心到弦的距离为 d ,弦长为 a , 根据勾股定理可知 ?

?1 ? a ? ? d 2 ? r 2 ,在这个关系式中,知任意两个量可求出第三个量. ?2 ?

2

19. (2011?南充,13,3 分)如图,PA,PB 是⊙O 是切线,A,B 为切点,AC 是⊙O 的直 径,若∠BAC=25° ,则∠P= 度.

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考点:切线的性质;多边形内角与外角。 专题:几何图形问题。 分析:首先利用切线长定理可得 PA=PB,再根据∠OBA=∠BAC=25° ,得出∠ABP 的度数, 再根据三角形内角和求出. 解答:解:∵PA,PB 是⊙O 是切线,A,B 为切点, ∴PA=PB,∠OBP=90° , ∵OA=OB, ∴∠OBA=∠BAC=25° , ∴∠ABP=90° ﹣25° =65° , ∵PA=PB, ∴∠BAP=∠ABP=65° , ∴∠P=180° ﹣65° ﹣65° =50° , 故答案为:50° . 点评:此题主要考查了切线的性质以及三角形内角和定理,得出∠ABP 是解决问题的关键. 20. (2011 四川遂宁,13,4 分)下列命题①不相交的直线是平行线;②同位角相等;③矩 形的对角线相等且互相平分; ④平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形; ⑤同圆 中同弦所对的圆周角相等.其中错误的序号是 .

考点:命题与定理;同位角、内错角、同旁内角;平行线;平行四边形的性质;矩形的性质; 圆周角定理;轴对称图形;中心对称图形。 专题:应用题。 分析:根据平行的性质,矩形的性质,平行四边形的性质,圆周角的性质来判断所给选项是 否正确即可. 解答:解:①在同一平面内,不相交的直线是平行线,故本选项错误,②两直线平行,同位 角相等,故本选项错误,③矩形的对角线相等且互相平分,故本选项正确,④平行四边 形是中心对称图形不是轴对称图形,故本选项错误,⑤同弦对应的圆周角中,在弦的同 侧时,两圆周角相等,在两侧时两圆周角互补,故本选项错误,故答案为①②④⑤. 点评:本题主要考查了综合利用相关性质和判定,难度适中.

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【史上最全】2011 中考数学真题解析

21. (2011 四川遂宁,14,4 分)如图,在⊙O 中∠ACB=∠BDC=60° ,AC=2 3 ,则⊙O 的周长是 .

考点:圆周角定理;等边三角形的判定与性质;解直角三角形。 分析:根据圆周角定理,得∠A=∠BDC=60° ,从而判断△ ABC 是等边三角形,再根据等边 三角形的性质求得其外接圆的直径,从而求得其周长. 解答: 解: 连接 OC, 作 OE⊥AC 于 E. ∵∠ACB=∠BDC=60° , ∴∠A=∠BDC=60° , ∴△ABC 是等边三角形,∴∠OCE=30° ,CE= 4π.故答案为 4π.
1 CE AC= 3 ,∴OC= =2,则⊙O 的周长是 2 cos 30?

点评:此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及性质.注意:等边三角形的外心和内心 重合,是它的三边垂直平分线的交点. 22. (2011 四川省宜宾市,11,3 分)如图,PA、PB 是⊙O 的切线,A、B 为切点,AC 是 ⊙O 的直径,∠P= 40° ,则∠BAC= .

A

P B
(11 题图)

O C

考点:切线的性质;圆周角定理.

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分析:根据切线的性质可知∠PAC=90° ,由切线长定理得 PA=PB,∠P=40° ,求出∠PAB 的 度数,用∠PAC-∠PAB 得到∠BAC 的度数. 答案:解:∵PA 是⊙O 的切线,AC 是⊙O 的直径, ∴∠PAC=90° . ∵PA,PB 是⊙O 的切线, ∴PA=PB, ∵∠P=40° , ∴∠PAB= =70° ,

∴∠BAC=∠PAC-∠PAB=90° -70° =20° . 故答案是:20° . 点评:本题考查的是切线的性质,根据切线的性质和切线长定理进行计算求出角的度数. 23. (2011 湖南常德,7,3 分)如图,已知⊙O 是△ ABC 的外接圆,且∠C =70° ,则∠OAB =__________.

考点:圆周角定理。 专题:推理填空题。 分析:根据圆周角定理(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)填空. 解答:解:∵⊙O 是△ ABC 的外接圆, ∴∠C= ∠AOB(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半) ; 又∵∠C=70 度, ∴∠AOB=140° . ∴∠OAB=(180﹣140)÷ 2=20° . 故答案是:20° .

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【史上最全】2011 中考数学真题解析

点评:本题考查了圆周角定理.利用圆周角定理解答问题时,一定要注意是“同弧”或“等弧” 所对的圆周角与圆心角之间的数量关系.

24.(2011 吉林长春,11,3 分)如图,将三角板的直角顶点放在⊙O 的圆心上,两条直角 边分别交⊙O 于 A. B 两点, 点 P 在优弧 AB 上, 且与点 A. B 不重合, 连接 PA. PB. 则∠APB 的大小为 45 度.

考点:圆周角定理. 专题:计算题. 分析:∠AOB 与∠APB 为 ? ,利用圆周角定理 AB 所对的圆心角和圆周角,已知∠AOB=90° 求解. 解 答 : 解 : ∵∠AOB ∴∠APB= 与 ∠APB

AB 所 对 的 圆 心 角 和 圆 周 角 , 为 ?

1 1 ∠AOB= × 90° =45° .故答案为:45. 2 2

点评:本题考查了圆周角定理的运用.关键是确定同弧所对的圆心角和圆周角,利用圆周角 定理.

25.(2011 辽宁阜新,12,3 分)如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,AB、CD 的延长线 交于 E 点,若 AB=2DE,∠E=18° ,则∠AOC 的度数为 度.

考点:三角形的外角性质;等腰三角形的性质;圆的认识。

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【史上最全】2011 中考数学真题解析

分析:根据 AB=2DE 得 DE 等于圆的半径,在△ EDO 和△ CEO 中,根据三角形的一个 外角等于和它不相邻的两个内角的和求解. 解答: 解:连接 OD,∵AB=2DE, ∴OD=DE, ∴∠E=∠EOD, 在△ EDO 中,∠ODC=∠E+∠EOD=36° , ∵OC=OD, ∴∠OCD=∠ODC=36° , 在△ CEO 中,∠AOC=∠E+∠OCD=18° +36° =54° .

点评:本题主要利用三角形的外角性质求解. 26. 如图,⊙O 的两条弦 AB、CD 互相垂直,垂足为 E,且 AB=CD,已知 CE=1,ED=3, 则⊙O 的半径是 5 【考点】垂径定理;勾股定理;正方形的判定与性质;圆心角、弧、弦的关系. 【专题】几何图形问题. 【分析】过 O 作 OF⊥CD 于 F,OQ⊥AB 于 Q,连接 OD,由 AB=CD,推出 OQ=OF 根据 正方形的判定 u 推出正方形 OQEF, 求出 OF 的长, 在△ OFD 中根据勾股定理即可求出 OD.

【解答】解: 过 O 作 OF⊥CD 于 F,OQ⊥AB 于 Q,连接 OD, ∵AB=CD, ∴OQ=OF, ∵OF 过圆心 O,OF⊥CD, ∴CF=DF=2,

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【史上最全】2011 中考数学真题解析

∴EF=2-1=1, ∵OF⊥CD,OQ⊥AB,AB⊥CD, ∴∠OQE=∠AEF=∠OFE=90° , ∵OQ=OF, ∴四边形 OQEF 是正方形,∴OF=EF=1, 在△ OFD 中由勾股定理得:OD= DF 2 ? OF 2 ? 5 , 故答案为:

5.

【点评】本题主要考查对垂径定理,圆心角、弧、弦之间的关系,勾股定理,正方形的性质 和判定等知识点的理解和掌握,能根据性质求出 OF 和 DF 的长是解此题的关键. 27. (2011 福建龙岩,16,3 分)如图.⊙O 是△ ABC 的外接圆 AC 是⊙O 的直径,OD⊥BC 于点 D.OD=2.则 AB 的长是 .

考点:圆周角定理;三角形中位线定理。 分析:首先根据圆周角定理的推论证明∠ABC=90° ,再证明 OD 是△ ACB 的中位线,从 而得到 AB=2OD,即而得到答案. 解答:解:∵⊙O 是△ ABC 的外接圆 AC 是⊙O 的直径, ∴∠ABC=90° , ∵OD⊥BC,∴∠ODC=90° ,∴AB∥OD, ∵O 是 AC 中点,∴AB=2OD,∵OD=2,∴AB=4.故答案为 4. 点评:此题主要考查了圆周角定理的推论与三角形的中位线定理,做题的关键是证明 OD 是△ ABC 的中位线,得 AB=2OD. 28. (2011?玉林,18,3 分)如图,AB 是半圆 O 的直径,以 0A 为直径的半圆 O′与弦 AC 交于点 D,O′E∥AC,并交 OC 于点 E.则下列四个结论: ①点 D 为 AC 的中点;②S△ O′OE=

1 ︵ =2 ︵ ;④四边形 O′DEO 是菱形.其中 S△ AOC;③AC AD 2

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【史上最全】2011 中考数学真题解析

正确的结论是 ①③④ . (把所有正确的结论的序号都填上)

考点:圆周角定理;平行线的性质;菱形的判定;圆心角、弧、弦的关系。 分析:①根据等腰三角形的性质和角平分线的性质,利用等量代换求证∠CAD=∠ADO 即 可; ②不能证明 CE=OE; ③两三角形中,只有一个公共角的度数相等,其它两角不相等,所以不能证明 ③△ODE∽△ADO; ④根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,求出∠COD=45° ,再利用等腰三角 形的性质和三角形内角和定理求出∠CDE=45° , 再求证△ CED∽△COD,利用其对应变成比例即可得出结论. 解答:证明:①∵AB 是半圆直径, ∴AO=OD, ∴∠OAD=∠ADO, ∵AD 平分∠CAB 交弧 BC 于点 D, ∴∠CAD=∠DAO=

1 ∠CAB, 2

∴∠CAD=∠ADO, ∴AC∥OD, ∴①正确. ②∵△CED 与△ AED 不全等, ∴CE≠OE, ∴②错误. ③∵在△ ODE 和△ ADO 中,只有∠ADO=∠EDO,其它两角都不相等, ∴不能证明△ ODE 和△ ADO 全等, ∴③错误;

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【史上最全】2011 中考数学真题解析

④∵AD 平分∠CAB 交弧 BC 于点 D, ∴∠CAD=

1 × 45° =22.5° , 2

∴∠COD=45° , ∵AB 是半圆直径, ∴OC=OD, ∴∠OCD=∠ODC=67.5° ∵∠CAD=∠ADO=22.5° (已证) , ∴∠CDE=∠ODC﹣∠ADO=67.5° ﹣25° =45° , ∴△CED∽△COD, ∴

CD CE = , OD CD
2

∴CD =OD?CE=
2

1 AB?CE, 2

∴2CD =CE?AB. ∴④正确. 综上所述,只有①③④正确. 故答案为:①③④. 点评:此题主要考查相似三角形的判定与性质,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理,等腰 三角形的性质,三角形内角和定理等知识点的灵活运用,此题步骤繁琐,但相对而言,难易 程度适中,很适合学生的训练是一道典型的题目.

29. (2011 贵州毕节,20,5 分)如图,已知 PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B,点 C 在⊙O 上,∠BCA=65° ,则∠P= 。

考点:切线的性质;圆周角定理。专题:常规题型。

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【史上最全】2011 中考数学真题解析

分析:连接 OA,OB,利用圆周角定理得到∠AOB=130° ,然后在四边形 AOBP 中求出 ∠P 的度数. 解答:解:如图:连接 OA,OB,

∵∠BCA=65° , ∴∠AOB=130° , ∵PA, PB 是⊙O 的切线, ∴∠PAO=∠PBO=90° , ∴∠P=360° ﹣90° ﹣90° ﹣130° =50° .故答案是:50° . 点评:本题考查的是切线的性质,利用切线的性质和圆周角定理求出角的度数. 30. (2011 绥化,8,3)如图,A、B、C、D 处⊙O 上的四个点.AB=AC.AD 交 BC 于 点 E.AE=3,ED=4.则 AB 的长为___________.

考点:相似三角形的判定与性质;圆周角定理;相交弦定理. 专题:计算题. 分析:可证明△ ABE∽△ADB,则 即可求得 AB. 解答:解:∵AB=AC,∴∠ABE=∠ADB,∴△ABE∽△ADB,则 AB2=AD?AE,∵AE=3,ED=4,∴AB=

AB AE = ,则 AB2=AD?AE,由 AE=3,ED=4, AD AB AB AE = ,即 AD AB

AE(AE ? DE) = 7 ? 3 = 21 .

点评: 本题考查了相似三角形的判定和性质以及圆周角定理以及相交线定理, 是基础知 识要熟练掌握.

? 的长是__________. 31.(2011 云南保山 6, 3 分) 如图, ⊙O 的半径是 2, ∠ACB=30° , 则 AB (结
果保留 ? )

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【史上最全】2011 中考数学真题解析

考点:弧长的计算;圆周角定理。 分析:首先根据圆周角定理求得圆周角,根据弧长的计算公式即可求解. 解答:解:∵∠ACD=30 ∴∠AOB=60° 则? AB 的长是

60? ? 2 2 ? ?. 180 3

故答案是: ? . 点评:本题主要考查了圆周角定理与弧长的计算公式,正确记忆理解公式是解题的关键. 32. (2011 海南,18,3 分)如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,A 为切点,连接 BC 交⊙O 于点 D,若∠C=50° ,则∠AOD= ?

2 3

考点:切线的性质;圆周角定理。 专题:计算题。 分析:连接 AD,推出 AD⊥BD,∠DAC=∠B=90° -∠C=40° ,推出∠AOD=80° . 解答:解:连接 AD, ∵AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线, ∴AD⊥BD,AB⊥AC, ∵∠C=50° , ∴∠DAC=∠B=90° -∠C=40° , ∴∠AOD=80° .

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【史上最全】2011 中考数学真题解析

故答案为:80° .
B

O D 50° A C

点评:本题主要考查圆周角定理、切线的性质,解题的关键在于连接 AD,构建直角三角形, 求∠B 的度数.

33.(2011 黑龙江省哈尔滨,17,3 分)如图,BC 是⊙O 的弦,圆周角∠BAC=50° ,则∠OCB 的度数是 度.

考点:圆周角定理。 分析:根据圆周角定理可得∠COB=2∠BAC,再根据等边对等角可得∠OBC=∠OCB, 进而得到∠OCB=(180° ﹣∠COB)÷ 2,即可得到答案. 解答:解:∵∠BAC=50° , ∴∠COB=2∠BAC=50° × 2=100° , ∵OC=OB, ∴∠OBC=∠OCB, ∴∠OCB=(180° ﹣∠COB)÷ 2=(180° ﹣100° )÷ 2=40° . 故答案为:40° . 点评:此题主要考查了圆周角定理与等腰三角形的性质,关键是找准角之间的关系. 34. (2011 福建厦门, 13, 4 分) 如图, ⊙O 的直径 CD 垂直于弦 AB, 垂足为 E. 若 AB=6cm,

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则 AE=

cm.

考点:垂径定理;勾股定理。 分析:由⊙O 的直径 CD 垂直于弦 AB,AB=6cm,根据垂径定理,即可求得 AE 的长. 解答:解:∵⊙O 的直径 CD 垂直于弦 AB, ∴AE=

1 AB, 2

∵AB=6cm, ∴AE=3cm. 故答案为:3. 点评:此题考查了垂径定理的知识.此题比较简单,解题的关键是熟记垂径定理,注意数形 结合思想的应用. 35. (2011 浙江嘉兴, 16, 4 分) 如图, AB 是半圆直径, 半径 OC⊥AB 于点 O, AD 平分∠CAB 交 弧 BC 于 点 D , 连 接 CD . OD , 给 出 以 下 四 个 结 论 : ①AC∥OD ; ②CE=OE ; ③△ODE∽△ADO;④2CD2=CE?AB.其中正确结论的序号是 ①④ .

考点:相似三角形的判定与性质;三角形内角和定理;等腰三角形的判定;圆心角.弧.弦 的关系;圆周角定理. 专题:证明题. 分析: ①根据等腰三角形的性质和角平分线的性质, 利用等量代换求证∠CAD=∠ADO 即可; ②不能证明 CE=OE; ③两三角形中,只有一个公共角的度数相等,其它两角不相等,所以不能证明 ③△ODE∽△ADO;

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【史上最全】2011 中考数学真题解析

④根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,求出∠COD=45° ,再利用等腰三角 形的性质和三角形内角和定理求出∠CDE=45° , 再求证△ CED∽△COD,利用其对应变成比例即可得出结论. 解答:证明:①∵AB 是半圆直径, ∴AO=OD, ∴∠OAD=∠ADO, ∵AD 平分∠CAB 交弧 BC 于点 D, ∴∠CAD=∠DAO=

1 ∠CAB, 2

∴∠CAD=∠ADO, ∴AC∥OD, ∴①正确. ②∵△CED 与△ AED 不全等, ∴CE≠OE, ∴②错误. ③∵在△ ODE 和△ ADO 中,只有∠ADO=∠EDO,其它两角都不相等, ∴不能证明△ ODE 和△ ADO 全等, ∴③错误; ④∵AD 平分∠CAB 交弧 BC 于点 D, ∴∠CAD=

1 × 45° =22.5° , 2

∴∠COD=45° , ∵AB 是半圆直径, ∴OC=OD, ∴∠OCD=∠ODC=67.5° ∵∠CAD=∠ADO=22.5° (已证) , ∴∠CDE=∠ODC﹣∠ADO=67.5° ﹣25° =45° , ∴△CED∽△COD,

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【史上最全】2011 中考数学真题解析



CD CE = , OD CD
1 AB?CE, 2

∴CD2=OD?CE=

∴2CD2=CE?AB. ∴④正确. 综上所述,只有①④正确. 故答案为:①④. 点评:此题主要考查相似三角形的判定与性质,圆心角.弧.弦的关系,圆周角定理,等腰 三角形的性质,三角形内角和定理等知识点的灵活运用,此题步骤繁琐,但相对而言,难易 程度适中,很适合学生的训练是一道典型的题目. 36. (2011 甘肃兰州,16,4 分)如图,OB 是⊙O 的半径,点 C、D 在⊙O 上,∠DCB=27° , 则∠OBD= D 度.

O

B

C 考点:圆周角定理. 分析:根据圆周角定理可得∠DOB=2∠DCB,再根据等边对等角可得∠ODB=∠OBD, 进而得到∠OBD=(180° ﹣∠DOB)÷ 2,即可得到答案. 解答:解:∵∠DCB=27° , ∴∠DOB=2∠DCB=27° × 2=54° , ∵OD=OB, ∴∠ODB=∠OBD, ∴∠OBD=(180° ﹣∠DOB)÷ 2=(180° ﹣54° )÷ 2=63° . 故答案为:63° . 点评:此题主要考查了圆周角定理与等腰三角形的性质,关键是找准角之间的关系.

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37. (2011 丽江市中考, 6,3 分) 如图, ⊙O 的半径是 2, ∠ACD=30° , 则? AB 的长是 果保留 π) .

2 ? (结 3

考点:弧长的计算;圆周角定理。 分析:首先根据圆周角定理求得圆周角,根据弧长的计算公式即可求解. 解答:解:∵∠ACD=30 则? AB 的长是 ∴∠AOB=60° = π.

故答案是: π. 点评:本题主要考查了圆周角定理与弧长的计算公式,正确记忆理解公式是解题的关键. 38. (2011 杭州,14,4 分)如图,点 A,B,C,D 都在⊙O 上, CD 弧的度数等于 CA 是∠OCD 的平分线,则∠ABD+∠CAO= . ,

考点:圆周角定理;圆心角、弧、弦的关系. 专题:证明题. 分 析 : 在 等 腰 △ OAC 和 △ OCD 中 , 根 据 等 腰 三 角 形 的 两 个 底 角 相 等 的 性 质 求 得 ∠OCD=∠ODC、∠CAO=∠OCA,所以由三角形的内角和求得∠OCD=48° ;然后根据角平 分线的性质求得∴∠OCA=∠OCA=24° ; 最后由圆周角定理知: ∠ABD=

1 ∠AOD, ∠OCA= 2

1 ∠AOD.所以∠ABD=∠CAO,进而求得∠ABD+∠CAO=48° . 2

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【史上最全】2011 中考数学真题解析

解答:解:∵圆心角的度数和它们对的弧的度数相等, ∴CD 弧的度数等于 84° ,即∠COD=84° ; 在△ COD 中,OC=OD(⊙O 的半径), ∴∠OCD=∠ODC(等边对等角); 又∠COD+∠OCD+∠ODC=180° , ∴∠OCD=48° ; 而 CA 是∠OCD 的平分线, ∴∠OCA=∠OCA, ∴∠OCA=∠OCA=24° ; 在△ AOC 中,OA=OC(⊙O 的半径), ∴∠CAO=∠OCA(等边对等角); ∵∠ABD= ∠OCA=

1 ∠AOD(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半), 2

1 ∠AOD(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半), 2

∴∠ABD=∠CAO, ∴∠ABD+∠CAO=48° ; 故答案为:48° . 点评: 本题综合考查了圆周角定理和圆心角、 弧、 弦的关系. 解答此题的关键点是利用“圆 心角的度数和它们对的弧的度数相等”求得∠COD=84° . 39.如图,AB 是⊙O 的直径,点 C,D 都在⊙O 上,连接 CA,CB,DC,DB.已知∠D=30° , BC=3,则 AB 的长是 6. 【考点】圆周角定理;含 30 度角的直角三角形. 【专题】计算题.

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【史上最全】2011 中考数学真题解析

【分析】利用直径所对的圆周角是直角得到直角三角形,然后利用同弧所对的圆周角相等, 在解直角三角形即可. 【解答】解:∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90° , ∵∠D=30° ,∴∠A=∠D=30° , ∵BC=3,∴AB=6.故答案为:6. 【点评】本题考查了圆周角定理及直角三角形的性质.考查了同学们利用角平分线的性质、 圆周角定理、弦切角定理解决问题的能力,有利于培养同学们的发散思维能力. 40.(2011 广东湛江,16,4 分) 如图, A, B, C 是⊙O 上的三点, ∠BAC=30° , 则∠BOC=_______.

考点:圆周角定理. 分析:利用圆周角定理,同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,可得∠COB=2∠BAC,即
可得到答案.

解答:解:∵∠BAC=30° ,
∴∠COB=2∠BAC=30° × 2=60° . 故答案为:60.

点评:此题主要考查了圆周角定理,关键是找准同弧所对的圆周角和圆心角.

41.(2010 广东, 9, 4 分) 如图, AB 与⊙O 相切于点 B, AO 的延长线交⊙O 于点 C. 若∠A=40? , 则∠C=_____. B

C

O

A

题9图 考点:切线的性质;圆周角定理

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【史上最全】2011 中考数学真题解析

分析:连接 OB,AB 与⊙O 相切于点 B,得到∠OBA=90° ,根据三角形内角和得到∠AOB 的度数,然后用三角形外角的性质求出∠C 的度数. 解答:解:如图:连接 OB, ∵AB 与⊙O 相切于点 B, ∴∠OBA=90° , ∵∠A=40° , ∴∠AOB=50° , ∵OB=OC, ∴∠C=∠OBC, ∵∠AOB=∠C+∠OBC=2∠C, ∴∠C=25° . 故答案是:25° .

点评:本题考查的是切线的性质,根据求出的性质得到∠OBA 的度数,然后在三角形中求 出∠C 的度数. 42.(2011 湖北黄石,14,3 分)如图,△ ABC 内接于圆 O,若∠B=30° ,AC= 3 ,则⊙O 的 直径为____.

考点:圆周角定理;含 30 度角的直角三角形。 专题:计算题。 分析:连接 CO 并延长角圆 O 于点 D,连接 AD,构造直角三角形,利用解直角三角形的知

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【史上最全】2011 中考数学真题解析

识求直径即可. 解答:解:连接 CO 并延长角圆 O 于点 D,连接 AD,

∵CD 是直径,∴∠CAD=90° , ∵∠B=30° ,∴∠CDA=30° , ∵AC= 3 ,∴⊙O 的直径为 2 3 . 故答案为: 2 3 .

三、解答题

? ,∠COD=60° 1. (2011 福建省漳州市,23,10 分)如图,AB 是⊙O 的直径, ? . AD ? CD
(1)△ AOC 是等边三角形吗?请说明理由; (2)求证:OC∥BD.

考点:圆周角定理;平行线的判定;等边三角形的判定。 专题:证明题。 分析: (1)由等弧所对的圆心角相等推知∠1=∠COD=60° ;然后根据圆上的点到圆心的距 离都等于圆的半径知 OA=OC,从而证得△ AOC 是等边三角形; (2)证法一:利用同垂直于一条直线的两条直线互相平行来证明 OC∥BD; 证法二:通过证明同位角∠1=∠B,推知 OC∥BD. 解答:解: (1)△ AOC 是等边三角形 …(1 分)

? , 证明:∵ ? AD ? CD

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【史上最全】2011 中考数学真题解析

∴∠1=∠COD=60° ∵OA=OC(⊙O 的半径) , ∴△AOC 是等边三角形;

…(3 分)

…(5 分)

? , (2)证法一:∵ ? AD ? CD
∴OC⊥AD 又∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB=90° ,即 BD⊥AD …(9 分) ∴OC∥BD…(10 分) …(7 分)

? , 证法二:∵ ? AD ? CD
∴∠1=∠COD= 又∠B=

1 ∠AOD 2

…(7 分)

1 ∠AOD 2
…(9 分) …(10 分)

∴∠1=∠B ∴OC∥BD

点评:本题综合考查了圆周角定理、等边三角形的判定以及平行线的判定.在证明 △ AOC 是等边三角形时,利用了等边三角形的内角是 60° 的性质. 2.(2010 广东佛山,20,6 分)如图,已知 AB 是⊙O 的弦,半径 OA=20cm,∠AOB=120° , 求△ AOB 的面积.

考点垂径定理

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【史上最全】2011 中考数学真题解析

分析:由垂径定理可得∠AOC=

1 1 ∠AOB =60° ,AC=BC= AB,再解直角三角形即可求得 2 2

△ AOB 的高和 AB 的长,即可求得面积. 解答:解:过点 O 作 OC⊥AB 于 C,如下图所示:

∴∠AOC=

1 1 ∠AOB =60° ,AC=BC= AB 2 2

∴在 Rt△ AOC 中,∠A=30° ∴OC=

1 OA=10, 2

AC ? OA2 ? OC2 ? 202 ?102 ? 10 3 cm
∴AB=2AC= 20 3 cm ∴△AOB 的面积=

1 1 AB?AC ? ? 20 3 ?10 ? 100 3 (cm2). 2 2

点评:本题考查了垂径定理的运用.

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