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空间向量及其线性运算课件


高中数学人教B版选修 高中数学人教 版选修2-1 版选修

昌图县第二高级中学

黄明友

复习回顾: 1.平面向量的相关概念:
①向量的定义; 向量的定义; ②向量的表示方法; 向量的表示方法; ③零向量; 零向量; ④相等向量; 相等向量; ⑤共线向量; 共线向量; ⑥向量的模; 向量的模; ⑦相反向量。 相反向量。

复习回顾: 1.平面向量的相关概念:
①向量的定义:具有大小和方向的量 向量的定义: 向量的表示方法: ②向量的表示方法: 几何表示法: ⅰ.几何表示法:有向线段 几何表示法 字母表示法: 终点B的向量 ⅱ.字母表示法:始点 终点 的向量 AB 或者表示为 字母表示法 始点A终点 。 a 零向量: ③零向量:始点与终点重合的向量 。 向量的模:表示向量的有向线段的长度。 ④向量的模:表示向量的有向线段的长度。 相等向量:模相等、方向相同的向量。 ⑤相等向量:模相等、方向相同的向量。 相反向量:模相等、方向相反的向量。 ⑥相反向量:模相等、方向相反的向量。 共线向量:基线平行或重合的向量,也叫平行向量。 ⑦共线向量:基线平行或重合的向量,也叫平行向量。

2、平面向量的加法、减法与数乘运算

b
向量加法的三角形法则

b
向量加法的平行四边形法则

a

a

a b a
向量减法的三角形法则

ka ka
向量的数乘

(k>0) (k<0)

3、平面向量的加法、减法与数乘向量运算律
加法交换律: 加法交换律:

a+b=b+a

加法结合律: 加法结合律: ( a

+ b) + c = a + (b + c )
+ b) = k a+k b

数乘分配律: 数乘分配律:k ( a

(λ + ? )a = λ a + ? a

知识讲解: 1.空间向量的相关概念:
①向量的定义:具有大小和方向的量 向量的定义: 向量的表示方法: ②向量的表示方法: 几何表示法: ⅰ.几何表示法:有向线段 几何表示法 字母表示法: 终点B的向量 ⅱ.字母表示法:始点 终点 的向量 AB 或者表示为 字母表示法 始点A终点 。 a 零向量: ③零向量:始点与终点重合的向量 。 向量的模:表示向量的有向线段的长度。 ④向量的模:表示向量的有向线段的长度。 相等向量:模相等、方向相同的向量。 ⑤相等向量:模相等、方向相同的向量。 相反向量:模相等、方向相反的向量。 ⑥相反向量:模相等、方向相反的向量。 共线向量:基线平行或重合的向量,也叫平行向量。 ⑦共线向量:基线平行或重合的向量,也叫平行向量。

思考:空间任意两个向量是否可能异面? 思考:空间任意两个向量是否可能异面?

B

b

O

A

a

结论: 结论:
1.空间任意两个向量都是共面向量, 1.空间任意两个向量都是共面向量,所 空间任意两个向量都是共面向量 以它们可用同一平面内的两条有向线 段表示。 段表示。 凡是涉及空间任意两个向量的问题, 2. 凡是涉及空间任意两个向量的问题, 平面向量中有关结论仍适用于它们。 平面向量中有关结论仍适用于它们。

C

a b
O

+
A

b

B

空间向量的加减法

a
ka ka

OB = OA + AB CA = OA ? OC
(k>0) (k<0)
空间向量的数乘

2.空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律
加法交换律 a + b = b + a 加法结合律 ( a + b ) + c = a + (b + c ) 数乘分配律

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a +成立吗? b=b+a 加法结合律 数乘分配律

k ( a + b) = k a+k b (λ + ? )a = λ a + ? a

k ( a + b) = k a+k b

(λ + ? )a = λ a + ? a

加法结合律: (a + b) + c
O

= a + (b + c)
O

a
C
A

a b
A

+

c
C

b

B

c

b

B

c

推广:

(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量;

A1 A2 + A2 A3 + A3 A4 + L + An ?1 An = A1 An

(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形,则它们的和为零向量。

A1 A2 + A2 A3 + A3 A4 + L + An A1 = 0

已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 例 1 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)

(1) AB + AD + AA1 ; ( 2 ) DD 1 ? AB + BC ;
A1

D1 B1

C1

1 ( 3) AB + AD + ( DD 1 ? BC ). 2
D A B

C

D1 A1 B1

C1

a
D A C B D B C

A

平行六面体:平行四边形ABCD ABCD平移向量 a ABCD 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. A 记做ABCD-A1B1C1D1 ABCDABCD

已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 例 1 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB + AD + AA1 ; ( 2 ) DD 1 ? AB + BC ;
A1 1 ( 3) AB + AD + ( DD 1 ? BC ). 2 解:1) AB + AD + AA1 ( D1 B1 C1

= AC + AA1 = AC + CC 1 = AC 1
A

D B

C

结论:始点相同的三个不共面向量之和,等于以这 三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的 对角线所示向量

已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 例 1 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB + AD + AA1 ; ( 2 ) DD 1 ? AB + BC ;
A1 1 ( 3) AB + AD + ( DD 1 ? BC ). 2 解:2 ) DD 1 ? AB + BC ( D1 B1 C1

= DD 1 ? ( AB ? AD ) = DD 1 ? DB = BD 1
A

D B

C

已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 例 1 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB + AD + AA1 ; ( 2 ) DD 1 ? AB + BC ;
A1 1 ( 3) AB + AD + ( DD 1 ? BC ). 2 1 解:3) AB + AD + ( DD 1 ? BC ) ( 2 1 D = AC + ( CC 1 + CB ) 2 1 A = AC + CB 1 2 D1 B1 C1

M
C B

= AC + CM = AM

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB的中点, 练习 1 化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量。
(1) CB + BA1; 1 ( 2) AC + CB + AA1; 2 (3) AA1 ? AC ? CB.

A1 C1 M

B1

解:1) CB + BA1 = CA1 ( A 1 ( 2) AC + CB + AA1 = AM 2 (3) AA1 ? AC ? CB = BA1

B C

如图,M、N分别是四面体ABCD的棱AB、 例 2 1 CD的中点,求证: = (AD + BC MN ) 2
证明: MN = MA + AD + DN MN = MB + BC + CN (1) ( 2)
M D N C A

由已知,得 MB = ? MA, DN = ?CN. (1) + ( 2)得2 MN = AD + BC. B 1 因此 MN = (AD + BC) 2

练习2

如图,M、N分别是四面体ABCD的棱AB、 CD的中点,求证: = AC + AD + BC + BD 4MN
A

M D B C N

例 3

已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,求满足 ABCDABCD 下列各式的x的值。
D1 A1 B1 C1

(1) AB1 + A1 D1 + C1C = x AC
( 2) 2 AD1 ? BD1 = x AC 1 (3) AC + AB1 + AD1 = x AC 1
A

D B

C

例 3

已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,求满足 ABCDABCD 下列各式的x的值。
D1 B1 C1

(1) AB1 + A1 D1 + C1C = x AC

解(1) AB1 + A1 D1 + C1C
= AB1 + B1C1 + C1C

A1

D A B

C

= AC ∴ x = 1.

已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, ABCDABCD 例 3 求满足下列各的x的值。

( 2) 2 AD1 ? BD1 = x AC1
( 2 ) 2 AD 1 ? BD 1
= AD1 + AD1 ? BD1
= AD1 + ( BC1 ? BD1 ) = AD1 + D1C1 = AC1
A1 D1 B1 C1

∴ x = 1.
A

D B

C

例 3

已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,求满足 ABCDABCD 下列各式的x的值。

(3) AC + AB1 + AD1 = x AC 1

(3) AC + AB1 + AD1
= ( AD + AB) + ( AA1 + AB) + ( AA1 + AD)
= 2( AD + AB + AA1 ) = 2AC1
A1 D1 B1 C1

∴ x = 2.
A

D B

C

在立方体AC 是面AC 的中心,求下列各式中的x,y. 练习3 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y. A E B C

D

(1)AC = x(AB+ BC+ CC )
' ' '

(2)AE= AA + xAB+ yAD

A

D

B

C

在立方体AC 是面AC 的中心,求下列各式中的x,y. 练习3 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y. A E B C

D

(1)AC = x(AB+ BC+ CC )
' ' '

(2)AE= AA + xAB+ yAD

A

D

B

C

在立方体AC 是面AC 的中心,求下列各式中的x,y. 练习3 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y. A E B C

D

(2)AE= AA + xAB+ yAD
'

A

D

B

C

练习4 在长方体OADB ? CA′D′B′中,OA = 3,OB = 4, OC = 2,OI = OJ = OK = 1,点E、F分别为DB、

D′B′的中点。设OI = i, OJ = j, OK = k , 试用i, j, k OF 表示OE、 。 C
F A’ O I A K J E D D’ B B’

3 OE = i + 4 j 2
3 OF = i + 4 j + 2k 2

小结

类比思想

数形结合思想

平面向量
概念 定义 表示法 相等向量

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律
加法交换律 a + b = b + a 加法结合律 ( a + b ) + c = a + (b + c ) 数乘分配律 加法交换律 a + b = b + a 加法结合律 ( a + b ) + c = a + (b + c ) 数乘分配律

k ( a + b) = k a+k b (λ + ? )a = λ a + ? a

k ( a + b) = k a+k b (λ + ? )a = λ a + ? a

作业
P82 ? 练习B3 课下思考题 : 1.在空间中,两个向量共线应该满足什么条件? 2.联想平面向量基本定理,你能不能想想空间向 量共面应该有什么定理存在? 3.平面向量基本定理用两个不共线的向量作基底, 那空间中应该用几个作基底呢?什么样的才能作 基底呢?

在空间四边形ABCD ABCD中 分别是BC CD边的中点 BC、 边的中点, 练习2 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简 A

1 (1) AB + ( BC + BD) 2 1 (2) AG ? ( AB + AC ) 2
D G

B

M

C

在空间四边形ABCD ABCD中 分别是BC CD边的中点 BC、 边的中点, 练习2 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简 A

1 (1) AB + ( BC + BD) 2 1 (2) AG ? ( AB + AC ) 2
D G

(1)原式=AB + BM + MG = AG
(2)原式
1 = AB + BM + MG ? ( AB + AC ) 2 1 = BM + MG + ( AB ? AC ) 2 =BM + MG+ MB = MG

B

M

C


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