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常用逻辑用语(教师用)


高中数学专题(常用逻辑用语)

戴氏英语学校郫县分校

李老师:

常用逻辑用语
一、知识梳理
1、四种命题的真假关系 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系: ⑴原命题为真,它的逆命题不一定为真; 例如,原命题“若 a=0,则 ab=0”是真命题,但它的逆命题“若 ab=0, 则 a=0”是假命题. ⑵原命题为真,它的否命题不一定为真; 则 ab 例如,原命题“若 a=0,则 ab=0”是真命题,但它的否命题“若 a 0, 0”是假命题. ⑶原命题为真,它的逆否命题一定为真. 例如,原命题“若 a=0,则 ab=0”是真命题,它的逆否命题“若 ab 0,则 a 0”是真命题. 结论:两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题,逆命题和否命题),其余情况则不 一定同真或同假(如原命题和逆命题,否命题和逆否命题等). 2、充分条件、必要条件 ①若 ,但 ,则 是 的充分但不必要条件;

②若

,但

,则



的必要但不充分条件;

③若

,且

,则



的充要条件;

④若

,且

,则



的充要条件;

⑤若

,且

,则



的既不充分也不必要条件.

3、简单的逻辑联接词 逻辑连结词“或”,“且”,“非”。 (1)构造复合命题的方式:简单命题+逻辑连结词(或、且、非)+简单命题。 (2)复合命题的真假判断: P 真 真 假 假 Q 真 假 真 假 非p 假 假 真 真 p或q 真 真 真 假 p且q 真 假 假 假

注意:“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念:前者只否定结论,后者结论与条件共同否定。 4、全称量词与存在量词 全称命题、特称命题(含有全称量词的命题叫全称命题,含有存在量词的命题叫特称命题) (1)关系:全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题。 (2)全称量词与存在量词的否定。

高中数学专题(常用逻辑用语)
关键词 都是 否定词 不都是 关键词 至 少 一 个

戴氏英语学校郫县分校
否定词 一 个 都 没有 关键词 至 多 一 个 否定词 至 少 两 个 属于

李老师:
关键词 否定词 不属于

(3)常用的正面叙述词语和它的否定词语的关系(如下表): 正面词语 否定词语 等于(=) 不等于( 大于(>) 小于(<) 有 是 不是 都是 不都是 全是 不全是

) 不大于( ) 不小于( ) 无

正面词语 否定词语

任意的 某个

任意两个 某两个

至少有一个 一个也没有

至多有一个 至少有两个

所有的 某些

至多有 个 至少有 个

或 且

二、典型误区
例 1 判断下列语句是否是命题? (1)2008 年 5 月 12 日在四川汶川县难道没有发生了里氏 8.0 特大级地震吗? 2 (2)对(x-1) ≤0,有 2x-1<0. 错解:(1)(2)都不是命题. 剖析: 上述解法错误的原因是没能准确理解命题的概念, 误认为只有判断语句(陈述句)才能表示命题. 事实上,只要是能够判断真假的语句都是命题. 正解:(1)是通过反诘问句对对“2008 年 5 月 12 日在四川汶川县发生了里氏 8.0 级特大级地震”作出 2 了判断,是一个真命题;(2)是命题,因为(x-1) ≤0,即 x=1 时,2x-1<0 不成立,所以例题为假命题. 特别提醒:判断语句是不是命题,关键在于能不能判断其真假,不要一概而论某种语句就是命题,某 种语句就不是命题.只有对命题概念有深刻理解和认识,才能作出正确的判断. 误区二:混淆逻辑联结“或”与日常生活中的“或” 例 2 若命题 p: 方程(x+2)(x-1)=0 的根是-2, 命题 q: 方程(x+2)(x-1)=0 的根是 1, 则命题 “方 程(x+2)(x-1)=0 的根是-2 或 1”是__________________(填“真”或“假”)命题. 错解:由条件易知命题 p 与命题 q 都是假命题,而命题“方程(x+2)(x-1)=0 的根是-2 或 1”为“p ∨q”,故就填假命题. 剖析:上述解答就是混淆了逻辑联结中的“或”与日常生活中的“或”.这是因为命题“方程(x+2)(x -1)=0 的根是-2 或 1”中的“或”不是逻辑联结词,有“和”的意思. 正解:所判断命题应为真命题. 特别提醒:正确区分数学中的“或”与日常用语中的“或”的不同点.日常用语中的“或”,带有两 者选择其一的意思.如:我暑假准备到海南或昆明旅游,意思是或去海南,或去昆明,绝没有两地都去的 意思,如果两地都去,应说成:我准备暑假到海南和昆明旅游.逻辑联结词“或”,用在数学命题的分解 与合成上,包含了三层:如 ab=0 包含了“a=0,b≠0;或 a≠0,b=0;或 a=0 且 b=0”. 误区三:忽视对关键词“且”、“或”的否定 2 2 例 5 写出命题“若(x-1) +(y-3) =0,则 x=1,且 y=3”的逆否命题. 2 2 错解:逆否命题:“若 x≠1,且 y≠3,则(x-1) +(y-3) ≠0”. 剖析:上述解法在对结论进行否定时不到位,忽视对关键词“且”的否定,“x=1,且 y=3”的否定 为“x≠1,或 y≠3”. 2 2 正解:逆否命题为:“若 x≠1,或 y≠3,则(x-1) +(y-3) ≠0”. 特别提醒:在对含有逻辑联结词“或”、“且”的命题进行否定时,一定要注意对它们的进行否定, “或”否定为“且”,“且”否定为“或”,即它们是互否的.

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李老师:

误区四:忽视对全称量词与特称量词的否定 2 例 10 已知命题 p:对所有的实数 m,方程 x +x-m=0 必有实数根,写出?p. 2 错解:?p:对所有的实数 m,方程 x +x-m=0 没有实数根. 剖析:仔细推敲,所给命题 p 与?p 同为假命题,故上述的陈述是错误的.事实上,对全称量词的否定 中用特称量词,对特称量词的否定是用全称量词. 2 正解:?p:存在实数 m,使方程 x +x-m=0 没有实数根. 特别提醒:由于 p 与非 p 是一对矛盾命题,两者真假性相反,因此在写命题 p 的?p 命题时,如果出 现命题 p 与?p 命题同真或同假,则一定错了,此时须检查所写的?p 命题是否对命题中的全称量词或特称 量词进行了否定, 误区五:忽视命题中的“隐性量词”的挖掘 例 10 写出命题 p:“菱形的对角线相等”的?p 形式. 错解:?p:菱形的对角线不相等 剖析:显然命题“p”与命题“非 p”同假,与原命题、命题的非之间的真假关系矛盾,故上述解法是 错误的.事实上,命题 p 省略了全称量词,命题 p 中“菱形”指的是“所有的菱形”,或“相等”指的是 “都”,因此可以先将省略的全称量词而全称量词“所有的”、“都”还原,再按照非命题的定义去陈述. 正解:原命题可表述为:“所有的菱形的对角线相等”,或“菱形的对角线都相等”,则 ?p:有些菱形的对角线不相等,或菱形的对角线不都相等. 特别提醒:对于含有隐性量词的命题,一般要将命题省略了的量词还原,然后再解答相关问题.

三、题型归纳
一、题型一:命题、真命题、假命题的判断 1.例 1:下列语句是命题的是( ) A.梯形是四边形 B.作直线 AB C.x 是整数 D.今天会下雪吗 解:A 2、例 2.下列说法正确的是( )

A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B.语句“最高气温 30 ℃时我就开空调”不是命题 C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D.语句“当 a>4 时,方程 x -4x+a=0 有实根”是假命题 解析:对于 A,改写成“若 p,则 q”的形式应为“若有两个角是直角,则这两个角相等”;B 所给语句是 命题; C 的反例可以是“用边长为 3 的等边三角形与底边为 3,腰为 2 的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来 说明.故选 D. 变式练习:下列命题是真命题的是( ) A.{?}是空集 B.是无限集 2 C.π 是有理数 D.x -5x=0 的根是自然数 解析:选 D. x2-5x=0 的根为 x1=0,x2=5,均为自然数. 二、题型二:复合命题的结构 例 3 将下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,并判断命题的真假: (1)6 是 12 和 18 的公约数; 2 (2)当 a>-1 时,方程 ax +2x-1=0 有两个不等实根; (3)已知 x、y 为非零自然数,当 y-x=2 时,y=4,x=2.
2

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李老师:

解析:(1)若一个数是 6,则它是 12 和 18 的公约数,是真命题. 2 (2)若 a>-1,则方程 ax +2x-1=0 有两个不等实根,是假命题. 1 因为当 a=0 时,方程变为 2x-1=0,此时只有一个实根 x=2. (3)已知 x、y 为非零自然数,若 y-x=2,则 y=4,x=2,是假命题. 变式练习:指出下列命题的条件 p 与结论 q,并判断命题的真假: (1)若整数 a 是偶数,则 a 能被 2 整除; (2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形; (3)相等的两个角的正切值相等. 解析:(1)条件 p:整数 a 是偶数,结论 q:a 能被 2 整除,真命题. (2)命题“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”, 即“若一个四边形的对角线相等且互相平分,则该四边形是矩形”. 条件 p:一个四边形的对角线相等且互相平分 结论 q:该四边形是矩形,真命题. (3)命题“相等的两个角的正切值相等”,即“若两个角相等,则这两个角的正切值相等”.条件 p:两个 角相等,结论 q:这两个角的正切值相等,假命题. 三、题型三:命题真假判断中求参数范围 2 2 例 4、已知 p:x +mx+1=0 有两个不等的负根,q:方程 4x +4(m-2)x+1=0(m∈R)无实根,求使 p 为 真命题且 q 也为真命题的 m 的取值范围. Δ =m2-4>0, 解析:若 p 为真,则 m>0, 解得 m>2. 若 q 为真,则Δ =16(m-2) -16<0,解得 1<m<3.
2

p 真,q 真,即1<m<3.故 m 的取值范围是(2,3).
变式练习:已知命题 p:lg(x -2x-2)≥0;命题 q:0<x<4,若命题 p 是真命题,命题 q 是假命题,求实 数 x 的取值范围. 解:命题 p 是真命题,则 x -2x-2≥1,∴x≥3 或 x≤-1, 命题 q 是假命题,则 x≤0 或 x≥4.∴x≥4 或 x≤-1. 四、题型四:四种命题的等价关系及真假判断 π 例 5.命题“若△ABC 有一内角为 3 ,则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) A.与原命题同为假命题 C.与原命题的逆否命题同为假命题 B.与原命题的否命题同为假命题 D.与原命题同为真命题
2 2

m>2,

π 解析: 原命题的逆命题为 “若△ABC 的三内角成等差数列, 则△ABC 有一内角为 3 ” , 它是真命题. 故 选 D. 例 6.命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是( ) A.若 f(x)是偶函数,则 f(-x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 C.若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 D.若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 答案: B

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2 2

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李老师:

例 7.若“x>y,则 x >y ”的逆否命题是( ) 2 2 2 2 A.若 x≤y,则 x ≤y B.若 x>y,则 x <y 2 2 2 2 C.若 x ≤y ,则 x≤y D.若 x<y,则 x <y 解析:选 C.由互为逆否命题的定义可知,把原命题的条件的否定作为结论,原命题的结论的否定作 为条件即可得逆否命题. 例 8..给出下列命题: ①命题“若 b -4ac<0,则方程 ax +bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题; ②命题“△ABC 中,AB=BC=CA,那么△ABC 为等边三角形”的逆命题; 3 3 ③命题“若 a>b>0,则a>b>0”的逆否命题; ④“若 m>1,则 mx -2(m+1)x+(m-3)>0 的解集为 R”的逆命题. 其中真命题的序号为________. 解析:①否命题:若 b -4ac≥0,则方程 ax +bx+c=0(a≠0)有实根,真命题; ②逆命题:若△ABC 为等边三角形,则 AB=BC=CA,真命题; 3 3 ③因为命题“若 a>b>0,则a>b>0”是真命题,故其逆否命题为真命题; ④逆命题:若 mx -2(m+1)x+(m-3)>0 的解集为 R,则 m>1,假命题. 所以应填①②③. 变式练习.若命题 p 的逆命题是 q,命题 q 的否命题是 r,则 p 是 r 的( ) A.逆命题 B.逆否命题 C.否命题 D.以上判断都不对 解析:选 B. 命题 p:若 x,则 y,其逆命题 q:若 y,则 x,那么命题 q 的否命题 r:若非 y,则非 x, 所以 p 是 r 的逆否命题.所以选 B. 五、题型五:问题的逆否证法 2 例 9.判断命题“若 m>0,则方程 x +2x-3m=0 有实数根”的逆否命题的真假. 2 解:∵m>0,∴12m>0,∴12m+4>0.∴方程 x +2x-3m=0 的判别式Δ =12m+4>0. 2 ∴原命题“若 m>0,则方程 x +2x-3m=0 有实数根”为真命题. 2 又因原命题与它的逆否命题等价,所以“若 m>0,则方程 x +2x-3m=0 有实数根”的逆否命题也为真命 题. 六、题型六:判断条件关系及求参数范围 π 例 10.“x=2kπ + 4 (k∈Z)”是“tan x=1”成立的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件
2 2 2 2 2 2

D.既不充分也不必要条件

π π 解析:当 x=2kπ + 4 时,tan x=1,而 tan x=1 得 x=kπ + 4 , π 所以“x=2kπ + 4 ”是“tan x=1”成立的充分不必要条件.故选 A. 例 11、设 A 是 B 的充分不必要条件,C 是 B 的必要不充分条件,D 是 C 的充要条件,则 D 是 A 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

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C.充要条件

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李老师:

D.既不充分又不必要条件

解析: 由题意得:
2

故 D 是 A 的必要不充分条件
2

例 12.已知条件 p:-1≤x≤10,q:x -4x+4-m ≤0(m>0)不变,若非 p 是非 q 的必要而不充分条件, 如何求实数 m 的取值范围? 解:p:-1≤x≤10. q:x2-4x+4-m2≤0 ?[x-(2-m)][x-(2+m)]≤0(m>0) ?2-m≤x≤2+m(m>0). 因为非 p 是非 q 的必要而不充分条件, 所以 p 是 q 的充分不必要条件, 即{x|-1≤x≤10}?{x|2-m≤x≤2+m}, 2-m≤-1 2-m<-1 故有 2+m>10 或2+m≥10,解得 m≥8. 所以实数 m 的范围为{m|m≥8}. 2 2 变式练习 1:已知条件:p:y=lg(x +2x-3)的定义域,条件 q:5x-6>x ,则 q 是 p 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 2 2 解析:选 A. p:x +2x-3>0,则 x>1 或 x<-3;q:5x-6>x ,即 x -5x+6<0, 由小集合?大集合,∴q?p,但 p

q.故选 A.

1 变式练习 2 已知 p:2≤x≤1,q:a≤x≤a+1,若 p 的必要不充分条件是 q,求实数 a 的取值范围. 解析:q 是 p 的必要不充分条件,则 p?q 但 qp. 1 1 1 ∵p:2≤x≤1,q:a≤x≤a+1.∴a+1≥1 且 a≤2,即 0≤a≤2. 1 ∴满足条件的 a 的取值范围为2. 七、充要条件的论证 4 2 例 13 求证:0≤a<5是不等式 ax -ax+1-a>0 对一切实数 x 都成立的充要条件. 4 2 2 证明:充分性:∵0<a<5,∴Δ =a -4a(1-a)=5a -4a=a(5a-4)<0, 则 ax -ax+1-a>0 对一切实数 x 都成立. 而当 a=0 时,不等式 ax -ax+1-a>0 可变成 1>0. 显然当 a=0 时,不等式 ax -ax+1-a>0 对一切实数 x 都成立. 必要性:∵ax -ax+1-a>0 对一切实数 x 都成立, a>0, 4 ∴a=0 或Δ =a2-4a(1-a<0.解得 0≤a<5. 4 2 故 0≤a<5是不等式 ax -ax+1-a>0 对一切实数 x 都成立的充要条件.
2 2 2 2

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李老师:

八、命题真假值的判断 例 14.如果命题“p∨q”与命题“非 p”都是真命题,那么( ) A.命题 p 不一定是假命题 B.命题 q 一定为真命题 C.命题 q 不一定是真命题 D.命题 p 与命题 q 的真假相同 解析:选 B.“p∨q”为真,则 p、q 至少有一个为真.非 p 为真,则 p 为假,∴q 是真命题. 变式练习:判断由下列命题构成的 p∨q,p∧q,非 p 形式的命题的真假: (1)p:负数的平方是正数,q:有理数是实数; (2)p:2≤3,q:3<2; (3)p:35 是 5 的倍数,q:41 是 7 的倍数. 解:(1)p 真,q 真,∴p∨q 为真命题,p∧q 为真命题,非 p 为假命题; (2)p 真,q 假,∴p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,非 p 为假命题; (3)p 真,q 假,∴p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,非 p 为假命题. 九、命题的否定与否命题 a b 例 15.命题“若 a<b,则 2 <2 ”的否命题为________,命题的否定为________. a b a b 解析:命题“若 a<b,则 2 <2 ”的否命题为“若 a≥b,则 2 ≥2 ”, a b 命题的否定为“若 a<b,则 2 ≥2 ”. 变式练习 1:“a≥5 且 b≥3”的否定是____________; “a≥5 或 b≤3”的否定是____________. 解:a<5 或 b<3 a<5 且 b>3 变式练习 2: (2010 年高考安徽卷) 命题“对任何 x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是________. 解:存在 x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤3 十、全称命题与特称命题相关小综合题 例 17.若命题 p:?x∈R,ax +4x+a≥-2x +1 是真命题,则实数 a 的取值范围是( )
2 2

A.a≤-3 或

a>2

B.a≥2

C.a>-2
2

D.-2<a<2
2

解析:依题意:ax +4x+a≥-2x +1 恒成立, 即(a+2)x +4x+a-1≥0 恒成立, a+2>0, a>-2, 所以有:16-4(a+2(a-1≤0?a2+a-6≥0?a≥2. 所以选 B 变式练习 1: 已知命题 p: ?x0∈R, tan x0=; 命题 q: ?x∈R, x -x+1>0, 则命题 “p 且 q” 是________ 命题.(填“真”或“假”) π 解析: 当 x0= 3 时,tan x0=,∴命题 p 为真命题;
2 2

x2-x+1=22+4>0 恒成立,∴命题 q 为真命题,∴“p 且 q”为真命题.
所以填:真 变式练习 2: 已知命题 p:?x∈R,使 tan x=1,命题 q:x -3x+2<0 的解集是{x|1<x<2},下列结 论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧?q”是假命题;③命题“?p∨q”是真命题;④命题“?p∨?q” 是假命题,其中正确的是( ) A.②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
2

1

3

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李老师:

π 解析: 当 x= 4 时,tan x=1,∴命题 p 为真命题. 由 x -3x+2<0 得 1<x<2,∴命题 q 为真命题. ∴p∧q 为真,p∧?q 为假,?p∨q 为真,?p∨?q 为假.所以选 D
2

十一、综合训练典型题 x2-x-6≤0, 2 2 例 18.设命题 p:实数 x 满足 x -4ax+3a <0,其中 a>0,命题 q:实数 x 满足 x2+2x-8>0. (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)非 p 是非 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 2 2 解:(1)由 x -4ax+3a <0 得 (x-3a)(x-a)<0. 又 a>0,所以 a<x<3a, 当 a=1 时,1<x<3, 即 p 为真命题时,实数 x 的取值范围是 1<x<3. x2-x-6≤0, -2≤x≤3, 由 x2+2x-8>0. 解得x<-4 或 x>2.即 2<x≤3. 所以 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x≤3. 1<x<3 若 p∧q 为真,则2<x≤3?2<x<3, 所以实数 x 的取值范围是(2,3). (2)非 p 是非 q 的充分不必要条件, 即非 p?非 p 且非 q 非 q.

设 A={x|x≤a 或 x≥3a},B={x|x≤2 或 x>3},则 A 所以 0<a≤2 且 3a>3,即 1<a≤2. 所以实数 a 的取值范围是(1,2].

B.

变式练习 2:已知命题 p:函数 y=x +2(a -a)x+a -2a 在[-2,+∞)上单调递增.q:关于 x 的不等 式 ax -ax+1>0 解集为 R.若 p∧q 假,p∨q 真,求实数 a 的取值范围. 解析: ∵函数 y=x +2(a -a)x+a -2a
2 2 2 2 2 4 3 2

2

2

4

3

=[x+(a -a)] -a ,在[-2,+∞)上单调递增,∴-(a -a)≤-2, 即 a -a-2≥0,解得 a≤-1 或 a≥2.即 p:a≤-1 或 a≥2 a≥ 0 2 由不等式 ax -ax+1>0 的解集为 R 得Δ <0, a≥0 即(-a2-4a<0解得 0≤a<4 ∴q:0≤a<4.
2

2

∵p∧q 假,p∨q 真.∴p 与 q 一真一假. ∴p 真 q 假或 p 假 q 真, a≤-1 或 a≥2 -1≤a<2, 即 a<0 或 a≥4 或 0≤a<4.

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∴a≤-1 或 a≥4 或 0≤a<2.

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李老师:

所以实数 a 的取值范围是(-∞,-1]∪[0,2)∪[4,+∞).

四、提高训练
例 1.判断下列语句是不是命题,若是,判断出其真假,若不是,说明理由。 (1)矩形难道不是平行四边形吗? (2)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗? (3)求证: (4) (5)人类在 2020 年登上火星. 解:(1)是命题,且是真命题。 (2)不是命题,这是疑问句,没有对垂直于同一条直线的两直线是否平行作出判断。 (3)不是命题,是祈使句。 (4)是开语句,不是命题。 (5)是命题。但目前无法判断真假。 例 2.写出“若 或 ,则 ”的逆命题、否命题、逆否命题及 ,方程 无实根.

命题的否定,并判其真假。 解:逆命题:若 否命题:若 逆否命题:若 命题的否定:若 或 且 ,则 ,则 ,则 且 ,则 或 ,是真命题; ,是真命题; ,是真命题。 ,是假命题。 中,直线 与抛物线 =3”是真命题; 相交于 A、B 两点.

例 3.(06 年上海卷)在平面直角坐标系

(1)求证:“如果直线 过点 T(3,0),那么

(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由. 解:(1)证法一:设过点 T(3,0)的直线 交抛物线 y2=2x 于点 A(x1,y1)、B(x2,y2). ①当直线 的钭率不存在时,直线 的方程为 x=3,此时,直线 与抛物线相交于点 A(3, ∴ =3; ②当直线 的钭率存在时,设直线 的方程为 ,其中 , )、 B(3,- ).

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李老师:





又 ∵

,∴ =3”是真命题。

综上所述,命题“如果直线 过点 T(3,0),那么

证法二:设直线 :

代入抛物线 y2=2x 消去 ,得

.





,则





从而

= ,

“如果直线 过点 T(3,0),那么

=3”是真命题。 =3,那么该直线过点 T(3,0).该命题是

(2)逆命题是:设直线 交抛物线 y2=2x 于 A、B 两点,如果 假命题.

例如:取抛物线上的点 A(2,2),B( 在直线 AB 上. 对于(2)的证明如下: 证明:设直线 : 则 ,

,1),此时

=3,直线 AB 的方程为:

,而 T(3,0)不

代入抛物线 y2=2x 消去 , 得 ,

., 设





= ,令 ( ),故原命题为假命题。 得 或 .此时直线 过点( )或

例 4.已知

,求证:





三式中至少有一个不大于

.

证明:(用反证法)若





三式中都大于

.则有

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戴氏英语学校郫县分校

李老师:

(*)







,三式相加得

,此与(*)式矛盾,故假设错误,从而原命题成立。 例 5.求关于 的方程 解法一:设方程的两个根为 ,则 的两个实根都大于 1 的充要条件。

解得 解法二:记

,故所求的充要条件是

. ,故所求的充要条件是:

[解]得 例 6.已知数列{ 都成等差数列,且 等”. } 、{ }、{ },其中{ } 、{

,故所求的充要条件是

。 、 、

}是等比数列.对于任意正整数 , } 与{

.试证明:“数列{

}成等比数列”的充要条件是“数列{

}公比相

证明:充分性 设数列{

} 与{

}的公比都是 , 则



, 而

,又 必要性 若数列{

,故{

}是公比为 的等比数列.充分性得证. } ,{ },{ }的公比分别为 ,

}是等比数列,设数列{

则 将(2)的两边平方得

,由

得: (5)

(4)

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比较(4)(5)两式得 例 7. 设命题 实数 的取值范围. ,故 ;命题

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,即数列{ } 与{

李老师:
}公比相等.必要性得证.

,若



的必要不充分条件,求

解 : 设 .由 是

, 的必要不充分条件,从而 是

, 易 知 的充分不必要条件,即

, ,

,故所求实数 的取值范围是 例 8. 已知集合 (1)求实数 的取值范围,使它成为 (2)求实数 的一个值,使它成为 (3)求实数 的取值范围,使它成为 解 : ( 1)由 ; ( 2 )求实数 的一个值,使它成为 中 取 一 个 值 , 如 取 未必有 (3) 求实数 的取值范围, 使它成为 故 是它的一个真子集。如果 时,必有 ,故 ,故 的一个充分但不必要条件,就是在集合 , 此 时 必 有 是所求的一个充分而不必要条件; 的一个必要但不充分条件就是另求一个集合, 时,未必有 是所求的一个必要而不充分条件. :“第一次射击中靶”, ,但是 ; 反 之 , ,得 ,因此 , . 的充要条件; 的一个充分但不必要条件; 的一个必要但不充分条件. 的充要条件是

例 9.在一次模拟射击游戏中,小李连续射击了两次,设命题 命题 :“第二次射击中靶”,试用 (1)两次射击均中靶; (2)两次射击均未中靶; (3)两次射击恰好有一次中靶; ,

及逻辑连结词“或”“且”“非”表示下列命题:

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(4)两次射击至少有一次中靶.

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李老师:

解:(1)因为“两次射击均中靶”的意思是“第一次中靶”,“第二次中靶”同时发生了,所以需用 逻辑联结词“且”,应为:“ 且 ”; 发生了,且“第

(2)“两次射击均未中靶”说明“第一次射击中靶”这件事情没有发生,也就是 二次射击中靶”这件事情也没有发生,也就是 词联结应为:“ 且 ”; 发生了,并且是 与

同时发生的,故用逻辑联结

(3)“两次射击恰好有一次中靶”有可能是“第一次中靶而第二次未中”,即“ 可能是 “第一次未中,而第二次射中” 即“ 或 且 ”; 且



”;也有 且 ,

”;从而原命题用逻辑联结词联结应为: “

(4)“两次射击至少有一次中靶”即“第一次射中”或“第二次射中”应为“ 例 10.(05 年西安市模拟)指出下列命题的真假 (1)命题“不等式 没有实数解”;



”。

(2)命题“-1 是偶数或奇数”; (3)命题“ (4)命题“ 解: (1)此命题为“非 等式的一个解,所以 属于集合 ” ”的形式,其中 :“不等式 有实数解”,因为 是该不 ,也属于集合 ”;

是真命题,即非 或 或 且

是假命题,所以原命题是真命题。 :“-1 是偶数”, :“-1 是奇数”,因为 为假

(2)此命题是“ 命题, 为真命题,所以 (3)此命题是“ 为

”的形式,其中

是真命题,故原命题是真命题。 ”的形式,其中 且 :“ 属于集合 ”, :“ 属于集合 ”,因

为假命题, 为真命题,所以 (4)此命题是“非

是假命题,故原命题是假命题。 :“ ”,因为 为真命题,所以“非 ”为

” 的形式,其中

假命题,故原命题是假命题。

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:方程 在

李老师:
上有解;命题 :只有

例 11.(2007 年华师附中)已知命题 一个实数 满足不等式

若命题

是假命题,求 的取值范围.

解:由

,得

,显然





,故 又“只有一个实数满足 , 命题“





, ”即抛物线 与 或 轴只有一个交点,





命题“



”为真命题时,

或 ”是假命题, 或 .

的取值范围为

例 12.写出下列命题的否定,并判断真假 (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)每一个素数都是奇数; (3)有些实数的绝对值是正数; (4)某此平行四边形是菱形。 解:(1)存在一个矩形不是平行四边形;假命题; (2)存在一个素数不是奇数;真命题; (3)所有的实数的绝对值都不是正数;假命题; (4)每一个平行四边形都不是菱形,假命题。 例 13.判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假。 (1)对数函数都是单调函数; (2)至少有一个整数,它既能被 2 整除,又能被 5 整除; (3) (4) 是无理数 , x 是无理数; .
2

解:(1)本题隐含了全称量词“任意的”,其实原命题应为:“任意的对数函数都是单调函数”, 是全称命题,且为真命题; (2)命题中含有特称量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题; (3)命题中含有全称量词“ (4)命题中含有特称量词“ 例 14.若 : 的取值范围。 ”,是全称命题,假命题,例如: ”,是特称命题,真命题。 , ,如果对于 , 为假命题且 但 是有理数;

为真命题,求实数

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李老师:

解:由于 ,不等式 又对于 ,即 故对于 , , 恒不成立,则 为真命题,即对于 ; 为假命题且

,所以如果对于 ; ,不等式



为假命题,即对

恒成立,所以

为真命题,应有

.


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