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湖北省部分重点高中2014届高三11月联考数学(理)试题 Word版含答案


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湖北省部分重点高中 2014 届高三十一月联考 数学(理)试题
时间:2013 年 11 月 15 日 下午:15:00-17:00 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.

? x2 y2 ? ? x y ? ? ? 1? , N ? ? y ? ? 1? ,则 M ? N ? 1. 已知集合 M ? ? x 4 ? 3 2 ? ? 9 ? A、 ? B、 ?(3,0), (2,0)? C、 [?3,3]
2. 复数 A.
i ( i 为虚数单位)的虚部是 2i ? 1
3

( D、 ?3,2? (





1 i 5

B.

1 5
m ? 4 m ?3
2

C. ? i

1 5

D. ?

1 5
( )

3. 下列命题中是假命题 的是 ... A. ?m ? R, 使f ( x) ? (m ? 1) ? x
2

是幂函数, 且在(0,??) 上递减

B. ?a ? 0,函数f ( x) ? ln x ? ln x ? a有零点

? ? ? ) ? cos? ? sin ? ; C. ?? , ? ? R, 使 cos(
D. ?? ? R,函数f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 都不是偶函数 4. 若曲线 f (x) ? a cos x 与曲线 g ( x) ? x ? bx ? 1 在交点 (0, m) 处有公切线, a ? b ?
2



) )

A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 2S5 ? 13a4 ? 5a8 ? 10 ,则下列数中恒为常数的是 ( A. a8 B. S 9 C. a17 D. S17

6. 函数 y ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的部分图象如右图所示,设 P 是图象的最高点, A, B 是图象与 x 轴的 交点,记 ?APB ? ? ,则 sin 2? 的值是( ) y P 16 63 A. B. 65 65 x 16 16 C. ? D. ? B O A 63 65 7. 某几何体的三视图如图所示,当 xy 最大时,该几何体的体积为( )

5

x

y

7
正视图 侧视图 俯视图

A. 2 7

B. 3 7
第 1 页

C. 4 7

D. 6 7

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8、八个一样的小球按顺序排成一排,涂上红、白两种颜色,5 个涂红色,三个涂白色,求恰好三 个连续的小球涂红色,则涂法共有 ( ) A.24 种 B.30 种 C.20 种 D.36 种 9 、 如 图 , 偶 函 数 f ( x) 的 图 像形 如 字 母 M , 奇 函 数 g ( x) 的 图 像 形 如 字 母 N , 若方程 : f ( f ( x)) ? 0, f ( g ( x)) ? 0, g ( g ( x)) ? 0, g ( f ( x)) ? 0 的 实 根 个 数 分 别 为 a 、 b 、 c 、 d , 则

a?b?c?d =
A. 27 B. 30 C.33 y y 1 -2 -1 O -1 -2 1 -1 2 x O 1 x 2 D. 36





10 、 定 义 [ x] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 记 ?x? ? x ? [ x] , 其 中 对 于 0 ? x ? 316 时 , 函 数

f ( x) ? sin 2 [ x] ? sin 2 {x} ? 1 和函数 g ( x) ? [ x] ? ?x??
A. m ? 101, n ? 314 C. m ? 100, n ? 313

x ? 1 的零点个数分别为 m, n. 则( 3 B. m ? 101, n ? 313 D. m ? 100, n ? 314



二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填在答题卡对应题号 的位置上. 答错位置,书写不清,模 ....... 棱两可均不得分. (一)必考题(11—14 题) 11、若框图(右图)所给的程序运行结果为 S ? 90 ,那么判断框中应填入 的关于 k 的条件是___________. 12、已知 ? ? ? x, y ? x ? 1, y ? 1 ,A 是曲线 y ? x 与 y ? x 围成的区域,
2

?

?

1 2

若向区域 ? 上随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为 13 、 已 知 各 项 全 不 为 零 的 数 列 ? an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 且 S n = 第 11 题

1 an an ?1 (n ? N ? ),其中 a1 =1.则 an ? 3
14、正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 2 , MN 是它的内切球的一条弦(把球面上任意两点之间
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???? ? ???? 的连线段称为球的弦) , P 为正方体表面上的动点,当弦 MN 最长时, PM ?PN 的取值范围
是 .

选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答) 15、 (选修 4-1:几何证明选讲) AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上, CD ? AB ,垂足为 D , 且 AD ? 5DB ,设 ?COD ? ? ,则 tan ? 的值为 . 16 、 ( 选 修 4-4 : 坐 标 系 与 参 数 方 程 ) 已 知 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 直 线 l 的 参 数 方 程 为

? x ? t ? 3, . 以直角坐标系 xOy 中的原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴, 圆 C 的极 (t为 参 数 ) ? ? y ? 3t ,
坐标方程为 ? ? 4 ? cos? ? 3 ? 0 ,则圆心 C 到直线 l 距离为
2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、已知 m ? (sin A, ) 与 n ? (3,sin A ?

??

1 2

?

(1)求角 A 3 cos A) 共线,其中 A 是△ABC 的内角.

的大小; (2)若 BC=2,求△ABC 面积 S 的最大值,并判断 S 取得最大值时△ABC 的形状.

18、 PM 2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它对空气质 量和能见度等有重要的影响。我国从 PM 2.5 的含量对空气质量评定的标准如表 1 所示.某市环保 部门从 2013 年全年每天的 PM 2.5 监测数据中随机抽取 15 天的数据作为样本,监测值如茎叶图 如图所示。 (Ⅰ) 从这 15 天的数据中任取 3 天的数据,记表示其中空气质量达到一级的天数 ? ,求 ? 的 分布列和数学期望; (Ⅱ) 以这 15 天的 PM 2.5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 360 天计算)中大 约有多少天的空气质量达到一级. 我国空气质量表

PM 2.5 均值(微克/立方米)
2 3 4 6 7 8 9 5 1 4 8 7 3 2 8 7 3 4 5 3 9 6 图

PM 2.5 均值范围
(微克/立方米)

空气质量级别 Ⅰ Ⅱ 超标

?1,35? ? 35, 75?
大于 75 表1

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19、 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 侧面 PCD⊥底面 ABCD, PD⊥CD,E 为 PC 中点, 底面 ABCD 是直角梯形, AB∥CD,∠ADC=90° , AB=AD=PD=1,CD=2. (Ⅰ)求证:BE∥平面 PAD;(Ⅱ)求证:BC⊥平面 PBD ??? ? ??? ? (Ⅲ)设 Q 为侧棱 PC 上一点, PQ ? ? PC ,试确定 λ 的值, 使得二面角 Q—BD—P 的大小为 45°

an ?1 ?
20、数列 通项公式

?an ? 满足 a1 ? 2 ,
bn
cn ?
; (2)设

2n ?1 an 2n 1 n b ? (n ? )an ? 2 n ? N ? ).(1)设 n an ,求数列 ?bn ? 的 2 (

1 n(n ? 1)an ?1 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 S n ,求 S n .

4 x2 ,直线 l: y ? kx ? m 与椭圆 C: ? y 2 ? 1 相交于 P、Q 两点,O 9 2 为原点. (Ⅰ)若直线 l 过椭圆 C 的左焦点,且与圆 O 交于 A、B 两点,且 ?AOB ? 60 ? ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)如图,若 ?POQ 重心恰好在圆上,求 m 的取值范围.

21、已知圆 O: x 2 ? y 2 ?

y P

Q

O

x

22、已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? mx ,当 x ? 0 时,函数 f ( x) 取得极大值. (第 21 题) (1)求实数 m 的值; (2)已知结论:若函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? mx 在区间 (a, b) 内导数都存在,且 a ? ?1 ,则存 在 x0 ? (a, b) , 使 得 f ?( x0 ) ?

f ( b )? f ( a ) . 试 用 这 个 结 论 证 明 : 若 ?1 ? x1 ? x2 , 函 数 b?a
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g ( x) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x ? x1 ) ? f ( x1 ) ,则对任意 x ? ( x1 , x2 ) ,都有 f ( x) ? g ( x) ; x1 ? x2 (3)已知正数 ?1 , ?2 , ?3 ,?, ?n , 满足 ?1 ? ?2 ? ?3 ? ? ? ?n ? 1, 求证:当 n ? 2 ,n ? N 时,

对任意大于 ?1 ,且互不相等的实数 x1 , x2 , x3 ,?, xn ,都有

f ??1 x1 ? ?2 x2 ? ? ? ?n xn ? ? ?1 f ?x1 ? ? ?2 f ?x2 ? ? ? ? ?n f ?xn ?

2014 届高三十一月联考数学(理科)试题参考答案
CBDCD
11.

AAABB
k<9? 或者 k<=8? 12. 1/12 13.

14 .

15.

16.

17.解:(1)因为 m//n,所以
所以 即 因为 . , 所以 . , 而 ,即 …………………4 分 . 故

. ,



.……6 分

(2)由余弦定理,得 又

…………………8 分 ,(当且仅当 时等号成立) …………10 分

所以 当△ABC 的面积取最大值时, .又

.

………………………11 分 ,故此时△ABC 为等边三角形.…12 分

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18.解:(1)依据条件, 的可能值为



(1 分)



时,

,(2 分)



时,

( 3 分)



时,

,(4 分)



时,

(5 分)

所以其分布列为:

1

(6 分) 数学期望为:

(7 分)

(Ⅱ)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级的概率为

, (9 分)

一年中空气质量达到一级的天数为 ,则



∴ 所以一年中平均有 19.(Ⅰ)取 的中点

(天) 天的空气质量达到一级. ,连结 ,因为 为 中点,所以
(12 分)

,且

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,在梯形 为平行四边形,所以

中, ,又因为 .

, 平面 (3 分)

,所以 ,

, 平面

,四边形 ,所以 平面

(Ⅱ)平面 如图,以

底面



,所以 .则 .

平面

,所以 , ,

. ,

为原点建立空间直角坐标系 .

所以 分) ,

.又由

平面

,可得

,所以

平面

.(8

,所以



设平面

的法向量为

,由



,得

,所以

,所以 注意到 ,得 ( 12 分)



20. 解:(Ⅰ)由已知可得
第 7 页

,即



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(2 分)



累加得





(6 分)

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知

,∴





(12 分)

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22.解:(Ⅰ) 当 当 函数 时, 时, 在

. 由 ,函数 ,函数 处取得极大值,故

,得 在区间 在区间

,此时 上单调递增; 上单调递减.

.

.…………………………3 分

(Ⅱ)令
第 9 页

,………4 分

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.

函数



上可导, 存在

,使得

.

又 当 当 时, 时, , , 单调递增, 单调递减, ; ;

故对任意 ,都有 (Ⅲ)用数学归纳法证明. ①当 时, , ,且 由(Ⅱ)得

.…………………………8 分 , , ,即

, 当 ②假设当 时,结论成立.…………………………9 分 时结论成立,即当 时, . 当 满足 令 时,设正数 ,



,且

.

…………13 分 当 时,结论也成立. , ,结论恒成立. ……………………14 分 综上由①②,对任意

第 10 页


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