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河南省南阳市2016


南阳市 2017 年春期高二期中考试 数学(理)试题
一.选择题:

1 ? 2i 的实部与虚部的和等于( C ) 1 ? 2i 3 4 4 1 A. ? ? i B. 1 ? i C. 5 5 5 5 1 ? 2i ? 3 ? 4i 3 4 ? ?? ? i 解析: z ? 1 ? 2i 5 5 5
1.复数 z ? A. 4.5m 解析: S ? B. 5m C. 5.5m D. 6 m

D.

9 5

m / s )作变速直线运动时, 2.汽车以 V ? 3t ? 1 (单位: 在第 1s 至第 2 s 间的 1s 内经过的位移是( C )

?

2

1

3 2 (3t ? 1)dt ? ( t 2 ? t ) |1 ? 5.5 2
B ).

3.下列命题错误 的是( ..

A.三角形中至少 有一个内角不小于 60°; .. B.对任意的 a ? R ,函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? ax ? 1 至少 存在一个极值点. .. 3 2

C.闭区间[a,b]上的单调函数 f(x)至多 有一个零点; .. D.在锐角 三角形中,任意 一个角的正弦大于另两个角的余弦; .. ..
2 解析: f ' ( x) ? x ? ax ? a ,当 ? ? a ? 4a ? 0 ,即 0 ? a ? 4 时, f ( x) 是单调增加的,不存在极
2

值点,故 B 错误. 4.已知函数 f ( x) ? ( x ? 2x)e ,则 lim
3 x

?x ?0

f (1 ? ?x) ? f (1) 的值为(D ?x
D.0



A. ? e 解析: lim
?x ?0

B.1

C.e

f (1 ? ?x) ? f (1) ? f ' (1) ?x

5.若曲线 f ( x) ? x sin x ? 1 在点 ( (A) A.-2 解析: f ' ( ) ? sin B.2

? ?

, ? 1) 处的切线与直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 互相垂直,则实数 a ? 2 2

C. 1

D.-1

?

?
2

2

?

?
2

cos

?

? a ? 1 ,所以, f ' ( ) ? ? ?1,得 a ? ?2 2 2 2

6.如图,一个树形图依据下列规律不断生长:1 个空心圆点到下一行仅 生 . 长出 1 个实心圆点,1 个实心圆点到下一行生长出 1 个实心圆点和 1 个空

1

心圆点.第 12 行的实心圆点的个数为( B ). A. 88 B. 89 C.90 D.91

解析:第 n 行实心圆点有 an 个,空心圆点有 bn 个,由树形图的生长规律可得 ?

?bn ? an ?1 , ?an ? an ?1 ? bn ?1

∴ an ? an?1 ? an?2 (即斐波那契数列),可得数列 {an } 为 0, 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…, 即 a12 ? 89 7.设 f ' ( x) 是函数 f ( x) 的导函数, y ? f ' ( x) 的图象如图所示,则 y ? f ( x) 的图象最有可能的是 ( C )

8.某班数学课代表给全班同学出了一道证明题,以下四人中只有一人说了真话,只有一人会证明此 题。甲:我不会证明。乙:丙会证明。丙:丁会证明。丁:我不会证明。根据以上条件,可以判定 会证明此题的人是(A) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

解析:若丙说了真话,则甲必是假话,矛盾;若丁说了真话,则甲说的是假话,甲就是会证明的那 个人,符合题意;以此类推。易得出答案:A 9.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? 是( D ) A. (??,?1) ? (1,??) B. [?1,0) ? (0,1] C. (?1,1) 解析: f ' ( x) ? ax ? 2x ? a ,由题意得: ?
2

1 3 ax ? x 2 ? ax ? 1 既有极大值又有极小值,则实数 a 的取值范围 3

D. (?1,0) ? (0,1) ,解得: a ? (?1,0) ? (0,1)

?a ? 0
2 2 ?? ? 2 ? 4 a ? 0

10.若 z ? (a ?1) ? (a ?1)i 为纯虚数,其中 a ? R ,则
2

a2 ? i 等于( B ) 1 ? ai

A. ?i B. i C.1
2

D.1 或 i

解析:由 z ? (a ?1) ? (a ?1)i 为纯虚数,得 a ? ?1 ,所以

a2 ? i 1? i ? ?i 1 ? ai 1 ? i
2

11.已知: 函数 f ( x) ? x ln x ? 1,P 、 则直线 PQ 的斜率的最小值为 ( B ) Q 为其图像上任意两点,
2

A. 0 B. ? 2e

?

3 2

C. ? e D. ? 2e

?2

?

1 2

解析: f ' ( x) ? 2 x ln x ? x , 而 f ' ' ( x) ? 2 ln x ? 3 , 易得, f ' ( x) 在 (0, e 上单调增加,故 [ f ' ( x)]min ? ?2e 12.定义在 (0,
? 3 2

?

3 2

在 (e ,??) ) 上单调减少,

?

3 2

?
2

) 上的函数 f ( x) ,f ?( x ) 是它的导函数, 且恒有 f '( x) ? f ( x)? ( D ) tan x 成立.则有

A. 2 f ( ) ? f ( ) B. 3 f ( ) ? 2 cos 1 ? f (1) C. 2 f ( ) ?

?

?

?

?

4

3

4

6 f ( ) D. 3 f ( ) ? f ( ) 6 6 3

?

6

?

?

) tanx得 , f ' ( x) co sx ? f ( x) sin x ? 0 , 即 [ f ( x) cos x]' ? 0 , 亦 即 函 数 解 析 : 由 f '( x ) ? f ( x ?

? ? ? F ( x) ? f ( x) c o sx 在 (0, ) 上是单调增加的。故 F ( ) ? F ( ) 6 3 2
二.填空题: 13. (x ? 1 ? x )dx ? ____________.
2 2 ?1

?

1

解析: (x ? 1 ? x )dx ?
2 2 ?1
2

?

1

?

1

?1

14.已知: f ( x) ? 2 sin (2 x ? 解析: f ( x) ? 2 sin (2 x ?
2

?

1 2 ? x 2 dx ? ? 1 ? x 2 dx ? ? ?1 3 2

2 ? ? 3 2

) ,则 f ' ( ) =_________ . 2 3 3 3 2? 2? ? ) ,所以 f ' ( x) ? 4 sin( 4 x ? ) ,得 f ' ( ) ? 2 3 3 3 3

?

?
3

) ? 1 ? cos( 4 x ?

15.若函数 f ( x) ? f ?(1)e 解析: f ' ( x) ? f ' (1)e 故 f ( x) ? f ' (1)e
x ?1 x ?1

x ?1

? f (0) x ? x2 ,则 f ?(1) ? _______. 2e

? f (0) ? 2x ,则 f ' (1) ? f ' (1) ? f (0) ? 2 ,所以, f (0) ? 2 ;

? 2x ? x2 ,则有 f (0) ? f ' (1)e?1 ,得, f ' (1) ? 2e
S1 1 ? . 推广 S2 4

16.平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1 ,外接圆面积为 S2 ,则

到空间可以得到类似结论;已知正四面体 P ? ABC 的内切球体积为 V1 ,外接球的体积为 V2 ,则

V1 ? V2

.

1 27

解析:把正四面体放置在棱长为 1 的正方体中,易知正四面体的棱长为

a ? 2 高为

h?

2 3 3 ,

3

内切球半径

r1 ?

V1 r 1 1 3 3 h? r2 ? ? ( 1 )3 ? 4 6 ,外接球半径 2 ,则 V2 r2 27

三.解答题:17 题,12 分。22 题,10 分。答题卡上的分值有误,请以题卷和评分标准为准。 17.(本小题满分 12 分) 用数学归纳法证明:对于任意的 n ? N ,
*

1 1 1 1 11 ? ? ? ... ? ? n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 24

证明:(1)当 n ? 1 时,左边= 分

1 12 11 ? ? =右边,命题成立;……………………………………2 2 24 24 1 1 1 1 11 ? ? ? ... ? ? ;………… k ?1 k ? 2 k ? 3 2k 24

(2)假设当 n ? k ( k ? N )命题成立,即
*

4分 当 n ? k ?1时 左边=

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? ? …………………………6 分 k ?2 k ?3 k ?4 2k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ) ? ? ? ………………8 分 k ?1 k ? 2 k ? 3 2k 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1

=(

?

11 1 11 ? ? 24 (2k ? 1)(2k ? 2) 24
即,当 n ? k ? 1 时,命题成立。 综上所述,对于任意的 n ? N ,
*

………………………………………………11 分

1 1 1 1 11 ? ? ? ... ? ? ………………………12 n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 24



18.(本小题满分 12 分)
3 2 已知函数 f ( x) ? 2ax ? 3x ,其中 a ? 0 .

(1)求证:函数 f ( x) 在区间 (??, 0) 上是单调函数; (2)求函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? 6 x 的极小值。 (1)证明: f ?( x) ? 6ax ? 6x ? 6x(ax ? 1) .………………………………2 分
2

因为 a ? 0 且 x ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 . 所以函数 f ( x) 在区间 ?? ?,0? 上是增函数. …………4 分

4

(2)解:由题意 g( x) ? 2ax ? (6a ? 3)x ?12x ,
3 2

则 g?( x) ? 6( x ? 2)(ax ? 1) . 令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? ?2或x ?

1 ,(a ? 0)…………6 分 a

当 x ? ?2 时, g ?( x) ? 0 , 则函数 g( x) 在区间 ?- ?, - 2? 上是单调递增函数;

1 1 ( - 2, ) 时, g ?( x) ? 0 , 则函数 g( x) 在区间 上是单调递减函数; a a 1 1 当 x ? 时, g ?( x) ? 0 , 则函数 g( x) 在区间 ( ,?? ) 上是单调递增函数;………9 分 a a 1 所以,函数 g ( x) 的极小值点为 x ? ,………10 分 a 1 1 6 6a ? 1 故函数 g ( x) 的极小值是 g ( x) 极小值 ? g ( ) ? ? 2 ? ? ? ………12 分 a a a a2
当?2 ? x ? 19.(本小题满分 12 分) 用长为 18 m 的钢条围成一个长方体 形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,问该长方体的 ... 长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是 多少? 解析:设长方体的宽为 xm,则长为 2xm,高 h ?
18 ? 12x ? 4.5 ? 3x(m) 4 3? ? ? 0<x< ? .……2 分 2? ?

故长方体的体积为 V ( x) ? 2 x 2 (4.5 ? 3 x) ? 9 x 2 ? 6 x 3 (m 3 )( 0<x< ). 从而 V ?( x) ? 18x ?18x

3 2 ……………………5 分

2

? 18x(1 ? x).
……………………………………7 分

令 V ?( x) ? 0 ,解得 x=0(舍去)或 x=1,因此 x=1. 当 0<x<1 时, V ?( x) ? 0 ;当 1<x<

3 时, V ?( x) ? 0 , 2

故在 x=1 处 V(x)取得极大值,并且这个极大值就是 V(x)的最大值.…………………………10 分 从而最大体积 V=3(m ),此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m. 答:当长方体的长为 2 m 时,宽为 1 m,高为 1.5 m 时,体积最大,最 大体积为 3m .…………12 分
3 3

20.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? x ln x ? mx , g ( x) ? ? x ? ax ? 3
2

(1)若函数 f ( x) 在 (1,??) 上为单调函数,求实数 m 的取值范围;

5

(2)若当 m ? 0 时,对任意 x ? (0,??),2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1) f ( x) 定义域为 ?0,??? , f ?( x) ? ln x ? (1 ? m) ,……………………2 分 因为 f ( x) 在 (1,??) 上为单调函数,则方程 ln x ? (1 ? m) ? 0 在 (1,??) 上无实根。………4 分 故 1 ? m ? 0 ,则 m ? ?1
2

……………………………………………………6 分

3 ,对一切 x ? ?0,??? 恒成立.……7 分 x 3 ( x ? 3)( x ? 1) 设 h( x) ? 2 ln x ? x ? ( x ? 0) ,则 h' ( x ) ? , x x2
(2) 2 x ln x ? ? x ? ax ? 3 ,则 a ? 2 ln x ? x ? 当 x ? (0,1), h' ( x) ? 0, h( x) 单调递减, 当 x ? (1,??), h' ( x) ? 0, h( x) 单调递增. …………10 分

h( x) 在 (0,??) 上,有唯一极小值 h(1) ,即为最小值.
所以 h( x) min ? h(1) ? 4 ,因为对 任意 x ? (0,??),2 f ( x) ? g ( x) 恒成成立, 故

a ? 4 ……………………………………………12 分

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x sin x ? a cos x, 且 f ( x) 在 x ? (1)求 a 的值,并讨论 f ( x) 在 ??

?
3

处的切线的斜率为

? . 6

? ? ?? 上的单调性; , ? 2 2? ?

mx ? 1) ? ( 2 ) 设 g ( x) ? l n(

1? x ? ?? , x ? 0, m ? 0, 若 对 任 意 x1 ? ?0,??? , 总 存 在 x2 ? ?0, ?, 使得 1? x ? 2?

g ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,求 m 的取值范围.
解:( 1)? 函数 f ( x) ? x sin x ? a cos x, 且 f ( x) 在 x ?

?
3

处的切线的斜率为 ……………2 分

? ? ? ? f ?( ) ? , 6, 3 6

a ?1
解得: ;

此时,

f ?( x) ? x cos x

,当

x ? (?

?
2

,0)

时,

f ?( x) ? 0

x ? (0, ) 2 时, ,当

?

f ?( x) ? 0

? ? ? ? ?? ………………6 分 0, ? 函数 f ( x) 在 ?? ,0? ? 2 ? 上单调递减,在 ? ? 2? ? 上单调递增. ,
6

(2)当 x ? ?0,

? ?? 时, f ( x) 单调递增,? f ( x) min ? f (0) ? 1, ? 2? ?

则只需 g ( x) ? 1 在 x ? ?0,??? 上恒成立即可,……………………8 分

m?2 ) m g ?( x) ? ( x ? 0, m ? 0), ( mx ? 1)( x ? 1) 2 m( x 2 ?
①当 m ? 2 时,

m?2 ? 0,? g ?( x) ? 0 在 ?0,??? 上恒成立,即 g ( x) 在 ?0,??? 上单调递增,又 m

g (0) ? 1, ? g ( x) ? 1 在 ?0,??? 上恒成立,故 m ? 2 时成立.
②当 0 ? m ? 2 时,若 x ? (0, 故当 0 ? m ? 2 时不成立.

2?m ) ,则 g ?( x) ? 0, 此时 g ( x) 单调递减,? g ( x) ? g (0) ? 1, m
……………………11 分

综上 m ? 2. ……………………12 分

22.【从下面两小题中任选其一题,若选择做两题只按第一题给分】(本小题满分 10 分) (1)已知: x, y , z 为互不相等的实数,且 x ? 求证: x y z ? 1
2 2 2

1 1 1 ? y? ? z? y z x

解析:根据条件 x ?

1 1 1 1 y?z ? y ? 可得, x ? y ? ? ? y z z y yz
y?z x? y

……………………2 分

又因为 x, y , z 为互不相等的实数,则有 yz ?

…………………………5 分

同理可得

xy ?

x? y z?x , xz ? z?x y?z

…………………………………………7 分

所以

x2 y2 z 2 ?

y?z x? y z?x ? ? ?1 x? y z?x y?z

…………………………………………10 分

(2)已知: | x |? 1 , | y |? 1 ,求证: |

x? y |? 1 1 ? xy

7

证明: ( x ? y)2 ? (1 ? xy)2 ? x 2 ? y 2 ? x 2 y 2 ?1.......... ....2分 ? ( x 2 ?1)(1 ? y 2 )......... .......... .......... .......... ...5分
由 | x |? 1 , | y |? 1得 , x 2 ? 1 , y 2 ? 1.......... .......... .......... .......... .......... .......... .7分

所以

( x 2 ?1)(1 ? y 2 ) ? 0

得, ( x ? y)2 ? (1 ? xy)2 .......... .......... .......... ....... 9分
故: | x? y |? 1.......... .......... .......... .......... ....10分 1 ? xy

8


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