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数列通项公式的十种求法


数列通项公式的十种求法

一、公式法 例 1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? ( n ? )2 。
n

3 2

1 2

二、累加法 例 2 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 。 例 3 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 所以 an ? 3n ? n ?1. 例4 已 知 数 列 {an } 满 足 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 , 求 数 列 {an } 的 通 项 公 式 。

2 1 1 an ? ? n ? 3n ? ? 3n ? . 3 2 2
三、累乘法 例 5 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2n?1 ? 5
n ( n ?1) 2

? n!.

例 6 (2004 年全国 I 第 15 题,原题是填空题)已知数列 {an } 满足

a1 ? 1 ,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通项公式。
所以, {an } 的通项公式为 an ? 四、待定系数法 例 7 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

n! . 2

an ? 2n?1 ? 5n 。
例 8 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。

an ? 13? 3n?1 ? 5 ? 2n ? 2 。
例 9 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。

an ? 2n?4 ? 3n2 ?10n ?18 。
五、对数变换法
5 例 10 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2 ? 3n ? an , a1 ? 7 ,求数列 {an } 的通项公式。

an ? 7

5n?1

?3

5n?4 n?1 16

?2

5n?1 ?1 4



六、迭代法
3( n ?1)2 例 11 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ,a1 ? 5 ,求数列 {an } 的通项公式。
n ( n?1) 2

n

an ? 5

3n?1 ?n!?2



七、数学归纳法 例 12 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? , 求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

八、换元法 例 13 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 , 求数列 {an } 的通项公式。 16

an ?

2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3

九、不动点法 例 14 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

21an ? 24 ,a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1

,则 an ?

1 13 2( )n?1 ? 1 9

? 3。

例 15 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

7an ? 2 ,a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 2an ? 3

an ?

2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3

九、不动点法 例 14 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

21an ? 24 ,a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1

an ?

1 13 2( )n?1 ? 1 9

? 3。

例 15 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

7an ? 2 ,a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 2an ? 3


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